Tiesių strypų ir strypų su mažu išlinkiu normalieji įtempiai
Skersinių jėgų apibrėžimas
Tarkime, kad tiesus strypas apkrautas bet kuria kryptimi veikiančiomis jėgomis, kurių atžvilgiu daroma tik prielaida, kad visos jos guli vienoje plokštumoje (jėgų plokštumoje), einančioje per strypo ašį (linija, jungianti skerspjūvių sunkio centrus).
Pav. 1
Kad būtų galima apskaičiuoti įtempius, veikiančius tam tikrame skerspjūvyje n – n (pav. 1), reikia žinoti jėgą, kuri per šį skerspjūvį perduodama iš vienos strypo dalies į kitą. Ji, matyt, pagal dydį ir padėtį yra lygi visų jėgų, veikiančių vieną strypo dalį, rezultantei. Ši rezultantė išskaidoma į dedamąsias koordinačių sistemoje, kurios x-ašis sutampa su strypo ašimi, o z-ašis yra linija, kuria skerspjūvio plokštuma kerta jėgų plokštumą. Dedamoji z ašies kryptimi vadinama skersine jėga Q arba Qz ir paprastoje sijoje laikoma teigiama, jei kairėje nuo pjūvio jos kryptis yra į viršų, o dešinėje — žemyn.
Kai strypas yra išlenktas, koordinačių ašys x ir z kiekviename skerspjūvyje turi kitą kryptį, ir visada taip, kad x-ašis būtų strypo ašies liestinė. Jei plokštuma, kurioje yra strypo ašis, nesutampa su jėgų plokštuma, arba jei strypo ašis yra erdvinė kreivė, jėgų rezultantas kairėje nuo skerspjūvio turi ir trečią komponentą – skersinę jėgą Qy. Su N, Qz ir Qy nustatytas per skerspjūvį perduodamos jėgos dydis ir kryptis, tačiau ne jos padėtis. Tam reikia žinoti ir jos momentus koordinačių ašių atžvilgiu. Plokščiojo lenkimo atveju pakanka žinoti lenkimo momentą M arba My. Bendriausiu atveju atsiranda dar vienas lenkimo momentas Mz ir momentas apie x-ašį, Mx.
Šešios ankstesniame aiškinime apibrėžtos jėgos ir momentai apibendrintai vadinami „skersinėmis jėgomis“. Jų nustatymas yra viena iš pagrindinių statinių konstrukcijų statikos užduočių.
Tarp nepertraukiamai paskirstytos apkrovos p (matmuo: jėga ilgio vienetui), skersinės jėgos Q ir lenkimo momento M plokščiojo lenkimo atveju egzistuoja paprastas ryšys. Būtent, iš vieno strypo elemento pusiausvyros sąlygų (pav. 2) gaunama
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
todėl
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
pav. 2
Normalinių įtempių pasiskirstymas
Jei strypą veikia tik ašinė jėga, skerspjūvyje atsiranda tik tolygiai pasiskirstęs normalinis įtempis σ (tempiamas, atitinkamai gniuždomas strypas). Jei kartu veikia ir lenkimo momentas, šie įtempiai turi būti tam tikru būdu pasiskirstę netolygiai, kad jų rezultantas nebeeitų per skerspjūvio sunkio centrą. Norint nustatyti šį pasiskirstymą, techninė lenkimo teorija nesiremia griežtu pagrindinių lygčių sprendimu, o vieną šių lygčių dalį pakeičia pagrįsta prielaida, kuri ypač paprastame atvejyje kartu yra ir griežtai tenkinama. Šis specialus atvejis yra tiesaus prizminio strypo lenkimas, neveikiant skersinėms jėgoms (pav. 3). Visi strypo elementai, pakankamai nutolę nuo jo galų, patiria tą pačią deformaciją; iš to tiesiogiai seka, kad strypo ašis virsta apskritimo lanku ir kad visos skerspjūvių plokštumos, kurios iš pradžių buvo statmenos strypo ašiai, deformuojantis išlieka plokščios, nes kiekviena iš jų yra simetrijos plokštuma gretimoms deformuoto strypo dalims. Natūraliai peršasi prielaida, kad skerspjūviai išlieka apytikriai plokšti ir tada, kai lenkimo momentas bei strypo skerspjūvis nėra pastovūs, o išilgai strypo palaipsniui kinta. Ši prielaida, vadinama Navier-o hipoteze, sudaro lenkimo teorijos pagrindą.
