सरल मोड़ और सामान्य बल के साथ मोड़

सीधे दंडों तथा हल्की वक्रता वाले दंडों में सामान्य तनाव

प्रसेक बलों की परिभाषा

मान लें कि एक सीधा छड़ मनमाने दिशाओं की बलों से भारित है, जिनके बारे में केवल यह माना जाता है कि वे सभी एक ही समतल (बल-समतल) में स्थित हैं, जो छड़ की धुरी (अनुप्रस्थ काटों के गुरुत्व केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा) से होकर गुजरता है।

क्र.सं.1

किसी अनुप्रस्थ काट n – n (आकृ. 1) में कार्य करने वाले तनावों की गणना के लिए यह जानना आवश्यक है कि इस काट के माध्यम से छड़ के एक भाग से दूसरे भाग में कौन-सा बल संचारित हो रहा है। परिमाण और स्थिति की दृष्टि से यह स्पष्टतः उस भाग पर कार्य करने वाले सभी बलों के परिणामी के बराबर होता है। इस परिणामी को उस निर्देशांक तंत्र में अवयवों में विभाजित किया जाता है, जिसकी x-अक्ष छड़ की धुरी से मेल खाती है, और जिसकी z-अक्ष वह रेखा है जिसके along अनुप्रस्थ काट का समतल बलों के समतल को काटता है। z अक्ष की दिशा में अवयव को अनुप्रस्थ बल Q या Qz कहा जाता है, और साधारण बीम के लिए इसे धनात्मक तब माना जाता है जब काट के बाएँ ओर उसका दिशा ऊपर की ओर और दाएँ ओर नीचे की ओर हो।

जब छड़ मुड़ी हुई हो, तो समन्वय अक्ष x और z प्रत्येक काट में भिन्न दिशा रखते हैं, और यह सदैव ऐसा होता है कि x-अक्ष छड़ की धुरी के प्रति स्पर्शरेखीय होता है। यदि जिस समतल में छड़ की धुरी स्थित है वह बलों के समतल से मेल नहीं खाता, या यदि छड़ की धुरी स्थानिक वक्र हो, तो काट के बाईं ओर बलों के परिणामी में तीसरा घटक भी होता है, अनुप्रस्थ बल Qy। N, Qz और Qy के साथ काट के माध्यम से संचारित होने वाले बल का परिमाण और दिशा निर्धारित हो जाती है, पर उसका स्थान नहीं। इसके लिए उसके क्षणों का समन्वय अक्षों के सापेक्ष ज्ञात होना भी आवश्यक है। समतल वक्रण की स्थिति में केवल वक्रण आघूर्ण M या My का ज्ञात होना पर्याप्त है। सबसे सामान्य स्थिति में एक और वक्रण आघूर्ण Mz तथा x-अक्ष के बारे में आघूर्ण Mx प्रकट होता है।

पिछले विवेचन में परिभाषित छह बलों और आघूर्णों को संयुक्त रूप से „काटीय बल“ कहा जाता है। उनका निर्धारण भवन संरचनाओं की स्थैतिकी के मूल कार्यों में से एक है।

समान रूप से वितरित भार p (आयाम: प्रति इकाई लंबाई बल), अनुप्रस्थ बल Q और झुकाव आघूर्ण M के बीच समतल झुकाव की स्थिति में एक सरल संबंध होता है। अर्थात, एक दंड-तत्व (आकृति 2) के संतुलन की शर्तों से प्राप्त होता है

dQ + p dx = 0,

dM = Q dx;

इसलिए

Q = dM/dx, 

p = - dQ/dx = - d2M/dx2.        (1a, b)

