Normalni naponi kod pravih štapova i štapova s malom zakrivljenošću
Definicija poprečnih sila
Neka je prav štap opterećen silama proizvoljnog smjera, za koje se jedino pretpostavlja da sve leže u jednoj ravnini (ravnina sila) koja prolazi kroz osovinu štapa (linija koja spaja težišta poprečnih presjeka).
Slika 1
Da bi se izračunali naponi koji djeluju u nekom poprečnom presjeku n – n (sl. 1), potrebno je poznavati silu koja se preko tog presjeka prenosi s jednog dijela štapa na drugi. Ona je očito po veličini i položaju jednaka rezultanti svih sila koje djeluju na jedan dio štapa. Ta se rezultanta razlaže na komponente u koordinatnom sustavu čija se x-osovina poklapa s osovinom štapa, a z-osovina je linija duž koje ravnina poprečnog presjeka siječe ravninu sila. Komponenta u smjeru osovine z naziva se transverzalna sila Q ili Qz i kod proste grede smatra se pozitivnom ako lijevo od presjeka ima smjer prema gore, a desno prema dolje.
Kad je štap zakrivljen, koordinatne osi x i z imaju u svakom presjeku drukčiji smjer i to uvijek tako da je x-os tangenta na os štapa. Ako se ravnina u kojoj leži os štapa ne podudara s ravninom sila, ili ako je os štapa prostorna krivulja, rezultanta sila lijevo od presjeka ima i treću komponentu, poprečnu silu Qy. S N, Qz i Qy određeni su veličina i smjer sile koja se prenosi preko presjeka, ali ne i njezin položaj. Za to je potrebno da budu poznati i njezini momenti u odnosu na koordinatne osi. U slučaju ravnog savijanja dovoljno je da bude poznat moment savijanja M ili My. U najopćenitijem slučaju pojavljuje se još jedan moment savijanja Mz i moment oko x-osi, Mx.
Šest sila i momenata definiranih u prethodnom izlaganju obuhvaćeni su zajedničkim nazivom „presječne sile“. Njihovo određivanje jedan je od osnovnih zadataka statike građevinskih konstrukcija.
Između neprekidno raspodijeljenog opterećenja p (dimenzija: sila po jedinici dužine), poprečne sile Q i momenta savijanja M postoji u slučaju ravnog savijanja jednostavan odnos. Naime, iz uvjeta ravnoteže jednog elementa štapa (sl. 2) dobiva se
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
prema tome
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Slika 2
Raspodjela normalnih napona
Ako je štap opterećen samo aksijalnom silom, u presjeku se pojavljuje samo ravnomjerno raspoređeni normalni napon σ (zategnuti, odn. pritisnuti štap). Ako se uz to pojavljuje moment savijanja, ti naponi moraju na neki način biti neravnomjerno raspoređeni, tako da njihova rezultanta više ne prolazi kroz težište presjeka. Da bi se odredio taj raspored, tehnička teorija savijanja ne polazi od strogog rješenja osnovnih jednadžbi, nego zamjenjuje jedan dio tih jednadžbi plauzibilnom pretpostavkom koja je u jednom naročito jednostavnom slučaju istodobno i strogo ispunjena. Taj specijalni slučaj je savijanje ravnog prizmatičnog štapa bez djelovanja transverzalnih sila (sl. 3). Svi elementi štapa koji su dovoljno udaljeni od njegovih krajeva trpe istu deformaciju, odakle neposredno slijedi da os štapa prelazi u kružni luk i da sve ravnine poprečnih presjeka koje su prvotno bile okomite na os štapa pri deformaciji ostaju ravne, jer je svaka od njih ravnina simetrije za susjedne dijelove deformiranog štapa. Prirodno se nameće pretpostavka da poprečni presjeci ostaju približno ravni i kada moment savijanja i poprečni presjek štapa nisu stalni, nego se duž štapa postupno mijenjaju. Ta pretpostavka, koja se naziva Navier-ova hipoteza, leži u osnovi teorije savijanja.
