Normalne napetosti pri ravnih palicah in palicah z majhno ukrivljenostjo
Definicija presečnih sil
Nech je priamy prút zaťažený silami ľubovoľného smeru, o ktorých sa iba predpokladá, že všetky ležia v jednej rovine (rovina síl), ktorá prechádza osou prúta (čiara spájajúca ťažiská priečnych prierezov).
Obr. 1
Da bi izračunali napetosti, ki delujejo v nekem prečnem prerezu n – n (sl. 1), je treba poznati silo, ki se prek tega prereza prenaša z enega dela palice na drugega. Ta je po velikosti in legi očitno enaka rezultanti vseh sil, ki obremenjujejo en del palice. Ta rezultanta se razstavi na komponente v koordinatnem sistemu, katerega x-os sovpada z osjo palice, z-os pa je črta, vzdolž katere ravnina prečnega prereza seka ravnino sil. Komponenta v smeri osi z se imenuje prečna sila Q ali Qz in se pri enostavnem nosilcu šteje za pozitivno, če ima levo od prereza smer navzgor, desno pa navzdol.
Keď je prút zakrivený, súradnicové osi x a z majú v každom priereze iný smer a vždy tak, že os x je dotyčnicou k osi prúta. Ak sa rovina, v ktorej leží os prúta, nezhoduje s rovinou síl, alebo ak je os prúta priestorová krivka, výslednica síl vľavo od prierezu má aj tretiu zložku, priečnu silu Qy. So zložkami N, Qz a Qy sú určené veľkosť a smer sily prenášanej cez prierez, nie však jej poloha. Na to treba poznať aj jej momenty vzhľadom na súradnicové osi. V prípade rovinného ohybu stačí poznať ohybový moment M alebo My. V najvšeobecnejšom prípade sa objaví ešte jeden ohybový moment Mz a moment okolo osi x, Mx.
Šest sil in momentov, opredeljenih v prejšnji razlagi, je zajetih pod skupnim nazivom »presečne sile«. Njihovo določanje je ena od osnovnih nalog statike gradbenih konstrukcij.
Med neprekinjeno porazdeljeno obremenitvijo p (dimenzija: sila na enoto dolžine), prečnimi silami Q in upogibnim momentom M obstaja v primeru ravnega upogiba preprosta zveza. Namreč iz pogoja ravnotežja enega elementa palice (sl. 2) dobimo
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
preto
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Obr. 2
Porazdelitev normalnih napetosti
Če je palica obremenjena samo z osno silo, se v prerezu pojavi samo enakomerno porazdeljena normalna napetost σ (nategnjena oziroma tlačena palica). Če se poleg tega pojavi še upogibni moment, morajo biti te napetosti na nek način neenakomerno porazdeljene, tako da njihova rezultanta ne poteka več skozi težišče prereza. Da bi določili to porazdelitev, tehnična teorija upogiba ne izhaja iz stroge rešitve osnovnih enačb, temveč nadomesti del teh enačb z verjetno predpostavko, ki je v enem posebej preprostem primeru hkrati tudi strogo izpolnjena. Ta poseben primer je upogib ravne prizmatične palice brez delovanja prečnih sil (sl. 3). Vsi elementi palice, ki so dovolj oddaljeni od njenih koncev, trpijo enako deformacijo, iz česar neposredno sledi, da se os palice prevesi v krožni lok in da vse ravnine prečnih prerezov, ki so bile prvotno pravokotne na os palice, pri deformaciji ostanejo ravne, ker je vsaka od njih ravnina simetrije za sosednje dele deformirane palice. Naravno se ponuja predpostavka, da prečni prerezi ostanejo približno ravni tudi tedaj, ko upogibni moment in prečni prerez palice nista konstantna, temveč se vzdolž palice postopoma spreminjata. Ta predpostavka, imenovana Navier-ova hipoteza, je osnova teorije upogiba.
