Normalspannungen bei geraden Stäben und Stäben mit geringer Krümmung
Definition der Schnittgrößen
Es sei ein gerader Stab mit Kräften beliebiger Richtung belastet, wobei nur angenommen wird, dass alle in einer Ebene liegen (Kraftebene), die durch die Stabachse verläuft (Linie, die die Schwerpunkte der Querschnitte verbindet).
Abb. 1
Um die in einem Querschnitt n – n wirkenden Spannungen zu berechnen (Abb. 1), muss die Kraft bekannt sein, die über diesen Querschnitt von einem Teil des Stabes auf den anderen übertragen wird. Sie ist ihrer Größe und Lage nach offensichtlich gleich der Resultierenden aller Kräfte, die auf einen Teil des Stabes wirken. Diese Resultierende wird in Komponenten in einem Koordinatensystem zerlegt, dessen x-Achse mit der Stabachse zusammenfällt und dessen z-Achse die Linie ist, entlang der die Ebene des Querschnitts die Kräfteebene schneidet. Die Komponente in Richtung der z-Achse heißt Querkraft Q oder Qz und wird bei einem einfach gelagerten Balken als positiv angesehen, wenn sie links vom Schnitt nach oben und rechts nach unten gerichtet ist.
Ist der Stab gekrümmt, so haben die Koordinatenachsen x und z in jedem Querschnitt eine andere Richtung, und zwar stets so, dass die x-Achse Tangente an die Stabachse ist. Wenn die Ebene, in der die Stabachse liegt, nicht mit der Kraftebene zusammenfällt oder wenn die Stabachse eine Raumkurve ist, hat die Resultierende der Kräfte links vom Schnitt auch eine dritte Komponente, die Querkraft Qy. Mit N, Qz und Qy sind Größe und Richtung der durch den Querschnitt übertragenen Kraft bestimmt, nicht jedoch ihre Lage. Dafür müssen auch ihre Momente bezüglich der Koordinatenachsen bekannt sein. Im Fall der ebenen Biegung genügt es, wenn das Biegemoment M oder My bekannt ist. Im allgemeinsten Fall tritt noch ein weiteres Biegemoment Mz und ein Moment um die x-Achse, Mx, auf.
Die sechs in der vorhergehenden Darstellung definierten Kräfte und Momente werden unter dem gemeinsamen Namen „Querschnittskräfte“ zusammengefasst. Ihre Bestimmung ist eine der grundlegenden Aufgaben der Baustatik.
Zwischen der stetig verteilten Belastung p (Dimension: Kraft je Längeneinheit), der Querkraft Q und dem Biegemoment M besteht beim ebenen Biegen ein einfacher Zusammenhang. Aus den Gleichgewichtsbedingungen eines Stabelements (Abb. 2) ergibt sich nämlich
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
daher
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Abb. 2
Verteilung der Normalspannungen
Wenn ein Stab nur durch eine axiale Kraft belastet wird, tritt im Querschnitt nur die gleichmäßig verteilte Normalspannung σ auf (Zug- bzw. Druckstab). Wenn zusätzlich ein Biegemoment auftritt, müssen diese Spannungen in gewisser Weise ungleichmäßig verteilt sein, so dass ihre Resultierende nicht mehr durch den Schwerpunkt des Querschnitts verläuft. Um diese Verteilung zu bestimmen, geht die technische Biegelehre nicht von einer strengen Lösung der Grundgleichungen aus, sondern ersetzt einen Teil dieser Gleichungen durch eine plausible Annahme, die in einem besonders einfachen Fall zugleich streng erfüllt ist. Dieser Sonderfall ist die Biegung eines geradlinigen prismatischen Stabes ohne Einwirkung von Querkräften (Abb. 3). Alle Teile des Stabes, die genügend weit von seinen Enden entfernt sind, erfahren die gleiche Verformung, woraus unmittelbar folgt, dass die Achse des Stabes in einen Kreisbogen übergeht und dass alle Ebenen der Querschnitte, die ursprünglich senkrecht zur Achse des Stabes standen, bei der Verformung eben bleiben, da jede von ihnen eine Symmetrieebene für die benachbarten Teile des verformten Stabes ist. Es liegt nahe, anzunehmen, dass die Querschnitte auch dann annähernd eben bleiben, wenn Biegemoment und Querschnitt des Stabes nicht konstant sind, sondern sich längs des Stabes allmählich verändern. Diese als Navier-Hypothese bezeichnete Annahme bildet die Grundlage der Biegetheorie.
