Ứng suất pháp trong các thanh thẳng và thanh có độ cong nhỏ
Định nghĩa các lực cắt
Giả sử một thanh thẳng chịu tác dụng bởi các lực có phương bất kỳ, với giả thiết duy nhất là tất cả chúng cùng nằm trong một mặt phẳng (mặt phẳng lực) đi qua trục của thanh (đường nối các trọng tâm của các tiết diện ngang).
Hình. 1
Để tính các ứng suất tác dụng trong một tiết diện ngang n – n nào đó (hình 1), cần biết lực được truyền qua tiết diện này từ một phần thanh sang phần kia. Rõ ràng, về độ lớn và vị trí, nó bằng hợp lực của tất cả các lực tác dụng lên một phần của thanh. Hợp lực này được phân tích thành các thành phần trong hệ tọa độ mà trục x-trùng với trục của thanh, còn trục z-là đường mà theo đó mặt phẳng tiết diện cắt mặt phẳng lực. Thành phần theo phương trục z được gọi là lực cắt ngang Q hoặc Qz và đối với dầm đơn giản được coi là dương nếu ở bên trái mặt cắt có hướng lên trên, còn ở bên phải thì hướng xuống dưới.
Khi thanh bị cong, các trục tọa độ x và z có hướng khác nhau ở từng mặt cắt và luôn sao cho trục x là tiếp tuyến với trục của thanh. Nếu mặt phẳng chứa trục của thanh không trùng với mặt phẳng lực, hoặc nếu trục của thanh là một đường cong không gian, hợp lực của các lực ở bên trái mặt cắt còn có thêm thành phần thứ ba, lực cắt ngang Qy. Với N, Qz và Qy, độ lớn và phương của lực truyền qua mặt cắt đã được xác định, nhưng chưa xác định được vị trí của nó. Để xác định điều này, cần biết cả các mômen của nó đối với các trục tọa độ. Trong trường hợp uốn phẳng, chỉ cần biết mômen uốn M hoặc My. Trong trường hợp tổng quát nhất, còn xuất hiện thêm một mômen uốn Mz và một mômen quanh trục x, Mx.
Sáu lực và mômen được định nghĩa ở phần trình bày trước đây được gọi chung là “nội lực tiết diện”. Việc xác định chúng là một trong những nhiệm vụ cơ bản của tĩnh học kết cấu công trình.
Giữa tải phân bố liên tục p (đơn vị: lực trên một đơn vị chiều dài), lực cắt Q và mômen uốn M trong trường hợp uốn phẳng tồn tại một quan hệ đơn giản. Cụ thể, từ điều kiện cân bằng của một phần tử thanh (hình 2) suy ra
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
Vì vậy
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Hình 2
Phân bố ứng suất pháp tuyến
Nếu thanh chỉ chịu lực dọc trục, trong mặt cắt chỉ xuất hiện ứng suất pháp phân bố đều σ (thanh chịu kéo, hoặc chịu nén). Nếu đồng thời có mômen uốn, các ứng suất này phải được phân bố không đều theo một cách nào đó, sao cho hợp lực của chúng không còn đi qua trọng tâm của mặt cắt nữa. Để xác định sự phân bố này, lý thuyết uốn kỹ thuật không xuất phát từ nghiệm nghiêm ngặt của các phương trình cơ bản, mà thay thế một phần các phương trình đó bằng một giả thiết hợp lý, đồng thời trong một trường hợp đặc biệt đơn giản cũng được thỏa mãn một cách chặt chẽ. Trường hợp đặc biệt này là uốn thẳng của một thanh prismatic khi không có tác dụng của lực ngang (hình 3). Tất cả các phần tử của thanh đủ xa hai đầu thanh đều chịu cùng một biến dạng, từ đó suy ra ngay rằng trục thanh chuyển thành một cung tròn và rằng tất cả các mặt phẳng của mặt cắt ngang vốn ban đầu vuông góc với trục thanh trong quá trình biến dạng vẫn phẳng, vì mỗi mặt phẳng trong số đó là mặt phẳng đối xứng của các phần lân cận của thanh bị biến dạng. Tự nhiên nảy sinh giả thiết rằng các mặt cắt ngang cũng gần như vẫn phẳng khi mômen uốn và mặt cắt ngang của thanh không còn không đổi, mà thay đổi dần dọc theo thanh. Giả thiết này, gọi là Navier-ova hipoteza, là cơ sở của lý thuyết uốn.
