Tensionet normale te shufrat e drejta dhe shufrat me lakim të vogël
Përkufizimi i forcave prerëse
Le të jetë një shufër e drejtë e ngarkuar me forca të drejtimit të rastësishëm, për të cilat supozohet vetëm se të gjitha shtrihen në një plan të vetëm (plani i forcave) që kalon përmes boshtit të shufrës (vija që lidh qendrat e gravitetit të prerjeve tërthore).
Fig. 1
Për të llogaritur tensionet që veprojnë në një prerje tërthore n – n (fig. 1), është e nevojshme të njihet forca që nëpërmjet kësaj prerjeje transmetohet nga një pjesë e shufrës te tjetra. Ajo është, qartazi, e barabartë për nga madhësia dhe pozicioni me rezultanten e të gjitha forcave që veprojnë mbi një pjesë të shufrës. Kjo resultantë zbërthehet në komponentë në një sistem koordinativ, boshti x i të cilit përputhet me boshtin e shufrës, ndërsa boshti z është vija përgjatë së cilës rrafshi i prerjes tërthore pret rrafshin e forcave. Komponenta në drejtimin e boshtit z quhet forca transversale Q ose Qz dhe, te trau i thjeshtë, konsiderohet pozitive nëse majtas prerjes ka drejtim lart, ndërsa djathtas poshtë.
Kur shufra është e lakuar, boshtet koordinative x dhe z kanë në çdo prerje drejtim tjetër dhe gjithmonë në mënyrë që boshti x të jetë tangjent me boshtin e shufrës. Nëse plani në të cilin shtrihet boshti i shufrës nuk përputhet me planin e forcave, ose nëse boshti i shufrës është një kurbë hapësinore, rezultantja e forcave në të majtë të prerjes ka edhe një komponent të tretë, forcën transversale Qy. Me N, Qz dhe Qy përcaktohen madhësia dhe drejtimi i forcës që transmetohet përmes prerjes, por jo edhe pozicioni i saj. Për këtë është e nevojshme të njihen edhe momentet e saj ndaj akseve koordinative. Në rastin e përkuljes së rrafshët mjafton të njihet momenti i përkuljes M ose My. Në rastin më të përgjithshëm shfaqet edhe një moment tjetër përkuljeje Mz dhe momenti rreth boshtit x, Mx.
Gjashtë forcat dhe momentet e përcaktuara në trajtimin e mëparshëm përfshihen me emërtimin e përbashkët „forca prerëse“. Përcaktimi i tyre është një nga detyrat themelore të statikës së konstruksioneve ndërtimore.
Midis ngarkesës së pandërprerë p (dimensioni: forcë për njësi gjatësie), forcës transversale Q dhe momentit të përkuljes M ekziston, në rastin e përkuljes së drejtë, një marrëdhënie e thjeshtë. Përkatësisht, nga kushtet e ekuilibrit të një elementi të shufrës (fig. 2) merret
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
prandaj
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Fig. 2
Shpërndarja e tensioneve normale
Nëse shufra ngarkohet vetëm me forcë aksiale, në prerje paraqitet vetëm tensioni normal σ i shpërndarë njëtrajtësisht (shufër në tërheqje, përkatësisht në shtypje). Nëse krahas kësaj paraqitet edhe momenti i përkuljes, këto tensione duhet në një mënyrë të jenë të shpërndara jo njëtrajtësisht, në mënyrë që rezultantja e tyre të mos kalojë më nëpër qendrën e rëndesës së prerjes. Për të përcaktuar këtë shpërndarje, teoria teknike e përkuljes nuk nis nga zgjidhja e rreptë e ekuacioneve themelore, por zëvendëson një pjesë të këtyre ekuacioneve me një supozim të besueshëm, i cili në një rast veçanërisht të thjeshtë është njëkohësisht edhe i përmbushur rreptësisht. Ky rast i veçantë është përkulja e drejtë e një shufre prizmatike pa veprimin e forcave transversale (fig. 3). Të gjithë elementët e shufrës që janë mjaft larg skajeve të saj pësojnë të njëjtin deformim, prej nga rrjedh drejtpërdrejt se boshti i shufrës shndërrohet në një hark rrethor dhe se të gjitha planet e prerjeve tërthore që fillimisht ishin pingule me boshtin e shufrës, gjatë deformimit mbeten të rrafshëta, sepse secili prej tyre është plan simetrie për pjesët fqinje të shufrës së deformuar. Natyrshëm shtrohet supozimi se prerjet tërthore mbeten përafërsisht të rrafshëta edhe kur momenti i përkuljes dhe prerja tërthore e shufrës nuk janë konstante, por ndryshojnë gradualisht përgjatë shufrës. Ky supozim, i quajtur hipoteza e Navier-it, qëndron në themel të teorisë së përkuljes.