Abb. 3
Größe der Normalspannungen
Wenn ein gerader Trägerstab gebogen wird, dehnt sich ein Teil seiner „Fasern“, d. h. der materiellen Linien parallel zur Stabachse, während sich der andere Teil verkürzt (Abb. 4). Zwischen diesen beiden Teilen liegen die neutralen Fasern z=0, deren Länge sich beim Biegen nicht ändert. Sei der Krümmungsradius dieser Fasern im gebogenen Zustand ϱ und liege er in der x-z-Ebene. Aus Abb. 4 m lässt sich ablesen
Δ dx/z = _dx/_ϱ
und daraus die Dehnung der Fasern im Abstand z von der neutralen Achse berechnen, die beträgt
ε ist gleich Δ dx/dx = _z/_ϱ
also ist nach dem Hooke-schen Gesetz die Spannung
σ _= Ez/_ϱ (2)
Abb. 4
Diese Spannung ist proportional zum Abstand von den Neutralfasern. Ein solches Ergebnis beruht auf der Annahme, dass vor der Verformung alle Fasern des Stabelements gleich lang waren, sodass der Stab ursprünglich gerade war oder zumindest so schwach gekrümmt, dass der Einfluss der Krümmung vernachlässigt werden kann. Die Gerade, in der sich die neutrale Schicht und die Schnittebene schneiden, heißt Neutralachse. Wir übernehmen sie als y-Achse (Abb. 5). Die Lage der Neutralachse im Querschnitt ergibt sich aus dem Kräftegleichgewicht in Richtung der x-Achse: wenn die Normalkraft N=0 (Biegung ohne Normalkraft) ist, dann muss auch die Resultierende der inneren Kräfte, ausgedrückt durch die Normalspannungen im Querschnitt, gleich null sein:
Das Integral auf der rechten Seite ist das statische Moment der Fläche bezüglich der y-Achse. Damit es gleich Null ist, muss diese Achse eine der Schwerpunktachsen sein.
Das das Verformung verursachende Moment M hat bezüglich der Achsen y und z in der Schnittebene (Abb. 5) die Komponenten:
Gleich. (3)
wobei Iy, Iyz das äquatoriale und das Zentrifugalmoment der Flächenträgheit des Querschnitts in Bezug auf die bezeichneten Achsen sind.
Der wichtigste Spezialfall ist der, wenn Mz=0. Dieser Fall tritt ein, wenn Iyz=0 ist, d. h. wenn y und z die Hauptträgheitsachsen des Querschnitts sind. Das bedeutet, dass die hier angesetzte Biegeebene mit der x-z-Ebene mit der Ebene zusammenfällt, in der das Biegemoment M=My wirkt, also mit der Kräfteebene.
Abb. 5
Wenn aus den Gleichungen (2) und (3) _E/_ϱ eliminiert wird, erhält man die Formel zur Bestimmung der Spannung beim reinen Biegen (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
für die Randpunkte 1 und 2 ist besonders:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Die Größen W1,2 = I/h1,2 (Dimension: Länge hoch drei) werden Widerstandsmomente genannt. Wenn die horizontale Schwerpunktachse zugleich die Symmetrieachse des Querschnitts ist, dann ist W1 = W2, sodass die Randspannungen betragsmäßig gleich sind.
