Нормальные напряжения в прямых стержнях и стержнях с малой кривизной
Определение поперечных сил
Пусть прямой стержень нагружен силами произвольного направления, о которых предполагается лишь, что все они лежат в одной плоскости (плоскость сил), проходящей через ось стержня (линия, соединяющая центры тяжести поперечных сечений).
Рис. 1
Чтобы вычислить напряжения, действующие в каком-либо поперечном сечении n – n (рис. 1), необходимо знать силу, которая через это сечение передается от одной части стержня к другой. Она по величине и направлению очевидно равна равнодействующей всех сил, действующих на одну часть стержня. Эта равнодействующая разлагается на компоненты в системе координат, у которой x-ось совпадает с осью стержня, а z-ось — с линией, по которой плоскость поперечного сечения пересекает плоскость сил. Компонента в направлении оси z называется поперечной силой Q или Qz и для простой балки считается положительной, если слева от сечения она направлена вверх, а справа — вниз.
Когда стержень изогнут, координатные оси x и z в каждом сечении имеют другое направление, и всегда так, что x-ось является касательной к оси стержня. Если плоскость, в которой лежит ось стержня, не совпадает с плоскостью сил, или если ось стержня является пространственной кривой, равнодействующая сил слева от сечения имеет и третью составляющую — поперечную силу Qy. По N, Qz и Qy определены величина и направление силы, передаваемой через сечение, но не ее положение. Для этого необходимо знать и ее моменты относительно координатных осей. В случае плоского изгиба достаточно, чтобы был известен изгибающий момент M или My. В наиболее общем случае появляется еще один изгибающий момент Mz и момент вокруг x-оси, Mx.
Шесть сил и моментов, определенных в предыдущем изложении, объединяются общим названием «поперечные силы». Их определение — одна из основных задач статики строительных конструкций.
Между непрерывно распределенной нагрузкой p (размерность: сила на единицу длины), поперечной силой Q и изгибающим моментом M при плоском изгибе существует простое соотношение. А именно, из условий равновесия одного элемента стержня (рис. 2) получается
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
следовательно
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Рис. 2
Распределение нормальных напряжений
Если стержень нагружен только осевой силой, в сечении возникает лишь равномерно распределённое нормальное напряжение σ (растянутый, соответственно сжатый стержень). Если при этом действует изгибающий момент, эти напряжения должны быть каким-то образом неравномерно распределены, так что их равнодействующая уже не проходит через центр тяжести сечения. Чтобы определить такое распределение, техническая теория изгиба не исходит из строгого решения основных уравнений, а заменяет часть этих уравнений правдоподобным предположением, которое в одном особенно простом случае одновременно выполняется и строго. Этот частный случай — изгиб прямого призматического стержня без действия поперечных сил (рис. 3). Все элементы стержня, достаточно удалённые от его концов, испытывают одну и ту же деформацию, откуда непосредственно следует, что ось стержня переходит в дугу окружности и что все плоскости поперечных сечений, первоначально перпендикулярные оси стержня, при деформации остаются плоскими, поскольку каждая из них является плоскостью симметрии для соседних частей деформированного стержня. Естественно напрашивается предположение, что поперечные сечения остаются примерно плоскими и тогда, когда изгибающий момент и поперечное сечение стержня не постоянны, а постепенно изменяются вдоль стержня. Это предположение, называемое гипотезой Навье, лежит в основе теории изгиба.