चित्र। 2

सामान्य प्रतिबलों का वितरण

यदि दंड पर केवल अक्षीय बल का भार हो, तो उसके अनुप्रस्थ काट में केवल समान रूप से वितरित सामान्य तनाव σ (तन्य, अर्थात् संपीडित दंड) उत्पन्न होता है। यदि इसके साथ-साथ बंकन आघूर्ण भी उपस्थित हो, तो इन तनावों का किसी प्रकार असमान वितरण होना चाहिए, ताकि उनका परिणामी अब काट के गुरुत्वकेंद्र से होकर न गुज़रे। इस वितरण को निर्धारित करने के लिए, तकनीकी बंकन सिद्धांत मूल समीकरणों के कठोर हल से आरंभ नहीं करता, बल्कि इन समीकरणों के एक भाग को एक युक्तिसंगत मान्यता से प्रतिस्थापित करता है, जो एक विशेष रूप से सरल मामले में साथ-साथ सख्ती से भी संतुष्ट होती है। यह विशेष मामला अनुप्रस्थ बलों के बिना सीधे प्रिज़मैटिक दंड का बंकन है (चित्र 3). दंड के वे सभी भाग जो उसके सिरों से पर्याप्त दूरी पर हैं, समान विकृति अनुभव करते हैं; इससे सीधे निष्कर्ष निकलता है कि दंड की अक्ष रेखा एक वृत्तीय चाप में बदल जाती है और वे सभी अनुप्रस्थ काट-तल, जो प्रारंभ में दंड की अक्ष के लंबवत थे, विकृति के दौरान समतल ही रहते हैं, क्योंकि उनमें से प्रत्येक विकृत दंड के समीपवर्ती भागों के लिए सममिति-तल है। यह स्वाभाविक मान्यता बनती है कि जब बंकन आघूर्ण और दंड का अनुप्रस्थ काट स्थिर न हों, बल्कि दंड के साथ धीरे-धीरे बदलते हों, तब भी अनुप्रस्थ काट लगभग समतल रहते हैं। इस मान्यता को Navier- की परिकल्पना कहा जाता है, और यही बंकन सिद्धांत का आधार है।

क्र.सं.3

सामान्य तनावों का परिमाण

जब किसी बीम के सीधे तत्व को मोड़ा जाता है, तो उसके “तंतुओं” का एक भाग, अर्थात् दंड की धुरी के समानांतर भौतिक रेखाएँ, खिंचती हैं, जबकि दूसरा भाग छोटा हो जाता है (चित्र 4). इन दोनों भागों के बीच तटस्थ तंतु z=0 स्थित होते हैं, जिनकी लंबाई मोड़ने पर नहीं बदलती। मान लें कि मोड़ी हुई अवस्था में इन तंतुओं की वक्रता त्रिज्या ϱ है और वह x-z तल में स्थित है। चित्र 4 m से पढ़ा जा सकता है

Δ dx/z = _dx/_ϱ

और उससे तंतु-विकृति की गणना तटस्थ अक्ष से z दूरी पर की जाती है, जो है

ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ

और इस प्रकार हुक- के नियम_ के आधार पर तनाव

σ _= Ez/_ϱ   (2)

चित्र। 4

यह तनाव तटस्थ रेशों से दूरी के समानुपाती है। ऐसा परिणाम इस धारणा से जुड़ा है कि विकृति से पहले छड़-तत्व के सभी रेशे समान लंबाई के थे, इसलिए छड़ मूलतः सीधी थी, या कम-से-कम इतनी छोटी वक्रता वाली थी कि वक्रता का प्रभाव उपेक्षित किया जा सके। वह रेखा जिसके साथ तटस्थ परत और अनुप्रस्थ काट का तल एक-दूसरे को काटते हैं, तटस्थ अक्ष कहलाती है। हम इसे y-अक्ष मानते हैं (चित्र. 5). अनुप्रस्थ काट में तटस्थ अक्ष की स्थिति x-अक्ष की दिशा में बलों के संतुलन की शर्त से प्राप्त होती है: यदि सामान्य बल N=0 (सामान्य बल के बिना झुकाव) है, तो अनुप्रस्थ काट में सामान्य तनावों के माध्यम से व्यक्त आंतरिक बलों का परिणामी भी शून्य होना चाहिए:

दाईं ओर का समाकलन क्षेत्रफल का y-अक्ष के सापेक्ष स्थैतिक आघूर्ण है। इसे शून्य होने के लिए, यह अक्ष केंद्रीय अक्षों में से एक होना चाहिए।

विकृति उत्पन्न करने वाला आघूर्ण, अनुप्रस्थ काट के तल में y और z अक्षों के सापेक्ष (चित्र 5) निम्नलिखित घटक रखता है:

समी. (3)

जिसमें Iy, Iyz निर्दिष्ट अक्षों के सापेक्ष अनुप्रस्थ काट के समतलीय और अपकेन्द्रीय जड़त्व आघूर्ण हैं।