Fig. 3
Madhësia e tensioneve normale
Kur përkulet një element i drejtë i trarit, një pjesë e “fijeve” të tij, dmth. vijat materiale paralele me boshtin e shufrës, zgjatet, ndërsa pjesa tjetër shkurtohet (fig. 4). Midis këtyre dy pjesëve ndodhen fijet neutrale z=0, gjatësia e të cilave nuk ndryshon gjatë përkuljes. Le të jetë rrezja e lakimit të këtyre fijeve në gjendje të përkulur ϱ dhe le të ndodhet ajo në rrafshin x-z. Nga fig. 4 m mund të lexohet
Δ dx/z = _dx/_ϱ
dhe prej andej të llogaritet deformimi i fibrave në largësinë z nga boshti neutral, i cili është
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
pra, në bazë të ligjit Hooke-it, stresi
σ _= Ez/_ϱ (2)
Fig. 4
Kjo stërngarkesë është proporcionale me largësinë nga fijet neutrale. Një rezultat i tillë lidhet me supozimin se para deformimit të gjitha fijet e elementit të shufrës ishin me gjatësi të njëjtë, kështu që shufra fillimisht ishte e drejtë, ose të paktën me një lakim aq të vogël sa ndikimi i lakimit mund të neglizhohet. Vija përgjatë së cilës priten shtresa neutrale dhe rrafshi i prerjes quhet boshti neutral. Ne e marrim atë si boshtin y- (sl. 5). Pozicioni i boshtit neutral në prerjen tërthore merret nga kushti i ekuilibrit të forcave në drejtimin e boshtit x-: nëse forca normale N=0 (përkulje pa forcë normale), atëherë edhe rezultantja e forcave të brendshme e shprehur përmes tensioneve normale në prerje duhet të jetë e barabartë me zero:
Integrali në anën e djathtë është momenti statik i sipërfaqes në lidhje me boshtin y. Që ai të jetë i barabartë me zero, ky bosht duhet të jetë një nga boshtet qendrore.
Momenti M që shkakton deformim ka, në raport me boshtet y dhe z në rrafshin e prerjes (fig. 5), komponentët:
Eku. (3)
ku Iy, Iyz janë momenti ekuatorial dhe centrifugal i inercisë së prerjes në raport me boshtet e shënuara.
Rasti më i rëndësishëm është ai i veçantë kur Mz=0. Ky rast ndodh kur Iyz=0, pra kur y dhe z janë boshtet kryesore të inercisë së prerjes. Kjo do të thotë se rrafshi i përkuljes që është marrë këtu përkon me rrafshin x-z, me rrafshin në të cilin vepron momenti i përkuljes M=My, pra me rrafshin e forcave.
Fig. 5
Nëse nga ekuacionet (2) dhe (3) eliminohet _E/_ϱ, merret forma për përcaktimin e tensionit gjatë përkuljes së thjeshtë (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
për pikat kufitare 1 dhe 2 veçanërisht është:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Madhësitë W1,2 = I/h1,2 (dimensioni: gjatësia në fuqi të tretë) quhen momente rezistence. Nëse boshti horizontal i qendrës së rëndesës është njëkohësisht edhe bosht simetrie i prerjes, atëherë W1 = W2, prandaj sforcimet në skaj janë të barabarta në vlerë absolute.