Elastische Linie
Abb. 6
Die Bedeutung der oben angeführten Beziehungen steht im Zusammenhang mit dem Hooke’schen Gesetz. Dieses verlangt, dass σ << E ist, also nach (2) h << ϱ. Die Biegung darf jedoch so groß sein, dass ϱ von derselben Größenordnung wie die Stablänge l ist. Bei den im Bauwesen in Betracht kommenden gebogenen Stäben tritt dieser Fall nicht ein; stets ist ϱ wesentlich größer als l und daher die Durchbiegung w << l (Abb. 6). Dann gilt näherungsweise:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
und auf Grundlage von (3):
w’’ = - M/EI.
Diese Gleichung und die Gleichgewichtsbedingung (1b) bilden ein System von Differentialgleichungen des gebogenen Stabes. Durch Eliminierung lassen sie sich auf eine Gleichung vierter Ordnung reduzieren:
wIV = + p/EI
oder, falls das Flächenträgheitsmoment veränderlich ist:
(EIw’’)’’ = +p.
Aus ihnen lässt sich durch Integration die Form der elastischen Linie bestimmen, wenn die Belastung p=p(x) gegeben ist und für jeden Stabfall zwei Randbedingungen bekannt sind. Von diesen müssen mindestens zwei die Verformung betreffen. Einzelheiten siehe den Artikel Statik der Baukonstruktionen.
Querschnittskern
Wenn die neutrale Achse den Querschnitt schneidet, teilt sie ihn in eine Zugzone und eine Druckzone. Bei Werkstoffen mit geringer Zugfestigkeit stellt sich die Frage, wo die Druckkraft angreifen soll, wenn im Querschnitt nirgends Zug auftreten darf. Die Lage des Angriffspunktes der Kraft ist dann auf den Bereich beschränkt, der Kern des Querschnitts genannt wird. Die Grenze des Kerns ist offensichtlich der geometrische Ort der Punkte, deren neutrale Achsen den Querschnitt am Umfang tangieren. Damit ist zugleich seine Konstruktion gegeben.
Den Abstand der Kernrandlinie vom Schwerpunkt, gemessen in beliebiger Richtung, bezeichnen wir mit dem Index k, der dieser Richtung entspricht. Für die Hauptträgheitsachsen nach der Gleichung
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
Die Ausdrücke lauten wie folgt:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Für den kreisförmigen Querschnitt mit dem Radius r beträgt der Kernabstand k = r/4, und für den Kreisring (Radien: außen R, innen r) k = (R2 + r2) / 4R.
Für das Rechteck (Abb. 7) gilt: ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Also genügt bei der Belastung eines rechteckigen Querschnitts in einer der Symmetrieebenen (aber nur dann), dass die Resultierende im mittleren Drittel der Höhe oder Breite des Querschnitts angreift, damit die Spannungen im Querschnitt gleiches Vorzeichen haben.
Abb. 7
Biegung im plastischen Bereich
Wenn in den Randfasern eines gebogenen Stabs die Streckgrenze erreicht ist, ist seine Tragfähigkeit damit noch nicht erschöpft, denn während sich die äußeren Fasern bei konstanter Spannung plastisch verformen, steigt in den Teilen näher an der neutralen Achse, wo die Streckgrenze noch nicht erreicht ist, die Spannung an, wodurch sich auch das vom Querschnitt aufnehmbare Biegemoment erhöht.
Wenn der genaue Verlauf des Spannungs- und Deformationsdiagramms bekannt ist, lässt sich der Vorgang für doppelt symmetrische Querschnitte (Höhe h) rechnerisch leicht verfolgen, indem unter der Annahme ebener Querschnitte aus dem Spannungs- und Deformationsdiagramm die Spannungsverteilung σ infolge Biegung bestimmt wird, die einer angenommenen Dehnung der Randfasern ε__r entspricht, und daraus durch Integration das Biegemoment ermittelt wird. Wird dies für verschiedene ε__r durchgeführt und andererseits die zugehörige Krümmung der Durchbiegungslinie w’’ = 2 ε__r / h berechnet, so erhält man eine Reihe von Punkten, durch die eine Linie gelegt werden kann, welche den Zusammenhang zwischen Biegemoment und Krümmung M = M(w’’) angibt; dieser Zusammenhang ist nicht mehr linear, und sobald er bekannt ist, lässt sich durch graphische Integration die der gegebenen Momentenverteilung entsprechende Durchbiegungslinie bestimmen. Ist der Querschnitt unsymmetrisch, wird die Rechnung dadurch komplizierter, dass für jedes ε__r auch die Lage der Neutralachse zu bestimmen ist.
