Egyenes rudak és kis görbületű rudak normálfeszültségei
A metszőerők meghatározása
Tegyük fel, hogy egy egyenes rúdra tetszőleges irányú erők hatnak, amelyekről csupán azt tételezzük fel, hogy mind egy síkban fekszenek (erősík), amely áthalad a rúd tengelyén (a keresztmetszetek súlypontjait összekötő egyenes).
Ábra 1
Ahhoz, hogy kiszámítsuk az n – n keresztmetszetben (ábr. 1) fellépő feszültségeket, ismerni kell azt az erőt, amely ezen a keresztmetszeten át az egyik rúdrészről a másikra adódik át. Ez nagyságában és helyzetében nyilvánvalóan egyenlő az adott rúdrészt terhelő valamennyi erő eredőjével. Ezt az eredőt az olyan koordináta-rendszerben bontjuk fel összetevőkre, amelynek x-tengelye egybeesik a rúd tengelyével, z-tengelye pedig azzal a vonallal, amely mentén a keresztmetszet síkja metszi az erők síkját. A z tengely irányú összetevőt transzverzális erőnek Q vagy Qz-nek nevezzük, és egyszerű gerendánál pozitívnak tekintjük, ha a metszettől balra felfelé, jobbra lefelé mutat.
Ha a rúd görbült, az x és z koordinátatengelyek minden keresztmetszetben más irányúak, mégpedig úgy, hogy az x-tengely a rúd tengelyének érintője. Ha a rúd tengelyét tartalmazó sík nem esik egybe az erősíkkal, vagy ha a rúd tengelye térbeli görbe, akkor a keresztmetszet bal oldalán ható erők eredőjének egy harmadik összetevője is van, a keresztirányú Qy erő. Az N, Qz és Qy erőkkel meghatározott a keresztmetszeten átvitt erő nagysága és iránya, de nem annak helye. Ehhez az is szükséges, hogy az erő nyomatékai is ismertek legyenek a koordinátatengelyekhez viszonyítva. Síkbeli hajlítás esetén elegendő a hajlítónyomaték M vagy My ismerete. A legáltalánosabb esetben még egy Mz hajlítónyomaték és az x-tengely körüli Mx nyomaték is megjelenik.
Az előzőekben meghatározott hat erőt és nyomatékot összefoglaló néven „metszeti erők”-nek nevezzük. Meghatározásuk az építményszerkezetek statikájának egyik alapvető feladata.
Az egyenletesen megoszló p terhelés (dimenziója: erő egységnyi hosszra), a Q transzverzális erő és a M hajlítónyomaték között síkhajlítás esetén egyszerű összefüggés áll fenn. Nevezetesen, egy rúd elemének egyensúlyi feltételeiből (ábra 2) adódik
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
ezért
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
ábra. 2
A normálfeszültségek eloszlása
Ha a rúdra csak axiális erő hat, a keresztmetszetben csak egyenletesen eloszló normálfeszültség σ jelenik meg (húzott, ill. nyomott rúd). Ha ehhez hajlítónyomaték is társul, ezeket a feszültségeket valamilyen módon egyenetlenül kell elosztani úgy, hogy eredőjük többé ne haladjon át a keresztmetszet súlypontján. Ennek az eloszlásnak a meghatározásához a műszaki hajlításelmélet nem a kiinduló egyenletek szigorú megoldásából indul ki, hanem ezek egy részét egy plauzibilis feltevéssel helyettesíti, amely egy különösen egyszerű esetben egyúttal szigorúan is teljesül. Ez a speciális eset az egyenes vonalú, prizmatikus rúd hajlítása keresztirányú erők hatása nélkül (ábra 3). A rúd minden, a végeitől kellően távol eső eleme ugyanazt a deformációt szenvedi, ebből közvetlenül következik, hogy a rúd tengelye körívvé alakul, és hogy mindazok a keresztmetszeti síkok, amelyek eredetileg merőlegesek voltak a rúd tengelyére, a deformáció során síkok maradnak, mivel mindegyikük a deformált rúd szomszédos részeinek szimmetriasíkja. Természetesnek tűnik az a feltevés, hogy a keresztmetszetek akkor is közel síkak maradnak, amikor a hajlítónyomaték és a rúd keresztmetszete nem állandó, hanem a rúd mentén fokozatosan változik. Ezt a feltevést, amelyet Navier-hipotézisnek neveznek, a hajlításelmélet alapjának tekintik.