Pav. 3
Normaliųjų įtempių dydis
Kai lenkiamas tiesus sijos elementas, viena jo „pluoštų“, t. y. medžiaginių linijų, lygiagrečių strypo ašiai, dalis tempiama, o kita dalis trumpėja (pav. 4). Tarp šių dviejų dalių yra neutralūs pluoštai z=0, kurių ilgis lenkiant nesikeičia. Tebūnie šių pluoštų kreivumo spindulys išlenktoje būsenoje ϱ ir tebūnie jis x-z plokštumoje. Iš pav. 4 m galima perskaityti
Δ dx/z = _dx/_ϱ
ir iš to apskaičiuotą pluoštų pailgėjimą atstumu z nuo neutraliosios ašies, kuris yra
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
todėl pagal Hooke-o dėsnį įtempis
σ _= Ez/_ϱ (2)
Pav. 4
Šis įtempis yra proporcingas atstumui nuo neutraliųjų skaidulų. Toks rezultatas siejamas su prielaida, kad prieš deformaciją visos strypo elemento skaidulos buvo vienodo ilgio, todėl strypas iš pradžių buvo tiesus arba bent jau turėjo tokį mažą išlinkį, kad jo poveikį galima laikyti nereikšmingu. Tiesė, kuria susikerta neutralusis sluoksnis ir skerspjūvio plokštuma, vadinama neutralia ašimi. Ją laikome y-ašimi (sl. 5). Neutralios ašies padėtis skerspjūvyje nustatoma iš jėgų pusiausvyros sąlygos x-ašies kryptimi: jei normali jėga N=0 (lenkimas be normaliosios jėgos), tada ir vidinių jėgų rezultantas, išreikštas normaliaisiais įtempiais skerspjūvyje, turi būti lygus nuliui:
Dešinėje pusėje esantis integralas yra ploto statinis momentas y ašies atžvilgiu. Kad jis būtų lygus nuliui, ši ašis turi būti viena iš sunkio centro ašių.
Momentas M, sukeliantis deformaciją, skerspjūvio plokštumoje (pav. 5) ašių y ir z atžvilgiu turi dedamąsias:
Lygt. (3)
kur Iy, Iyz yra ekvatorinis ir išcentrinis skerspjūvio inercijos momentas, palyginti su pažymėtomis ašimis.
Svarbiausias yra ypatingas atvejis, kai Mz=0. Šis atvejis pasireiškia, kai Iyz=0, t. y. kai y ir z yra pagrindinės skerspjūvio inercijos ašys. Tai reiškia, kad čia priimta lenkimo plokštuma sutampa su x-z-plokštuma, o lenkimo momentas M=My veikia toje plokštumoje, t. y. jėgų plokštumoje.
Pav. 5
Jei iš lygčių (2) ir (3) eliminuojama _E/_ϱ, gaunamas įtempio nustatymo ties lenkiant tolygiai formulė (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
kraštiniams taškams 1 ir 2 ypač galioja:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Dydžiai W1,2 = I/h1,2 (matmuo: ilgis kubu) vadinami atsparumo momentais. Jeigu horizontalioji sunkio ašis kartu yra ir skerspjūvio simetrijos ašis, tuomet W1 = W2, todėl kraštiniai įtempiai absoliučiąja verte yra vienodi.