Abb. 8
Die Berechnung vereinfacht sich in gewissem Maße, wenn außer der Querschnittssymmetrie auch der vereinfachte Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen nach Abb. 8 angenommen wird. Dann haben die Spannungen infolge Biegung nach Überschreiten der Streckgrenze die in Abb. 9 dargestellte Verteilung, und das Biegemoment ist:
so erhält man die Krümmung der Durchbiegungslinie, wenn die Gleichung (2) auf den Teil des Querschnitts angewendet wird, dessen Spannungen sich im elastischen Bereich w’’ = σf / Ez’ befinden. Ist die Querschnittsform für jedes gewählte z’ bekannt, können die Integrale berechnet werden. Für den einfachsten Fall eines rechteckigen Querschnitts mit der Breite b und der Höhe h ist
Wenn hier z’ mittels w’’, ausgedrückt wird, erhält man
Bei I-Querschnitten und ähnlichen verläuft die M-w’’-Kurve im plastischen Bereich noch flacher, und das Moment, bei dem das Fließen einsetzt, ist dann praktisch gleich dem größten Biegemoment, das der Querschnitt überhaupt aufnehmen kann. Die Bedeutung des plastischen Biegens im Bauwesen liegt daher nicht in einer Erhöhung des vom Querschnitt tragbaren Biegemoments, sondern darin, dass die große lokale Verformung an der Fließgrenze bei statisch unbestimmten Systemen zu einer günstigen Änderung der Kraftverteilung führen kann.
Abb. 9
Dies lässt sich am Beispiel eines Durchlaufträgers über zwei Felder erläutern. Angenommen, der Träger (Abb. 10) hat gleich lange Felder, einen konstanten Querschnitt und ist mit gleichmäßig verteilter Last belastet. Dann gilt vor Erreichen der Fließgrenze das Moment über dem Auflager MB = _pl_2/8. Wird die Belastung p so weit erhöht, dass das Moment im Auflagerquerschnitt den Wert Mf erreicht, bei dem das Fließen einsetzt, so vergrößert sich bei weiterer Belastung an dieser Stelle auch die Krümmung ohne merkliche Zunahme des Moments. Es bildet sich das sogenannte plastische Gelenk, d. h. der Träger verhält sich unter Zusatzbelastung so, als ob über dem mittleren Auflager ein Gelenk vorhanden wäre. Die Belastung kann weiter erhöht werden, bis auch an der Stelle des größten Moments im Feld das Fließen beginnt. Eine weitere Erhöhung des Biegemoments ist dann nicht mehr möglich, und die Tragfähigkeit des Trägers ist erschöpft. Die Last, bei der dieser Zustand eintritt, wird Grenzlast genannt.
Abb. 10
Im Allgemeinen kann man erwarten, dass in einem n-fach statisch unbestimmten System (n+1) plastische Gelenke auftreten müssen, bevor das System beweglich wird und damit seine Tragfähigkeitsgrenze erreicht. Diese Regel hat jedoch in beide Richtungen Ausnahmen. Wie das angeführte Beispiel zeigt, können an der Tragfähigkeitsgrenze gleichzeitig zwei neue plastische Gelenke auftreten (in beiden Feldern), sodass das bis dahin noch unbewegliche System plötzlich in ein System mit zwei Freiheitsgraden übergeht. Andererseits ist es möglich, dass auch mit weniger als (n+1) plastischen Gelenken die Tragfähigkeit lokal erschöpft wird, z. B. wenn bei einem Durchlaufträger nur ein Feld versagt. Abb. 11 zeigt, wie dies bei einem statisch zweifach unbestimmten System mit n=2 plastischen Gelenken geschehen kann. Wird auf der rechten Seite des Trägers noch ein viertes Feld hinzugefügt, wird der Träger dreifach statisch unbestimmt, sodass (n-1) plastische Gelenke genügen, um nur das linke Feld an die Tragfähigkeitsgrenze zu führen.