सबसे महत्वपूर्ण विशेष स्थिति तब होती है जब Mz=0। यह स्थिति तब उत्पन्न होती है जब Iyz=0, अर्थात् जब y और z अनुप्रस्थ काट की प्रमुख जड़त्व-अक्षें हों। इसका अर्थ यह है कि यहाँ अपनाई गई x-z-तल के साथ झुकने की समतलता उस तल से मेल खाती है जिसमें झुकाव आघूर्ण M=My कार्य करता है, अर्थात् बलों के तल से।

क्र.सं.5

यदि समीकरण (2) और (3) से _E/_ϱ को समाप्त किया जाए, तो समतल मोड़ (Iy=I) के लिए तनाव निर्धारित करने का रूप प्राप्त होता है:

σ = M/I * z   (4)

किनारी बिंदुओं 1 और 2 के लिए विशेष रूप से:

σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2.   (5)

मान W1,2 = I/h1,2 (आयाम: लंबाई की घात तीन) को प्रतिरोध आघूर्ण कहा जाता है। यदि क्षैतिज गुरुत्वाकर्षण अक्ष साथ ही अनुप्रस्थ काट का सममिति अक्ष भी हो, तो W1 = W2, इसलिए किनारी तनाव परिमाण में बराबर होते हैं।

प्रत्यास्थ रेखा

चित्र। 6

उपर्युक्त प्रतिरूपों का महत्व हूक के नियम से संबंधित है। इसके लिए आवश्यक है कि σ << E हो, अर्थात (2) के अनुसार h << ϱ। फिर भी मोड़ इतना हो सकता है कि ϱ की कोटि-परिमाण l अर्थात दंड की लंबाई के समान हो। भवन-निर्माण में आने वाले मुड़े हुए दंडों के लिए यह स्थिति उत्पन्न नहीं होती; सदैव ϱ, l से बहुत बड़ा होता है और इसलिए विक्षेप w << l (चित्र 6). तब लगभग यह मान्य है:

1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’

और इसके आधार पर (3):

w’’ = - M/EI.

यह समीकरण और संतुलन की शर्त (1b) मुड़े हुए दंड की अवकल समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं। उन्मूलन द्वारा इन्हें चौथे क्रम के एक समीकरण में घटाया जा सकता है:

wIV = + p/EI

या, यदि जड़त्व आघूर्ण परिवर्तनीय हो:

(EIw’’)’’ = +p.

इनसे समाकलन द्वारा प्रत्यास्थ रेखा का रूप निकाला जा सकता है, जब भार p=p(x) दिया हो और प्रत्येक छड़-स्थिति के लिए दो सीमा शर्तें ज्ञात हों। इनमें से कम-से-कम दो विरूपण से संबंधित होनी चाहिए। अधिक विवरण के लिए भवन संरचनाओं की स्थैतिकी लेख देखें।

अनुप्रस्थ काट का कोर

यदि तटस्थ अक्ष अनुप्रस्थ काट को काटता है, तो वह उसे तनन-क्षेत्र और दाब-क्षेत्र में विभाजित करता है। कम तनन-प्रतिरोध वाले पदार्थों में यह प्रश्न उठता है कि दाब बल कहाँ लगाया जाए, यदि अनुप्रस्थ काट में कहीं भी तनन नहीं होना चाहिए। तब बल के लगने-बिंदु की स्थिति उस क्षेत्र तक सीमित हो जाती है जिसे अनुप्रस्थ काट का केंद्रक कहा जाता है। केंद्रक की सीमा स्पष्टतः उन बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान है, जिनके तटस्थ अक्ष अनुप्रस्थ काट को परिधि के अनुदिश स्पर्श करते हैं। इससे उसका निर्माण भी प्राप्त होता है।

केंद्रक की सीमा की गुरुत्वकेंद्र से दूरी, किसी भी दिशा में मापी गई, को हम उस दिशा के अनुरूप सूचकांक वाले k से निरूपित करेंगे। जड़त्व की मुख्य अक्षों के लिए, समीकरण के अनुसार

σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z  (6)

पद इस प्रकार हैं:

ky = i2z / ey,      kz = i2y / ez.   (7)

वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट, जिसकी त्रिज्या r है, के लिए केन्द्रक दूरी k = r/4 होती है, और वृत्ताकार वलय (त्रिज्याएँ: बाहरी R, आंतरिक r) के लिए k = (R2 + r2) / 4R।

Za pravougaonik (sl. 7) je ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Dakle, pri opterećenju pravougaonog preseka u jednoj od ravni simetrije (ali samo tada) dovoljno je da rezultanta deluje u srednjoj trećini visine ili širine poprečnog preseka, pa da naponi u preseku imaju isti znak.

