Normalna naprezanja kod pravih štapova i štapova s malom krivinom
Definicija poprečnih sila
Neka je prav štap opterećen silama proizvoljnog pravca, o kojima se jedino pretpostavlja da sve leže u jednoj ravni (ravan sila) koja prolazi kroz osovinu štapa (linija koja spaja težišta poprečnih presjeka).
Slika 1
Da bi se izračunali naponi koji djeluju u nekom poprečnom presjeku n – n (sl. 1), potrebno je da se poznaje sila koja se preko ovog presjeka prenosi sa jednog dijela štapa na drugi. Ona je očigledno po veličini i položaju jednaka rezultanti svih sila koje napadaju jedan dio štapa. Ova rezultanta se razlaže na komponente u koordinatnom sistemu čija se x-osovina poklapa sa osovinom štapa, a z-osovina linija duž koje ravan poprečnog presjeka siječe ravan sila. Komponenta u pravcu osovine z naziva se transverzalna sila Q ili Qz i kod proste grede smatra se pozitivnom ako lijevo od presjeka ima smjer naviše, a desno naniže.
Kad je štap kriv, koordinatne ose x i z imaju u svakom presjeku drugi pravac i to uvijek tako da je x-osa tangenta na osovinu štapa. Ako se ravan u kojoj leži osovina štapa ne poklapa sa ravni sila, ili ako je osovina štapa prostorna kriva, rezultanta sila lijevo od presjeka ima i treću komponentu, transverzalnu silu Qy. Sa N, Qz i Qy određene su veličina i pravac sile koja se prenosi preko presjeka, ali ne i njen položaj. Za ovo je potrebno da budu poznati i njeni momenti u odnosu na koordinatne ose. U slučaju ravnog savijanja dovoljno je da bude poznat moment savijanja M ili My. U najopštijem slučaju pojavljuje se još jedan moment savijanja Mz i moment oko x-ose, Mx.
Šest sila i momenata definisanih u prethodnom izlaganju obuhvaćeni su zajedničkim nazivom „presječne sile“. Njihovo određivanje jedan je od osnovnih zadataka statike građevinskih konstrukcija.
Između neprekidno podijeljenog opterećenja p (dimenzija: sila na jedinicu dužine), transverzalne sile Q i momenta savijanja M postoji u slučaju ravnog savijanja jednostavan odnos. Naime, iz uslova ravnoteže jednog elementa štapa (sl. 2) dobija se
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
prema tome
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Prikaz 2
Raspodjela normalnih napona
Ako je štap opterećen samo aksijalnom silom, u presjeku se pojavljuje samo ravnomjerno raspoređeni normalni napon σ (zategnuti, odn. pritisnuti štap). Ako se uz to pojavljuje moment savijanja, ovi naponi moraju na neki način biti neravnomjerno raspoređeni, tako da njihova rezultanta više ne prolazi kroz težište presjeka. Da bi se odredio ovaj raspored, tehnička teorija savijanja ne polazi od strogog rješenja osnovnih jednačina, nego zamjenjuje jedan dio tih jednačina plauzibilnom pretpostavkom koja je u jednom naročito jednostavnom slučaju ujedno i strogo ispunjena. Taj specijalni slučaj je savijanje pravog prizmatičnog štapa bez djelovanja transverzalnih sila (sl. 3). Svi elementi štapa koji su dovoljno udaljeni od njegovih krajeva trpe istu deformaciju, odakle neposredno slijedi da osovina štapa prelazi u kružni luk i da sve ravni poprečnih presjeka koje su prvobitno bile upravne na osovinu štapa pri deformaciji ostaju ravne, jer je svaka od njih ravan simetrije za susjedne dijelove deformisanog štapa. Prirodno se nameće pretpostavka da poprečni presjeci ostaju približno ravni i kada moment savijanja i poprečni presjek štapa nisu konstantni, nego se duž štapa postepeno mijenjaju. Ova pretpostavka, koja se naziva Navier-ova hipoteza, leži u osnovi teorije savijanja.