Elastinė linija
pav. 6
Minėtųjų formulių reikšmė susijusi su Hooke’o dėsniu. Tam reikia, kad σ << E, taigi pagal (2) h << ϱ. Tačiau lenkimas gali būti toks, kad ϱ būtų tos pačios eilės kaip ir strypo ilgis l. Statyboje nagrinėjamiems lenktiems strypams šis atvejis nepasitaiko; ϱ visada yra gerokai didesnis už l, taigi įlinkis w << l (pav. 6). Tada apytikriai galioja:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
ir pagal (3):
w’’ = - M/EI.
Ši lygtis ir pusiausvyros sąlyga (1b) sudaro lenkto strypo diferencialinių lygčių sistemą. Eliminavimo būdu jas galima suvesti į vieną ketvirtojo laipsnio lygtį:
wIV = + p/EI
arba, jei inercijos momentas yra kintamas:
(EIw’’)’’ = +p.
Iš jų integruojant galima nustatyti elastingosios linijos formą, kai duota apkrova p=p(x) ir kai kiekvienam strypo atvejui žinomos dvi ribinės sąlygos. Iš jų bent dvi turi būti susijusios su deformacija. Išsamiau žr. straipsnį Statika građevinskih konstrukcija.
Skerspjūvio branduolys
Jei neutralioji ašis kerta skerspjūvį, ji padalija jį į tempimo zoną ir gniuždymo zoną. Medžiagoms, kurių tempimo stipris mažas, kyla klausimas, kur turi veikti gniuždymo jėga, jei skerspjūvyje niekur negali atsirasti tempimas. Jėgos veikimo taško padėtis tada apribojama sritimi, vadinama skerspjūvio branduoliu. Branduolio riba akivaizdžiai yra taškų geometrinė vieta, kurių neutraliosios ašys liečia skerspjūvį išilgai kontūro. Taip kartu pateikiama ir jo konstrukcija.
Branduolio ribos atstumas nuo sunkio centro, išmatuotas bet kuria kryptimi, bus žymimas k indeksu, atitinkančiu tą kryptį. Pagrindinėms inercijos ašims pagal lygtį
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
terminai yra šie:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Apskritam skerspjūviui, kurio spindulys r, branduolio atstumas yra k = r/4, o apskritam žiedui (spinduliai: išorinis R, vidinis r) k = (R2 + r2) / 4R.
Stačiakampiui (pav. 7) yra ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Taigi, apkraunant stačiakampį skerspjūvį vienoje simetrijos plokštumų (bet tik tada) pakanka, kad rezultantė veiktų vidutiniame skerspjūvio aukščio arba pločio trečdalyje, ir skerspjūvio įtempiai būtų tos pačios ženklo.
Pav. 7
Lenkimas plastinėje srityje
Kai išlinkusio strypo kraštiniuose pluoštuose pasiekiama takumo riba, jo laikomoji galia tuo dar nėra išnaudota, nes kol išoriniai pluoštai plastiniu būdu deformuojasi esant pastoviam įtempimui, tose dalyse, kurios yra arčiau neutraliosios ašies, kur takumo riba dar nepasiekta, įtempimas didėja, todėl didėja ir lenkimo momentas, kurį skerspjūvis gali perimti.
Jei žinomas tikslus įtempių ir deformacijų diagramų eiga, procesą dvigubai simetriškiems skerspjūviams (aukščio h) galima lengvai skaičiškai sekti taip, kad, darant prielaidą, jog skerspjūviai lieka plokšti, iš įtempių ir deformacijų diagramos nustatomas lenkimo sukeltas įtempių pasiskirstymas σ, atitinkantis tam tikrą priimtą kraštinių pluoštų pailgėjimą ε__r, ir iš jo integruojant nustatomas lenkimo momentas. Jei tai atliekama skirtingoms ε__r ir, kita vertus, apskaičiuojamas atitinkamas įlinkio linijos kreivumas w’’ = 2 ε__r / h, gaunama taškų aibė, per kurią galima nubrėžti liniją, kuri pateikia ryšį tarp lenkimo momento ir kreivumo M = M(w’’); šis ryšys nebėra linijinis, o kai jis žinomas, grafiniu integravimu galima nustatyti įlinkio liniją, atitinkančią duotą momentų pasiskirstymą. Jei skerspjūvis nesimetriškas, skaičiavimas tampa sudėtingesnis tiek, kad kiekvienam ε__r dar reikia nustatyti ir neutraliosios ašies padėtį.
