Eðlileg spenna í beinum stöngum og stöngum með lítilli sveigju
Skilgreining á skurðkröftum
Látum bein stöng vera hlaðna kröftum af handahófskenndum stefnum, um hvaða aðeins er gert ráð fyrir að þeir liggi allir í sama fleti (kraftaflöturinn) sem gengur í gegnum ás stangarinnar (lína sem tengir þyngdarmiðjur þversniða).
Mynd 1
Til að reikna út spennur sem verka í einhverju þversniði n – n (mynd 1), þarf að þekkja þann kraft sem fluttur er gegnum þetta þversnið frá einum hluta stangarinnar til annars. Hann er augljóslega jafn, að stærð og staðsetningu, við niðurstöðu allra krafta sem verka á annan hluta stangarinnar. Þessari niðurstöðu er skipt niður í þætti í hnitakerfi þar sem x-ásinn samsvarar ási stangarinnar, en z-ásinn er línan eftir því sem plan þversniðsins sker kraftaplanið. Þátturinn í stefnu z-ássins kallast þverkraftur Q eða Qz og hjá einföldum bjálka er hann talinn jákvæður ef hann hefur stefnu upp á við vinstra megin við sniðið, en niður á við hægra megin.
Þegar stöngin er bogin hafa hnitásarnir x og z í hverjum sniði aðra stefnu og það þannig að x-ásinn er snertill við ás stangarinnar. Ef planið sem ás stangarinnar liggur í fellur ekki saman við kraftaplan, eða ef ás stangarinnar er rúmferill, hefur heildarkrafturinn vinstra megin við sniðið einnig þriðja þáttinn, þverkraftinn Qy. Með N, Qz og Qy eru stærð og stefna kraftsins sem flyst yfir sniðið ákveðin, en ekki staðsetning hans. Til þess þarf einnig að þekkja momentin hans gagnvart hnitöxunum. Þegar um er að ræða beygju í einu plani er nægilegt að beygjumomentið M eða My sé þekkt. Í almennasta tilviki kemur enn eitt beygjumoment Mz og moment um x-ásinn, Mx.
Sex kraftar og mómönt sem skilgreindir voru í fyrri umfjöllun eru sameinaðir undir heitinu „sniðkraftar“. Ákvörðun þeirra er eitt af grunnverkefnum stöðugfræðinnar í burðarvirkjum.
Milli jafndreifðs álags p (eining: kraftur á lengdareiningu), þverstæðukrafts Q og beygjumóments M er í tilfelli flatrar beygju einfalt samband. Þannig fæst af jafnvægisskilyrðum eins stöngarhluta (mynd 2)
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
því
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Mynd. 2
Dreifing normalspenna
Ef stöng er aðeins hlaðin ásálagi kemur í þverskurðinum aðeins fram jafnt dreift normalspenna σ (togin, þ.e. þrýstin stöng). Ef einnig kemur fram beygjumóment, verða þessar spennur á einhvern hátt að vera ójafnt dreifðar, þannig að niðurstaða þeirra fari ekki lengur um þyngdarmiðju þverskurðarins. Til að ákvarða þessa dreifingu byggir verkfræðileg beygjukenning ekki á ströngri lausn grunnjöfnanna, heldur kemur hún í stað hluta þeirra jöfnna með trúverðugri forsendu sem í einu sérstaklega einföldu tilviki er jafnframt stranglega uppfyllt. Þetta sérstaka tilvik er beygja beins prismatísks stangar án verkunar þverkrafta (mynd 3). Allir hlutar stangarinnar sem eru nægilega fjarri endum hennar gangast undir sömu aflögun, sem leiðir beint af sér að ás stangarinnar breytist í hringboga og að allir fletir þverskurða sem upphaflega voru hornréttir á ás stangarinnar haldast við aflögun sléttir, því hver þeirra er samhverfuflötur fyrir nærliggjandi hluta aflagaða stangarsins. Náttúruleg er sú forsenda að þverskurðirnir haldist að jafnaði sléttir jafnvel þegar beygjumómentið og þverskurður stangarinnar eru ekki fastir, heldur breytast smám saman eftir lengd stangarinnar. Þessi forsenda, sem nefnist Navier-horf, er grundvöllur beygjukenningarinnar.