Obr. 3
Veľkosť normálnych napätí
Ko se upogne raven element nosilca, se en del njegovih »vlaken«, tj. materialnih črt, vzporednih z osjo palice, razteza, drugi del pa se krajša (sl. 4). Med tema deloma ležijo nevtralna vlakna z=0, katerih dolžina se pri upogibanju ne spreminja. Naj bo polmer krivine teh vlaken v upognjenem stanju ϱ in naj leži v ravnini x-z. Iz sl. 4 može se prebrati
Δ dx/z = _dx/_ϱ
in od tod izračunano deformacijo vlaken na oddaljenosti z od nevtralne osi, ki znaša
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
zato je na podlagi Hooke-ovega zakona napetost
σ _= Ez/_ϱ (2)
Obr. 4
Toto napätie je úmerné vzdialenosti od neutrálnych vlákien. Takýto výsledok vyplýva z predpokladu, že pred deformáciou boli všetky vlákna prvku tyče rovnako dlhé, takže tyč bola pôvodne rovná, alebo aspoň s takým malým zakrivením, že vplyv zakrivenia možno zanedbať. Priamka, na ktorej sa pretína neutrádna vrstva a rovina prierezu, sa nazýva neutrálna os. Tú prijímame ako os y (obr. 5). Poloha neutrálnej osi v priečnom priereze sa určuje z podmienky rovnováhy síl v smere osi x: ak je normálová sila N=0 (ohyb bez normálovej sily), potom aj výslednica vnútorných síl vyjadrená pomocou normálových napätí v priereze musí byť rovná nule:
Integral na desni strani je statični moment površine glede na y-os. Da bi bil enak nič, mora biti ta os ena od težiščnih osi.
Moment M, ki povzroča deformacijo, ima glede na osi y in z v ravnini prereza (sl. 5) komponente:
Enač. (3)
pri čemer sta Iy, Iyz ekvatorialni in centrifugalni moment vztrajnosti prereza glede na označeni osi.
Najpomembnejši je poseben primer, kadar je Mz=0. Ta primer nastopi, kadar je Iyz=0, to je kadar sta y in z glavni osi vztrajnosti preseka. To pomeni, da se ravnina upogibanja, ki je tu sprejeta kot x-z-ravnina, ujema z ravnino, v kateri deluje upogibni moment M=My, to je z ravnino sil.
Obr. 5
Če se iz enačb (2) in (3) izloči _E/_ϱ, dobimo obrazec za določitev napetosti pri ravnem upogibu (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
za robne točke 1 in 2 velja posebej:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Velikosti W1,2 = I/h1,2 (dimenzija: dolžina na tretjo) se imenujejo upogibni momenti. Če je vodoravna težiščna os hkrati tudi os simetrije prereza, potem je W1 = W2, zato so robne napetosti po absolutni vrednosti enake.
Elastična črta
Obr. 6
Pomembnost zgoraj navedenih obrazcev je povezana s Hookovim zakonom. Ta zahteva, da je σ << E, torej po (2) h << ϱ. Upogib pa sme biti vendarle tolikšen, da je ϱ istega reda velikosti kot dolžina palice l. Pri upognjenih palicah, ki pridejo v poštev v gradbeništvu, ta primer ne nastopi; ϱ je vedno bistveno večji od l in zato je poves w << l (sl. 6). Tedaj približno velja:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
in na podlagi (3):
w’’ = - M/EI.
Táto rovnica a podmienka rovnováhy (1b) tvoria sústavu diferenciálnych rovníc ohnutého prúta. Ich elimináciou ich možno zredukovať na jednu rovnicu štvrtého rádu:
wIV = + p/EI
ali, v primeru da je vztrajnostni moment spremenljiv:
(EIw’’)’’ = +p.
Integráciou z nich možno nájsť tvar elastickej čiary, keď je dané zaťaženie p=p(x) a keď sú pre každý prípad prúta známe dve okrajové podmienky. Z nich sa aspoň dve musia týkať deformácie. Podrobnosti pozri v článku Statika stavebných konštrukcií.
Jedro prereza
Če nevtralna os seka prečni prerez, ga deli na območje nateza in območje tlaka. Pri materialih z majhno natezno trdnostjo se zastavlja vprašanje, kje mora delovati tlačna sila, če v prečnem prerezu nikjer ne sme priti do nateza. Lega točke delovanja sile je tedaj omejena na območje, ki se imenuje jedro prereza. Meja jedra je očitno geometrijsko mesto točk, katerih nevtralne osi tangirajo obod prečnega prereza. S tem je hkrati podana tudi njegova konstrukcija.