Abb. 11
Schubspannungen beim Biegen
Elementare Berechnung
Abb. 12
Die Normalspannungen σ, also die Spannungen, die tatsächlich infolge des Biegens auftreten, sind nicht die einzigen Spannungen im gebogenen Stab; vielmehr treten daneben auch Schubspannungen infolge der Wirkung der Querkräfte auf. Da das grundlegende Merkmal der technischen Biegetheorie darin besteht, dass Verformungen infolge von Schubspannungen vernachlässigt werden, können diese nur aus dem Gleichgewichtsbedingung bestimmt werden. Dazu wird das Balkenelement dx, wie in Abb. 12 gezeigt, durch eine horizontale Ebene in zwei Teile geschnitten, und es wird die Gleichgewichtsbedingung der horizontalen Kräfte aufgestellt, die auf den unteren Teil wirken. Auf der linken Seite sind das die inneren Kräfte, ausgedrückt durch die Spannungen σ infolge des Biegens, für die von z’ = z bis z’ = h2 integriert werden muss
Auf der rechten Seite wirken dieselben Spannungen, jedoch um das Differential entsprechend dem zugehörigen Biegemoment M + dM vergrößert. Die Differenz zwischen den Kräften auf beiden Seiten des Elements muss im Gleichgewicht mit der Kraft aus den Schubspannungen τ stehen, die in der horizontalen Schnittfläche t dx wirken:
Hier stellt das Integral das statische Moment des durch eine horizontale Querschnittsebene abgetrennten Teils des Querschnitts bezüglich der Schwerpunktachse des Querschnitts dar. Es wird mit S bezeichnet. Aus dM/dx = Q ergeben sich aus den Gleichgewichtsbedingungen:
τ = QS/It. (8)
Das ist nach dem Satz von der Konjugiertheit der Schubspannungen zugleich der Wert der vertikalen Schubspannung, die in der Fläche des Querschnitts wirkt und die zusammen mit S und t eine Funktion von z ist.
Abb. 13
Abb. 13.1
Die Gleichung (8) liefert zuverlässige Werte bei allen dünnwandigen Querschnitten, wenn die Schnittebene nicht parallel zur neutralen Achse, sondern in Richtung der Wanddicke gelegt wird. Demnach wird das I-Profil quer durch den Steg und quer durch den Flansch geschnitten, wodurch sich die auf Abb. 13.1 dargestellte Spannungsverteilung ergibt. Beim Ringquerschnitt (Abb. 13) sind die Schubspannungen symmetrisch in Bezug auf den vertikalen Durchmesser verteilt und erreichen links und rechts auf der Neutralachse ihr Maximum
τ = Q / πrt.
Wenn der Querschnitt an der obersten oder untersten Stelle eingeschnitten ist, ändert sich die Verteilung der Schubspannungen nicht; wird er jedoch am rechten Ende des horizontalen Durchmessers eingeschnitten (Abb. 14), so ist die Schubspannung an dieser Stelle gleich Null, während ihr Wert am linken Ende desselben Durchmessers doppelt so groß wird.
Abb. 14
Vollquerschnitte
Bei Vollquerschnitten beliebiger Form ist das Problem der Schubspannungen eng mit der Problematik der Torsion verbunden. Die elementare Gleichung (8) ist in diesem Fall nicht mehr zuverlässig. Für einen kreisförmigen Querschnitt mit dem Radius r liefert die Gleichung (8)
τ = 4Q / 3__πr2
als Mittelwert der Schubspannung entlang der Neutralachse, wobei der genaue Wert nur um einige Prozent höher ist.