Mynd 3
Stærð normalspenna
Þegar beygður er beinn burðarhluti geisla teygist annar hluti „þráða“ hans, þ.e. efnislínur sem liggja samsíða ás stangarinnar, en hinn hlutinn styttist (mynd 4). Milli þessara tveggja hluta liggja hlutlausu þræðirnir z=0, en lengd þeirra breytist ekki við beygju. Látum beygjuradíus þessara þráða í beygðu ástandi vera ϱ og láti hann liggja í x-z planinu. Af mynd 4 m má lesa
Δ dx/z = _dx/_ϱ
og þaðan reiknuð trefjaslökun í fjarlægð z frá hlutlausa ásnum, sem er
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
þá verður, á grundvelli laga Hooke-s, spennan
σ _= Ez/_ϱ (2)
Mynd. 4
Þetta álag er í réttu hlutfalli við fjarlægðina frá hlutlausum þráðum. Slík niðurstaða byggist á þeirri forsendu að áður en aflögun átti sér stað hafi allir þræðir stöngarinnar verið jafn langir, þannig að stöngin hafi upphaflega verið bein, eða að minnsta kosti með svo lítilli sveigju að áhrif hennar megi líta fram hjá. Línan þar sem hlutlausa lagið og skurðfletið skerast nefnist hlutlaus ás. Við tökum hann sem y-ásinn (sl. 5). Staða hlutlausa ásins í þversniði fæst af jafnvægisskilyrði krafta í stefnu x-ássins: ef normalkrafturinn N=0 (beygja án normalkrafts), þá verður einnig niðurstaða innri krafta, tjáð með normalspennum í sniðinu, að vera jöfn núlli:
Heildið hægra megin er stöðumat flatarmálsins með tilliti til y-ássins. Til þess að það sé jafnt núlli verður þessi ás að vera einn af þyngdarásunum.
Mómentið M sem veldur aflögun hefur, miðað við ásana y og z í plani sniðsins (mynd 5), eftirfarandi þætti:
Jfn. (3)
þar sem Iy, Iyz eru jafndreifis- og miðflótta tregðumóment þversniðsins miðað við tilgreinda ása.
Mikilvægasta sérstaka tilvikið er þegar Mz=0. Þetta tilvik kemur upp þegar Iyz=0, þ.e. þegar y og z eru aðal tregðusöxlar þversniðsins. Þetta þýðir að beygjuplanið sem hér er tekið sem x-z-plan fellur saman við planið þar sem beygjumómentið M=My verkar, þ.e. við aflsplanið.
Mynd 5
Ef úr jöfnunum (2) og (3) er eytt _E/_ϱ, fæst formúlan til að ákvarða spennu við hreina beygju (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
fyrir jaðarpunktana 1 og 2 er sérstaklega:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Stærðir W1,2 = I/h1,2 (vídd: lengd í þriðja veldi) eru kallaðar mótstöðuvægi. Ef lárétti þyngdarmiðjuásinn er jafnframt samhverfuás sniðsins, þá er W1 = W2, og því eru jaðarspennurnar jafnar að algildri stærð.
Teigjanlega línan
Mynd. 6
Mikilvægi fyrrnefndu formúlanna er tengt lögmáli Hooke. Það krefst þess að σ << E, þ.e. samkvæmt (2) h << ϱ. Beygjan má þó vera svo mikil að ϱ sé í sömu stærðargráðu og lengd stöngarinnar l. Hjá bognum stöngum sem koma til greina í mannvirkjagerð kemur þetta ekki fyrir; ávallt er ϱ miklu stærra en l og því er niðurfellingin w << l (sl. 6). Þá gildir nálægt:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
og á grundvelli (3):
w’’ = - M/EI.
Þessi jafna og jafnvægisskilyrðið (1b) mynda kerfi diffurjafna sveigsstangar. Með útilokun má færa þær niður í eina fjórðu stigs jöfnu:
wIV = + p/EI
eða, ef tregðuvægið er breytilegt:
(EIw’’)’’ = +p.
Út frá þeim má með heildun finna lögun teygjulínu þegar álagið p=p(x) er gefið og þegar fyrir hvert tilvik stangarinnar eru tvö jaðarskilyrði þekkt. Af þessum verða a.m.k. tvö að tengjast aflögun. Frekari upplýsingar í grein Statika byggingarvirkja.
