Barra zuzenetan eta kurbadura txikia duten barratan tentsio normalak
Sekzio-indarren definizioa
Har dezagun barrak norabide arbitrarioko indarrez kargatuta daudela, eta bakarrik suposatzen da guztiak plano berean daudela (indarren planoa), barraren ardatzetik igarotzen dena (sekzio gurutzatuen zentroak lotzen dituen lerroa).
Ir. 1
n – n sekzio batean jarduten duten tentsioak kalkulatzeko (ikus. 1), jakin behar da zein indar transmititzen den sekzio horren bidez hagaren atal batetik bestera. Indar hori, nabarmenki, tamainaz eta kokapenaz, hagaren atal batean jarduten duten indar guztien emaitzari dagokio. Emaitza hori osagaietan banatzen da, x-ardatza hagaren ardatzarekin bat datorren eta z-ardatza sekzio lauak indarren planoa ebakitzen duen lerroa den koordenatu-sistema batean. z ardatzaren norabideko osagaia zeharkako indarra Q edo Qz deitzen da, eta habe sinple batean positibotzat hartzen da sekzioaren ezkerrean gorantz badarama eta eskuinean beherantz.
Barrak kurbatuta daudenean, x eta z koordenatu-ardatzek norabide desberdina dute sekzio bakoitzean, eta beti hala, x-ardatza barraren ardatzaren tangentea izan dadin. Barraren ardatza dagoen planoa indarren planoarekin bat ez badator, edo barraren ardatza kurba espaziala bada, sekzioaren ezkerreko indar-erresultanteak hirugarren osagai bat ere badu, Qy zeharkako indarra. N, Qz eta Qy osagaiekin sekzioaren bidez transmititzen den indarraren handitasuna eta norabidea zehazten dira, baina ez haren kokapena. Horretarako, koordenatu-ardatzekiko momentuak ere ezagutu behar dira. Planoan tolestearen kasuan, nahikoa da toleste-momentua M edo My ezagutzea. Kasurik orokorrenean, beste toleste-momentu bat agertzen da, Mz, eta x-ardatzarekiko momentua, Mx.
Aurreko azalpenetan definitutako sei indar eta momentuak “sekzio-indarrak” izen komunean biltzen dira. Horiek zehaztea egitura-eraikinen estatikaren oinarrizko zereginen artean dago.
Bananduta etengabe banatutako p kargaren artean (dimentsioa: indarra luzera-unitateko), zeharkako Q indarraren eta M toleste-momentuaren artean erlazio sinple bat dago toleste lauaren kasuan. Hain zuzen ere, hagaxka-elementu baten orekaren baldintzetatik (ir. 2) lortzen da
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
beraz
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Irudia. 2
Tentsio normalen banaketa
Bara karga axial hutsez kargatzen bada, sekzioan uniformeki banatutako σ tentsio normala baino ez da agertzen (bar tiratua, edo, hurrenez hurren, konprimatua). Horri gehitzen bazaio toleste-momentua, tentsio horiek nolabait modu ez uniformean banatuta egon behar dute, haien resultantak jada sekzioaren zentroetik igaro ez dadin. Banaketa hori zehazteko, tolesturaren teoria teknikoak ez du oinarrizko ekuazioen ebazpen zorrotzetik abiatzen; aitzitik, ekuazio horien zati bat hipotesi sinesgarri batez ordezkatzen du, eta hipotesi hori kasu bereziki sinple batean aldi berean zehazki ere betetzen da. Kasu berezi hori zuzenean dagoen barra prismatiko baten tolestura da, zeharkako indarrik eragin gabe (irud. 3). Bere muturretatik nahikoa urrun dauden barraren elementu guztiek deformazio bera jasaten dute; hortik zuzenean ondorioztatzen da barraren ardatza zirkulu-arku bihurtzen dela eta hasieran barraren ardatzarekiko zuzenak ziren sekzio-zeharkako plano guztiak deformazioan zehar lauak izaten jarraitzen dutela, horietako bakoitza deformaturiko barraren ondoko zatien simetria-planoa delako. Berez, onartzen da sekzio zeharkakoak gutxi gorabehera lauak izaten jarraitzen dutela toleste-momentua eta barraren sekzio zeharkakoa konstanteak ez direnean ere, baizik eta barraren luzeran zehar pixkanaka aldatzen direnean. Navier-en hipotesi deitzen den uste hau dago tolesturaren teoriaren oinarrian.