Рис. 3
Величина нормальных напряжений
Когда изгибается прямой элемент балки, одна часть его «волокон», т. е. материальных линий, параллельных оси стержня, растягивается, тогда как другая часть укорачивается (рис. 4). Между этими двумя частями лежат нейтральные волокна z=0, длина которых при изгибе не изменяется. Пусть радиус кривизны этих волокон в изогнутом состоянии равен ϱ и пусть он лежит в плоскости x-z. Из рис. 4 mоže se прочитать
Δ dx/z = _dx/_ϱ
и оттуда вычислить деформацию волокон на расстоянии z от нейтральной оси, которая составляет
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
и поэтому на основе закона Hooke-а напряжение
σ _= Ez/_ϱ (2)
Рис. 4
Это напряжение пропорционально расстоянию от нейтральных волокон. Такой результат связан с предположением, что до деформации все волокна элемента стержня были одинаковой длины, так что стержень первоначально был прямым, или по крайней мере имел настолько малую кривизну, что влиянием кривизны можно пренебречь. Прямая, вдоль которой пересекаются нейтральный слой и плоскость сечения, называется нейтральной осью. Ее принимаем за ось y (рис. 5). Положение нейтральной оси в поперечном сечении определяется из условия равновесия сил в направлении оси x: если нормальная сила N=0 (изгиб без нормальной силы), то и равнодействующая внутренних сил, выраженная через нормальные напряжения в сечении, должна быть равна нулю:
Интеграл справа представляет собой статический момент площади относительно y-оси. Чтобы он был равен нулю, эта ось должна быть одной из осей, проходящих через центр тяжести.
Момент M, вызывающий деформацию, относительно осей y и z в плоскости сечения (рис. 5) имеет составляющие:
Уравн. (3)
при этом Iy, Iyz — экваториальный и центробежный момент инерции сечения относительно указанных осей.
Самый важный частный случай — когда Mz=0. Этот случай возникает, когда Iyz=0, то есть когда оси y и z являются главными осями инерции сечения. Это означает, что принятая здесь плоскость изгиба x-z-плоскость совпадает с плоскостью, в которой действует изгибающий момент M=My, то есть с плоскостью сил.
Рис. 5
Если из уравнений (2) и (3) исключить _E/_ϱ, получается формула для определения напряжений при чистом изгибе (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
для краевых точек 1 и 2 особенно:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Величины W1,2 = I/h1,2 (размерность: длина в третьей степени) называются моментами сопротивления. Если горизонтальная центральная ось одновременно является осью симметрии сечения, тогда W1 = W2, а значит, краевые напряжения по абсолютной величине равны.
Упругая линия
Рис. 6
Значение приведённых выше зависимостей связано с законом Гука. Это требует, чтобы σ << E, следовательно, по (2) h << ϱ. Однако изгиб может быть таким, что ϱ будет одного порядка с длиной стержня l. Для изогнутых стержней, встречающихся в строительстве, такой случай не возникает; всегда ϱ значительно больше, чем l, и, следовательно, прогиб w << l (рис. 6). Тогда приближённо справедливо:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
и на основании (3):
w’’ = - M/EI.
Это уравнение и условие равновесия (1b) образуют систему дифференциальных уравнений изогнутого стержня. Путем исключения их можно свести к одному уравнению четвертого порядка:
wIV = + p/EI
или, в случае если момент инерции переменный:
(EIw’’)’’ = +p.
Из них путем интегрирования можно определить форму упругой линии, когда задана нагрузка p=p(x) и когда для каждого случая стержня известны два граничных условия. Из них по крайней мере два должны относиться к деформации. Подробности см. в статье Статика строительных конструкций.
Ядро сечения
Если нейтральная ось пересекает поперечное сечение, она делит его на зону растяжения и зону сжатия. У материалов с малой прочностью на растяжение встает вопрос, куда должна быть приложена сила сжатия, если в поперечном сечении нигде не должно возникать растяжение. Положение точки приложения силы тогда ограничено областью, которая называется ядром сечения. Граница ядра, очевидно, является геометрическим местом точек, нейтральные оси которых касаются поперечного сечения по контуру. Тем самым одновременно дано и его построение.
Расстояние границы ядра от центра тяжести, измеренное в любом направлении, обозначим k индексом, соответствующим этому направлению. Для главных осей инерции по уравнению
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
выражения следующие:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Для круглого поперечного сечения радиуса r расстояние ядра составляет k = r/4, а для круглого кольца (радиусы: наружный R, внутренний r) k = (R2 + r2) / 4R.
Для прямоугольника (рис. 7) ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Следовательно, при нагружении прямоугольного сечения в одной из плоскостей симметрии (но только тогда) достаточно, чтобы результирующая приложилась в средней трети высоты или ширины поперечного сечения, и тогда напряжения в сечении будут одного знака.