Kjarni sniðsins
Ef hlutlaus ás sker þversniðið, skiptir hann því í togsvæði og þrýstisvæði. Í efnum með lítinn togstyrk vaknar spurningin hvar þrýstikrafturinn eigi að verka, ef ekkert tog má koma fram á neinum stað í þversniðinu. Staðsetning álagspunktar kraftsins takmarkast þá við svæði sem kallast kjarni þversniðs. Mörk kjarnans eru augljóslega markalína punkta sem hlutlausir ásar snerta þversniðið eftir ummálinu. Með þessu er jafnframt gefin smíði hans.
Fjarlægð skilgreinandi kjarna frá þungamiðju, mæld í hvaða stefnu sem er, munum við tákna með k og viðkomandi stefnuindeks. Fyrir megin tregðuása samkvæmt jöfnunni
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
hugtökin eru eftirfarandi:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Fyrir hringlaga þversnið með geisla r er kjarnafærnin k = r/4, en fyrir hringlaga hring (geislar: ytri R, innri r) k = (R2 + r2) / 4R.
Fyrir rétthyrninginn (mynd 7) gildir ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Því nægir, við álag á rétthyrnt þversnið í einu af samhverfissléttunum (en aðeins þá), að mælikrafturinn verki í miðþriðjungi hæðar eða breiddar þversniðsins, til þess að spennurnar í þversniðinu hafi sama formerki.
Mynd 7
Beygja á plastsvæði
Þegar flæðimörkum hefur verið náð í ystu trefjum boginnar stangar er burðargeta hennar þó ekki enn uppurin, því á meðan ystu trefjarnar aflaga plastískt við stöðugt álag, eykst spennan í hlutum sem liggja nær hlutlausum ás, þar sem flæðimörkum hefur enn ekki verið náð, og þar með eykst einnig beygjumómentið sem sniðið getur tekið við.
Ef nákvæmt ferli spennu- og aflögunarritsins er þekkt, er hægt að fylgja ferlinu reikningslega fyrir tvísamhverfar þverskurði (hæð h) á þann hátt að, með þeirri forsendu að þverskurðirnir haldist sléttir, er úr spennu- og aflögunarritinu ákvarðað spennudreifingin σ vegna beygju sem samsvarar ákveðinni tekninni togun endafibra ε__r og þaðan er beygjumómentið ákvarðað með heildun. Ef þetta er framkvæmt fyrir mismunandi ε__r og hins vegar samsvarandi sveigja sveigjulínunnar reiknuð w’’ = 2 ε__r / h, fæst röð punkta sem hægt er að draga línu í gegnum, sem gefur sambandið milli beygjumóments og sveigju M = M(w’’); þetta samband er ekki lengur línulegt, og þegar það er þekkt er unnt að ákvarða með grafískri heildun sveigjulínuna sem samsvarar gefinni dreifingu mómenta. Ef þverskurðurinn er ósamhverfur verður útreikningurinn flóknari, að því leyti að fyrir hvert ε__r verður einnig að ákvarða staðsetningu hlutlausa ása.
Mynd 8
Útreikningurinn einfaldast að vissu marki ef, auk samhverfu þversniðsins, er einnig gert ráð fyrir einfölduðu sambandi milli spennu og aflögunar samkvæmt mynd 8. Þá hafa spennurnar vegna beygju eftir að markaflæði er farið að sýna þá dreifingu sem sýnd er á mynd 9 og beygjumómentið er:
þá fæst sveigjukröppun fórlínu þegar jafnan (2) er beitt á þann hluta sniðsins þar sem spennurnar eru á teygjusvæðinu w’’ = σf / Ez’. Ef sniðformið er þekkt fyrir hvert valið z’ má reikna heildirnar. T.d. fyrir einfaldasta tilfellið, rétthyrnt þversnið með breidd b og hæð h, er
Ef z’ er hér sett fram með hjálp w’’, fæst
Hjá I-þversniðum og þeim sem eru þeim lík er ferill M-w’’ kúrfunnar á plastíska sviðinu enn flatari og segið sem kemur fram þegar flæði hefst er þá í reynd jafnt mesta beygjumómenti sem þversniðið getur yfirhöfuð borið. Þess vegna felst mikilvægi plastískrar beygju í byggingariðnaði ekki í því að auka beygjumómentið sem þversnið getur borið, heldur í því að mikil staðbundin aflögun sem verður við flæðimörkin getur leitt til hagstæðrar breytingar á álagaskiptingu í statískt óákveðnum kerfum.