Ábra 3
A normálfeszültségek nagysága
Amikor a gerenda egyenes eleme meghajlik, annak „szálainak”, vagyis a rúd tengelyével párhuzamos anyagi vonalainak egy része megnyúlik, míg a másik része megrövidül (l. 4). E két rész között helyezkednek el a semleges szálak z=0, amelyek hossza hajlításkor nem változik. Legyen e szálak görbületi sugara hajlított állapotban ϱ, és tegyük fel, hogy az x-z síkban fekszik. A 4 m ábráról leolvasható
Δ dx/z = _dx/_ϱ
és ebből kiszámított rostnyúlás a semleges tengelytől z távolságban, amely
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
tehát Hooke-törvénye alapján a feszültség
σ _= Ez/_ϱ (2)
Ábra 4
Ez a feszültség arányos a semleges szálaktól mért távolsággal. Ilyen eredmény azon a feltételezésen alapul, hogy alakváltozás előtt a rúd elemi szálai egyforma hosszúak voltak, tehát a rúd eredetileg egyenes volt, vagy legalább olyan csekély görbületű, hogy a görbület hatása elhanyagolható. A semleges réteg és a metszősík metszésvonala a semleges tengely. Ezt vesszük fel y-tengelynek (5 ábr.). A semleges tengely helyzete a keresztmetszetben az x-tengely irányú erőegyensúly feltételéből adódik: ha a normálerő N=0 (hajlítás normálerő nélkül), akkor a keresztmetszetben a normálfeszültségekkel kifejezett belső erők eredőjének is nullának kell lennie:
A jobb oldalon szereplő integrál a felület statikai nyomatéka a y-tengelyre vonatkoztatva. Ahhoz, hogy nulla legyen, ennek a tengelynek a súlyponti tengelyek egyikének kell lennie.
Az M nyomaték, amely a deformációt okozza, a metszet síkjában a y és z tengelyekre vonatkoztatva az alábbi komponensekkel rendelkezik (ábr. 5):
Egyenl. (3)
melyeknél Iy, Iyz a keresztmetszetnek a megjelölt tengelyekre vonatkozó egyenlítői és centrifugális tehetetlenségi nyomatéka.
A legfontosabb speciális eset az, amikor Mz=0. Ez az eset akkor következik be, amikor Iyz=0, vagyis amikor a y és z a keresztmetszet fő tehetetlenségi tengelyei. Ez azt jelenti, hogy az itt felvett hajlítási sík, amely egybeesik az x-z-síkkal, egybeesik azzal a síkkal is, amelyben a M=My hajlítónyomaték hat, vagyis az erők síkjával.
Ábra 5
Ha az (2) és (3) egyenletekből kiküszöböljük az _E/_ϱ mennyiséget, megkapjuk az egyenletes hajlításnál fellépő feszültség meghatározására szolgáló alakot (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
a 1 és 2 sarokpontok esetében különösen:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
A W1,2 = I/h1,2 (dimenzió: hossz a harmadik hatványon) mennyiségeket ellenállási nyomatékoknak nevezzük. Ha a vízszintes súlyponti tengely egyben a keresztmetszet szimmetriatengelye is, akkor W1 = W2, ezért a szélsőszálfeszültségek abszolút értéke egyenlő.
Rugalmas vonal
ábra. 6
A fenti alakzatok jelentősége a Hooke-törvényhez kapcsolódik. Ez megköveteli, hogy σ << E, tehát a (2) szerint h << ϱ. A hajlítás azonban lehet annyira nagy, hogy ϱ ugyanolyan nagyságrendű legyen, mint a rúd l hossza. Az építésben szóba jövő hajlított rudaknál ez az eset nem fordul elő; ϱ mindig jóval nagyobb, mint l, és ennek megfelelően a lehajlás w << l (6 ábra). Ekkor közelítőleg érvényes:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
és a (3):
w’’ = - M/EI.
Ez az egyenlet és az egyensúlyi feltétel (1b) a meghajlított rúd differenciálegyenlet-rendszerét alkotja. Eliminálással ezek egyetlen negyedrendű egyenletre vezethetők vissza:
wIV = + p/EI
vagy, ha a tehetetlenségi nyomaték változó:
(EIw’’)’’ = +p.
Integrálással meghatározható belőlük az elasztikus vonal alakja, ha adott a p=p(x) terhelés, és minden rúdfajtára két peremfeltétel ismert. Ezek közül legalább kettőnek a deformációra kell vonatkoznia. Részletekért lásd a Szerkezetek statikája című cikket.