Ir. 3
Tentsio normalen handitasuna
Habe baten elementu zuzen bat okertzen denean, haren «zuntzen», hau da, hagaren ardatzarekiko paraleloak diren material-lerroen, zati bat luzatu egiten da, eta beste zati bat laburtu (ikus. 4). Bi zati horien artean zuntz neutroak z=0 daude, eta horien luzera ez da aldatzen tolesturan. Har dezagun zuntz horien kurbadura-erradioa tolestutako egoeran ϱ dela, eta x-z planoan dagoela. 4 m iruditik irakur daiteke
Δ dx/z = _dx/_ϱ
eta handik kalkulatutako zuntzen deformazioa, ardatz neutrotik z distantziara, hau da
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
eta, Hooke-ren legearen arabera, tentsioa
σ _= Ez/_ϱ (2)
Ir. 4
Tentsio hau zuntz neutroetatik dagoen distantziari proportzionala da. Emaitza hori deformazioaren aurretik barra-elementuaren zuntz guztiak luzera berekoak zirela dioen hipotesiarekin lotuta dago; horrenbestez, barra hasiera batean zuzena zen, edo gutxienez kurbadura hain txikikoa zen non kurbaduraren eragina bazter daitekeen. Geruza neutroa eta sekzio-planoa ebakitzen diren zuzenari ardatz neutroa deritzo. Hura y-ardatz gisa hartzen dugu (ir. 5). Sekzio gurutzatuko ardatz neutroaren kokapena x-ardatzaren norabidean dauden indarren oreka-baldintzatik lortzen da: normalki indarra N=0 bada (normalki indarrik gabeko tolestura), orduan barne-indarren erresultanteak, sekzioan dauden tentsio normalen bidez adierazia, ere zerora berdina izan behar du:
Eskuineko aldeko integralak azalera‑momentu estatikoa adierazten du y ardatzarekiko. Hark zero balioa izan dezan, ardatz hori ardatz zentrikoetako bat izan behar da.
Deformazioa eragiten duen M momentuak y eta z ardatzekiko, sekzioaren planoan (ikus. 5), osagai hauek ditu:
Eku. (3)
non Iy, Iyz sekzioaren inertzia-momentu ekuatoriala eta zentrifugoa diren, adierazitako ardatzei dagokienez.
Kasu berezi garrantzitsuena Mz=0 denekoa da. Kasu hori Iyz=0 denean gertatzen da, hau da, y eta z sekzioaren inertzio-ardatz nagusiak direnean. Horrek esan nahi du hemen hartu den toleste-planoa x-z-planoarekin bat datorrela eta bertan jarduten duen toleste-momentuaren M=My planoarekin, hau da, indar-planoarekin.
Ir. 5
2 eta (3) ekuazioetatik _E/_ϱ ezabatzen bada, toleste laua denean tentsioa zehazteko eredua lortzen da (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
1 eta 2 ertzeko puntuetarako, bereziki, hau da:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
W1,2 = I/h1,2 (dimentsioa: luzera hirugarren potentzian) erresistentzia-momentuak deitzen dira. Ardatz zentrala horizontala, aldi berean, sekzioaren simetria-ardatza bada, orduan W1 = W2 da, eta, beraz, ertz-tentsioak berdinak dira balio absolutuan.