Mynd 9
Þetta má skýra með dæmi um samfelldan burðarbita yfir tvö reiti. Gerum ráð fyrir að burðarbiti (mynd 10) hafi reiti með jafnri lengd, fasta þversnið og sé hlaðinn jafndreifðu álagi. Þá er áður en flæðimörkum er náð beygjumómentið yfir stuðningi MB = _pl_2/8. Ef álagið p er aukið svo mikið að mómentið í stuðningstversniðinu nái gildinu Mf þar sem flæði hefst, mun við frekari aukningu álagsins sveigjan á þeim stað aukast án teljandi aukningar á mómenti. Svonefndur plastlegur liður myndast, þ.e. burðarbitið hegðar sér undir viðbótarálagi eins og liður væri yfir miðstuðningnum. Hægt er að auka álagið áfram þar til flæði hefst einnig á staðnum þar sem mesta mómentið er í spenninu. Frekari aukning beygjumóments er þá ekki lengur möguleg og burðargeta burðarbitsins er uppurin. Álagið sem veldur þessu ástandi er kallað markálag.
Mynd. 10
Almennt má gera ráð fyrir að í kerfi sem er n sinnum statískt óákveðið þurfi að myndast (n+1) plastliðir áður en kerfið verður hreyfanlegt og nær þannig burðarmörkum sínum. Þessi regla hefur þó undantekningar í báðar áttir. Eins og nefnda dæmið sýnir geta tveir nýir plastliðir myndast samtímis við burðarmörkin (í báðum reitum), þannig að kerfi sem þar til þá var enn óhreyfanlegt breytist skyndilega í kerfi með tveimur frígráðum. Hins vegar er einnig mögulegt að burðargeta tæmist staðbundið með færri en (n+1) plastliðum, t.d. þegar aðeins eitt svið í samfelldum burðarbitara gefur sig. Mynd 11 sýnir hvernig það getur gerst í einu tvívegis statískt óákveðnu kerfi með n=2 plastliði. Ef bætt er við fjórða reitnum hægra megin við burðarann verður burðarinn þrívegis statískt óákveðinn, svo að (n-1) plastliðir nægja til að koma aðeins vinstri reitnum að burðarmörkum.
Mynd. 11
Skerspennur við beygju
Elementarútreikningur
Mynd. 12
Venjuleg spenna σ, þ.e. spannirnar sem í raun koma fram vegna beygju, eru ekki einu spennurnar í beygðri stöng, heldur koma þar einnig fram skerspennur vegna áhrifa þverstæðs krafts. Í ljósi þess að megineinkenni tæknilegrar beygjukenningar er að aflögun vegna skerspennu er vanrækt, má ákvarða þessar aðeins út frá jafnvægisskilyrðum. Til að setja þetta fram er burðarþátturinn dx skorinn, eins og sýnt er á mynd 12, með láréttu plani í tvo hluta, og sett er jafnvægisskilyrði fyrir lárétta krafta sem verka á neðri hlutann. Á vinstri hlið eru það innri kraftar tjáðir með spennunum σ vegna beygju, sem þarf að heilda frá z’ = z til z’ = h2
Á hægri hlið virka sömu spennur, en auknar um mismuninn samkvæmt samsvarandi beygjumóti M + dM. Mismunurinn á öflunum á báðum hliðum frumefnisins verður að vera í jafnvægi við kraftinn vegna klippispennu τ sem verkar í lárétta þversniðsflatarmálinu t dx:
Hér táknar heildið statíska þrýstingsvægi hluta þversniðsins sem er afmarkaður með láréttri þversléttu, miðað við þungamiðjuás þversniðsins. Það er táknað með S. Af jafnvægisskilyrðinu dM/dx = Q fæst:
τ = QS/It. (8)
Samkvæmt reglu um samsvörun skerspennna er það um leið stærð lóðréttu skerspennunnar sem verkar á yfirborð þversniðsins og er, ásamt S og t, fall af z.
Mynd. 13
Mynd 13.1
Jafnan (8) gefur áreiðanlegar upplýsingar fyrir alla þunnveggja þversnið ef þverskurðarplanið er ekki lagt samsíða hlutlausa ásnum, heldur í stefnu veggþykktarinnar. Þannig er I-sniðið skorið þversum í gegnum strenginn og þversum í gegnum flansinn, sem gefur álagsdreifinguna sýnda á mynd 13.1. Hjá hringsniðinu (mynd 13) eru skerspennurnar dreifðar samhverft gagnvart lóðréttu þvermáli og til vinstri og hægri á hlutlausu línunni ná þær hámarki
τ = Q / πrt.