चित्र। 7

प्लास्टिक क्षेत्र में मोड़

जब मुड़े हुए दंड के किनारीय रेशों में यील्ड सीमा प्राप्त हो जाती है, तब भी उसकी वहन-क्षमता समाप्त नहीं होती, क्योंकि जैसे-जैसे बाहरी रेशे स्थिर तनाव पर प्लास्टिक रूप से विकृत होते हैं, न्यूट्रल अक्ष के अधिक निकट स्थित भागों में, जहाँ यील्ड सीमा अभी प्राप्त नहीं हुई होती, तनाव बढ़ता है, और इस प्रकार उस झुकाव आघूर्ण में भी वृद्धि होती है जिसे अनुप्रस्थ काट वहन कर सकता है।

यदि तनाव और विकृति आरेख का सटीक क्रम ज्ञात हो, तो दोहरे सममित खंडों (ऊँचाई h) के लिए प्रक्रिया को गणनात्मक रूप से इस प्रकार आसानी से अनुगमित किया जा सकता है कि, यह मानते हुए कि खंड समतल बने रहते हैं, तनाव और विकृति आरेख से मोड़ के कारण तनाव-वितरण σ निर्धारित किया जाए, जो अंतिम रेशों की किसी अपनाई गई दीर्घता ε__r से मेल खाता हो, और वहाँ से समाकलन द्वारा मोड़ आघूर्ण निर्धारित किया जाए। यदि यह विभिन्न ε__r के लिए किया जाए और दूसरी ओर विक्षेप रेखा की संगत वक्रता w’’ = 2 ε__r / h की गणना की जाए, तो बिंदुओं की एक शृंखला प्राप्त होती है, जिनसे होकर एक रेखा खींची जा सकती है जो मोड़ आघूर्ण और वक्रता के बीच संबंध देती है M = M(w’’); यह संबंध अब रैखिक नहीं रहता, और जब यह ज्ञात हो जाता है, तो ग्राफ़िक समाकलन द्वारा दिए गए आघूर्ण-वितरण के अनुरूप विक्षेप रेखा निर्धारित की जा सकती है। यदि खंड असममित हो, तो गणना अधिक जटिल हो जाती है, इस हद तक कि प्रत्येक ε__r के लिए तटस्थ अक्ष की स्थिति भी निर्धारित करनी पड़ती है।

क्र.सं. 8

यदि, काट के सममिति के अतिरिक्त, चित्र 8 के अनुसार तनाव और विकृति के बीच सरलीकृत संबंध भी मान लिया जाए, तो गणना कुछ हद तक सरल हो जाती है। तब प्रवाह-सीमा पार करने के बाद मोड़ के कारण उत्पन्न तनाव चित्र 9 में दिखाए गए वितरण के अनुसार होते हैं और मोड़ आघूर्ण है:

और इस प्रकार वक्रता-रेखा का वक्र तब प्राप्त होता है जब समीकरण (2) को अनुप्रस्थ काट के उस भाग पर लागू किया जाता है जिसके तनाव प्रत्यास्थ क्षेत्र में w’’ = σf / Ez’ हैं। यदि हर स्वीकार किए गए z’ के लिए अनुप्रस्थ काट का आकार ज्ञात हो, तो समाकलनों की गणना की जा सकती है। उदाहरण के लिए, सबसे सरल स्थिति में, b चौड़ाई और h ऊँचाई वाले आयताकार अनुप्रस्थ काट के लिए यह है

यदि यहाँ z’ को w’’, के माध्यम से व्यक्त किया जाए, तो प्राप्त होता है

I-सेक्शन और उनसे मिलते-जुलते सेक्शनों में, प्लास्टिक क्षेत्र में M-w’’ वक्र का मार्ग और अधिक समतल होता है, और जिस मोड़ क्षण पर यील्डिंग शुरू होती है, वह तब व्यावहारिक रूप से उस अधिकतम झुकने वाले क्षण के बराबर होता है जिसे सेक्शन वास्तव में सहन कर सकता है। इसलिए निर्माण कार्य में प्लास्टिक मोड़ का महत्व सेक्शन द्वारा वहन किए जा सकने वाले झुकने वाले क्षण को बढ़ाने में नहीं, बल्कि इस तथ्य में है कि यील्ड सीमा पर उत्पन्न होने वाला बड़ा स्थानीय विरूपण स्थिर-अनिश्चित प्रणालियों में बल-वितरण के अनुकूल परिवर्तन का कारण बन सकता है।