Slika 3
Veličina normalnih naprezanja
Kada se savije pravac grede, jedan dio njezinih „vlakana“, tj. materijalnih linija paralelnih osi štapa, isteže se, dok se drugi dio skraćuje (sl. 4). Između ova dva dijela leže neutralna vlakna z=0, čija se dužina pri savijanju ne mijenja. Neka je polumjer zakrivljenosti tih vlakana u savijenom stanju ϱ i neka on leži u ravnini x-z. Iz sl. 4 m može se pročitati
Δ dx/z = _dx/_ϱ
i odatle proračunati dilatacija vlakana na udaljenosti z od neutralne osi, koja iznosi
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
pa je na temelju Hooke-ova zakona naprezanje
σ _= Ez/_ϱ (2)
Slika 4
Ovaj je napon proporcionalan udaljenosti od neutralnih vlakana. Takav rezultat proizlazi iz pretpostavke da su prije deformacije sva vlakna elementa štapa bila jednake dužine, tako da je štap izvorno bio ravan, ili barem s toliko malom zakrivljenošću da se utjecaj zakrivljenosti može zanemariti. Prava duž koje se sijeku neutralni sloj i ravnina presjeka naziva se neutralna os. Usvajamo je za y-os (sl. 5). Položaj neutralne osi u poprečnom presjeku dobiva se iz uvjeta ravnoteže sila u smjeru x-osi: ako je normalna sila N=0 (savijanje bez normalne sile), tada i rezultanta unutarnjih sila izražena preko normalnih naprezanja u presjeku mora biti jednaka nuli:
Integral na desnoj strani jest statički moment površine u odnosu na y-os. Da bi bio jednak nuli, ta os mora biti jedna od težišnih osi.
Moment M koji izaziva deformaciju ima u odnosu na osi y i z u ravnini presjeka (sl. 5) komponente:
Jedinice (3)
pri čemu su Iy, Iyz ekvatorijalni i centrifugalni moment inercije presjeka u odnosu na označene osi.
Najvažniji je poseban slučaj kada je Mz=0. Ovaj slučaj nastupa kada je Iyz=0, tj. kada su y i z glavne osi inercije presjeka. To znači da se ravnina savijanja koja je ovdje usvojena s x-z-ravninom poklapa s ravninom u kojoj djeluje moment savijanja M=My, tj. s ravninom sila.
Slika 5
Ako se iz jednadžbi (2) i (3) eliminira _E/_ϱ, dobiva se obrazac za određivanje naprezanja pri ravnom savijanju (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
za rubne točke 1 i 2 posebno je:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Veličine W1,2 = I/h1,2 (dimenzija: duljina na treću) nazivaju se otporni momenti. Ako je horizontalna težišna os ujedno i os simetrije presjeka, tada je W1 = W2, pa su rubni naponi po apsolutnoj vrijednosti jednaki.
Fleksibilna linija
Slika 6
Važnost naprijed navedenih obrazaca vezana je uz Hookeov zakon. To zahtijeva da je σ << E, dakle prema (2) h << ϱ. Savijanje ipak smije biti toliko da je ϱ istog reda veličine kao i dužina štapa l. Kod savijenih štapova koji dolaze u obzir u građevinarstvu ovaj slučaj ne nastupa; uvijek je ϱ znatno veće od l i prema tome progib w << l (sl. 6). Tada približno vrijedi:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
i na temelju (3):
w’’ = - M/EI.
Ova jednadžba i uvjet ravnoteže (1b) čine sustav diferencijalnih jednadžbi savijenog štapa. One se eliminacijom mogu svesti na jednu jednadžbu četvrtog reda:
wIV = + p/EI
ili, u slučaju da je moment inercije promjenljiv:
(EIw’’)’’ = +p.
Iz njih se integracijom može odrediti oblik elastične linije kada je zadano opterećenje p=p(x) i kada su za svaki slučaj štapa poznata dva granična uvjeta. Od tih bar dva moraju se odnositi na deformaciju. Za pojedinosti v. članak Statika građevinskih konstrukcija.