Razdaljo meje jedra od težišča, izmerjeno v katerikoli smeri, bomo označili z k in indeksom, ki ustreza tej smeri. Za glavne osi vztrajnosti po enačbi
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
izrazi so naslednji:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Pri kruhovom priečnom reze s polomerom r je vzdialenosť jadra k = r/4, a pri kruhovom prstenci (polomery: vonkajší R, vnútorný r) k = (R2 + r2) / 4R.
Za pravokotnik (sl. 7) velja ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Torej je pri obremenitvi pravokotnega prereza v eni od ravnin simetrije (vendar samo tedaj) dovolj, da rezultanta deluje v srednji tretjini višine ali širine prečnega prereza, da imajo napetosti v prerezu isti predznak.
Obr. 7
Plastično upogibanje
Ko je v robnih vlaknih upognjene palice dosežena meja tečenja, njena nosilnost s tem še ni izčrpana, ker medtem ko se zunanja vlakna plastično deformirajo pri konstantni napetosti, v delih, ki ležijo bliže nevtralni osi, kjer meja tečenja še ni dosežena, napetost narašča, s tem pa se povečuje tudi upogibni moment, ki ga lahko prerez prevzame.
Če je znan natančen potek diagrama napetosti in deformacij, je mogoče proces pri dvakrat simetričnih prerezih (višine h) zlahka računsko spremljati tako, da se ob predpostavki, da prerezi ostanejo ravni, iz diagrama napetosti in deformacij določi razpored napetosti σ zaradi upogibanja, ki ustreza neki privzeti dilataciji skrajnih vlaken ε__r, in od tod z integriranjem določi upogibni moment. Če to izvedemo za različne ε__r in po drugi strani izračunamo ustrezno ukrivljenost linije povesа w’’ = 2 ε__r / h, dobimo niz točk, skozi katere lahko potegnemo črto, ki daje zvezo med upogibnim momentom in ukrivljenostjo M = M(w’’); ta zveza ni več linearna, in ko je znana, je z grafičnim integriranjem mogoče določiti linijo povesа, ki ustreza dani porazdelitvi momentov. Če je prerez nesimetričen, je račun bolj zapleten, kolikor je treba za vsak ε__r dodatno določiti tudi položaj nevtralne osi.
Obr. 8
Izračun se do določene mere poenostavi, če se poleg simetrije prereza predpostavi tudi poenostavljena zveza med napetostmi in deformacijami po sl. 8. Tedaj imajo napetosti zaradi upogibanja po preseženi meji tečenja porazdelitev, prikazano na sl. 9, in upogibni moment je:
in se zato krivulja linije povesitve dobi, ko se enačba (2) uporabi na del preseka, katerega napetosti so v elastičnem območju w’’ = σf / Ez’. Če je znana oblika preseka za vsak sprejeti z’, je integrale mogoče izračunati. Npr. za najpreprostejši primer pravokotnega prečnega prereza širine b in višine h je
Če se tu z’ izrazi z w’’, dobimo
Pri I-prierezoch a im podobných je priebeh krivky M-w’’ v plastickej oblasti ešte viac položený a moment, pri ktorom nastáva tečenie, je potom prakticky rovný najväčšiemu ohybovému momentu, ktorý môže prierez vôbec uniesť. Preto význam plastického ohybu v stavebníctve nespočíva v zvýšení ohybového momentu, ktorý môže prierez preniesť, ale v tom, že veľká lokálna deformácia, ktorá nastáva na hranici tečenia, môže viesť k priaznivej zmene rozloženia síl pri staticky neurčitých sústavách.