Pav. 8
Skaičiavimas tam tikru mastu supaprastėja, jei be skerspjūvio simetrijos dar daroma ir supaprastinta įtempių bei deformacijų priklausomybė pagal pav. 8. Tuomet po takumo ribos viršijimo dėl lenkimo atsiradusių įtempių pasiskirstymas yra toks, kaip parodyta pav. 9, o lenkimo momentas yra:
todėl įlinkio linijos kreivumas gaunamas, kai lygtis (2) taikoma skerspjūvio daliai, kurios įtempiai elastingoje srityje yra w’’ = σf / Ez’. Jei kiekvienam pasirinktam z’ žinomas skerspjūvio pavidalas, integralus galima apskaičiuoti. Pvz., paprasčiausiu atveju stačiakampio skerspjūvio, kurio plotis b ir aukštis h, yra
Jei čia z’ išreiškiamas per w’’, gaunama
I-skerspjūvių ir jiems panašių atveju M-w’’ kreivės eiga plastinėje srityje dar labiau išsilygina, ir momentas, kuriame prasideda tekėjimas, tada praktiškai yra lygus didžiausiam lenkimo momentui, kurį skerspjūvis apskritai gali atlaikyti. Dėl to plastinio lenkimo reikšmė statyboje slypi ne tame, kad padidinamas lenkimo momentas, kurį skerspjūvis gali nešti, o tame, kad didelė vietinė deformacija, atsirandanti ties takumo riba, gali lemti palankų jėgų pasiskirstymo pokytį statiškai neapibrėžtose sistemose.
Pav. 9
Tai galima paaiškinti nuolatinės sijos per du tarpatramius pavyzdžiu. Tarkime, sija (pav. 10) turi vienodo ilgio tarpatramius, pastovų skerspjūvį ir yra apkrauta tolygiai paskirstyta apkrova. Tada prieš pasiekiant takumo ribą atramoje esantis momentas MB = _pl_2/8. Jei apkrova p padidinama tiek, kad atraminiame skerspjūvyje momentas pasiekia reikšmę Mf, kurioje prasideda takumas, toliau didinant apkrovą toje vietoje kreivumas didės beveik nedidėjant momentui. Susidaro vadinamasis plastinis šarnyras, t. y. sija papildomos apkrovos veikiama elgiasi taip, tarsi virš vidurinės atramos būtų šarnyras. Apkrovą galima toliau didinti, kol ir didžiausio momento vietoje tarpatramyje neprasideda takumas. Toliau didinti lenkimo momento jau neįmanoma ir sijos laikomoji galia išnaudota. Apkrova, kuriai esant susidaro ši būsena, vadinama ribine apkrova.
Pav. 10
Apskritai galima tikėtis, kad vienoje n kartų statiškai neapibrėžtoje sistemoje turės susidaryti (n+1) plastiškų šarnyrų, kol sistema taps judri ir taip pasieks savo laikomosios galios ribą. Tačiau ši taisyklė turi išimčių abiem kryptimis. Kaip rodo pateiktas pavyzdys, laikomosios galios riboje vienu metu gali atsirasti du nauji plastiški šarnyrai (abiejuose tarpatramiuose), todėl iki tol dar nejudi sistema staiga pereina į sistemą su dviem laisvės laipsniais. Kita vertus, galima ir su mažiau nei (n+1) plastiškų šarnyrų lokaliai išnaudoti laikomąją galią, pvz., kai ištisinėje sijoje pasiduoda tik vienas tarpatramis. Pav. 11 rodo, kaip tai gali įvykti vienoje statiškai du kartus neapibrėžtoje sistemoje su n=2 plastiškais šarnyrais. Jei dešinėje sijos pusėje dar pridedamas ketvirtasis tarpatramis, sija tampa tris kartus statiškai neapibrėžta, todėl pakanka (n-1) plastiškų šarnyrų, kad būtų pasiekta tik kairiojo tarpatramio laikomosios galios riba.