Lerro elastikoa
Irudia. 6
Aipatutako ereduen garrantzia Hooke-ren legearekin lotuta dago. Horrek eskatzen du σ << E izatea; beraz, (2)-ren arabera h << ϱ. Hala ere, tolestura hainbestekoa izan daiteke non ϱ makilaren luzeraren l ordena berekoa den. Eraikuntzan kontuan hartzen diren makila tolestuetan kasu hori ez da gertatzen; ϱ beti askoz handiagoa da l baino, eta, ondorioz, desbiazioa w << l da (ik. 6). Orduan, hurbilki honako hau betetzen da:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
eta honako honen arabera (3):
w’’ = - M/EI.
Ekuazio honek eta oreka-baldintzak (1b) makurtutako hagaren ekuazio diferentzialen sistema osatzen dute. Desagerpen bidez, laugarren mailako ekuazio bakar batera murriztu daitezke:
wIV = + p/EI
edo, inertzia-momentua aldakorra den kasuan:
(EIw’’)’’ = +p.
Haietatik integrazioz aurki daiteke malda-elastikoaren forma, karga p=p(x) emanda dagoenean eta habe-kasu bakoitzerako bi muga-baldintza ezagutzen direnean. Horietatik, gutxienez bi deformazioari buruzkoak izan behar dira. Xehetasunetarako, ik. Eraikuntza-egituren estatika.
Sekzioaren nukleoa
Ardatz neutroak sekzio gurutzatua mozten badu, trakzio-zona eta konpresio-zona bereizten ditu. Trakzio-erresistentzia txikia duten materialen kasuan, galdera sortzen da non eraso behar duen konpresio-indarrak, sekzio gurutzatuan inon ez baita trakziorik egon behar. Orduan, indarraren erasotze-puntuaren kokapena sekzioaren nukleo deitzen den eremura mugatzen da. Nukleoaren muga, itxuraz, puntuen kokaleku geometrikoa da, zeinen ardatz neutroek sekzio gurutzatuaren ingurua ukitzen baitute. Horrekin batera, haren eraikuntza ere ematen da.
Jezgoko mugaren eta zentroidearen arteko distantzia, edozein noranzkotan neurtua, k ikurraz adieraziko dugu, noranzko horri dagokion indizearekin. Inertzia-ardatz nagusietarako, ekuazioaren arabera
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
honako hauek dira:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
r erradioa duen sekzio zirkularrean, nukleoaren distantzia k = r/4 da, eta eraztun zirkularrean (erradioak: kanpokoa R, barnekoa r) k = (R2 + r2) / 4R da.
Laukizuzenerako (irud. 7) ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Beraz, luzera edo zabalera sekzio angeluzuzen baten karga zentroak simetria-planoetako batean erasotzen badu (baina soilik orduan), nahikoa da emaitza sekzioaren altueraren edo zabaleraren heren erdian erortzea, sekzioko tentsioek zeinu bera izan dezaten.
Irud. 7
Tolestea eremu plastikoan
Makurtutako hagaren ertz-zuntzetan emari-muga lortzen denean, haren eramateko gaitasuna ez da oraindik agortzen, izan ere kanpoko zuntzak tentsio konstantean plastikoan deformatzen diren bitartean, neutro-ardatzetik hurbilago dauden zatietan, non emari-muga oraindik lortu ez den, tentsioa handitzen da, eta horrekin batera sekzioak har dezakeen makurdura-momentua ere handitzen da.
Esfortzu- eta deformazio-diagramaren ibilbide zehatza ezagutzen bada, prozesua, sekzio bikoitz simetrikoetarako (altuera h), erraz jarrai daiteke kalkulu bidez, baldin eta, sekzioak lauak mantentzen direla suposatuz, esfortzu- eta deformazio-diagramatik okerduraren ondoriozko σ esfortzuen banaketa zehazten bada, muturreko zuntzen ε__r luzapen onarturen bati dagokiona, eta handik integratuz toleste-momentua zehazten bada. Hori ε__r desberdinetarako egiten bada eta, bestetik, okerdura-lerroaren kurbadura egokia kalkulatzen bada w’’ = 2 ε__r / h erabiliz, puntu-sorta bat lortzen da, eta horien bidez toleste-momentuaren eta kurbaduraren arteko erlazioa ematen duen lerroa pasa daiteke M = M(w’’); erlazio hori ez da jada lineala, eta behin ezagututa, integrazio grafikoaren bidez emandako momentu-banaketa bati dagokion okerdura-lerroa zehaztu daiteke. Sekzioa asimetrikoa bada, kalkulua konplexuagoa bihurtzen da, ε__r bakoitzerako neutraltasun-ardatzaren kokapena ere zehaztu behar delako.