Vija elastike
Fig. 6
Rëndësia e skemave të sipërpërmendura lidhet me ligjin e Hooke-ut. Kjo kërkon që σ << E, pra sipas (2) h << ϱ. Përkulja megjithatë lejohet të jetë aq sa ϱ të ketë të njëjtin rend madhësie si gjatësia e shufrës l. Te shufrat e përkulura që merren në konsideratë në ndërtimtari, ky rast nuk ndodh; gjithmonë ϱ është dukshëm më i madh se l dhe, rrjedhimisht, shigjetimi w << l (fig. 6). Atëherë afërsisht vlen:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
dhe mbi bazën e (3):
w’’ = - M/EI.
Kjo ekuacion dhe kushti i ekuilibrit (1b) përbëjnë sistemin e ekuacioneve diferenciale të shufrës së përkulur. Ato mund të reduktohen me eliminim në një ekuacion të rendit të katërt:
wIV = + p/EI
ose, në rast se momenti i inercisë është i ndryshueshëm:
(EIw’’)’’ = +p.
Prej tyre, me integrim, mund të gjendet forma e vijës elastike kur është dhënë ngarkesa p=p(x) dhe kur për çdo rast të shufrës njihen dy kushte kufitare. Nga këto, të paktën dy duhet të lidhen me deformimin. Për hollësi shih artikullin Statika e konstruksioneve ndërtimore.
Bërthama e prerjes
Nëse boshti neutral e pret prerjen tërthore, ai e ndan atë në zonën e tërheqjes dhe zonën e shtypjes. Te materialet me qëndrueshmëri të vogël në tërheqje shtrohet pyetja se ku duhet të veprojë forca e shtypjes, nëse në prerjen tërthore askund nuk guxon të shfaqet tërheqje. Pozicioni i pikës së veprimit të forcës atëherë kufizohet në një zonë që quhet bërthama e prerjes. Kufiri i bërthamës është qartazi vendi gjeometrik i pikave, boshtet neutrale të të cilave tangjencojnë prerjen tërthore përgjatë perimetrit. Me këtë njëkohësisht jepet edhe ndërtimi i saj.
Distancën e kufirit të bërthamës nga qendra e gravitetit, të matur në çdo drejtim, do ta shënojmë me k me indeksin që i përgjigjet atij drejtimi. Për boshtet kryesore të inercisë sipas ekuacionit
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
shprehjet janë si vijon:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Për prerjen tërthore rrethore me rreze r largësia e bërthamës është k = r/4, ndërsa për unazën rrethore (rrezet: e jashtme R, e brendshme r) k = (R2 + r2) / 4R.
Për drejtkëndëshin (fig. 7) është ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Pra, gjatë ngarkimit të prerjes drejtkëndore në një nga rrafshet e simetrisë (por vetëm atëherë) mjafton që rezultantja të veprojë në të tretën e mesme të lartësisë ose të gjerësisë së prerjes tërthore, që sforcimet në prerje të kenë të njëjtin shenjë.
Fig. 7
Përkulja në zonën plastike
Kur në fijet skajore të shufrës së përkulur është arritur kufiri i rrjedhjes, mbajtja e saj nuk është ende e shteruar, sepse ndërsa fijet e jashtme deformohen plastikisht me tension konstant, në pjesët që ndodhen më afër boshtit neutral, ku kufiri i rrjedhjes ende nuk është arritur, tensioni rritet, dhe kështu rritet edhe momenti i përkuljes që mund të marrë prerja.