Pav. 11
Kirpimo įtempiai lenkiant
Elementarus skaičiavimas
pav. 12
Normalieji įtempiai σ, t. y. įtempiai, kurie iš tikrųjų atsiranda dėl lenkimo, nėra vieninteliai įtempiai lenktame strype; be jų, dėl skersinės jėgos poveikio atsiranda ir kirpimo įtempiai. Kadangi pagrindinis techninės lenkimo teorijos bruožas yra tas, jog nepaisoma deformacijų dėl kirpimo įtempių, juos galima nustatyti tik iš pusiausvyros sąlygų. Kad tai būtų suformuluota, sijos elementas dx yra, kaip nurodyta pav. 12, horizontalia plokštuma padalijamas į dvi dalis, ir nustatoma horizontaliųjų jėgų, veikiančių apatinę dalį, pusiausvyros sąlyga. Kairėje pusėje tai yra vidinės jėgos, išreikštos dėl lenkimo atsirandančiais įtempiais σ, kuriuos reikia integruoti nuo z’ = z iki z’ = h2
Dešinėje pusėje veikia tie patys įtempiai, tik padidinti diferencialu pagal atitinkamą lenkimo momentą M + dM. Jėgų skirtumas abiejose elemento pusėse turi būti pusiausvyroje su jėga, atsirandančia dėl kirpimo įtempių τ, veikiančių horizontalioje skerspjūvio plokštumoje t dx:
Čia integralas reiškia statinį skerspjūvio dalies, išskirtos horizontalia skersine plokštuma, momentą centro ašies atžvilgiu. Jis žymimas S. Iš sąlygos dM/dx = Q pagal pusiausvyros sąlygą gaunama:
τ = QS/It. (8)
Tai pagal šlyties įtempių konjuguotumo teiginį kartu yra vertikalaus šlyties įtempio, veikiančio skerspjūvio plokštumoje, dydis, kuris kartu su S ir t yra z funkcija.
pav. 13
Pav. 13.1
Lygtis (8) pateikia patikimus duomenis visiems plonasieniams skerspjūviams, jeigu skerspjūvio plokštuma statoma ne lygiagrečiai neutraliajai ašiai, o sienelės storio kryptimi. Todėl I profilis kertamas skersai per sienelę ir skersai per flanšą, taip gaunamas įtempių pasiskirstymas, parodytas pav. 13.1. Žiediniame skerspjūvyje (pav. 13) kirpimo įtempiai pasiskirstę simetriškai vertikalaus skersmens atžvilgiu ir kairėje bei dešinėje neutraliosios linijos pasiekia maksimumą
τ = Q / πrt.
Jei skerspjūvis perpjautas aukščiausioje arba žemiausioje vietoje, šlyties įtempių pasiskirstymas nesikeičia; tačiau jei jis perpjautas dešiniajame horizontaliojo skersmens gale (pav. 14), šlyties įtempis toje vietoje lygus nuliui, o kairiajame to paties skersmens gale jo reikšmė padvigubėja.
Pav. 14
Pilnieji skerspjūviai
Pilnų bet kokios formos skerspjūvių atveju šlyties įtempių problema glaudžiai susijusi su sukimo problema. Elementarioji lygtis (8) tokiu atveju nebėra patikima. Apskritam skerspjūviui, kurio spindulys r, lygtis (8) duoda
τ = 4Q / 3__πr2
kaip vidutinę šlyties įtempio reikšmę išilgai neutraliosios ašies, o tiksli reikšmė yra tik keliais procentais didesnė.
