సాధారణ వంగింపు మరియు సాధారణ బలంతో వంగింపు

నేరుగా ఉన్న దండాలు మరియు స్వల్ప వంకర గల దండాలలో సాధారణ ఒత్తిడులు

విభాగ బలాల నిర్వచనం

ఒక సూటి దండం యాదృచ్ఛిక దిశలలో ఉన్న బలాలచే లోడైందని అనుకుందాం; ఆ బలాలన్నీ దండ అక్షం (అడ్డ విభాగాల గురుత్వ కేంద్రాలను కలిపే రేఖ) గుండా వెళ్లే ఒకే సమతలంలో (బలాల సమతలం) ఉంటాయని మాత్రమే అనుకుంటారు.

చిత్రం 1

ఏదైనా క్రాస్ సెక్షన్ n – n (చిత్రం 1) లో పనిచేసే ఒత్తిళ్లను గణించడానికి, ఆ క్రాస్ సెక్షన్ ద్వారా దండు యొక్క ఒక భాగం నుండి మరొక భాగానికి ప్రసరించే బలం తెలుసుకోవాలి. దాని పరిమాణం మరియు స్థాన పరంగా, అది ఒక భాగంపై పనిచేసే అన్ని బలాల ఫలితంతో సమానమే. ఈ ఫలిత బలాన్ని, x-అక్షం దండు అక్షంతో సరిపోయే మరియు z-అక్షం క్రాస్ సెక్షన్ సమతలం బలాల సమతలాన్ని కోసే రేఖగా ఉండే సమన్వయ వ్యవస్థలో భాగాలుగా విడగొడతారు. z అక్ష దిశలోని భాగాన్ని అడ్డ బలం Q లేదా Qz అంటారు; సాదా బీమ్‌లో, సెక్షన్‌కు ఎడమవైపు అది పైకి, కుడివైపు కిందికి దిశలో ఉన్నప్పుడు దాన్ని ధనాత్మకంగా పరిగణిస్తారు.

దండం వంకరగా ఉన్నప్పుడు, సమన్వయ అక్షాలు x మరియు z ప్రతి విభాగంలో వేరే దిశను కలిగి ఉంటాయి, మరియు ఎల్లప్పుడూ x-అక్షం దండ అక్షానికి స్పర్శరేఖగా ఉంటుంది. దండ అక్షం ఉన్న సమతలం బలాల సమతలంతో సరిపోలకపోతే, లేదా దండ అక్షం అంతరిక్ష వక్రంగా ఉంటే, విభాగం ఎడమవైపు ఉన్న బలాల ఫలితానికి మూడవ భాగం కూడా ఉంటుంది, అది అడ్డ బలం Qy. N, Qz మరియు Qy ద్వారా విభాగం గుండా ప్రసారమయ్యే బల పరిమాణం మరియు దిశ నిర్ణయించబడతాయి, కానీ దాని స్థానం కాదు. దీని కోసం సమన్వయ అక్షాల పట్ల దాని క్షణాలు కూడా తెలిసి ఉండాలి. సూటి వంకర సందర్భంలో వంకర క్షణం M లేదా My తెలిసి ఉండటం సరిపోతుంది. అత్యంత సాధారణ సందర్భంలో మరొక వంకర క్షణం Mz మరియు x-అక్షం చుట్టూ క్షణం Mx కూడా కనిపిస్తాయి.

మునుపటి వివరణలో నిర్వచించిన ఆరు బలాలు మరియు మోమెంట్లు కలిపి „కత్తిరింపు బలాలు“ అనే సాధారణ పేరుతో పేర్కొనబడుతాయి. వాటిని నిర్ధారించడం నిర్మాణాల స్థాటిక్స్‌లోని ప్రాథమిక పనుల్లో ఒకటి.

నిరంతరంగా పంపిణీ చేయబడిన లోడ్ p (పరిమాణం: ప్రతి యూనిట్ పొడవుకు బలం), అడ్డబలం Q మరియు వంకర మోమెంట్ M మధ్య సమతల వంకర సందర్భంలో ఒక సరళ సంబంధం ఉంటుంది. అంటే, ఒక కడ్డీ మూలకపు సమతుల్యత షరతుల నుండి (ఫిగ్. 2) పొందబడుతుంది

dQ + p dx = 0,

dM = Q dx;

అందువలన

Q = dM/dx, 

p = - dQ/dx = - d2M/dx2.        (1a, b)