Slika 9
To možno vysvetliť na príklade spojitého nosníka cez dve polia. Nech má nosník (obr. 10) polia rovnakej dĺžky, konštantný prierez a nech je zaťažený rovnomerne rozloženým zaťažením. Potom je pred dosiahnutím medze klzu moment nad podperou MB = _pl_2/8. Ak sa zaťaženie p natoľko zvýši, že moment v podperovom priereze dosiahne hodnotu Mf, pri ktorej nastáva tečenie, pri ďalšom zvyšovaní zaťaženia sa na tomto mieste zvýši aj zakrivenie bez výrazného nárastu momentu. Vzniká tzv. plastický kĺb, t. j. nosník sa pri dodatočnom zaťažení správa tak, akoby nad strednou podperou bol kĺb. Zaťaženie možno ďalej zvyšovať, až kým nezačne tečenie aj v mieste najväčšieho momentu v poli. Ďalšie zvyšovanie ohybového momentu už nie je možné a únosnosť nosníka je vyčerpaná. Zaťaženie, pri ktorom nastáva tento stav, sa nazýva medzné zaťaženie.
Obr. 10
Na splošno lahko pričakujemo, da bo v enem n-krat statično nedoločenem sistemu moralo nastati (n+1) plastičnih zglobov, preden sistem postane pomičen in s tem doseže svojo mejo nosilnosti. To pravilo pa ima izjeme v obe smeri. Kot kaže navedeni primer, se lahko na meji nosilnosti hkrati pojavita dva nova plastična zgloba (v obeh poljih), tako da do tedaj še nepomičen sistem nenadoma preide v sistem z dvema prostostnima stopnjama. Po drugi strani je mogoče, da se tudi z manj kot (n+1) plastičnimi zglobi nosilnost lokalno izčrpa, npr. kadar pri kontinuiranem nosilcu popusti samo eno polje. Sl. 11 prikazuje, kako se to lahko zgodi pri statično dvakrat nedoločenem sistemu z n=2 plastična zgloba. Če se na desni strani nosilca doda še četrto polje, postane nosilec statično trikrat nedoločen, zato zadošča (n-1) plastičnih zglobov, da se samo levo polje pripelje do meje nosilnosti.
Obr. 11
Strižne napetosti pri upogibanju
Elementarni preračun
Obr. 12
Normálne napätia σ, teda napätia, ktoré sa vlastne vyskytujú v dôsledku ohybu, nie sú jedinými napätiami v ohnutom prúte, ale popri nich sa vyskytujú aj šmykové napätia vplyvom priečnej sily. Keďže základnou charakteristikou technickej teórie ohybu je, že sa zanedbávajú deformácie spôsobené šmykovými napätiami, tieto možno určiť iba z podmienok rovnováhy. Aby sa táto podmienka stanovila, prvok nosníka dx sa rozreže, ako je naznačené na obr. 12, horizontálnou rovinou na dve časti, a potom sa stanoví podmienka rovnováhy horizontálnych síl pôsobiacich na dolnú časť. Na ľavej strane sú to vnútorné sily vyjadrené napätiami σ v dôsledku ohybu, ktoré treba integrovať od z’ = z do z’ = h2
Na desni strani delujejo enake napetosti, vendar povečane za diferencial v skladu z ustreznim upogibnim momentom M + dM. Razlika med silami na obeh straneh elementa mora biti v ravnotežju s silo zaradi strižnih napetosti τ, ki delujejo v horizontalni presečni ploskvi t dx:
Tu integral predstavlja statični moment dela prereza, izločenega s horizontalno prečno ravnino, glede na težiščno os prereza. Označuje se s S. Iz dM/dx = Q po pogoju ravnotežja dobimo:
τ = QS/It. (8)
To je po načelu konjugiranosti strižnih napetosti hkrati vrednost navpične strižne napetosti, ki deluje v površini prečnega prereza in je skupaj z S in t funkcija od z.
Obr. 13
Obr. 13.1
Enačba (8) daje zanesljive podatke pri vseh tankostenskih prerezih, če presečna ravnina ni postavljena vzporedno z nevtralno osjo, temveč v smeri debeline stene. Zato se I-profil prereže prečno skozi rebro in prečno skozi pasnico, s čimer dobimo razpored napetosti, prikazan na sl. 13.1. Pri prstanastem prerezu (sl. 13) so strižne napetosti razporejene simetrično glede na navpični premer in levo ter desno na nevtralni črti dosegajo maksimum
τ = Q / πrt.