Ir. 8
Kalkulua neurri batean errazten da, sekzioaren simetriaz gain, tentsioaren eta deformazioaren arteko erlazio sinplifikatua ere suposatzen bada, irud. 8-ren arabera. Orduan, harikortasun-muga gainditu ondoren tolesturak eragindako tentsioek irud. 9-n erakutsitako banaketa dute, eta tolestura-momentua hau da:
eta, hala, desbideratze-lerroaren kurbadura lortzen da, (2) ekuazioa sekzioaren tentsioak eremu elastikoan dituen zatian aplikatzen denean w’’ = σf / Ez’. Sekzioaren forma ezaguna bada onartutako z’ bakoitzerako, integralak kalkula daitezke. Adibidez, zabalera b eta altuera h dituen zeharkako sekzio laukizuzenaren kasurik errazenerako, honako hau da
Hemen z’ w’’ bidez adierazten bada, honakoa lortzen da
I-sekzioetan eta horien antzekoetan, M-w’’ kurbaren ibilbidea plastizitate-eremuan are lautuagoa da, eta emaria gertatzen den momentua ia-ia sekzioak jasan dezakeen toleste-momentu handienaren berdina da. Horregatik, eraikuntzan toleste plastikoaren garrantzia ez datza sekzioak eraman dezakeen toleste-momentua handitzean, baizik eta emari-mugan gertatzen den deformazio lokal handiak sistema estatiko zehaztugabeetan indarren banaketa egokia aldatzea eragin dezakeelako.
Ir. 9
Hau bi tarte dituen habe jarraitu baten adibidean azal daiteke. Har dezagun habeak (ir. 10) luzera bereko tarteak, sekzio konstantea eta uniformeki banatutako kargaz kargatua dituela. Orduan, errendimendu-muga iritsi aurretik, euskarriaren gaineko momentua MB = _pl_2/8 da. p karga hainbeste handitzen bada, ezen euskarri-sekzioan Mf baliora iristen baita errendimendua hasten denean, karga gehiago handitzean leku horretan kurbadura ere handituko da, momentuaren gorakada nabarmenik gabe. Hala deituriko ziri plastikoa sortzen da, hau da, habeak karga osagarriaren pean erdiko euskarriaren gainean ziria egongo balitz bezala jokatzen du. Karga gehiago handitu daiteke, harik eta tarteko maximo-momentuaren lekuan ere errendimendua hasi arte. Tolestura-momentua gehiago handitzea ezinezkoa da eta habearen eramateko gaitasuna agortuta dago. Egoera hori agertzen den karga muga-karga deitzen da.
Irudia. 10
Oro har, espero daiteke n aldiz estatikoki zehaztugabea den sistema batean (n+1) plastikozko artikulazio agertu beharko direla sistema mugitzaile bihurtu eta, horrela, bere erresistentzia-mugara iritsi baino lehen. Hala ere, arau horrek salbuespenak ditu bi noranzkoetan. Aipatutako adibideak erakusten duen bezala, erresistentzia-mugan aldi berean bi plastikozko artikulazio berri ager daitezke (bi eremuetan), eta ordura arte oraindik mugiezina zen sistema bat-batean bi askatasun-graduko sistema bihurtzen da. Bestalde, posible da (n+1) plastikozko artikulazio baino gutxiagorekin ere erresistentzia lokalki agortzea, adibidez etengabeko habe batean eremu bakarra huts egiten duenean. 11 irudiak erakusten du nola gerta daitekeen hori n=2 plastikozko artikulazioko estatikoki bitan zehaztugabea den sistema batean. Habiaren eskuineko aldean laugarren eremu bat ere gehitzen bada, habeak estatikoki hirutan zehaztugabe bihurtzen da, eta nahikoa da (n-1) plastikozko artikulazio leku ezkerreko eremua bakarrik erresistentzia-mugara eramateko.