Jezgra presjeka
Ako neutralna os seče poprečni presjek, ona ga dijeli na zonu rastezanja i zonu pritiska. Kod materijala s malom čvrstoćom na rastezanje nameće se pitanje gdje treba da napada sila pritiska, ako u poprečnom presjeku ne smije nigdje doći do rastezanja. Položaj napadne točke sile tada je ograničen na područje koje se naziva jezgra presjeka. Granica jezgre očito je geometrijsko mjesto točaka čije neutralne osi tangiraju poprečni presjek po obodu. Time je ujedno dana i njegova konstrukcija.
Udaljenost granice jezgre od težišta, izmjerenu u bilo kojem pravcu, označit ćemo s k indeksom koji odgovara tom pravcu. Za glavne osi inercije prema jednadžbi
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
izrazi su sljedeći:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Za kružni poprečni presjek polumjera r odstojanje jezgre iznosi k = r/4, a za kružni prsten (polumjeri: vanjski R, unutarnji r) k = (R2 + r2) / 4R.
Za pravokutnik (sl. 7) je ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Dakle, pri opterećenju pravokutnog presjeka u jednoj od ravnina simetrije (ali samo tada) dovoljno je da rezultanta djeluje u srednjoj trećini visine ili širine poprečnog presjeka, pa da naprezanja u presjeku imaju isti predznak.
Slika 7
Savijanje u plastičnom području
Kada je u rubnim vlaknima savijenog štapa dosegnuta granica tečenja, njegova nosivost time još nije iscrpljena, jer dok se vanjska vlakna plastično deformiraju pri stalnom naponu, u dijelovima koji leže bliže neutralnoj osi, gdje granica tečenja još nije dosegnuta, napon se povećava, pa se time povećava i moment savijanja koji presjek može preuzeti.
Ako je poznat točan tijek dijagrama napona i deformacija, postupak se za dvostruko simetrične presjeke (visine h) može lako računski pratiti na taj način što se, pod pretpostavkom da presjeci ostaju ravni, iz dijagrama napona i deformacija odredi raspored napona σ uslijed savijanja koji odgovara nekoj usvojenoj dilataciji krajnjih vlakana ε__r i odatle integriranjem odredi moment savijanja. Ako se ovo provede za različite ε__r i s druge strane izračuna odgovarajuća zakrivljenost linije progiba w’’ = 2 ε__r / h, dobiva se niz točaka kroz koje se može provući linija koja daje vezu između momenta savijanja i zakrivljenosti M = M(w’’); ta veza više nije linearna, a kad je ona poznata moguće je grafičkom integracijom odrediti liniju progiba koja odgovara danom rasporedu momenata. Ako je presjek nesimetričan, račun postaje složeniji, utoliko što se za svako ε__r mora još odrediti i položaj neutralne osi.
Sl. 8
Račun se u određenoj mjeri pojednostavljuje ako se osim simetrije presjeka pretpostavi i pojednostavljena veza između napona i dilatacija prema sl. 8. Tada naponi uslijed savijanja nakon prekoračenja granice tečenja imaju raspored prikazan na sl. 9 i moment savijanja je:
pa se krivulja linije progiba dobiva kada se jednadžba (2) primijeni na dio presjeka čiji su naponi u elastičnom području w’’ = σf / Ez’. Ako je za svako usvojeno z’ poznat oblik presjeka, integrali se mogu izračunati. Npr. za najjednostavniji slučaj pravokutnog poprečnog presjeka širine b i visine h je
Ako se ovdje z’ izrazi pomoću w’’, dobiva se
Kod I-presjeka i njima sličnih, tok M-w’’ krivulje u plastičnom području još je više položen i moment pri kojem nastupa tečenje tada je praktično jednak najvećem momentu savijanja koji presjek uopće može podnijeti. Zbog toga se značaj plastičnog savijanja u građevinarstvu ne sastoji u povećanju momenta savijanja koji presjek može nositi, nego u tome što velika lokalna deformacija koja nastupa na granici tečenja može dovesti do povoljne promjene raspodjele sila kod statički neodređenih sustava.