चित्र। 9

इसे दो स्पैन वाले सतत् बीम के उदाहरण से समझाया जा सकता है। मान लें कि बीम (आकृ. 10) के स्पैन समान लंबाई के हैं, अनुप्रस्थ काट समान है और उस पर समवितरित भार लगा है। तब यील्ड सीमा तक पहुँचने से पहले समर्थन पर आघूर्ण MB = _pl_2/8 होता है। यदि भार p इतना बढ़ा दिया जाए कि समर्थन-अनुप्रस्थ काट में आघूर्ण Mf के मान तक पहुँच जाए, जिस पर यील्डिंग शुरू होती है, तो आगे भार बढ़ाने पर उसी स्थान पर आघूर्ण में उल्लेखनीय वृद्धि के बिना वक्रता भी बढ़ती जाती है। तथाकथित प्लास्टिक हिंज बन जाता है, अर्थात् अतिरिक्त भार के अधीन बीम ऐसे व्यवहार करती है जैसे मध्य समर्थन के ऊपर एक हिंज हो। भार को आगे बढ़ाया जा सकता है, जब तक कि स्पैन में अधिकतम आघूर्ण वाले स्थान पर भी यील्डिंग शुरू न हो जाए। इसके बाद झुकने वाले आघूर्ण में वृद्धि संभव नहीं रहती और बीम की वहन क्षमता समाप्त हो जाती है। जिस भार पर यह अवस्था उत्पन्न होती है उसे सीमा भार कहा जाता है।

चित्र। 10

सामान्यतः यह अपेक्षा की जा सकती है कि n बार स्थैतिक रूप से अनिश्चित किसी तंत्र में (n+1) प्लास्टिक जोड़ उत्पन्न होने चाहिए, इससे पहले कि तंत्र गतिशील हो जाए और इस प्रकार अपनी वहन-सीमा तक पहुँच जाए। तथापि, इस नियम के दोनों ओर अपवाद हैं। जैसा कि दिए गए उदाहरण से पता चलता है, वहन-सीमा पर एक साथ दो नए प्लास्टिक जोड़ (दोनों क्षेत्रों में) उत्पन्न हो सकते हैं, जिससे तब तक अचल तंत्र अचानक दो स्वतंत्रता-डिग्रियों वाले तंत्र में बदल जाता है। दूसरी ओर यह भी संभव है कि (n+1) से कम प्लास्टिक जोड़ होने पर भी वहन-क्षमता स्थानीय रूप से समाप्त हो जाए, उदाहरण के लिए जब सतत गर्डर में केवल एक ही क्षेत्र विफल हो जाए। आकृति 11 दिखाती है कि यह n=2 प्लास्टिक जोड़ वाले एक स्थैतिक रूप से द्विगुण अनिश्चित तंत्र में कैसे हो सकता है। यदि गर्डर के दाईं ओर एक चौथा क्षेत्र भी जोड़ दिया जाए, तो गर्डर त्रिगुण स्थैतिक रूप से अनिश्चित हो जाता है, इसलिए केवल बाएँ क्षेत्र को वहन-सीमा तक पहुँचाने के लिए (n-1) प्लास्टिक जोड़ पर्याप्त हैं।

क्र.सं.11

कतरनी तनाव और झुकाव

आधारभूत गणना

चित्र। 12

सामान्य तनाव σ, अर्थात वे तनाव जो वास्तव में मोड़ के कारण उत्पन्न होते हैं, मुड़े हुए दंड में एकमात्र तनाव नहीं हैं; इनके साथ पार्श्व बल के प्रभाव से कर्तन तनाव भी उत्पन्न होते हैं। चूँकि मोड़ के तकनीकी सिद्धांत की मूल विशेषता यह है कि कर्तन तनावों से होने वाले विकृतियों की उपेक्षा की जाती है, इसलिए इन्हें केवल संतुलन की शर्त से ही निर्धारित किया जा सकता है। इसे स्थापित करने के लिए, बीम के तत्व dx को, जैसा कि चित्र 12 में दिखाया गया है, एक क्षैतिज समतल द्वारा दो भागों में काटा जाता है, और फिर निचले भाग पर कार्य करने वाले क्षैतिज बलों के संतुलन की शर्त लगाई जाती है। बाईं ओर वे आंतरिक बल हैं जो मोड़ के कारण उत्पन्न तनावों σ द्वारा व्यक्त होते हैं, जिनका समाकलन z’ = z से z’ = h2 तक करना चाहिए