చిత్రం 2

సాధారణ ఒత్తిళ్ల పంపిణీ

ఒక దండానికి కేవలం అక్షీయ బలం మాత్రమే వర్తిస్తే, విభాగంలో సమానంగా పంపిణీ అయిన సాధారణ ఒత్తిడి σ మాత్రమే కనిపిస్తుంది (లాగబడిన, లేదా నొక్కబడిన దండు). దీనితో పాటు వంగింపు మోమెంట్ కూడా ఉంటే, ఈ ఒత్తిడులు ఏదో విధంగా అసమానంగా పంపిణీ కావాలి, అప్పుడు వాటి ఫలిత బలం ఇక విభాగ కేంద్రం గుండా వెళ్లదు. ఈ పంపిణీని నిర్ధారించడానికి, సాంకేతిక వంగింపు సిద్ధాంతం మూల సమీకరణాల కఠిన పరిష్కారం నుండి ప్రారంభించదు; బదులుగా ఈ సమీకరణలలోని ఒక భాగాన్ని, ఒక ప్రత్యేకంగా సరళమైన సందర్భంలో అదే సమయంలో ఖచ్చితంగా కూడా తృప్తిపరచబడే, ఒక సమంజసమైన ఊహతో భర్తీ చేస్తుంది. ఆ ప్రత్యేక సందర్భం అంటే అడ్డ బలాల ప్రభావం లేకుండా నేర ప్రిజ్మాకార దండం వంగడం (చిత్రం 3). దాని చివరల నుండి తగినంత దూరంలో ఉన్న దండంలోని అన్ని అంశాలు ఒకే వికృతి అనుభవిస్తాయి; దాంతో దండపు అక్షం నేరుగా వృత్తాకార వంకరగా మారుతుందని, మరియు మొదట దండపు అక్షానికి లంబంగా ఉన్న అడ్డ విభాగాల అన్ని సమతలాలు వికృతి సమయంలో సమతలంగానే ఉంటాయని నేరుగా తేలుతుంది, ఎందుకంటే వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి వికృతమైన దండంలోని సమీప భాగాలకు సమమితి సమతలంగా ఉంటుంది. వంగింపు మోమెంట్ మరియు దండపు అడ్డ విభాగం స్థిరంగా లేక, దండం పొడవునా క్రమంగా మారినప్పుడు కూడా అడ్డ విభాగాలు సుమారుగా సమతలంగానే ఉంటాయని ఊహించడం సహజమే. Navier-ova హిపoteza అని పిలువబడే ఈ ఊహ వంగింపు సిద్ధాంతానికి పునాది.

చిత్రం 3

సాధారణ ఒత్తిడుల పరిమాణం

ఒక సరళ గర్డర్‌ను వంచినప్పుడు, దాని “తంతువుల”లో ఒక భాగం, అంటే రాడ్ అక్షానికి సమాంతరమైన పదార్థ రేఖలు, పొడవవుతాయి; మరొక భాగం కుదుస్తుంది (చిత్రం 4). ఈ రెండు భాగాల మధ్య తటస్థ తంతువులు z=0 ఉంటాయి, వీటి పొడవు వంపు సమయంలో మారదు. ఈ తంతువుల వంపు స్థితిలోని వక్రతా వ్యాసార్థం ϱ గా, అది x-z సమతలంలో ఉందని అనుకుందాం. చిత్రం 4 m నుండి చదవవచ్చు

Δ dx/z = _dx/_ϱ

మరియు అక్కడినుంచి తటస్థ అక్షం నుండి z దూరంలో ఉన్న తంతువుల వికృతి (strain) ను లెక్కించవచ్చు, అది సమానం

ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ

కాబట్టి Hooke-విధి ప్రకారం ఒత్తిడి

σ _= Ez/_ϱ   (2)

చిత్రం 4

ఈ ఒత్తిడి తటస్థ తంతువుల నుండి ఉన్న దూరానికి అనుపాతంగా ఉంటుంది. ఈ ఫలితం, వక్రీభవనానికి ముందు దండ మూలకం యొక్క అన్ని తంతువులు సమాన పొడవు కలిగి ఉన్నాయని, అంటే దండు మొదట సూటిగా ఉన్నదని, లేదా వక్రత ప్రభావాన్ని నిర్లక్ష్యం చేయగలిగేంత చిన్న వక్రత మాత్రమే ఉన్నదని భావించిన అనుమానంపై ఆధారపడింది. తటస్థ పొర మరియు క్రాస్-సెక్షన్ సమతలం కలుసుకునే రేఖను తటస్థ అక్షం అంటారు. దానిని మేము y-అక్షంగా స్వీకరిస్తాము (sl. 5). క్రాస్-సెక్షన్‌లో తటస్థ అక్ష స్థానం x-అక్ష దిశలో బలాల సమతుల్యత పరిస్థితి ద్వారా పొందబడుతుంది: సాధారణ బలం N=0 (సాధారణ బలం లేకుండా వంగింపు) అయితే, క్రాస్-సెక్షన్‌లో సాధారణ ఒత్తిడుల ద్వారా వ్యక్తీకరించిన అంతర్గత బలాల ఫలితం కూడా సున్నా కావాలి:

కుడి వైపున ఉన్న సమాకలనం y-అక్షానికి సంబంధించి విస్తీర్ణం యొక్క స్థిర క్షణం. అది శూన్యానికి సమానం కావాలంటే, ఆ అక్షం ద్రవ్యరాశి కేంద్ర అక్షాలలో ఒకటిగా ఉండాలి.

వక్రతను కలిగించే M మోమెంట్‌కు, క్రాస్ సెక్షన్ సమతలంలో y మరియు z అక్షాల పట్ల (చిత్రం 5) క్రింది భాగాలు ఉంటాయి:

సమీకరణ. (3)

ఇందులో Iy, Iyz అనేవి సూచించిన అక్షాలకు సంబంధించి విభాగపు సమభాజి మరియు కేంద్రాకర్షణ జడత్వ ఘడియాలు.

అత్యంత ముఖ్యమైన ప్రత్యేక సందర్భం Mz=0 అయినప్పుడు. ఈ సందర్భం Iyz=0 అయినప్పుడు, అంటే y మరియు z విభాగపు జడత్వ ప్రధాన అక్షాలు అయినప్పుడు ఏర్పడుతుంది. దీనర్థం ఇక్కడ స్వీకరించిన x-z-తలానికి అనుగుణమైన వంపు తలం, వంకర మోమెంట్ M=My పనిచేసే తలంతో, అంటే బలాల తలంతో, సరిపోతుంది.

ఆకృతి 5

సమీకరణాలు (2) మరియు (3) నుండి _E/_ϱ ను తొలగిస్తే, సమాన వంపులో ఒత్తిడిని నిర్ణయించడానికి నమూనా లభిస్తుంది (Iy=I):

σ = M/I * z   (4)

అంచు బిందువులు 1 మరియు 2 కోసం ప్రత్యేకంగా:

σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2.   (5)

పరిమాణాలు W1,2 = I/h1,2 (ఆయామం: పొడవు ఘాతము మూడు) ను ప్రతిఘటన మోమెంట్లు అంటారు. అడ్డ గురుత్వాకర్షణ అక్షం అదే సమయంలో క్రాస్-సెక్షన్ సమమితి అక్షంగా ఉంటే, అప్పుడు W1 = W2, కాబట్టి అంచు ఒత్తిళ్లు పరిమాణపరంగా సమానంగా ఉంటాయి.

స్థితిస్థాపక రేఖ

Fig. 6

పైగా పేర్కొన్న ఆకృతుల ప్రాముఖ్యత Hooke-పరంగా ఉన్న చట్టంతో అనుసంధానమై ఉంది. దీనికి σ << E కావాలి, అందువల్ల (2) ప్రకారం h << ϱ. అయినప్పటికీ వంపు ϱ రాడ్ పొడవు l కు సమాన పరిమాణ క్రమంలో ఉండేంత వరకు అనుమతించబడుతుంది. నిర్మాణ ఇంజనీరింగ్‌లో పరిగణనలోకి వచ్చే వంకర గడ్డెల విషయంలో ఈ పరిస్థితి రాదు; ఎల్లప్పుడూ ϱ l కంటే గణనీయంగా పెద్దదే, కాబట్టి వంకరం w << l (చిత్రం 6). అప్పుడు సుమారుగా ఇలా వర్తిస్తుంది:

1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’

మరియు (3) ఆధారంగా:

w’’ = - M/EI.

ఈ సమీకరణం మరియు సమతుల్యత షరతు (1b) వంగిన దండానికి చెందిన భిన్న సమీకరణాల వ్యవస్థను రూపొందిస్తాయి. వాటిని ఎలిమినేషన్ ద్వారా నాలుగో క్రమంలోని ఒకే సమీకరణగా సరళీకరించవచ్చు:

wIV = + p/EI

లేదా, జడత్వ ఘటకం మారుతూ ఉంటే:

(EIw’’)’’ = +p.