Ir. 11
Tolesturako zizailadura-tentsioak
Oinarrizko kalkulua
Irudia. 12
σ tentsio normalak, hau da, makurduraren ondorioz benetan agertzen diren tentsioak, ez dira hagan makurtuan agertzen diren tentsio bakarrak; haiekin batera, zeharkako indarraren eraginez sortutako zizaila-tentsioak ere agertzen dira. Makurduraren teoria teknikoaren oinarrizko ezaugarria da zizaila-tentsioen ondoriozko deformazioak baztertzen direla; beraz, horiek oreka-baldintzatik soilik zehaztu daitezke. Hori ezartzeko, habe-elementua dx, ir. 12-n adierazten den bezala, plano horizontal batez bi zatitan banatzen da, eta beheko zatian eragiten duten indar horizontalen oreka-baldintza ezartzen da. Ezker aldean, makurduraren ondoriozko σ tentsioek adierazitako barne-indarrak dira, eta z’ = z-tik z’ = h2-ra integratu behar da
Eskuineko aldean tentsio berberak eragiten dute, baina diferentzialarekin handituak, dagokion M + dM tolestura-momentuaren arabera. Elementuaren bi aldeetako indarren arteko aldea orekan egon behar da horizontaleko sekzio-azalera t dx‑n jarduten duten τ ebakidura-tentsioen ondoriozko indarrarekin:
Hemen, integrala sekzio horizontal batek bereiztutako zeharkako sekzioaren zatiaren momentu estatikoa da, sekzioaren ardatz zentrorantz. S bidez adierazten da. dM/dx = Q oreka-baldintzatik honakoa lortzen da:
τ = QS/It. (8)
Hori da, ebakidura-tentsioen konjugazio-legearen arabera, aldi berean sekzio gurutzatuaren gainazalean eragiten duen ebakidura-tentsio bertikalaren balioa, eta hura, S eta t-rekin batera, z-ren funtzioa da.
Irudia. 13
Ir. 13.1
Ekuazioak (8) datu fidagarriak ematen ditu horma meheko sekzio guztietan, baldin eta sekzio-planoa ez bada ardatz neutroarekiko paralelo jartzen, baizik eta hormaren lodieraren norabidean. Horrenbestez, I-profila zeharka ebakitzen da errailaren eta zeharka bridak zeharkatuz, eta horrela lortzen da 13.1 irudian erakutsitako tentsio-banaketa. Sekzio eraztunean (13 irudia), zizailadura-tentsioak simetrikoki antolatuta daude diametro bertikalarekiko, eta ezkerrean eta eskuinean lerro neutralean maximoa lortzen dute
τ = Q / πrt.
Sekzioa goiko edo beheko punturik altuenean ebakitzen bada, zizailadura-tentsioen banaketa ez da aldatzen; hala ere, diametro horizontalaren eskuineko muturrean ebakitzen bada (ir. 14), leku horretako zizailadura-tentsioa zerokoa da, eta diametro bereko ezkerreko muturrean haren balioa bikoiztu egiten da.
Irud. 14
Sekzio trinkoak
Ebaketa-tentsioen arazoa, sekzio beteetan eta edozein formakoetan, estu lotuta dago tortsioaren arazoarekin. Oinarrizko ekuazioa (8) ez da fidagarria kasu horretan. Erradio r duen sekzio zirkularrerako, ekuazioak (8) ematen du
τ = 4Q / 3__πr2
neutralean zeharreko zizailadura-tentsioaren batez besteko balio gisa, eta balio zehatza ehuneko gutxi batzuk handiagoa baino ez da.