दाहिनी ओर वही तनाव कार्य करते हैं, लेकिन संबंधित मोड़ आघूर्ण M + dM के अनुसार वे अंतर से बढ़े हुए होते हैं। तत्व के दोनों पक्षों पर बलों का अंतर क्षैतिज अनुप्रस्थ सतह t dx में कार्य करने वाले कतरनी तनावों τ से उत्पन्न बल के साथ संतुलन में होना चाहिए:

यहाँ समाकलन, अनुप्रस्थ काट को क्षैतिज अनुप्रस्थ समतल द्वारा अलग किए गए भाग के स्थैतिक आघूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है, जो काट की गुरुत्वकेंद्रित अक्ष के सापेक्ष है। इसे S से सूचित किया जाता है। संतुलन की शर्तों से dM/dx = Q से प्राप्त होता है:

τ = QS/It.  (8)

यह कर्तन तनावों की संयुक्तता के सिद्धांत के अनुसार, अनुप्रस्थ काट की सतह में कार्य करने वाले ऊर्ध्वाधर कर्तन तनाव का वह मान है, जो S और t के साथ मिलकर z का फलन है।

चित्र। 13

चित्र 13.1

समीकरण (8) पतली दीवार वाले सभी अनुप्रस्थ काटों के लिए विश्वसनीय आँकड़े देता है, यदि काटने वाला तल न्यूट्रल अक्ष के समानांतर न होकर दीवार की मोटाई की दिशा में रखा जाए। अतः I-प्रोफ़ाइल को रिब के आर-पार और फ्लैन्ज के आर-पार अनुप्रस्थ काटा जाता है, जिससे आकृति 13.1 में दिखाया गया तनाव-वितरण प्राप्त होता है। वलयाकार अनुप्रस्थ काट (आकृति 13) में कर्तन तनाव ऊर्ध्वाधर व्यास के सापेक्ष सममित रूप से वितरित होते हैं और न्यूट्रल रेखा के बाएँ और दाएँ अधिकतम मान तक पहुँचते हैं

τ = Q / πrt.

यदि अनुप्रस्थ काट को सबसे ऊँचे या सबसे निचले स्थान पर काटा जाए, तो कतरनी तनावों का वितरण नहीं बदलता; परंतु यदि उसे क्षैतिज व्यास के दाहिने सिरे पर काटा जाए (चित्र 14), तो उस स्थान पर कतरनी तनाव शून्य होता है, जबकि उसी व्यास के बाएँ सिरे पर उसका मान दुगुना हो जाता है।

चित्र 14

ठोस अनुप्रस्थ काट

पूर्ण अनुप्रस्थ काटों के मनचाहे आकार में, कतरनी तनाव की समस्या टॉर्शन की समस्या से निकटता से जुड़ी होती है। उस स्थिति में मूल समीकरण (8) अब विश्वसनीय नहीं रहता। त्रिज्या r वाले वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट के लिए समीकरण (8) देता है

τ = 4Q / 3__πr2

न्यूट्रल अक्ष के अनुदिश कर्तन तनाव के औसत मान के रूप में, और सटीक मान केवल कुछ प्रतिशत अधिक होता है।

कर्तन केंद्र

यदि U-अनुप्रस्थ काट के लिए ऊपर वर्णित विधि से कर्तन तनावों की गणना की जाए, तो आकृति 15 में दिखाया गया तनाव-वितरण प्राप्त होता है। संबंधित आंतरिक बलों का परिणामी अनुप्रस्थ बल Q है। चित्र से उसका अनुप्रस्थ काट के सापेक्ष स्थान देखा जा सकता है, अर्थात् वह न तो अनुप्रस्थ काट के गुरुत्वकेंद्र से होकर गुजरता है, न ही वेब के समतल में स्थित है। यदि बाह्य बलों के आधार पर गणना किया गया अनुप्रस्थ बल आकृति 15 में दिखाए गए स्थान पर नहीं है, तो बीम पर केवल मोड़ का ही नहीं, बल्कि मरोड़ का भी भार पड़ता है।