Hình 3
Độ lớn của ứng suất pháp
Khi một phần tử dầm thẳng bị uốn, một phần các “sợi” của nó, tức là các đường vật liệu song song với trục của thanh, bị kéo dài, trong khi phần còn lại bị rút ngắn (hình 4). Giữa hai phần này là các sợi trung hòa z=0, có chiều dài không thay đổi khi uốn. Giả sử bán kính cong của các sợi này ở trạng thái uốn là ϱ và nó nằm trong mặt phẳng x-z. Từ hình 4 m có thể đọc được
Δ dx/z = _dx/_ϱ
và từ đó tính được độ biến dạng của sợi ở khoảng cách z tính từ trục trung hòa, bằng
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
và trên cơ sở định luật Hooke-ơ ứng suất
σ _= Ez/_ϱ (2)
Hình. 4
Ứng suất này tỷ lệ với khoảng cách đến các sợi trung hòa. Kết quả như vậy gắn với giả thiết rằng trước khi biến dạng, mọi sợi của phần tử thanh đều có cùng chiều dài, vì vậy ban đầu thanh thẳng, hoặc ít nhất có độ cong nhỏ đến mức có thể bỏ qua ảnh hưởng của độ cong. Đường thẳng mà theo đó lớp trung hòa và mặt phẳng tiết diện cắt nhau được gọi là trục trung hòa. Chúng ta chọn nó làm trục y (hình 5). Vị trí của trục trung hòa trong tiết diện ngang được xác định từ điều kiện cân bằng lực theo phương trục x: nếu lực dọc N=0 (uốn không có lực dọc), thì hợp lực nội lực biểu diễn qua các ứng suất pháp trong tiết diện cũng phải bằng không:
Tích phân ở vế phải là mômen tĩnh của diện tích đối với trục y. Để nó bằng không, trục này phải là một trong các trục qua trọng tâm.
Mô men M gây ra biến dạng có các thành phần đối với các trục y và z trong mặt phẳng tiết diện (hình 5):
Phương trình. (3)
trong đó Iy, Iyz là mômen quán tính xích đạo và mômen quán tính ly tâm của tiết diện đối với các trục đã chỉ định.
Trường hợp đặc biệt quan trọng là khi Mz=0. Trường hợp này xảy ra khi Iyz=0, tức là khi y và z là các trục quán tính chính của tiết diện. Điều đó có nghĩa là mặt phẳng uốn được xét ở đây trùng với mặt phẳng x-z-, tức với mặt phẳng mà mômen uốn M=My tác dụng, nghĩa là mặt phẳng lực.
Hình. 5
Nếu từ các phương trình (2) và (3) khử _E/_ϱ, ta thu được biểu thức để xác định ứng suất khi uốn đều (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
đối với các điểm biên 1 và 2 thì đặc biệt là:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Các đại lượng W1,2 = I/h1,2 (thứ nguyên: chiều dài mũ ba) được gọi là mômen chống uốn. Nếu trục trọng tâm nằm ngang đồng thời cũng là trục đối xứng của tiết diện, thì W1 = W2, do đó các ứng suất biên có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
Đường cong đàn hồi
Hình. 6
Ý nghĩa của các biểu thức nêu trên gắn với định luật Hooke. Điều này đòi hỏi σ << E, do đó theo (2) h << ϱ. Tuy nhiên, độ uốn vẫn có thể lớn đến mức ϱ cùng bậc với chiều dài thanh l. Đối với các thanh uốn gặp trong xây dựng, trường hợp này không xảy ra; luôn luôn ϱ lớn hơn l rất nhiều và do đó độ võng w << l (hình 6). Khi đó gần đúng có:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
và dựa trên (3):
w’’ = - M/EI.
Phương trình này và điều kiện cân bằng (1b) tạo thành hệ phương trình vi phân của thanh bị uốn. Bằng phép khử, chúng có thể được quy về một phương trình bậc bốn:
wIV = + p/EI
hoặc, trong trường hợp mômen quán tính biến thiên:
(EIw’’)’’ = +p.
Từ đó, bằng cách tích phân có thể tìm được dạng của đường đàn hồi khi tải trọng p=p(x) đã cho và khi đối với mỗi trường hợp của thanh đã biết hai điều kiện biên. Trong số đó ít nhất hai điều kiện phải liên quan đến biến dạng. Chi tiết xem bài Tĩnh học kết cấu xây dựng.
Lõi của tiết diện
Nếu trục trung hòa cắt qua tiết diện ngang, nó chia tiết diện thành vùng kéo và vùng nén. Đối với vật liệu có cường độ chịu kéo nhỏ, nảy sinh câu hỏi lực nén phải tác dụng ở đâu, nếu trong tiết diện ngang không được phép xuất hiện kéo ở bất kỳ chỗ nào. Khi đó vị trí đặt lực bị giới hạn trong một vùng gọi là nhân tiết diện. Ranh giới của nhân rõ ràng là quỹ tích các điểm mà các trục trung hòa của chúng tiếp xúc với chu vi tiết diện ngang. Như vậy cũng đồng thời xác định được cách dựng nó.