Slika 3
Veličina normalnih naprezanja
Kada se savije prav element grede, jedan dio njegovih „vlakana“, tj. materijalnih linija paralelnih osovini štapa, isteže se, dok se drugi dio skraćuje (sl. 4). Između ova dva dijela leže neutralna vlakna z=0, čija se dužina prilikom savijanja ne mijenja. Neka je poluprečnik krivine ovih vlakana u savijenom stanju ϱ i neka on leži u x-z ravni. Iz sl. 4 može se pročitati
Δ dx/z = _dx/_ϱ
i odatle izračunata dilatacija vlakana na udaljenosti z od neutralne ose, koja iznosi
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
pa se, na osnovu Hooke-ovog zakona, napon
σ _= Ez/_ϱ (2)
Slika 4
Ovaj napon je proporcionalan odstojanju od neutralnih vlakana. Takav rezultat je vezan za pretpostavku da su prije deformacije sva vlakna elementa štapa bila podjednake dužine, tako da je štap prvobitno bio prav, ili bar sa tako malom krivinom da se uticaj krivine može zanemariti. Prava duž koje se sijeku neutralni sloj i ravan presjeka naziva se neutralna osovina. Nju usvajamo za y-osovinu (sl. 5). Položaj neutralne osovine u poprečnom presjeku dobija se iz uslova ravnoteže sila u pravcu x-osovine: ako je normalna sila N=0 (savijanje bez normalne sile), tada mora i rezultanta unutrašnjih sila izražena putem normalnih napona u presjeku da bude jednaka nuli:
Integral na desnoj strani je statički moment površine u odnosu na y-osovinu. Da bi on bio jednak nuli, ova os mora biti jedna od težišnih osa.
Moment M koji izaziva deformaciju ima u odnosu na ose y i z u ravni presjeka (sl. 5) komponente:
Jedin. (3)
pri čemu su Iy, Iyz ekvatorski i centrifugalni momenti inercije presjeka u odnosu na označene ose.
Najvažniji je specijalan slučaj kada je Mz=0. Ovaj slučaj nastupa kada je Iyz=0, tj. kada su y i z glavne osovine inercije presjeka. To znači da se ravan savijanja koja je ovdje usvojena poklapa sa x-z-ravni sa ravni u kojoj djeluje moment savijanja M=My, tj. sa ravni sila.
Slika 5
Ako se iz jednadžbi (2) i (3) eliminiše _E/_ϱ, dobija se obrazac za određivanje naprezanja pri ravnom savijanju (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
za rubne tačke 1 i 2 posebno je:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Veličine W1,2 = I/h1,2 (dimenzija: dužina na treću) nazivaju se moduli otpora. Ako je horizontalna težišna osa istovremeno i osa simetrije presjeka, tada je W1 = W2, pa su ivini naponi po apsolutnoj vrijednosti jednaki.
Fleksibilna linija
Slika 6
Važnost napred navedenih obrazaca vezana je za Hooke-ov zakon. To zahtijeva da je σ << E, dakle prema (2) h << ϱ. Savijanje ipak smije da bude toliko da je ϱ istog reda veličine kao i dužina štapa l. Kod savijenih štapova koji dolaze u obzir u građevinarstvu ovaj slučaj ne nastupa; uvijek je ϱ znatno veće od l i prema tome ugib w << l (sl. 6). Tada približno važi:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
na osnovu (3):
w’’ = - M/EI.
Ova jednačina i uslov ravnoteže (1b) predstavljaju sistem diferencijalnih jednačina savijenog štapa. Eliminacijom se mogu svesti na jednu jednačinu četvrtog reda:
wIV = + p/EI
ili, u slučaju da je moment inercije promjenljiv:
(EIw’’)’’ = +p.
Integracijom se iz njih može odrediti oblik elastične linije kada je dato opterećenje p=p(x) i kada su za svaki slučaj štapa poznata dva granična uslova. Od tih uslova najmanje dva moraju da se odnose na deformaciju. Za detalje vidjeti članak Statika građevinskih konstrukcija.