Nëse njihet rrjedha e saktë e diagramit të tensioneve dhe deformimeve, procesi për prerjet me simetri të dyfishtë (lartësia h) mund të ndiqet lehtë në mënyrë llogaritëse duke përcaktuar, me supozimin se prerjet mbeten të rrafshëta, nga diagrami i tensioneve dhe deformimeve shpërndarjen e tensioneve σ për shkak të përkuljes që i përgjigjet një dilatimi të marrë të fibrave fundore ε__r dhe prej andej, me integrim, të përcaktohet momenti i përkuljes. Nëse kjo zbatohet për ε__r të ndryshme dhe nga ana tjetër llogaritet lakimi përkatës i vijës së zhvendosjes w’’ = 2 ε__r / h, fitohet një varg pikash përmes të cilave mund të kalohet një vijë që jep lidhjen midis momentit të përkuljes dhe lakimit M = M(w’’); kjo lidhje nuk është më lineare, dhe kur ajo njihet është e mundur, me integrim grafik, të përcaktohet vija e zhvendosjes që i përgjigjet shpërndarjes së dhënë të momenteve. Nëse prerja është asimetrike, llogaritja bëhet më e ndërlikuar, aq më tepër që për çdo ε__r duhet të përcaktohet edhe pozicioni i boshtit neutral.
Fig. 8
Llogaritja thjeshtohet në njëfarë mase nëse, përveç simetrisë së prerjes, supozohet edhe lidhja e thjeshtuar midis tensioneve dhe dilatacioneve sipas fig. 8. Atëherë tensionet nga përkulja, pas tejkalimit të kufirit të rrjedhjes, kanë shpërndarjen e paraqitur në fig. 9 dhe momenti i përkuljes është:
dhe kështu lakorja e vijës së devijimit merret kur ekuacioni (2) zbatohet në pjesën e prerjes, tensionet e së cilës janë në zonën elastike w’’ = σf / Ez’. Nëse forma e prerjes është e njohur për çdo z’ të marrë, integralet mund të llogariten. P.sh. për rastin më të thjeshtë të një prerjeje tërthore drejtkëndore me gjerësi b dhe lartësi h është
Nëse këtu z’ shprehet me anë të w’’, merret
Te profilet I dhe të ngjashme me to, ecuria e kurbës M-w’’ në zonën plastike është edhe më e sheshtë dhe momenti në të cilin fillon rrjedhja është atëherë praktikisht i barabartë me momentin maksimal të përkuljes që profili mund të përballojë në përgjithësi. Prandaj rëndësia e përkuljes plastike në ndërtimtari nuk qëndron në rritjen e momentit të përkuljes që profili mund të mbajë, por në faktin se deformimi i madh lokal që shfaqet në kufirin e rrjedhjes mund të çojë në ndryshim të favorshëm të shpërndarjes së forcave te sistemet statikisht të papërcaktuara.
Fig. 9
Kjo mund të shpjegohet me shembullin e një trari të vazhduar mbi dy fushë. Le të jetë trari (fig. 10) me fushë me gjatësi të barabartë, prerje konstante dhe i ngarkuar me ngarkesë të shpërndarë në mënyrë të njëtrajtshme. Atëherë, para arritjes së kufirit të rrjedhjes, momenti mbi mbështetësen MB = _pl_2/8. Nëse ngarkesa p rritet aq sa momenti në prerjen mbështetëse arrin vlerën Mf në të cilën fillon rrjedhja, me rritje të mëtejshme të ngarkesës në atë vend do të rritet edhe lakimi pa një rritje të ndjeshme të momentit. Krijohet i ashtuquajturi nyje plastike, pra trari nën ngarkesë plotësuese sillet sikur mbi mbështetësen e mesme të ekzistonte një nyje. Ngarkesa mund të rritet më tej derisa edhe në vendin e momentit më të madh në fushë të fillojë rrjedhja. Rritja e mëtejshme e momentit të përkuljes nuk është më e mundur dhe kapaciteti mbajtës i trarit është shteruar. Ngarkesa nën të cilën shfaqet kjo gjendje quhet ngarkesë kufitare.