Khoảng cách từ ranh giới nhân đến trọng tâm, được đo theo bất kỳ phương nào, sẽ được ký hiệu bằng k với chỉ số tương ứng với phương đó. Đối với các trục quán tính chính theo phương trình
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
các biểu thức như sau:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Đối với tiết diện tròn bán kính r, khoảng cách đến lõi là k = r/4, còn đối với vành khuyên tròn (bán kính: ngoài R, trong r) k = (R2 + r2) / 4R.
Đối với hình chữ nhật (hình 7) thì ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Do đó, khi chịu tải của tiết diện chữ nhật trong một trong các mặt phẳng đối xứng (nhưng chỉ khi đó) chỉ cần hợp lực đi vào một phần ba giữa của chiều cao hoặc chiều rộng tiết diện ngang, thì ứng suất trong tiết diện sẽ cùng dấu.
Hình 7
Uốn trong miền dẻo
Khi ở các sợi biên của thanh chịu uốn đã đạt đến giới hạn chảy, khả năng chịu lực của nó vẫn chưa bị khai thác hết, vì trong khi các sợi ngoài biến dạng dẻo ở ứng suất không đổi, thì ở những phần nằm gần trục trung hòa hơn, nơi giới hạn chảy هنوز chưa đạt tới, ứng suất tăng lên, do đó mômen uốn mà tiết diện có thể chịu cũng tăng theo.
Nếu biết chính xác diễn biến của biểu đồ ứng suất và biến dạng, quá trình đối với các tiết diện đối xứng kép (chiều cao h) có thể dễ dàng theo dõi bằng tính toán theo cách sau: với giả thiết các tiết diện vẫn phẳng, từ biểu đồ ứng suất và biến dạng xác định được phân bố ứng suất σ do uốn tương ứng với một biến dạng đã chọn của sợi biên ε__r và từ đó tích phân để xác định mômen uốn. Nếu thực hiện điều này cho các giá trị ε__r khác nhau và mặt khác tính độ cong tương ứng của đường võng w’’ = 2 ε__r / h, sẽ thu được một dãy điểm qua đó có thể vẽ một đường cho mối liên hệ giữa mômen uốn và độ cong M = M(w’’); mối liên hệ này không còn tuyến tính nữa, và khi đã biết nó thì có thể xác định bằng tích phân đồ họa đường võng tương ứng với một phân bố mômen cho trước. Nếu tiết diện không đối xứng, việc tính toán trở nên phức tạp hơn, ở chỗ với mỗi ε__r còn phải xác định vị trí của trục trung hòa.
Hình 8
Việc tính toán được đơn giản hóa ở một mức độ nhất định nếu ngoài tính đối xứng của tiết diện, còn giả thiết mối liên hệ đơn giản hóa giữa ứng suất và biến dạng theo hình 8. Khi đó, ứng suất do uốn sau khi vượt quá giới hạn chảy có phân bố như hình 9 và mômen uốn là:
và khi đó độ cong của đường võng thu được khi áp dụng phương trình (2) cho phần tiết diện có ứng suất trong miền đàn hồi w’’ = σf / Ez’. Nếu biết hình dạng tiết diện cho mỗi z’ đã chọn thì có thể tính các tích phân. Ví dụ, trong trường hợp đơn giản nhất của tiết diện ngang hình chữ nhật có bề rộng b và chiều cao h thì
Nếu ở đây z’ được biểu diễn bằng w’’, thì thu được
Đối với tiết diện I và các tiết diện tương tự, diễn biến của đường cong M-w’’ trong vùng dẻo còn phẳng hơn nữa, và mômen tại đó bắt đầu chảy dẻo khi ấy gần như bằng với mômen uốn lớn nhất mà tiết diện có thể chịu được. Vì vậy, ý nghĩa của uốn dẻo trong xây dựng không nằm ở việc làm tăng mômen uốn mà tiết diện có thể chịu, mà ở chỗ biến dạng cục bộ lớn xuất hiện tại giới hạn chảy có thể dẫn đến sự phân bố lại nội lực thuận lợi trong các hệ siêu tĩnh.