Jezgro presjeka
Ako neutralna osovina siječe poprečni presjek, ona ga dijeli na zonu zatezanja i zonu pritiska. Kod materijala sa malom čvrstoćom na zatezanje nameće se pitanje gdje treba da djeluje sila pritiska, ako u poprečnom presjeku ne smije nigdje da dođe do zatezanja. Položaj napadne tačke sile tada je ograničen na oblast koja se naziva jezgro preseka. Granica jezgra je očigledno geometrijsko mjesto tačaka, čije neutralne osovine tangiraju poprečni presjek po obimu. Ovim je ujedno data i njegova konstrukcija.
Odstojanje granice jezgra od težišta, izmjereno u bilo kojem pravcu, označićemo sa k indeksom koji odgovara tom pravcu. Za glavne osovine inercije prema jednačini
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
izrazi su sljedeći:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Za kružni poprečni presjek poluprečnika r udaljenost jezgra je k = r/4, a za kružni prsten (poluprečnici: vanjski R, unutrašnji r) k = (R2 + r2) / 4R.
Za pravougaonik (sl. 7) vrijedi ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Dakle, pri opterećenju pravougaonog presjeka u jednoj od ravni simetrije (ali samo tada) dovoljno je da rezultanta djeluje u srednjoj trećini visine ili širine poprečnog presjeka, pa da naponi u presjeku imaju isti znak.
Slika 7
Savijanje u plastičnom području
Kada je u rubnim vlaknima savijenog štapa dostignuta granica tečenja, njegova nosivost time još nije iscrpljena, jer dok se vanjska vlakna plastično deformišu pri konstantnom naponu, u dijelovima koji leže bliže neutralnoj osi, gdje granica tečenja još nije dostignuta, napon se povećava, pa se time povećava i moment savijanja koji presjek može da primi.
Ako je poznat tačan tok dijagrama napona i deformacija, proces se za svostruko simetrične presjeke (visine h) može lako računski pratiti na taj način što se, pod pretpostavkom da presjeci ostaju ravni, iz dijagrama napona i deformacija odredi raspored napona σ usljed savijanja koji odgovara nekoj usvojenoj dilataciji krajnjih vlakana ε__r i otuda integriranjem odredi moment savijanja. Ako se ovo sprovede za različite ε__r i s druge strane sračuna odgovarajuća krivina linije ugiba w’’ = 2 ε__r / h, dobija se niz tačaka kroz koje se može provući linija koja daje vezu između momenta savijanja i krivine M = M(w’’); ova veza više nije linearna, a kada je ona poznata moguće je grafičkom integracijom odrediti liniju ugiba koja odgovara datom rasporedu momenata. Ako je presjek nesimetričan, račun postaje složeniji, utoliko što se za svako ε__r mora još odrediti i položaj neutralne osovine.
Slika 8
Račun se u izvjesnoj mjeri uprošćava ako se osim simetrije preseka pretpostavi i uprošćena veza između napona i dilatacija prema sl. 8. Tada naponi usljed savijanja po prekoračenju granice tečenja imaju raspored prikazan na sl. 9 i moment savijanja je:
pa se krivina linije ugiba dobija kada se jednačina (2) primijeni na dio presjeka čiji su naponi u elastičnoj oblasti w’’ = σf / Ez’. Ako je poznat oblik presjeka za svako usvojeno z’, integrali se mogu izračunati. Npr. za najprostiji slučaj pravougaonog poprečnog presjeka širine b i visine h je
Ako se ovdje z’ izrazi pomoću w’’, dobija se
Kod I-preseka i njima sličnih, tok M-w’’ krive u plastičnoj oblasti još više je položen i moment pri kome nastupa tečenje je tada praktično jednak najvećem momentu savijanja koji presek uopšte može da podnese. Zbog toga se značaj plastičnog savijanja u građevinarstvu ne sastoji u povećanju momenta savijanja koji presek može da nosi, nego u tome što velika lokalna deformacija koja nastupa na granici tečenja može da dovede do povoljne promjene rasporeda sila kod statički neodređenih sistema.