వాటినుంచి సమీకరణ ద్వారా, లోడ్ p=p(x) ఇవ్వబడినప్పుడు మరియు ప్రతి రాడ్ సందర్భానికి రెండు సరిహద్దు షరతులు తెలిసినప్పుడు, ఎలాస్టిక్ రేఖ యొక్క ఆకారాన్ని కనుగొనవచ్చు. వీటిలో కనీసం రెండు రూపాంతరానికి సంబంధించినవై ఉండాలి. వివరాలకు నిర్మాణ నిర్మాణాల స్థితిశాస్త్రం వ్యాసాన్ని చూడండి.

క్రాస్ సెక్షన్ కోర్

న్యూట్రల్ అక్షం క్రాస్-సెక్షన్‌ను కోస్తే, అది దాన్ని లాగింపు ప్రాంతం మరియు ఒత్తిడి ప్రాంతంగా విభజిస్తుంది. లాగింపులో బలం తక్కువ ఉన్న పదార్థాల్లో, క్రాస్-సెక్షన్‌లో ఎక్కడా లాగింపు రాకూడదనుకుంటే, ఒత్తిడి బలం ఎక్కడ వర్తించాలి అనే ప్రశ్న తలెత్తుతుంది. అప్పుడు బలం దాడి బిందువు స్థానం క్రాస్-సెక్షన్ కోర్ అనే పరిధికి పరిమితం అవుతుంది. కోర్ సరిహద్దు అనేది సహజంగా ఆ బిందువుల జ్యామితీయ స్థానము, వాటి న్యూట్రల్ అక్షాలు క్రాస్-సెక్షన్‌ను చుట్టుకొలత వెంట స్పర్శిస్తాయి. దీనితో దాని నిర్మాణం కూడా నిర్ణయించబడింది.

కేంద్రబిందువునుంచి కోర్ సరిహద్దు యొక్క దూరాన్ని, ఏ దిశలోనైనా కొలిచినా, ఆ దిశకు అనుగుణమైన సూచిక k తో సూచిస్తాము. ప్రధాన జడత్వ అక్షాల కోసం సమీకరణ ప్రకారం

σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z  (6)

పదాలు ఇవి:

ky = i2z / ey,      kz = i2y / ez.   (7)

వృత్తాకార అడ్డముక్కలో వ్యాసార్థం r ఉన్నప్పుడు కేంద్ర కోర్ దూరం k = r/4, మరియు వృత్తాకార వలయంలో (వ్యాసార్థాలు: బాహ్య R, అంతర్గత r) k = (R2 + r2) / 4R.

చతురస్రానికి (చిత్రం 7) ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. కాబట్టి, సమమితి సమతలాలలో ఒకదానిలో చతురస్ర విభాగం లోడును పెట్టినప్పుడు (అప్పుడే మాత్రమే) ఫలిత బలం విభాగం ఎత్తు లేదా వెడల్పు మధ్య మూడో వంతులో పనిచేస్తే సరిపోతుంది; అప్పుడు విభాగంలోని ఒత్తిడులకు ఒకే చిహ్నం ఉంటుంది.

చిత్రం 7

ప్లాస్టిక్ ప్రాంతంలో వంగింపు

వంగిన రాడ్ యొక్క అంచు తంతువుల్లో యీల్డ్ సరిహద్దు చేరినప్పటికీ, దాని భరించే సామర్థ్యం అప్పుడు ఇంకా పూర్తిగా వినియోగించబడదు, ఎందుకంటే బయటి తంతువులు స్థిర నామధోరణిలో ప్లాస్టిక్‌గా వక్రీభవిస్తుండగా, తటస్థ అక్షానికి దగ్గరగా ఉన్న భాగాల్లో, అక్కడ యీల్డ్ సరిహద్దు ఇంకా చేరని చోట, నామధోరణి పెరుగుతుంది; అందువల్ల విభాగం స్వీకరించగల వంపు ఘడియ కూడా పెరుగుతుంది.