Hình 9
Điều này có thể được giải thích bằng ví dụ một dầm liên tục qua hai nhịp. Giả sử dầm (hình 10) có các nhịp bằng nhau, tiết diện không đổi và chịu tải phân bố đều. Khi đó, trước khi đạt tới giới hạn chảy, mômen trên gối đỡ MB = _pl_2/8. Nếu tải trọng p tăng đến mức mômen tại tiết diện gối đạt giá trị Mf tại đó xảy ra chảy dẻo, thì khi tiếp tục tăng tải tại vị trí đó, độ cong sẽ tăng lên mà không làm mômen tăng đáng kể. Hình thành cái gọi là khớp dẻo, tức là dầm dưới tải bổ sung cư xử như thể trên gối giữa có một khớp. Tải trọng có thể tiếp tục tăng cho đến khi tại vị trí có mômen lớn nhất trong nhịp cũng bắt đầu chảy. Việc tăng thêm mômen uốn không còn khả thi và khả năng chịu lực của dầm đã bị tiêu hao. Tải trọng mà dưới đó trạng thái này xuất hiện được gọi là tải trọng giới hạn.
Hình. 10
Nói chung có thể dự đoán rằng trong một hệ thống siêu tĩnh bậc n sẽ phải xuất hiện (n+1) khớp dẻo trước khi hệ trở nên di động và do đó đạt tới giới hạn chịu lực của nó. Tuy nhiên, quy tắc này có ngoại lệ theo cả hai hướng. Như ví dụ đã nêu cho thấy, tại giới hạn chịu lực có thể đồng thời xuất hiện hai khớp dẻo mới (ở cả hai nhịp), khiến hệ vốn còn bất động bỗng chuyển sang hệ có hai bậc tự do. Mặt khác, cũng có thể xảy ra là ngay cả với ít hơn (n+1) khớp dẻo, khả năng chịu lực đã bị cạn kiệt cục bộ, chẳng hạn khi ở một dầm liên tục chỉ một nhịp bị phá hoại. Hình 11 cho thấy điều đó có thể xảy ra đối với một hệ siêu tĩnh bậc hai với n=2 khớp dẻo. Nếu ở phía phải của dầm còn thêm một nhịp thứ tư, dầm trở thành siêu tĩnh bậc ba, vì vậy chỉ cần (n-1) khớp dẻo để đưa riêng nhịp bên trái tới giới hạn chịu lực.
Hình. 11
Ứng suất cắt khi uốn
Tính toán sơ bộ
Hình. 12
Ứng suất pháp σ, tức là các ứng suất thực sự xuất hiện do uốn, không phải là những ứng suất duy nhất trong thanh bị uốn, mà bên cạnh đó còn xuất hiện ứng suất cắt do tác dụng của lực ngang. Do đặc điểm cơ bản của lý thuyết kỹ thuật về uốn là bỏ qua biến dạng do ứng suất cắt, nên các ứng suất này chỉ có thể xác định từ điều kiện cân bằng. Để thiết lập điều kiện này, phần tử dầm dx được cắt, như chỉ ra ở hình 12, bằng một mặt phẳng ngang thành hai phần, rồi đặt điều kiện cân bằng của các lực ngang tác dụng lên phần dưới. Ở phía trái, đó là các lực bên trong biểu diễn bằng các ứng suất σ do uốn, cần tích phân từ z’ = z đến z’ = h2
Ở phía bên phải tác dụng các ứng suất như nhau, nhưng tăng thêm một vi phân theo mômen uốn tương ứng M + dM. Hiệu số giữa các lực ở hai phía của phần tử phải cân bằng với lực do ứng suất cắt τ tác dụng trong mặt cắt ngang nằm ngang t dx:
Ở đây, tích phân biểu thị mômen tĩnh của phần tiết diện được tách ra bởi một mặt phẳng ngang so với trục trọng tâm của tiết diện. Nó được ký hiệu là S. Từ dM/dx = Q theo điều kiện cân bằng thu được:
τ = QS/It. (8)
Theo định luật về tính liên hợp của các ứng suất tiếp, đó cũng đồng thời là giá trị của ứng suất tiếp thẳng đứng tác dụng lên mặt cắt ngang và, cùng với S và t, là hàm của z.
Hình. 13
Hình 13.1
Phương trình (8) cung cấp dữ liệu đáng tin cậy đối với mọi tiết diện thành mỏng nếu mặt cắt không đặt song song với trục trung hòa, mà theo phương bề dày thành. Vì vậy, tiết diện chữ I được cắt ngang qua bụng và ngang qua cánh, nhờ đó thu được sự phân bố ứng suất như trình bày ở hình 13.1. Đối với tiết diện vành khuyên (hình 13), các ứng suất cắt được phân bố đối xứng so với đường kính thẳng đứng và đạt cực đại ở bên trái và bên phải trên đường trung hòa
τ = Q / πrt.