Keresztmetszeti mag
Ha a semleges tengely metszi a keresztmetszetet, azt húzási és nyomási zónára osztja. Kis húzószilárdságú anyagoknál felmerül a kérdés, hová essen a nyomóerő, ha a keresztmetszetben sehol sem szabad húzásnak fellépnie. Az erő támadáspontjának helye ekkor az úgynevezett keresztmetszeti magra korlátozódik. A mag határa nyilvánvalóan azon pontok mértani helye, amelyeknek semleges tengelyei a keresztmetszetet kerület mentén érintik. Ezzel egyben a szerkesztése is meg van adva.
A magtér határának a súlyponttól mért távolságát bármely irányban az adott iránynak megfelelő k indexszel jelöljük. A fő tehetetlenségi tengelyekre az egyenlet szerint
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
A kifejezések a következők:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Kör keresztmetszetű, r sugarú szelvénynél a mag távolsága k = r/4, körgyűrűnél (külső sugár: R, belső sugár: r) pedig k = (R2 + r2) / 4R.
A téglalapra (ábr. 7) ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Tehát a téglalap keresztmetszetének terhelésénél az egyik szimmetriasíkban (de csak ekkor) elegendő, ha az eredő a keresztmetszet magasságának vagy szélességének középső harmadában hat, és a keresztmetszetben a feszültségek azonos előjelűek lesznek.
Áb. 7
Plasztikus tartományban történő hajlítás
Amikor a hajlított rúd szélső szálaiban eléri a folyáshatárt, a teherbírása még ezzel nincs kimerítve, mert miközben a külső szálak állandó feszültség mellett képlékenyen alakváltoznak, a semleges tengelyhez közelebb fekvő részekben, ahol a folyáshatár még nincs elérve, a feszültség növekszik, és ezzel nő az a hajlítónyomaték is, amelyet a keresztmetszet fel tud venni.
Ha az alakváltozási és feszültségdiagram pontos menete ismert, a folyamat kétszeresen szimmetrikus keresztmetszeteknél (h magassággal) könnyen számításosan követhető úgy, hogy a keresztmetszetek síknak maradása mellett az alakváltozási és feszültségdiagram alapján meghatározzuk a hajlításból származó σ feszültségeloszlást, amely valamely elfogadott szélső szál alakváltozásnak ε__r felel meg, és ebből integrálással meghatározzuk a hajlítónyomatékot. Ha ezt különböző ε__r értékekre elvégezzük, és másrészt kiszámítjuk a lehajlási görbe megfelelő görbületét w’’ = 2 ε__r / h, pontsorozatot kapunk, amelyen át olyan görbe húzható, amely megadja a hajlítónyomaték és a görbület közötti kapcsolatot M = M(w’’); ez a kapcsolat már nem lineáris, és ha ismert, grafikus integrálással meghatározható a megadott nyomatékeloszláshoz tartozó lehajlási görbe. Ha a keresztmetszet nem szimmetrikus, a számítás bonyolultabbá válik, mivel minden ε__r esetén a semleges tengely helyzetét is meg kell határozni.
Ábr. 8
A számítás bizonyos mértékig egyszerűsödik, ha a keresztmetszet szimmetriáján kívül a feszültségek és alakváltozások közötti leegyszerűsített kapcsolatot is feltételezzük a 8. ábra szerint. Ekkor a folyáshatár túllépése utáni hajlítási feszültségek a 9. ábrán bemutatott eloszlást követik, és a hajlítónyomaték:
így a lehajlási görbe görbülete úgy adódik, hogy az (2) egyenletet a keresztmetszet azon részére alkalmazzuk, amelynek feszültségei az rugalmas tartományban w’’ = σf / Ez’. Ha az elfogadott z’ értékekhez ismert a keresztmetszet alakja, az integrálok kiszámíthatók. Például a legegyszerűbb, b szélességű és h magasságú téglalap keresztmetszet esetén ez:
Ha itt z’ -et w’’ segítségével fejezzük ki, akkor adódik
I-szelvényeknél és az ezekhez hasonlóknál az M-w’’ görbe lefutása a képlékeny tartományban még laposabb, és az a nyomaték, amelynél a folyás megindul, ekkor gyakorlatilag egyenlő a legnagyobb hajlítónyomatékkal, amelyet a szelvény egyáltalán el tud viselni. Ezért a képlékeny hajlás jelentősége az építőiparban nem abban áll, hogy növeli a szelvény által viselhető hajlítónyomatékot, hanem abban, hogy a folyáshatárnál bekövetkező nagy helyi alakváltozás kedvező változást idézhet elő a statikailag határozatlan rendszerek erőeloszlásában.