Schubzentrum
Wenn für den U-Querschnitt die Schubspannungen auf die oben beschriebene Weise berechnet werden, erhält man die auf Abb. 15 dargestellte Spannungsverteilung. Die Resultierende der entsprechenden inneren Kräfte ist die Querkraft Q. Aus der Abbildung ist ihre Lage in Bezug auf den Querschnitt erkennbar, also dass sie weder durch den Schwerpunkt des Querschnitts verläuft noch in der Ebene des Stegs liegt. Wenn die auf Grundlage der äußeren Kräfte berechnete Querkraft nicht die in Abb. 15 dargestellte Lage hat, ist der Träger nicht nur auf Biegung, sondern auch auf Torsion beansprucht.
Wird für denselben Querschnitt die Resultierende der Schubspannungen für eine horizontale Belastung bestimmt, so erhält man die Angriffslinie der horizontalen Querkraft. Im Schnittpunkt dieser beiden Angriffslinien liegt der charakteristische Punkt des betreffenden Querschnitts, der Schubmittelpunkt M genannt wird. Im Träger treten keine Spannungen infolge Torsion auf, wenn die Schubmittelpunkte aller Querschnitte auf einer Geraden liegen und alle zur Stabachse senkrechten Lasten durch diese Gerade verlaufen. Andernfalls stellt das Moment jeder Last bezüglich der Geraden, welche die Schubmittelpunkte verbindet, die torsionale Schubbeanspruchung dar.
Abb. 15
Einfluss der Querkraft auf das Biegen
Die technische Biegetheorie beruht darauf, Verformungen infolge von Schubspannungen zu vernachlässigen. Daher lässt sie sich tatsächlich auf schlanke Stäbe anwenden, bei denen diese Vernachlässigung gerechtfertigt ist und bei denen die Querkraft keinen merklichen Einfluss auf die Biegung hat.
Die Erfahrung hat jedoch gezeigt, dass die technische Biegetheorie mit einem gewissen Erfolg auch auf kurze, hohe Träger angewendet werden kann, für die sie eigentlich überhaupt nicht bestimmt ist. Dann ergibt sich die Notwendigkeit, den Einfluss der Verformung infolge von Schubspannungen, der in dieser Theorie vernachlässigt wird, zumindest näherungsweise nachträglich zu berücksichtigen.
Ebenso wie die Schubspannungen τ infolge von Querkräften und die entsprechenden Gleitungen γ_’ =_ τ_/G_ sind auch sie über den Querschnitt ungleichmäßig verteilt. Daher wird ihr Mittelwert γ eingeführt, der so bestimmt wird, dass die Querkraft bei diesem mittleren Verformungswert am Balkenelement dx eine Verformungsarbeit verrichtet, die derjenigen entspricht, die sich durch Integration der Arbeiten der Schubspannungen an den einzelnen Volumenelementen ergeben würde, aus denen das betrachtete Balkenelement besteht:
woraus sich ergibt
Das Integral kann berechnet werden, wenn die Verteilung der Schubspannungen über den Querschnitt bekannt ist. Da alle Schubspannungen proportional zu Q/F sind, ist sein Wert proportional zu Q2/F2 * F, und setzt man ihn zu κ__Q2/F, so erhält man
γ = κ__Q / GF.
Die Konstante κ wird als Verteilungskoeffizient der Schubspannungen bezeichnet. Für Rechteckquerschnitte gilt κ=1,2.
Abb. 16
Wenn der Koeffizient κ und damit auch das mittlere Gleiten γ bekannt ist, kann die zusätzliche Durchbiegung wQ berechnet werden, die durch die Wirkung der Querkräfte entsteht und zu den Durchbiegungen w hinzuzurechnen ist; denn gemäß Abb. 16 gilt
also wegen Q = dM/dx:
wobei die Integrationskonstante aus einer Randbedingung bestimmt wird.