Fig. 10
Në përgjithësi mund të pritet që në një sistem statikisht të papërcaktuar n herë duhet të shfaqen (n+1) nyje plastike para se sistemi të bëhet i lëvizshëm dhe kështu të arrijë kufirin e vet të mbajtjes. Megjithatë, ky rregull ka përjashtime në të dy drejtimet. Siç tregon shembulli i përmendur, në kufirin e mbajtjes mund të shfaqen njëkohësisht dy nyje të reja plastike (në të dy fushat), kështu që sistemi deri atëherë i palëvizshëm kalon papritur në një sistem me dy shkallë lirie. Nga ana tjetër, është e mundur që edhe me më pak se (n+1) nyje plastike të shterojë lokalisht mbajtja, p.sh. kur te një bartës kontinual dështojnë vetëm një fushë. Fig. 11 tregon se si mund të ndodhë kjo te një sistem statikisht dyfish i papërcaktuar me n=2 nyje plastike. Nëse në anën e djathtë të bartësit shtohet edhe një fushë e katërt, bartësi bëhet tri herë statikisht i papërcaktuar, prandaj mjaftojnë (n-1) nyje plastike që vetëm fusha e majtë të sillet deri në kufirin e mbajtjes.
Fig. 11
Tensionet prerëse gjatë përkuljes
Llogaritja elementare
Fig. 12
Tensionet normale σ, pra tensionet që në të vërtetë shfaqen si pasojë e përkuljes, nuk janë të vetmet tensione në shufrën e përkulur, por krahas tyre shfaqen edhe tensione prerëse si pasojë e veprimit të forcës transversale. Duke qenë se karakteristika themelore e teorisë teknike të përkuljes është se deformimet për shkak të tensioneve prerëse neglizhohen, këto mund të përcaktohen vetëm nga kushti i ekuilibrit. Për ta formuluar këtë, elementi i trarit dx pritet, siç është shënuar në fig. 12, me një plan horizontal në dy pjesë, dhe vendoset kushti i ekuilibrit të forcave horizontale që veprojnë mbi pjesën e poshtme. Në anën e majtë ato janë forcat e brendshme të shprehura me tensionet σ si pasojë e përkuljes, të cilat duhet të integrohen nga z’ = z deri te z’ = h2
Në anën e djathtë veprojnë të njëjtat sforcime, por të rritura për diferencialin në përputhje me momentin përkatës të përkuljes M + dM. Dallimi midis forcave në të dy anët e elementit duhet të jetë në ekuilibër me forcën si pasojë e sforcimeve prerëse τ që veprojnë në sipërfaqen prerëse horizontale t dx:
Këtu integrali paraqet momentin statik të pjesës së prerjes tërthore të ndarë nga një plan horizontal tërthor në raport me boshtin qendror të prerjes. Ai shënohet me S. Nga dM/dx = Q prej kushteve të ekuilibrit merret:
τ = QS/It. (8)
Kjo është, sipas parimit të konjugimit të tensioneve prerëse, njëkohësisht madhësia e tensionit vertikal prerës që vepron në sipërfaqen e prerjes tërthore dhe që, së bashku me S dhe t, është funksion i z.
Fig. 13
Fig. 13.1
Ekuacioni (8) jep të dhëna të sigurta në të gjitha prerjet me mure të hollë nëse rrafshi i prerjes nuk vendoset paralelisht me boshtin neutral, por në drejtim të trashësisë së murit. Prandaj profili I pritet tërthorazi nëpërmjet shiritit dhe tërthorazi nëpërmjet flanxhës, me ç’rast merret shpërndarja e sforcimeve e paraqitur në fig. 13.1. Te prerja unazore (fig. 13) sforcimet prerëse janë të shpërndara në mënyrë simetrike ndaj diametrit vertikal dhe majtas e djathtas në vijën neutrale arrijnë maksimumin
τ = Q / πrt.
Nëse prerja bëhet në pikën më të lartë ose më të ulët, shpërndarja e tensioneve prerëse nuk ndryshon; megjithatë, nëse bëhet në skajin e djathtë të diametrit horizontal (fig. 14), tensioni prerës në atë vend është i barabartë me zero, ndërsa vlera e tij dyfishohet në skajin e majtë të të njëjtit diametër.
Fig. 14
Seksione të plota
Te prerjet e plota të formës së lirë problemi i tensioneve prerëse është ngushtë i lidhur me problematikën e përdredhjes. Ekuacioni elementar (8) në atë rast nuk është më i besueshëm. Për prerjen rrethore me rreze r ekuacioni (8) jep
τ = 4Q / 3__πr2
si vlera mesatare e tensionit prerës përgjatë boshtit neutral, ndërsa vlera e saktë është vetëm disa për qind më e madhe.