ఒత్తిడి మరియు వికృతి డయాగ్రామ్‌ల ఖచ్చితమైన ప్రవాహం తెలిసినట్లయితే, రెండు అక్షాల సమమితి గల విభాగాల (ఎత్తు h) కోసం ప్రక్రియను గణనాత్మకంగా సులభంగా అనుసరించవచ్చు; అంటే, విభాగాలు సమతలంగానే ఉంటాయని అనుకుని, ఒత్తిడి మరియు వికృతి డయాగ్రామ్‌ల నుండి వంగుదల వల్ల కలిగే ఒత్తిడి పంపిణీ σ ను, చివరి రేశాల అంగీకరించిన విస్తరణ ε__r కు అనుగుణంగా నిర్ధారించి, అక్కడి నుండి సమీకరణ ద్వారా వంగింపు క్షణాన్ని నిర్ణయిస్తారు. దీనిని వేర్వేరు ε__r లకు అమలు చేసి, మరోవైపు తగిన వంగుదల వక్రత w’’ = 2 ε__r / h ను లెక్కిస్తే, అనేక బిందువులు లభిస్తాయి; వాటి గుండా వంగింపు క్షణం మరియు వక్రత మధ్య సంబంధాన్ని ఇచ్చే రేఖను గీయవచ్చు M = M(w’’); ఈ సంబంధం ఇక రేఖీయంగా ఉండదు, అది తెలిసినప్పుడు గ్రాఫికల్ సమీకరణ ద్వారా ఇచ్చిన క్షణాల పంపిణీకి అనుగుణమైన వంగుదల రేఖను నిర్ణయించవచ్చు. విభాగం అసమమితిగా ఉంటే, ప్రతి ε__r కోసం న్యూట్రల్ అక్షం స్థానాన్ని కూడా నిర్ణయించాల్సి రావడం వల్ల లెక్కింపు మరింత సంక్లిష్టమవుతుంది.

చిత్రం 8

విభాగ సమమితితో పాటు, ఆకృతి మరియు విస్తరణల మధ్య సరళీకృత సంబంధాన్ని కూడా చిత్రం 8 ప్రకారం అనుకుంటే లెక్కింపు కొంతవరకు సులభమవుతుంది. అప్పుడు యీల్డ్ పరిమితిని దాటిన తర్వాత వంగుదల వల్ల కలిగే ఒత్తిళ్ల పంపిణీ చిత్రం 9లో చూపినట్లుగా ఉంటుంది, మరియు వంకర మోమెంట్ ఇలా ఉంటుంది:

అప్పుడు వంపు రేఖ యొక్క వక్రత, సమీకరణ (2) ను నామధోరణులు ఎలాస్టిక్ పరిధిలో ఉన్న విభాగ భాగంపై వర్తింపజేసినప్పుడు పొందబడుతుంది w’’ = σf / Ez’. ప్రతి స్వీకరించిన z’ కోసం విభాగ ఆకారం తెలిసి ఉంటే సమీకరణాలను లెక్కించవచ్చు. ఉదాహరణకు, వెడల్పు b మరియు ఎత్తు h కలిగిన దీర్ఘచతురస్ర అడ్డ విభాగం యొక్క అత్యంత సరళ సందర్భంలో ఇది

ఇక్కడ z’ ను w’’ ద్వారా వ్యక్తపరిస్తే, పొందబడుతుంది

I-విభాగాలు మరియు వాటికి సమానమైన వాటిలో, ప్లాస్టిక్ ప్రాంతంలో M-w’’ వక్రత యొక్క ప్రవాహం మరింత తక్కువగా ఉంటుంది, మరియు అప్పుడు ద్రవీభవనం ప్రారంభమయ్యే మోమెంట్ ఆ విభాగం సాధారణంగా భరించగలిగే గరిష్ఠ వంగింపు మోమెంట్‌కు దాదాపు సమానం. అందువల్ల నిర్మాణ ఇంజనీరింగ్‌లో ప్లాస్టిక్ వంపు ప్రాధాన్యం, ఆ విభాగం మోయగల వంగింపు మోమెంట్‌ను పెంచడంలో కాకుండా, ద్రవీభవన సరిహద్దులో ఏర్పడే పెద్ద స్థానిక వికృతి స్థిర నిర్ధిష్టం కాని వ్యవస్థల్లో బలాల పంచకంలో అనుకూల మార్పుకు దారితీయగలదనే విషయത്തിലാണ്.

చిత్రం 9

దీనిని రెండు స్పాన్లపై నిరంతర బీమ్ ఉదాహరణతో వివరించవచ్చు. బీమ్‌ (ఆకృతి 10) కు సమాన పొడవు గల స్పాన్లు, స్థిరమైన క్రాస్-సెక్షన్ ఉన్నాయని, మరియు అది సమంగా పంచబడిన లోడుతో లోడ్ చేయబడిందని భావించండి. అప్పుడు యీల్డ్ పరిమితి చేరుకునే ముందు ఆధారంపై ఉన్న మొమెంట్ MB = _pl_2/8. లోడ్ p ను అంతగా పెంచితే ఆధార విభాగంలో మొమెంట్ Mf విలువకు చేరి యీల్డింగ్ ప్రారంభమవుతుంది; తదుపరి లోడ్ పెరుగుదలతో ఆ చోట వంకర పెరుగుతుంది, కానీ మొమెంట్ గణనీయంగా పెరగదు. అలా చెప్పబడే ప్లాస్టిక్ హింజ్ ఏర్పడుతుంది, అంటే అదనపు లోడులో బీమ్ మధ్య ఆధారంపై హింజ్ ఉన్నట్టే ప్రవర్తిస్తుంది. దాదాపు మధ్య స్పాన్‌లో గరిష్ఠ మొమెంట్ ఉన్న చోట కూడా యీల్డింగ్ ప్రారంభమయ్యే వరకు లోడును మరింత పెంచవచ్చు. దాని తరువాత వంగింపు మొమెంట్‌ను ఇక పెంచలేము, బీమ్ భరించగల సామర్థ్యం పూర్తిగా వినియోగించబడుతుంది. ఈ స్థితి ఏర్పడే లోడును పరిమిత లోడ్ అంటారు.