Slika 9
Ovo se može objasniti na primjeru kontinuirane grede preko dva polja. Neka greda (sl. 10) ima polja jednake dužine, konstantan presjek i neka je opterećena jednoliko raspoređenim opterećenjem. Tada je prije dostizanja granice tečenja moment nad osloncem MB = _pl_2/8. Ako se opterećenje p toliko poveća da moment u oslončnom presjeku dostigne vrijednost Mf pri kojoj nastupa tečenje, pri daljem povećanju opterećenja na tom mjestu će se povećavati i zakrivljenost bez osjetnog priraštaja momenta. Stvara se tzv. plastični zglob, tj. greda se pod dodatnim opterećenjem ponaša tako kao da nad srednjim osloncem postoji zglob. Opterećenje se može dalje povećavati sve dok i na mjestu najvećeg momenta u polju ne počne tečenje. Dalje povećanje momenta savijanja više nije moguće i nosivost grede je iscrpljena. Teret pri kojem nastupa ovo stanje naziva se granično opterećenje.
Slika 10
Uopšte se može očekivati da će u jednom n puta statički neodređenom sistemu morati da se pojavi (n+1) plastičnih zglobova prije nego što sistem postane pomičan i time dostigne svoju granicu nosivosti. Ovo pravilo, međutim, ima izuzetke u oba pravca. Kao što navedeni primjer pokazuje, na granici nosivosti mogu da se pojave istovremeno dva nova plastična zgloba (u oba polja), tako da dotle još nepomičan sistem odjednom prelazi u sistem sa dva stepena slobode. S druge strane moguće je da i sa manje od (n+1) plastičnih zglobova nosivost bude lokalno iscrpljena, npr. kada kod kontinuiranog nosača popusti samo jedno polje. Sl. 11 pokazuje kako se to može dogoditi kod jednog statički dvostruko neodređenog sistema sa n=2 plastična zgloba. Ako se na desnoj strani nosača doda još i četvrto polje, nosač postaje trostruko statički neodređen, pa je dovoljno (n-1) plastičnih zglobova da se samo lijevo polje dovede do granice nosivosti.
Slika 11
Smični naponi pri savijanju
Osnovni proračun
Slika 12
Normalni naponi σ, tj. naponi koji se ustvari pojavljuju usled savijanja nisu jedini naponi u savijenom štapu, nego se pored njih pojavljuju i smičući naponi usled dejstva trasverzalne sile. S obzirom na to da je osnovna karakteristika tehničke teorije savijanja u tome što se zanemaruju deformacije usled smičućih napona, ovi se mogu odrediti samo iz uslova ravnoteže. Da bi se ovaj postavio, element grede dx seče se, kao što je na sl. 12 naznačeno, horizontalnom ravni na dva dijela, pa se postavlja uslov ravnoteže horizontalnih sila koje djeluju na donji dio. Na lijevoj strani to su unutrašnje sile izražene naponima σ usled savijanja, kome treba integrirati od z’ = z do z’ = h2
Na desnoj strani djeluju isti naponi, ali povećani za diferencijal u skladu sa odgovarajućim momentom savijanja M + dM. Razlika između sila na obje strane elementa mora da bude u ravnoteži sa silom usljed smičućih napona τ koji djeluju u horizontalnoj presječnoj površini t dx:
Ovdje integral predstavlja statički moment dijela poprečnog presjeka izdvojenog horizontalnom poprečnom ravni u odnosu na težišnu osovinu presjeka. On se označava sa S. Sa dM/dx = Q iz uslova ravnoteže dobija se:
τ = QS/It. (8)
To je prema stavu o konjugovanosti smičućih napona istovremeno veličina vertikalnog smičućeg napona koji djeluje u površini poprečnog presjeka i koji je, zajedno sa S i t, funkcija od z.
Slika 13
Slika 13.1
Jednačina (8) daje pouzdane podatke kod svih tankostijenih presjeka ako se presječna ravan ne postavi paralelno s neutralnom osom, nego u pravcu debljine zida. Prema tome I-profil se reže poprečno kroz rebro i poprečno kroz pojasnicu, čime se dobija raspored napona prikazan na sl. 13.1. Kod prstenastog presjeka (sl. 13) smični naponi su raspoređeni simetrično u odnosu na vertikalni prečnik i lijevo i desno na neutralnoj liniji dostižu maksimum
τ = Q / πrt.