यदि किसी क्षैतिज भार के लिए उसी अनुप्रस्थ काट पर कर्तन तनावों के अनुरूप परिणामी निकाली जाए, तो क्षैतिज अनुप्रस्थ बल की क्रिया-रेखा प्राप्त होती है। इन दोनों क्रिया-रेखाओं के प्रतिच्छेद पर दिए गए अनुप्रस्थ काट के लिए एक विशेष बिंदु स्थित होता है, जिसे कर्तन केंद्र M. कहा जाता है। बीम में घूर्णन के कारण उत्पन्न तनाव तब नहीं दिखाई देते जब सभी अनुप्रस्थ काटों के कर्तन केंद्र एक ही सीधी रेखा पर हों और छड़ की अक्ष के लंबवत सभी भार उसी रेखा से होकर गुजरें। अन्यथा, प्रत्येक भार का उस रेखा के सापेक्ष आघूर्ण, जो कर्तन केंद्रों को जोड़ती है, टॉर्शनल कर्तन का प्रतिनिधित्व करता है।

चित्र। 15

अनुप्रस्थ बल का मोड़ पर प्रभाव

मोड़ की तकनीकी सिद्धांत कर्तन प्रतिबलों के कारण होने वाले विकृतियों की उपेक्षा पर आधारित है। इसलिए इसे वास्तव में पतले दंडों पर लागू किया जा सकता है, जहाँ यह उपेक्षा उचित है और जहाँ अनुप्रस्थ बल का मोड़ पर कोई उल्लेखनीय प्रभाव नहीं पड़ता।

हालाँकि अनुभव से यह सिद्ध हुआ है कि तकनीकी वक्रण सिद्धांत का कुछ सफलता के साथ छोटे, ऊँचे बीमों पर भी उपयोग किया जा सकता है, जबकि वास्तव में यह उनके लिए बनाया ही नहीं गया था। तब यह आवश्यकता सामने आती है कि कर्तन तनावों के कारण होने वाली विकृति का प्रभाव, जिसे इस सिद्धांत में उपेक्षित किया गया है, कम से कम लगभग बाद में ध्यान में लिया जाए।

इसी प्रकार, अनुप्रस्थ बलों के कारण उत्पन्न कर्तन तनाव τ तथा संबंधित फिसलन γ_’ =_ τ_/G_ भी अनुप्रस्थ काट में असमान रूप से वितरित होते हैं। इसलिए उनका औसत मान γ परिभाषित किया जाता है, जिसे इस प्रकार निर्धारित किया जाता है कि इस औसत विकृति पर अनुप्रस्थ बल बीम के अवयव dx पर ऐसा विकृति-कार्य करे, जो उन कर्तन तनावों के कार्यों के समाकलन से प्राप्त होने वाले कार्य के बराबर हो, जो बीम के उस प्रेक्षित अवयव को बनाने वाले अलग-अलग आयतनिक अवयवों पर कार्य करते हैं:

जहाँ से यह

समाकल की गणना तब की जा सकती है जब काट के अनुसार कर्तन तनावों का वितरण ज्ञात हो। चूँकि सभी कर्तन तनाव Q/F के समानुपाती हैं, इसलिए इसका मान Q2/F2 * F के समानुपाती है, अतः यह मानते हुए कि वह κ__Q2/F है, प्राप्त होता है

γ = κ__Q / GF.

स्थिरांक κ को कतरनी तनावों के वितरण गुणांक कहा जाता है। आयताकार अनुप्रस्थ काटों के लिए κ=1,2 है।

चित्र। 16

जब गुणांक κ, और इस प्रकार औसत फिसलन γ, ज्ञात हो, तब अनुपूरक झुकाव wQ, जो अनुप्रस्थ बलों के प्रभाव से उत्पन्न होता है, की गणना की जा सकती है, जिसे झुकावों w में जोड़ना चाहिए: क्योंकि चित्र 16 के अनुसार यह है

तो इसके कारण Q = dM/dx: है

जिसमें समाकलन नियतांक एक सीमांत शर्त से प्राप्त होता है।