Fig. 10

సాధారణంగా, ఒక n సార్లు స్థాటికంగా అనిశ్చితమైన వ్యవస్థలో, వ్యవస్థ కదిలేలా మారి తన మోసుకెళ్లే పరిమితిని చేరుకునే ముందు (n+1) ప్లాస్టిక్ జాయింట్లు ఏర్పడాలని ఆశించవచ్చు. అయితే ఈ నియమానికి ఇరువైపులా మినహాయింపులు ఉన్నాయి. సూచించిన ఉదాహరణ చూపినట్లుగా, మోసుకెళ్లే పరిమితి వద్ద ఒకేసారి రెండు కొత్త ప్లాస్టిక్ జాయింట్లు (ఇరు క్షేత్రాల్లో) ఏర్పడవచ్చు, తద్వారా అప్పటివరకు ఇంకా స్థిరంగా ఉన్న వ్యవస్థ ఒక్కసారిగా రెండు స్వేచ్ఛా డిగ్రీలున్న వ్యవస్థగా మారుతుంది. మరోవైపు (n+1) కంటే తక్కువ ప్లాస్టిక్ జాయింట్లతో కూడా స్థానికంగా మోసుకెళ్లే సామర్థ్యం పూర్తిగా ఖర్చవడం సాధ్యం, ఉదాహరణకు నిరంతర బీమ్‌లో ఒకే క్షేత్రం విఫలమైనప్పుడు. ఆకు. 11 స్థాటికంగా రెండుసార్లు అనిశ్చితమైన n=2 ప్లాస్టిక్ జాయింట్ల వ్యవస్థలో ఇది ఎలా జరగవచ్చో చూపుతుంది. బీమ్ యొక్క కుడి వైపున నాలుగో క్షేత్రం కూడా జోడిస్తే, బీమ్ మూడుసార్లు స్థాటికంగా అనిశ్చితమవుతుంది; అప్పుడు ఎడమ క్షేత్రాన్ని మాత్రమే మోసుకెళ్లే పరిమితికి తీసుకురావడానికి (n-1) ప్లాస్టిక్ జాయింట్లు సరిపోతాయి.

ఆకృతి 11

వంగింపులోని షియర్ ఒత్తిడులు

మౌలిక గణన

Fig. 12

సాధారణ ఒత్తిడులు σ, అంటే వంగింపు వలన వాస్తవంగా ఏర్పడే ఒత్తిడులు మాత్రమే వంగిన దండంలో ఉండవు; వాటితో పాటు అడ్డ బలం ప్రభావం వల్ల కత్తిరింపు ఒత్తిడులు కూడా ఏర్పడతాయి. కత్తిరింపు ఒత్తిడుల వల్ల వచ్చే రూపాంతరాలను విస్మరించడమే వంగింపు సాంకేతిక సిద్ధాంతం యొక్క ప్రధాన లక్షణం కాబట్టి, వీటిని సమతుల్యత షరతుల నుంచే నిర్ణయించగలము. దీన్ని స్థాపించడానికి, గిర్డర్ మూలకం dx ను, చిత్రం 12లో చూపినట్లుగా, ఒక సమతలంతో రెండు భాగాలుగా కత్తిరించి, దిగువ భాగంపై పనిచేసే అడ్డ బలాల సమతుల్యత షరతు ఏర్పాటు చేస్తారు. ఎడమ వైపున అవి వంగింపు కారణంగా σ ఒత్తిడులతో వ్యక్తమయ్యే అంతర్గత బలాలు, వీటిని z’ = z నుండి z’ = h2 వరకు సమగ్రపరచాలి