Ábr. 9
Ez egy két nyílású folytonos tartó példáján magyarázható. Tegyük fel, hogy a tartó (ábr. 10) azonos hosszúságú mezőkkel, állandó keresztmetszettel rendelkezik, és egyenletes megoszló terhelés éri. Ekkor a folyáshatár elérése előtt a támasz feletti nyomaték MB = _pl_2/8. Ha a p terhelést annyira növeljük, hogy a támaszi keresztmetszetben a nyomaték elérje az Mf értéket, amelynél folyás lép fel, a további terhelésnövelés során ezen a helyen a görbület is növekszik jelentős nyomatéknövekedés nélkül. Az ún. képlékeny csukló alakul ki, vagyis a tartó a pótlólagos terhelés alatt úgy viselkedik, mintha a középső támasz fölött csukló lenne. A terhelés tovább növelhető mindaddig, amíg a mezőben fellépő legnagyobb nyomaték helyén is meg nem indul a folyás. A hajlítónyomaték további növelése már nem lehetséges, és a tartó teherbírása kimerül. Az a teher, amely mellett ez az állapot bekövetkezik, a határterhelés.
ábra. 10
Általában várható, hogy egy n-szeresen statikailag határozatlan rendszerben az (n+1)-edik képlékeny csuklónak kell kialakulnia, mielőtt a rendszer elmozdulhatóvá válik, és ezzel eléri a teherbírási határát. Ennek a szabálynak azonban mindkét irányban vannak kivételei. Ahogy az említett példa is mutatja, a teherbírási határon egyszerre két új képlékeny csukló is megjelenhet (mindkét mezőben), így az addig még elmozdíthatatlan rendszer hirtelen két szabadságfokú rendszerré válik. Másrészt lehetséges, hogy már kevesebb mint (n+1) képlékeny csuklóval is helyileg kimerül a teherbírás, például amikor folytonos tartónál csak egy mező adja meg magát. A 11 ábra megmutatja, miként következhet ez be egy statikailag kétszeresen határozatlan rendszerben n=2 képlékeny csuklóval. Ha a tartó jobb oldalához még egy negyedik mezőt is hozzáadunk, a tartó háromszorosan statikailag határozatlanná válik, így (n-1) képlékeny csukló is elegendő ahhoz, hogy csak a bal oldali mező a teherbírási határig jusson.
Ábr. 11
Hajlítási nyírófeszültségek
Elemi számítás
ábra. 12
A normálfeszültségek σ, vagyis azok a feszültségek, amelyek valójában a hajlítás következtében lépnek fel, nem az egyetlen feszültségek a hajlított rúdban, hanem mellettük a keresztirányú erő hatására nyírófeszültségek is keletkeznek. Tekintettel arra, hogy a hajlítás műszaki elméletének alapvető jellemzője az, hogy a nyírófeszültségek okozta alakváltozásokat elhanyagoljuk, ezek csak az egyensúly feltételéből határozhatók meg. Ennek felállításához a gerenda dx elemet, amint az a 12 ábrán látható, vízszintes síkkal két részre vágjuk, majd felírjuk az alsó részre ható vízszintes erők egyensúlyi feltételét. A bal oldalon ezek a hajlításból származó σ feszültségekkel kifejezett belső erők, amelyeket integrálni kell z’ = z-től z’ = h2-ig
A jobb oldalon ugyanazok a feszültségek hatnak, de az eltérő értékkel növelve az adott hajlítónyomatéknak megfelelően M + dM. Az elem két oldalán ható erők különbségének egyensúlyban kell lennie a vízszintes metszeti felületen t dx ható τ nyírófeszültségek okozta erővel:
Itt az integrál a keresztmetszet vízszintes metszősíkkal leválasztott részének statikai nyomatékát jelenti a keresztmetszet súlyponti tengelyére vonatkoztatva. Ezt S-sel jelöljük. Az dM/dx = Q egyensúlyi feltételből adódik:
τ = QS/It. (8)
Ez a nyírófeszültségek konjugáltságára vonatkozó tétel szerint egyben a keresztmetszet felületében ható függőleges nyírófeszültség nagysága is, amely S-sel és t-vel együtt z függvénye.
ábra. 13
Ábra 13.1
Az egyenlet (8) megbízható adatokat szolgáltat minden vékonyfalú keresztmetszet esetén, ha a metszősíkot nem a semleges tengellyel párhuzamosan, hanem a falvastagság irányában helyezzük el. Ennek megfelelően az I-szelvényt a gerincen és a peremen keresztben vágják, aminek eredményeként a feszültségeloszlás a á. 13.1 szerint alakul. Gyűrű keresztmetszetnél (á. 13) a nyírófeszültségek szimmetrikusan helyezkednek el a függőleges átmérőhöz viszonyítva, és balra és jobbra a semleges vonalon érik el a maximumot
τ = Q / πrt.