Slika 9
Ovo se može objasniti na primjeru kontinuiranog nosača preko dva polja. Neka nosač (sl. 10) ima polja jednake duljine, konstantan presjek i neka je opterećen jednako raspodijeljenim opterećenjem. Tada je prije dostizanja granice tečenja moment nad osloncem MB = _pl_2/8. Ako se opterećenje p toliko poveća da moment u oslončanom presjeku dosegne vrijednost Mf pri kojoj nastupa tečenje, pri daljnjem povećanju opterećenja na tom će se mjestu povećati i zakrivljenost bez osjetnog prirasta momenta. Stvara se tzv. plastični zglob, tj. nosač se pod dopunskim opterećenjem ponaša tako kao da nad srednjim osloncem postoji zglob. Opterećenje se može dalje povećavati sve dok i na mjestu najvećeg momenta u polju ne počne tečenje. Daljnje povećanje momenta savijanja više nije moguće i nosivost nosača je iscrpljena. Teret pri kojem nastupa ovo stanje naziva se granično opterećenje.
Slika 10
Općenito se može očekivati da će se u jednom n puta statički neodređenom sustavu morati pojaviti (n+1) plastičnih zglobova prije nego što sustav postane pomičan i time dostigne svoju granicu nosivosti. Ovo pravilo, međutim, ima iznimke u oba smjera. Kao što navedeni primjer pokazuje, na granici nosivosti mogu istodobno nastati dva nova plastična zgloba (u oba polja), tako da dotad još nepomičan sustav odjednom prelazi u sustav s dva stupnja slobode. S druge strane moguće je da se i s manje od (n+1) plastičnih zglobova nosivost lokalno iscrpi, npr. kada kod kontinuiranog nosača popusti samo jedno polje. Sl. 11 pokazuje kako se to može dogoditi kod jednog statički dvostruko neodređenog sustava s n=2 plastična zgloba. Ako se na desnoj strani nosača doda još i četvrto polje, nosač postaje trostruko statički neodređen, pa je dovoljno (n-1) plastičnih zglobova da se samo lijevo polje dovede do granice nosivosti.
Slika 11
Smična naprezanja pri savijanju
Osnovni proračun
Slika 12
Normalni naponi σ, tj. naponi koji se zapravo pojavljuju uslijed savijanja nisu jedini naponi u savijenom štapu, nego se uz njih pojavljuju i posmični naponi uslijed djelovanja transverzalne sile. S obzirom na to da je osnovna karakteristika tehničke teorije savijanja u tome što se zanemaruju deformacije uslijed posmičnih napona, ovi se mogu odrediti samo iz uvjeta ravnoteže. Da bi se ovaj postavio, element grede dx reže se, kao što je na sl. 12 naznačeno, horizontalnom ravninom na dva dijela, pa se postavlja uvjet ravnoteže horizontalnih sila koje djeluju na donji dio. Na lijevoj strani to su unutarnje sile izražene naponima σ uslijed savijanja, kojem treba integrirati od z’ = z do z’ = h2
Na desnoj strani djeluju isti naponi, ali uvećani za diferencijal u skladu s odgovarajućim momentom savijanja M + dM. Razlika između sila na obje strane elementa mora biti u ravnoteži sa silom uslijed smičnih napona τ koji djeluju u horizontalnoj poprečnoj površini t dx:
Ovdje integral predstavlja statički moment dijela poprečnog presjeka izdvojenog horizontalnom poprečnom ravninom u odnosu na težišnu os presjeka. On se označava sa S. Iz dM/dx = Q iz uvjeta ravnoteže dobiva se:
τ = QS/It. (8)
To je prema stavu o konjugiranosti smičnih napona istodobno veličina vertikalnog smičnog napona koji djeluje u površini poprečnog presjeka i koji je, zajedno s S i t, funkcija od z.
Slika 13
Slika 13.1
Jednadžba (8) pruža pouzdane podatke kod svih presjeka sa tankim stijenkama ako se presječna ravnina ne postavi paralelno s neutralnom osi, nego u smjeru debljine stijenke. Prema tome I-profil reže se poprečno preko rebra i poprečno preko prirubnice, čime se dobiva raspored napona prikazan na sl. 13.1. Kod prstenastog presjeka (sl. 13) posmični naponi su raspoređeni simetrično u odnosu na vertikalni promjer i lijevo i desno na neutralnoj liniji dostižu maksimum
τ = Q / πrt.