Ako je presjek razrezan na najvišem ili najnižem mjestu, raspored smičućih napona se ne mijenja; međutim, ako je razrezan na desnom kraju horizontalnog prečnika (sl. 14), smičući napon na tom mjestu jednak je nuli, dok mu se vrijednost udvostručuje na lijevom kraju istog prečnika.
Slika 14
Puni presjeci
Kod punih presjeka proizvoljnog oblika problem smičućih napona je usko povezan sa problematikom torzije. Elementarna jednačina (8) u tom slučaju više nije pouzdana. Za kružni presjek poluprečnika r jednačina (8) daje
τ = 4Q / 3__πr2
kao srednju vrijednost smičućeg napona duž neutralne osovine, a tačna vrijednost je samo za nekoliko procenata veća.
Centar smicanja
Ako se za U-presjek proračunaju smičući naponi na način opisan iznad, dobija se raspored napona prikazan na sl. 15. Rezultanta odgovarajućih unutrašnjih sila je transverzalna sila Q. Iz slike se može vidjeti njen položaj u odnosu na presjek, dakle da ona niti prolazi kroz težište presjeka, niti leži u ravni rebra. Ako transverzalna sila sračunata na osnovu spoljašnjih sila nema položaj prikazan na sl. 15, nosač nije opterećen samo na savijanje, već i na torziju.
Ako se za isti poprečni presjek odredi rezultanta koja odgovara smičućim naponima za neko horizontalno opterećenje, dobija se napadna linija horizontalne transverzalne sile. U presjeku ovih dviju napadnih linija nalazi se karakteristična tačka za dati poprečni presjek, koja se naziva središte smicanja M. U nosaču se ne pojavljuju naponi usljed torzije kada središta smicanja svih poprečnih presjeka leže na jednoj pravoj, a svi tereti upravni na osovinu štapa prolaze kroz tu pravu. U protivnom moment svakog tereta u odnosu na pravu koja spaja središta smicanja predstavlja torzijsko smicanje.
Slika 15
Uticaj poprečne sile na savijanje
Tehnička teorija savijanja zasniva se na zanemarivanju deformacija usljed smičućih napona. Prema tome ona se stvarno može primijeniti na vitke štapove, kod kojih je ovo zanemarivanje opravdano i gdje transverzalna sila nema osjetan uticaj na savijanje.
Iskustvo je međutim pokazalo da se tehnička teorija savijanja može sa izvjesnim uspjehom primijeniti i na kratke, visoke nosače, za koje ona u stvari uopšte nije namijenjena. Tada se ukazuje potreba da se uticaj deformacije usljed smičućih napona, koji je u ovoj teoriji zanemaren, uzme, bar približno, naknadno u obzir.
Isto tako kao i smičući naponi τ usljed transverzalnih sila i odgovarajuća klizanja γ_’ =_ τ_/G_ raspoređena su neravnomjerno po presjeku. Zbog toga se uvodi njihova srednja vrijednost γ, koja se određuje tako da transverzalna sila pri ovoj srednjoj vrijednosti deformacije vrši na elementu grede dx deformacioni rad jednak onome koji bi se dobio integriranjem radova smičućih napona na pojedinim zapreminskim elementima koji sačinjavaju uočeni element grede:
odakle potiče
Integral se može proračunati kada je poznat raspored smičućih napona po preseku. Pošto su svi smičući naponi proporcionalni sa Q/F, to je njegova vrijednost proporcionalna sa Q2/F2 * F, pa stavljajući da je ona κ__Q2/F, dobija se
γ = κ__Q / GF.
Konstanta κ naziva se koeficijent rasporeda smičućih napona. Za pravougaone preseke κ=1,2.
Slika 16
Kada je poznat koef. κ, a time i srednje klizanje γ, može se izračunati dopunski ugib wQ, nastao djelovanjem transverzalnih sila, koji treba dodati ugibima w: jer prema sl. 16 je
te je zato Q = dM/dx:
pri čemu se konstanta integracije dobija iz jednog graničnog uslova.