Ha a keresztmetszetet a legfelső vagy a legalacsonyabb helyen vágják át, a nyírófeszültségek eloszlása nem változik; ha azonban a vízszintes átmérő jobb végén vágják át (ábra 14), az ottani nyírófeszültség zérus, míg ugyanazon átmérő bal végén az értéke megduplázódik.
Ábra 14
Tömör keresztmetszetek
Tömör, tetszőleges alakú keresztmetszetek esetén a nyírófeszültségek problémája szorosan kapcsolódik a torzió kérdéséhez. Az elemi egyenlet (8) ebben az esetben már nem megbízható. Kör keresztmetszetnél, r sugárral, az egyenlet (8) adja
τ = 4Q / 3__πr2
mint a nyírófeszültség közepes értékét a semleges tengely mentén, a pontos érték pedig csak néhány százalékkal nagyobb.
Nyírási középpont
Ha az U-metszetre a fent leírt módon számítjuk ki a nyírófeszültségeket, akkor az ábrán 15 bemutatott feszültségeloszlást kapjuk. A megfelelő belső erők eredője a keresztirányú erő Q. Az ábrából látható a helyzete a keresztmetszethez képest, vagyis hogy sem a keresztmetszet súlypontján nem halad át, sem a borda síkjában nem fekszik. Ha a külső erők alapján számított keresztirányú erő nem az ábrán 15 bemutatott helyzetben van, akkor a tartó nemcsak hajlításra, hanem csavarásra is terhelt.
Ha ugyanerre a keresztmetszetre egy vízszintes terheléshez tartozó nyírófeszültségek eredőjét határozzuk meg, megkapjuk a vízszintes keresztirányú erő támadási vonalát. E két támadási vonal metszéspontjában található az adott keresztmetszetre jellemző pont, amelyet nyírási középpontnak M. nevezünk. A tartóban nem keletkeznek torziós feszültségek, ha az összes keresztmetszet nyírási középpontja egy egyenesre esik, és az összes, a rúd tengelyére merőleges teher ezen az egyenesen halad át. Ellenkező esetben minden teher nyomatéka a nyírási középpontokat összekötő egyeneshez viszonyítva torziós nyírást jelent.
ábra. 15
A keresztirányú erő hatása a hajlításra
A hajlítás technikai elmélete a nyírófeszültségek okozta alakváltozások elhanyagolásán alapul. Ennek megfelelően valójában csak karcsú rudakra alkalmazható, ahol ez az elhanyagolás indokolt, és ahol a keresztirányú erőnek nincs számottevő hatása a hajlításra.
A tapasztalat azonban azt mutatta, hogy a műszaki hajlítási elmélet bizonyos sikerrel rövid, magas tartókra is alkalmazható, holott valójában egyáltalán nem ezekre készült. Ekkor felmerül annak szükségessége, hogy a nyírófeszültségek okozta alakváltozás hatását, amelyet ebben az elméletben elhanyagolnak, legalább közelítőleg utólag figyelembe vegyük.
Ugyanúgy, ahogyan a transzverzális erők okozta nyírófeszültségek τ és a hozzájuk tartozó csúszások γ_’ =_ τ_/G_ is egyenetlenül oszlanak el a keresztmetszetben. Ezért bevezetik ezek középértékét, γ-t, amelyet úgy határoznak meg, hogy e közepes alakváltozási érték mellett a transzverzális erő a dx gerendaelemen olyan alakváltozási munkát végezzen, amely megegyezik azzal, amelyet a gerenda vizsgált elemét alkotó egyes térfogati elemek nyírófeszültségei munkájának integrálásával kapnánk:
ahonnan
Az integrál kiszámítható, ha ismert a nyírófeszültségek eloszlása a keresztmetszetben. Mivel valamennyi nyírófeszültség arányos Q/F-fel, ezért az értéke arányos Q2/F2 * F-fel, és ha ezt κ__Q2/F-nek vesszük, akkor kapjuk
γ = κ__Q / GF.
A κ állandót a nyírófeszültségek eloszlási együtthatójának nevezzük. Téglalap keresztmetszetekre κ=1,2.
ábra. 16
Ha a κ együttható ismert, és így az átlagos csúszás γ is, kiszámítható a keresztirányú erők hatására keletkező kiegészítő lehajlás wQ, amelyet hozzá kell adni a w lehajlásokhoz: mert a 16 ábra szerint ez
ezért a Q = dM/dx miatt:
amelynek során az интегrációs állandó egy peremfeltételből adódik.