Ako je presjek zarezan na najvišem ili najnižem mjestu, raspored smičnih napona se ne mijenja; međutim, ako je zarezan na desnom kraju horizontalnog promjera (sl. 14), smični napon na tom mjestu jednak je nuli, dok mu se vrijednost udvostručuje na lijevom kraju istog promjera.
Slika 14
Puni presjeci
Kod punih presjeka proizvoljnog oblika problem posmičnih napona usko je povezan s problematikom torzije. Elementarna jednadžba (8) u tom slučaju više nije pouzdana. Za kružni presjek polumjera r jednadžba (8) daje
τ = 4Q / 3__πr2
kao srednju vrijednost smičnog napona duž neutralne osi, a točna vrijednost je samo za nekoliko posto veća.
Centar smicanja
Ako se za U-presjek proračunaju posmični naponi na način opisan iznad, dobiva se raspored naprezanja prikazan na sl. 15. Rezultanta odgovarajućih unutarnjih sila je poprečna sila Q. Iz slike se može vidjeti njezin položaj u odnosu na presjek, dakle da ona niti prolazi kroz težište presjeka, niti leži u ravnini rebra. Ako poprečna sila proračunata na temelju vanjskih sila nema položaj prikazan na sl. 15, nosač nije opterećen samo na savijanje, nego i na torziju.
Ako se za isti poprečni presjek odredi rezultanta koja odgovara smičnim naprezanjima za neko horizontalno opterećenje, dobiva se napadna linija horizontalne transverzalne sile. U presjeku ovih dviju napadnih linija nalazi se karakteristična točka za dati poprečni presjek, koja se naziva središte smicanja M. U nosaču se ne pojavljuju naprezanja uslijed torzije kada središta smicanja svih poprečnih presjeka leže na jednoj pravoj, a svi tereti okomiti na osovinu štapa prolaze kroz tu pravac. U protivnom moment svakog tereta u odnosu na pravac koji spaja središta smicanja predstavlja torzijsko smicanje.
Slika 15
Utjecaj transverzalne sile na savijanje
Tehnička teorija savijanja temelji se na zanemarivanju deformacija uslijed smičnih naprezanja. Prema tome, ona se doista može primijeniti na vitke štapove, kod kojih je to zanemarivanje opravdano i gdje poprečna sila nema osjetan utjecaj na savijanje.
Iskustvo je međutim pokazalo da se tehnička teorija savijanja može s izvjesnim uspjehom primijeniti i na kratke, visoke nosače, za koje ona zapravo uopće nije namijenjena. Tada se ukazuje potreba da se utjecaj deformacije uslijed smičućih napona, koji je u toj teoriji zanemaren, uzme, barem približno, naknadno u obzir.
Isto kao i smičući naponi τ uslijed poprečnih sila i odgovarajuća klizanja γ_’ =_ τ_/G_ raspoređena su nejednoliko po presjeku. Zbog toga se uvodi njihova srednja vrijednost γ, koja se određuje tako da poprečna sila pri toj srednjoj vrijednosti deformacije vrši na elementu grede dx deformacijski rad jednak onome koji bi se dobio integriranjem radova smičućih napona na pojedinim volumenskim elementima koji čine promatrani element grede:
iz kojeg je mjesta
Integral se može proračunati kada je poznat raspored smičućih napona po presjeku. Budući da su svi smičući naponi proporcionalni s Q/F, njegova je vrijednost proporcionalna s Q2/F2 * F, pa postavljajući da je ona κ__Q2/F, dobiva se
γ = κ__Q / GF.
Konstanta κ naziva se koef. raspodjele smičnih napona. Za pravokutne presjeke je κ=1,2.
Il. 16
Kada je poznat koef. κ, a time i srednje klizanje γ, može se izračunati dopunski progib wQ, nastao djelovanjem poprečnih sila, koji treba dodati progibima w: jer prema sl. 16 je
te je zbog Q = dM/dx:
pri čemu se integracijska konstanta dobiva iz jednog rubnog uvjeta.