Qendra e prerjes
Nëse për prerjen U llogariten tensionet prerëse në mënyrën e përshkruar më sipër, merret shpërndarja e tensioneve e paraqitur në fig. 15. Rezultantja e forcave përkatëse të brendshme është forca transversale Q. Nga figura mund të shihet pozicioni i saj në raport me prerjen, pra që ajo nuk kalon as nëpër qendrën e rëndesës së prerjes, as nuk shtrihet në rrafshin e brinjës. Nëse forca transversale e llogaritur në bazë të forcave të jashtme nuk ka pozicionin e paraqitur në fig. 15, mbajtësi nuk është i ngarkuar vetëm në përkulje, por edhe në torsion.
Nëse për të njëjtën prerje tërthore përcaktohet rezultantja që u përgjigjet tensioneve prerëse për ndonjë ngarkesë horizontale, merret vija e veprimit e forcës transversale horizontale. Në prerjen e këtyre dy vijave të veprimit gjendet pika karakteristike për prerjen e dhënë tërthore, që quhet qendra e prerjes M. Në mbajtës nuk paraqiten tensione për shkak të torsionit kur qendrat e prerjes së të gjitha prerjeve tërthore ndodhen në një vijë të drejtë dhe të gjitha ngarkesat pingul me boshtin e shufrës kalojnë nëpër atë vijë. Përndryshe, momenti i secilës ngarkesë ndaj vijës që lidh qendrat e prerjes paraqet prerje torsionale.
Fig. 15
Ndikimi i forcës transversale në përkulje
Teoria teknike e përkuljes bazohet në neglizhimin e deformimeve për shkak të tensioneve prerëse. Prandaj ajo mund të zbatohet realisht vetëm te shufrat e holla, te të cilat ky neglizhimi është i justifikuar dhe ku forca transversale nuk ka ndikim të ndjeshëm në përkulje.
Megjithatë, përvoja ka treguar se teoria teknike e përkuljes mund të zbatohet me një sukses të caktuar edhe te mbajtësit e shkurtër, të lartë, për të cilët në të vërtetë ajo nuk është menduar fare. Atëherë paraqitet nevoja që ndikimi i deformimit për shkak të tensioneve prerëse, i cili në këtë teori është lënë pas dore, të merret të paktën përafërsisht parasysh më vonë.
Po ashtu si edhe tensionet prerëse τ nga forcat transversale dhe rrëshqitjet përkatëse γ_’ =_ τ_/G_ janë të shpërndara jo njëtrajtësisht nëpër prerje. Prandaj futet vlera e tyre mesatare γ, e cila përcaktohet në mënyrë që forca transversale, në këtë vlerë mesatare të deformimit, të kryejë në elementin e trarit dx punë deformimi të barabartë me atë që do të merrej duke integruar punët e tensioneve prerëse në elementet e veçanta vëllimore që përbëjnë elementin e vëzhguar të trarit:
prej nga është
Integrali mund të llogaritet kur dihet shpërndarja e tensioneve prerëse në prerje. Meqenëse të gjitha tensionet prerëse janë proporcionale me Q/F, vlera e tij është proporcionale me Q2/F2 * F, prandaj duke vendosur se ajo është κ__Q2/F, fitohet
γ = κ__Q / GF.
Konstanta κ quhet koeficienti i shpërndarjes së sforcimeve prerëse. Për prerjet drejtkëndore është κ=1,2.
Fig. 16
Kur është i njohur koef. κ, dhe kështu edhe rrëshqitja mesatare γ, mund të llogaritet shfryrja plotësuese wQ, e krijuar nga veprimi i forcave transversale, e cila duhet t’u shtohet shfryrjeve w: sepse sipas fig. 16 është
pra për shkak të Q = dM/dx:
ku konstanta e integrimit merret nga një kusht kufitar.