Рис. 7
Изгиб в пластической области
Когда в крайних волокнах изгибаемого стержня достигнут предел текучести, его несущая способность этим еще не исчерпана, поскольку по мере того как наружные волокна пластически деформируются при постоянном напряжении, в частях, расположенных ближе к нейтральной оси, где предел текучести еще не достигнут, напряжение возрастает, а вместе с ним увеличивается и изгибающий момент, который сечение может воспринимать.
Если известен точный ход диаграммы напряжений и деформаций, процесс для двояко симметричных сечений (высоты h) можно легко проследить расчетным путем следующим образом: при предположении, что сечения остаются плоскими, по диаграмме напряжений и деформаций определяется распределение напряжений σ от изгиба, соответствующее некоторой принятой деформации крайних волокон ε__r, и отсюда интегрированием определяется изгибающий момент. Если это выполнить для различных ε__r и, с другой стороны, вычислить соответствующую кривизну линии прогиба w’’ = 2 ε__r / h, получается ряд точек, через которые можно провести линию, дающую связь между изгибающим моментом и кривизной M = M(w’’); эта связь уже не является линейной, а когда она известна, можно графическим интегрированием определить линию прогиба, соответствующую данному распределению моментов. Если сечение несимметричное, расчет становится сложнее, поскольку для каждого ε__r нужно еще определить и положение нейтральной оси.
Сл. 8
Расчет в известной степени упрощается, если помимо симметрии сечения предположить и упрощенную связь между напряжениями и деформациями по рис. 8. Тогда напряжения вследствие изгиба после превышения предела текучести имеют распределение, показанное на рис. 9, и изгибающий момент равен:
и потому кривизна линии прогиба получается, когда уравнение (2) применяется к части сечения, напряжения в которой находятся в упругой области w’’ = σf / Ez’. Если известна форма сечения для каждого принятого z’, интегралы можно вычислить. Например, для простейшего случая прямоугольного поперечного сечения шириной b и высотой h имеем
Если здесь z’ выразить через w’’, получаем
У I-профилей и им подобных ход кривой M-w’’ в пластической области ещё более пологий, и момент, при котором наступает текучесть, тогда практически равен наибольшему изгибающему моменту, который вообще может воспринимать сечение. Поэтому значение пластического изгиба в строительстве состоит не в увеличении изгибающего момента, который может нести сечение, а в том, что большая локальная деформация, возникающая на границе текучести, может привести к благоприятному изменению распределения сил в статически неопределимых системах.
Рис. 9
Это можно объяснить на примере непрерывной балки, перекрывающей два пролета. Пусть балка (рис. 10) имеет пролеты одинаковой длины, постоянное сечение и нагружена равномерно распределенной нагрузкой. Тогда до достижения предела текучести момент над опорой MB = _pl_2/8. Если нагрузку p увеличить настолько, что момент в опорном сечении достигнет значения Mf, при котором наступает текучесть, то при дальнейшем увеличении нагрузки в этом месте будет возрастать и кривизна без заметного прироста момента. Образуется так называемый пластический шарнир, то есть балка под дополнительной нагрузкой ведет себя так, как будто над средней опорой имеется шарнир. Нагрузку можно и дальше увеличивать, пока и в месте наибольшего момента в пролете не начнется текучесть. Дальнейшее увеличение изгибающего момента уже невозможно, и несущая способность балки исчерпана. Нагрузка, при которой наступает это состояние, называется предельной нагрузкой.
Рис. 10
Вообще можно ожидать, что в системе, статически неопределимой n раз, должно возникнуть (n+1) пластических шарниров, прежде чем система станет подвижной и тем самым достигнет своего предела несущей способности. Однако это правило имеет исключения в обе стороны. Как показывает приведенный пример, на пределе несущей способности могут одновременно возникнуть два новых пластических шарнира (в обоих пролетах), так что до того еще неподвижная система внезапно переходит в систему с двумя степенями свободы. С другой стороны, возможно и то, что уже при меньшем числе, чем (n+1), пластических шарниров несущая способность оказывается исчерпанной локально, например, когда у неразрезной балки уступает только один пролет. Рис. 11 показывает, как это может произойти у системы, статически дважды неопределимой, с n=2 пластическими шарнирами. Если с правой стороны балки добавить еще и четвертый пролет, балка становится трижды статически неопределимой, и тогда достаточно (n-1) пластических шарниров, чтобы только левый пролет довести до предела несущей способности.