కుడి వైపున కూడా అదే ఒత్తిడులు పనిచేస్తాయి, అయితే సంబంధిత వంపు మోమెంట్ M + dM ప్రకారం అవి డిఫరెన్షియల్ మేరకు పెరుగుతాయి. మూలకానికి ఇరువైపులా ఉన్న బలాల మధ్య తేడా, సమాంతర సమచ్ఛేద ఉపరితలం _t dx_లో పనిచేసే షీర్ ఒత్తిడులు τ వల్ల ఏర్పడే బలంతో సమతుల్యంలో ఉండాలి:

ఇక్కడ సమాకలనం హారిజాంటల్ అడ్డ సమతలంతో వేరు చేయబడిన క్రాస్-సెక్షన్ భాగం యొక్క స్థిర క్షణాన్ని, విభాగం యొక్క గురుత్వాకర్షణ అక్షానికి సంబంధించి సూచిస్తుంది. దీనిని S గా సూచిస్తారు. dM/dx = Q నుండి సమతుల్యత షరతు ప్రకారం పొందేది:

τ = QS/It.  (8)

స్మీయించే ఒత్తిళ్ల సంయుక్తత సూత్రం ప్రకారం, ఇది అడ్డ విభాగం ఉపరితలంలో పనిచేసే నిలువు స్మీయించే ఒత్తిడి యొక్క పరిమాణం కూడా, మరియు ఇది S మరియు t తో కలిసి z పై ఆధారపడే ఫంక్షన్ కూడా.

చిత్రం 13

చిత్రం 13.1

సమీకరణ (8) సన్నని గోడలతో ఉన్న అన్ని విభాగాలకు నమ్మదగిన డేటాను అందిస్తుంది, అయితే విభాగ సమతలం తటస్థ అక్షానికి సమాంతరంగా కాకుండా గోడ మందం దిశలో ఉంచాలి. అందువల్ల I-ప్రొఫైల్‌ను జాలం మీద అడ్డంగా మరియు ఫ్లాంజ్ మీద అడ్డంగా కత్తిరిస్తారు; దీని ఫలితంగా చిత్రం 13.1 లో చూపిన ఒత్తిడి పంపిణీ లభిస్తుంది. వలయాకార విభాగంలో (చిత్రం 13) షియర్ ఒత్తిడులు నిలువు వ్యాసానికి సంబంధించి సమమితిగా ఉండి, ఎడమ మరియు కుడి వైపుల తటస్థ రేఖపై గరిష్ఠాన్ని చేరుకుంటాయి

τ = Q / πrt.

విభాగాన్ని అత్యున్నత లేదా అత్యల్ప స్థానంలో కోస్తే, కత్తిరింపు నామధోరణుల పంపిణీ మారదు; అయితే, దాన్ని అడ్డ వ్యాసం యొక్క కుడి చివర వద్ద (sl. 14) కోస్తే, ఆ చోట కత్తిరింపు నామధోరణి సున్నా అవుతుంది, అదే వ్యాసం యొక్క ఎడమ చివర వద్ద దాని విలువ రెండింతలు అవుతుంది.

చిత్రం 14

పూర్తి విభాగాలు

అనియత ఆకారమున్న ఘన విభాగాలలో కోయు ఒత్తిడుల సమస్య టార్షన్ సమస్యతో సమీపంగా సంబంధించిఉంటుంది. ఆ సందర్భంలో ప్రాథమిక సమీకరణ (8) ఇక విశ్వసనీయంగా ఉండదు. వ్యాసార్థం r గల వృత్తాకార విభాగానికి సమీకరణ (8) ఇస్తుంది

τ = 4Q / 3__πr2

తటస్థ అక్షం వెంట ఉన్న శీర్ ఒత్తిడి యొక్క సగటు విలువగా, మరియు ఖచ్చితమైన విలువ కేవలం కొన్ని శాతం మాత్రమే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

షీర్ కేంద్రం

U-విభాగం కోసం పై విధంగా షీరింగ్ ఒత్తిడులను లెక్కిస్తే, చిత్రంలో చూపిన ఒత్తిడి పంపిణీ లభిస్తుంది 15. సంబంధిత అంతర్గత బలాల ఫలితం అనునాద బలం Q. చిత్రంలో దాని స్థానాన్ని విభాగానికి సంబంధించి చూడవచ్చు, అంటే అది విభాగపు భారకేంద్రం గుండా పోదు, అలాగే రిబ్ సమతలంలో కూడా ఉండదు. బాహ్య బలాల ఆధారంగా లెక్కించిన అనునాద బలం చిత్రంలో చూపిన స్థానంలో లేకపోతే 15, బీమ్‌పై కేవలం వంచన మాత్రమే కాకుండా, టార్షన్ కూడా ఉంటుంది.