Šlyties centras
Jei U skerspjūviui kirpimo įtempiai apskaičiuojami pirmiau aprašytu būdu, gaunamas įtempių pasiskirstymas, pavaizduotas pav. 15. Atitinkamų vidinių jėgų rezultantė yra skersinė jėga Q. Iš paveikslo matyti jos padėtis skerspjūvio atžvilgiu, taigi ji nei eina per skerspjūvio sunkio centrą, nei guli briaunos plokštumoje. Jei išorinių jėgų pagrindu apskaičiuota skersinė jėga neturi pav. 15 pavaizduotos padėties, laikiklis apkraunamas ne tik lenkimu, bet ir sukimu.
Jei tam pačiam skerspjūviui nustatoma rezultantė, atitinkanti šlyties įtempius esant tam tikrai horizontaliajai apkrovai, gaunama horizontalios skersinės jėgos veikimo linija. Šių dviejų veikimo linijų sankirtoje yra būdingas to skerspjūvio taškas, vadinamas šlyties centru M. Laikančiojoje konstrukcijoje dėl torsijos įtempiai neatsiranda, kai visų skerspjūvių šlyties centrai yra vienoje tiesėje, o visos apkrovos, statmenos strypo ašiai, eina per tą tiesę. Priešingu atveju kiekvienos apkrovos momentas tos tiesės, jungiančios šlyties centrus, atžvilgiu reiškia sukamąjį šlydį.
Pav. 15
Transversalinės jėgos poveikis lenkimui
Techninė lenkimo teorija grindžiama deformacijų dėl šlyties įtempių nepaisymu. Todėl ji iš tikrųjų gali būti taikoma tik ploniems strypams, kuriuose šis nepaisymas yra pagrįstas ir kur skersinė jėga neturi juntamos įtakos lenkimui.
Tačiau patirtis parodė, kad techninė lenkimo teorija su tam tikra sėkme gali būti taikoma ir trumpoms, aukštoms laikančiosioms konstrukcijoms, kurioms ji iš tikrųjų apskritai nėra skirta. Tada iškyla poreikis į deformacijos dėl šlyties įtempių poveikį, kuris šioje teorijoje yra apleistas, bent apytikriai įtraukti į vėlesnius skaičiavimus.
Taip pat kaip ir šlyties įtempiai τ dėl skersinių jėgų, atitinkami slydimai γ_’ =_ τ_/G_ pasiskirstę netolygiai skerspjūvyje. Dėl to įvedama jų vidutinė vertė γ, kuri nustatoma taip, kad skersinė jėga, esant šiai vidutinei deformacijos vertei, sijos elemento dx atžvilgiu atlieka deformacijos darbą, lygų tam, kuris būtų gautas integruojant šlyties įtempių darbus atskiruose tūrio elementuose, sudarančiuose nagrinėjamą sijos elementą:
iš kur yra
Integralą galima apskaičiuoti, kai žinomas šlyties įtempių pasiskirstymas skerspjūvyje. Kadangi visi šlyties įtempiai yra proporcingi Q/F, tai jo vertė yra proporcinga Q2/F2 * F, todėl laikant, kad ji yra κ__Q2/F, gaunama
γ = κ__Q / GF.
Konstanta κ vadinama šlyties įtempių pasiskirstymo koeficientu. Stačiakampiams skerspjūviams κ=1,2.
pav. 16
Kai žinomas koef. κ, ir tuo pačiu vidutinis slydimas γ, galima apskaičiuoti papildomą įlinkį wQ, atsiradusį veikiant skersinėms jėgoms, kurį reikia pridėti prie įlinkių w: nes pagal pav. 16 yra
taigi dėl Q = dM/dx:
o integravimo konstanta gaunama iš vienos ribinės sąlygos.