Nếu tiết diện được cắt ở vị trí cao nhất hoặc thấp nhất, phân bố ứng suất cắt không thay đổi; tuy nhiên, nếu cắt tại đầu bên phải của đường kính ngang (hình 14), thì ứng suất cắt tại điểm đó bằng không, còn giá trị của nó ở đầu bên trái của cùng đường kính đó tăng gấp đôi.
Hình 14
Tiết diện đặc
Đối với các tiết diện đặc có hình dạng bất kỳ, bài toán ứng suất cắt gắn chặt với bài toán xoắn. Khi đó phương trình cơ bản (8) không còn đáng tin cậy nữa. Đối với tiết diện tròn bán kính r, phương trình (8) cho
τ = 4Q / 3__πr2
như giá trị trung bình của ứng suất cắt dọc theo trục trung hòa, còn giá trị chính xác chỉ lớn hơn vài phần trăm.
Tâm cắt
Nếu tính toán các ứng suất cắt cho tiết diện U theo cách mô tả ở trên, ta thu được phân bố ứng suất như trình bày ở hình 15. Hợp lực của các lực nội tương ứng là lực ngang Q. Từ hình có thể thấy vị trí của nó so với tiết diện, nghĩa là nó không đi qua trọng tâm của tiết diện, cũng không nằm trong mặt phẳng của bản bụng. Nếu lực ngang tính theo các lực bên ngoài không có vị trí như trình bày ở hình 15, thì dầm không chỉ chịu uốn mà còn chịu xoắn.
Nếu xác định hợp lực ứng với các ứng suất cắt cho cùng một tiết diện đối với một tải trọng ngang nào đó, sẽ thu được đường tác dụng của lực cắt ngang theo phương ngang. Tại giao điểm của hai đường tác dụng này có một điểm đặc trưng cho tiết diện đã cho, gọi là tâm cắt M. Trong dầm, ứng suất do xoắn không xuất hiện khi tâm cắt của tất cả các tiết diện ngang nằm trên cùng một đường thẳng và mọi tải trọng vuông góc với trục thanh đều đi qua đường thẳng đó. Ngược lại, mômen của mỗi tải trọng đối với đường nối các tâm cắt chính là tác dụng cắt xoắn.
Hình. 15
Ảnh hưởng của lực cắt ngang lên sự uốn
Lý thuyết uốn kỹ thuật dựa trên việc bỏ qua biến dạng do ứng suất cắt. Vì vậy, lý thuyết này thực sự có thể áp dụng cho các thanh mảnh, trong đó việc bỏ qua này là hợp lý và lực cắt ngang không có ảnh hưởng đáng kể đến sự uốn.
Tuy nhiên, kinh nghiệm cho thấy lý thuyết uốn kỹ thuật có thể được áp dụng với một mức thành công nhất định cho các cấu kiện ngắn, cao, dù thực ra nó hoàn toàn không предназначена cho chúng. Khi đó nảy sinh nhu cầu xem xét bổ sung, ít nhất ở mức gần đúng, ảnh hưởng của biến dạng do ứng suất cắt, vốn bị bỏ qua trong lý thuyết này.
Cũng như các ứng suất cắt τ do lực cắt ngang và các biến dạng trượt tương ứng γ_’ =_ τ_/G_ được phân bố không đều theo tiết diện. Vì vậy người ta đưa vào giá trị trung bình của chúng là γ, được xác định sao cho lực cắt ngang tại giá trị biến dạng trung bình này thực hiện trên phần tử dầm dx công biến dạng bằng với công thu được khi tích phân công của các ứng suất cắt trên những phần tử thể tích riêng lẻ cấu thành phần tử dầm đang xét:
từ đó suy ra
Tích phân có thể tính được khi đã biết phân bố ứng suất cắt trên tiết diện. Vì mọi ứng suất cắt đều tỉ lệ với Q/F, nên giá trị của nó tỉ lệ với Q2/F2 * F, do đó nếu đặt nó bằng κ__Q2/F, ta được
γ = κ__Q / GF.
Hằng số κ được gọi là hệ số phân bố ứng suất cắt. Đối với tiết diện chữ nhật thì κ=1,2.
Hình. 16
Khi hệ số κ đã biết, và do đó cả độ trượt trung bình γ, có thể tính được độ võng bổ sung wQ, do tác dụng của lực cắt ngang gây ra, cần cộng vào các độ võng w: vì theo hình 16 thì
vì vậy do Q = dM/dx:
trong đó hằng số tích phân được xác định từ một điều kiện biên.