Ef sniðið er skorið við hæsta eða lægsta stað breytist dreifing skerspennunnar ekki; hins vegar, ef það er skorið við hægri enda lárétta þvermálsins (mynd 14), er skerspennan á þeim stað núll, en gildi hennar tvöfaldast við vinstri enda sama þvermáls.
Mynd 14
Heilir þverskurðir
Hjá heilum sniðum af hvaða lögun sem er er vandamálið um skerspennur nátengt torsionsvandamálum. Grunnjafnan (8) er í því tilfelli ekki lengur áreiðanleg. Fyrir hringlaga snið með radíus r gefur jafnan (8)
τ = 4Q / 3__πr2
sem meðalgildi skerspennunnar eftir hlutlausri ás, en nákvæm gildi er aðeins nokkrum prósentum hærra.
Skers miðja
Ef skerandi spennur fyrir U-þversnið eru reiknaðar á þann hátt sem lýst er hér að ofan, fæst spennudreifingin sem sýnd er á sl. 15. Vigur samsvarandi innri krafta er þverskrafturinn Q. Á myndinni má sjá staðsetningu hans gagnvart þversniðinu, þannig að hann fer hvorki í gegnum þyngdarmiðju þversniðsins né liggur í plani vefjarins. Ef þverskrafturinn sem reiknaður er út frá ytri kröftum hefur ekki þá staðsetningu sem sýnd er á sl. 15, er burðarvirkið ekki aðeins hlaðið vegna beygju, heldur einnig vegna snúnings.
Ef fyrir sama þversnið er ákvarðaður samanlagður kraftur sem samsvarar klippiálögunum fyrir eitthvert lárétt álag, fæst álagslínan fyrir lárétta þverkraftinn. Í skurðpunkti þessara tveggja álagslína er einkennispunktur fyrir viðkomandi þversnið, sem kallast klippimiðja M. Í burðarþætti koma ekki fram spennur vegna snúnings þegar klippimiðjur allra þversniða liggja á einni beinni línu og öll áföll hornrétt á ás stöngarinnar fara í gegnum þá línu. Að öðrum kosti er moment hvers álags miðað við beina línu sem tengir klippimiðjurnar og táknar snúningsklippingu.
Mynd. 15
Áhrif þverkrafts á beygju
Tæknilega sveigjukenningin byggist á því að líta fram hjá aflögunum vegna skerspennu. Hún má því í raun aðeins beita á mjóar stangir, þar sem slík einföldun er réttlætanleg og þar sem þverkrafturinn hefur ekki teljanleg áhrif á sveigjuna.
Reynslan hefur hins vegar sýnt að tæknilega beygjukenninguna má með nokkrum árangri einnig beita á stutta, háa burðarþætti, sem hún er í raun alls ekki ætluð fyrir. Þá kemur í ljós þörf fyrir að áhrif aflögunar vegna klippiálags, sem eru í þessari kenningu vanrækt, séu tekin, að minnsta kosti með nálgun, til viðbótar í reikninginn.
Á sama hátt og klippiálagið τ vegna þverkrafta og samsvarandi rennsli γ_’ =_ τ_/G_ dreifast ójafnt yfir sniðið. Þess vegna er tekin inn meðalgildi þeirra γ, sem er ákvarðað þannig að þverkrafturinn valdi, við þetta meðalgildi aflögunar, aflögunarvinnu á geislaeiningunni dx sem er jöfn þeirri vinnu sem fengist með því að heilda vinnu klippiálaganna yfir einstaka rúmeiningar sem mynda hina skoðuðu geislaeiningu:
hvaðan er hann
Heildið er hægt að reikna þegar þekkt er dreifing skerspennu yfir þversniðið. Þar sem allar skerspennur eru í réttu hlutfalli við Q/F, er gildi þess í réttu hlutfalli við Q2/F2 * F, og ef gert er ráð fyrir að það sé κ__Q2/F, fæst
γ = κ__Q / GF.
Fastinn κ kallast stuðull dreifingar skerspennna. Fyrir rétthyrnda þverskurði er κ=1,2.
Mynd. 16
Þegar stuðullinn κ, og þar með meðalrennslið γ, er kunnur, má reikna viðbótarniðurbeygju wQ, sem verður til vegna þverafla, og bæta við niðurbeygingunum w: því samkvæmt mynd 16 er
og því vegna Q = dM/dx:
þar sem samþættingarfastinn fæst út frá einu jaðarskilyrði.