Če je prerez prerezan na najvišjem ali najnižjem mestu, se razporeditev strižnih napetosti ne spremeni; če pa je prerezan na desnem koncu vodoravnega premera (sl. 14), je strižna napetost na tem mestu enaka nič, medtem ko se njena vrednost na levem koncu istega premera podvoji.
Obr. 14
Plné prierezy
Pri polnih prerezih poljubne oblike je problem strižnih napetosti tesno povezan s problematiko torzije. Elementarna enačba (8) v tem primeru ni več zanesljiva. Za krožni prerez polmera r enačba (8) daje
τ = 4Q / 3__πr2
ako strednú hodnotu šmykového napätia pozdĺž neutrálnej osi, pričom presná hodnota je len o niekoľko percent vyššia.
Striedacie centrum
Ak sa pre U-prierez vypočítajú šmykové napätia spôsobom opísaným vyššie, získa sa rozloženie napätí zobrazené na obr. 15. Výslednica príslušných vnútorných síl je priečna sila Q. Z obrázka možno vidieť jej polohu vzhľadom na prierez, teda že neprechádza ťažiskom prierezu ani neleží v rovine stojiny. Ak priečna sila vypočítaná na základe vonkajších síl nemá polohu zobrazenú na obr. 15, nosník nie je namáhaný len ohybom, ale aj krútením.
Če za isti prečni prerez določimo rezultanto, ki ustreza strižnim napetostim za neko horizontalno obremenitev, dobimo nosilno linijo horizontalne prečne sile. V presečišču teh dveh nosilnih linij se nahaja značilna točka za dani prečni prerez, ki se imenuje središče striga M. V nosilcu se napetosti zaradi torzije ne pojavijo, kadar ležijo središča striga vseh prečnih prerezov na eni premici in vse obremenitve, pravokotne na os palice, potekajo skozi to premico. Sicer moment vsake obremenitve glede na premico, ki povezuje središča striga, predstavlja torzijski strig.
Obr. 15
Vpliv prečne sile na upogib
Tehnična teorija upogiba temelji na zanemarjanju deformacij zaradi strižnih napetosti. Zato jo je v resnici mogoče uporabiti na vitke palice, pri katerih je tako zanemarjanje upravičeno in kjer prečna sila nima občutnega vpliva na upogib.
Izkušnje pa so pokazale, da je tehnično teorijo upogiba mogoče z določenim uspehom uporabiti tudi za kratke, visoke nosilce, za katere v resnici sploh ni namenjena. Tedaj se pokaže potreba, da se vpliv deformacije zaradi strižnih napetosti, ki je v tej teoriji zanemarjen, naknadno upošteva, vsaj približno.
Enako kot strižne napetosti τ zaradi prečnih sil je tudi ustrezno drsenje γ_’ =_ τ_/G_ neenakomerno porazdeljeno po prerezu. Zato se uvede njuna srednja vrednost γ, ki se določi tako, da prečna sila pri tej srednji vrednosti deformacije opravi na elementu nosilca dx deformacijsko delo, enako tistemu, ki bi se dobilo z integriranjem del strižnih napetosti na posameznih prostorskih elementih, ki sestavljajo obravnavani element nosilca:
od kod je
Integral je mogoče izračunati, ko je znana porazdelitev strižnih napetosti po prerezu. Ker so vse strižne napetosti sorazmerne z Q/F, je njegova vrednost sorazmerna z Q2/F2 * F, zato če postavimo, da je ta κ__Q2/F, dobimo
γ = κ__Q / GF.
Konstanta κ se imenuje koeficient razporeditve strižnih napetosti. Za pravokotne preseke je κ=1,2.
Obr. 16
Ko je znan koef. κ, in s tem tudi srednje drsenje γ, lahko izračunamo dodatni poves wQ, nastal zaradi delovanja prečnih sil, ki ga je treba prišteti povesom w: saj je po sl. 16
pretože platí Q = dM/dx:
pri čemer se integracijska konstanta dobi iz enega robnega pogoja.