Zizailadura-zentroa
U-sekziorako goian deskribatutako moduan ebakidura-tentsioak kalkulatzen badira, sl. 15n erakusten den tentsio-banaketa lortzen da. Dagokion barne-indarren emailea zeharkako indarra Q da. Iruditik ikus daiteke bere kokapena sekzioarekiko; hau da, ez du ez sekzioaren zentrotik pasatzen, ezta saihetsaren planoan ere kokatzen. Kanpo-indarren arabera kalkulatutako zeharkako indarrak sl. 15n erakusten den kokapena ez badu, euskarria ez dago soilik flexioz kargatuta, baita torsioz ere.
Helburu bereko zeharkako sekzio baterako, karga horizontal bati dagozkion tentsio ebakidoreen emaitza zehazten bada, indar transversal horizontalaren erasor-linea lortzen da. Bi erasor-lerro horien elkargunean zeharkako sekzio jakin baterako puntu ezaugarri bat dago, ebakiduraren zentroa M deitzen dena. Euskarrian ez dira agertzen tortsioaren ondoriozko tentsioak, baldin eta zeharkako sekzio guztien ebakiduraren zentroak zuzen berean badaude, eta haga-ardatzarekiko perpendikularrak diren karga guztiak zuzen horretatik igarotzen badira. Bestela, karga bakoitzaren momentuak, ebakiduraren zentroak lotzen dituen zuzenarekiko, ebakidura torsionala eragiten du.
Irudia. 15
Zeharkako indarraren eragina flexioan
Tolesturaren teoria teknikoa ebakidura-tentsioen ondoriozko deformazioak baztertzean oinarritzen da. Beraz, benetan erabil daiteke hagaxka lirainetan, non bazterketa hori justifikatua den eta zeharkako indarrak tolesturan eragin nabarmenik ez duen.
Esperientziak, hala ere, erakutsi du tolesturaren teoria teknikoa nolabaiteko arrakastaz aplika daitekeela euskarri labur eta altuei ere, zeinetarako, egiaz, ez baitago batere pentsatuta. Orduan, zizailadura-tentsioen ondoriozko deformazioaren eragina, teoria honetan baztertuta dagoena, ondoren, gutxi gorabehera behintzat, kontuan hartu beharra agertzen da.
Era berean, zeharkako indarren ondoriozko τ zizailadura-tentsioak eta horiei dagozkien γ_’ =_ τ_/G_ irristadurak ere sekzioan ez uniformeki banatuta daude. Horregatik, haien batez besteko balioa γ ezartzen da, eta hori honela zehazten da: batez besteko deformazio-balio horretan zeharkako indarrak dx habe-elementuan egiten duen deformazio-lana, aurkitutako habe-elementua osatzen duten bolumen-elementuetan zizailadura-tentsioen lanak integratuz lortuko litzatekeenaren berdina izan dadin:
hortik
Integrala kalkula daiteke sekzioan zeharreko zizaila-tentsioen banaketa ezagutzen denean. Zizaila-tentsio guztiak Q/F-rekin proportzionalak direnez, haren balioa Q2/F2 * F-rekin proportzionala da, eta, beraz, κ__Q2/F dela jarriz, lortzen da
γ = κ__Q / GF.
κ konstanteari mozketa-tentsioen banaketa-koefizientea deitzen zaio. Atal karratuetarako κ=1,2 da.
Irudia. 16
κ koefizientea ezagutzen denean, eta horrekin batera batez besteko irristadura γ ere bai, ebakidura-indarren eraginez sortutako wQ gehigarriaren deformazioa kalkula daiteke, w deformazioei gehitu behar zaiena; izan ere, 16 irudiaren arabera, hau da
beraz, Q = dM/dx delako:
non integrazio-konstantea muga-baldintza batetik lortzen den.