అదే అడ్డ విభాగానికి, ఏదో ఒక అడ్డ లోడుకు సంబంధించిన షీరు ఒత్తిడులకు సరిపడే ఫలిత బలాన్ని నిర్ణయిస్తే, అడ్డ అడ్డబలానికి దాడి రేఖ లభిస్తుంది. ఈ రెండు దాడి రేఖల సంగమంలో ఆ అడ్డ విభాగానికి లక్షణాత్మకమైన బిందువు ఉంటుంది; దానిని షీరు కేంద్రం M అంటారు. అన్ని అడ్డ విభాగాల షీరు కేంద్రాలు ఒకే సూటి రేఖపై ఉన్నప్పుడు, మరియు దండ అక్షానికి లంబంగా ఉన్న అన్ని భారాలు ఆ రేఖ గుండా వెళ్తే, బీమ్‌లో మలుపు వల్ల కలిగే ఒత్తిడులు ఉత్పన్నం కావు. లేనిపక్షంలో, ప్రతి భారం యొక్క ఘడియ, షీరు కేంద్రాలను కలిపే రేఖ పట్ల, మలుపు-షీరు (టోర్షనల్ షీరు)ని సూచిస్తుంది.

చిత్రం 15

అడ్డబలం ప్రభావం వంగింపుపై

వంగింపునకు సంబంధించిన సాంకేతిక సిద్ధాంతం షియర్ ఒత్తిడుల వల్ల కలిగే రూపాంతరాలను విస్మరించడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. కాబట్టి ఇది నిజంగా సన్నని దండాలకు వర్తిస్తుంది; అక్కడ ఈ విస్మరణ సముచితమైనది, అలాగే అడ్డ బలం వంగింపుపై గణనీయమైన ప్రభావం చూపదు.

అయితే అనుభవం చూపింది ఏమనగా సాంకేతిక వంగింపు సిద్ధాంతాన్ని కొంత విజయంతో చిన్న, ఎత్తైన ఆధారాలకూ ప్రయోగించవచ్చు, నిజానికి వాటి కోసం అది అసలు ఉద్దేశించబడలేదు. అప్పుడు, ఈ సిద్ధాంతంలో నిర్లక్ష్యం చేసిన షీర్ ఒత్తిళ్ల వల్ల కలిగే రూపాంతర ప్రభావాన్ని కనీసం సుమారుగా అయినా తర్వాత పరిగణనలోకి తీసుకోవాల్సిన అవసరం స్పష్టమవుతుంది.

వక్రణ బలాల వల్ల ఏర్పడే షీర్ ఒత్తిళ్లు τ మరియు వాటికి అనుగుణమైన జారింపులు γ_’ =_ τ_/G_ కూడా విభాగంలో అసమానంగా పంచబడతాయి. అందువల్ల వాటి సగటు విలువ γ ను ప్రవేశపెడతారు; ఈ సగటు వికృతి విలువ వద్ద, వక్రణ బలం గమనించిన గడ్డ ముక్క యొక్క dx పై చేసే వికృతి పని, ఆ గమనించిన గడ్డ ముక్కను రూపొందించే ప్రత్యేక ఘన ఘటకాలపై షీర్ ఒత్తిళ్ల పనులను సమీకరించడం ద్వారా లభించే పనికి సమానంగా ఉండేలా ఇది నిర్ణయించబడుతుంది:

అక్కడి నుంచి ఇది

సెక్షన్‌లోని షీర్ ఒత్తిడుల పంపిణీ తెలిసినప్పుడు సమాకలనం లెక్కించవచ్చు. అన్ని షీర్ ఒత్తిడులు Q/F కు అనుపాతంగా ఉన్నందున, దాని విలువ Q2/F2 * F కు అనుపాతంగా ఉంటుంది, కాబట్టి అది κ__Q2/F అని ఉంచితే, పొందబడుతుంది

γ = κ__Q / GF.

స్థిరాంకం κ ను షియర్ ఒత్తిళ్ల పంపిణీ గుణకం అంటారు. చతురస్రాకార విభాగాల కోసం κ=1,2.

Fig. 16

κ గుణకం తెలిసినప్పుడు, అందువల్ల సగటు జారుడు γ కూడా తెలిసినప్పుడు, అడ్డ దిశ బలాల ప్రభావంతో ఏర్పడే అదనపు వంకర wQ ను లెక్కించవచ్చు, దీనిని w వంకరలకు జోడించాలి: ఎందుకంటే చిత్రం 16 ప్రకారం ఇది

అందువల్ల Q = dM/dx కారణంగా:

దీనిలో సమీకరణ స్థిరాంకం ఒక సరిహద్దు షరతు నుండి పొందబడుతుంది.