Рис. 11
Сдвигающие напряжения при изгибе
Элементарный расчет
Сл.12
Нормальные напряжения σ, то есть напряжения, которые на самом деле возникают вследствие изгиба, не являются единственными напряжениями в изогнутом стержне, поскольку наряду с ними возникают и касательные напряжения вследствие действия поперечной силы. Поскольку основная особенность технической теории изгиба состоит в том, что деформации вследствие касательных напряжений не учитываются, их можно определить только из условия равновесия. Чтобы его сформулировать, элемент балки dx разрезается, как показано на рис. 12, горизонтальной плоскостью на две части, после чего записывается условие равновесия горизонтальных сил, действующих на нижнюю часть. С левой стороны это внутренние силы, выраженные напряжениями σ вследствие изгиба, которое следует интегрировать от z’ = z до z’ = h2
Справа действуют те же напряжения, но увеличенные на дифференциал в соответствии с соответствующим изгибающим моментом M + dM. Разность сил по обе стороны элемента должна находиться в равновесии с силой, обусловленной сдвигающими напряжениями τ, действующими в горизонтальной сеченной поверхности t dx:
Здесь интеграл представляет собой статический момент части поперечного сечения, выделенной горизонтальной поперечной плоскостью, относительно центральной оси сечения. Он обозначается S. Из dM/dx = Q по условию равновесия получаем:
τ = QS/It. (8)
Это, согласно положению о сопряженности касательных напряжений, одновременно является величиной вертикального касательного напряжения, действующего в поверхности поперечного сечения и, наряду с S и t, являющегося функцией от z.
Рис. 13
Рис. 13.1
Уравнение (8) даёт надёжные данные для всех тонкостенных сечений, если секущую плоскость не располагать параллельно нейтральной оси, а в направлении толщины стенки. Следовательно, I-профиль режется поперёк через стенку и поперёк через полку, в результате чего получается распределение напряжений, показанное на рис. 13.1. Для кольцевого сечения (рис. 13) касательные напряжения распределены симметрично относительно вертикального диаметра и слева и справа на нейтральной линии достигают максимума
τ = Q / πrt.
Если сечение разрезано в самом верхнем или самом нижнем месте, распределение сдвигающих напряжений не меняется; однако если оно разрезано у правого конца горизонтального диаметра (рис. 14), то сдвигающее напряжение в этой точке равно нулю, тогда как на левом конце того же диаметра его значение удваивается.
Рис. 14
Сплошные сечения
Для сплошных сечений произвольной формы задача касательных напряжений тесно связана с задачей кручения. Элементарное уравнение (8) в таком случае уже не является надежным. Для круглого сечения радиуса r уравнение (8) дает
τ = 4Q / 3__πr2
как среднее значение сдвигающего напряжения вдоль нейтральной оси, а точное значение лишь на несколько процентов больше.
Центр сдвига
Если для U-сечения рассчитываются касательные напряжения способом, описанным выше, получается распределение напряжений, показанное на рис. 15. Результирующая соответствующих внутренних сил — поперечная сила Q. Из рисунка видно ее положение относительно сечения, то есть что она не проходит через центр тяжести сечения и не лежит в плоскости стенки. Если поперечная сила, рассчитанная на основе внешних сил, не имеет положения, показанного на рис. 15, балка нагружена не только на изгиб, но и на кручение.
Если для того же поперечного сечения определить равнодействующую, соответствующую касательным напряжениям для некоторой горизонтальной нагрузки, получают линию действия горизонтальной поперечной силы. В пересечении этих двух линий действия находится характерная точка для данного поперечного сечения, называемая центром сдвига M. В балке не возникают напряжения вследствие кручения, когда центры сдвига всех поперечных сечений лежат на одной прямой, а все нагрузки, перпендикулярные оси стержня, проходят через эту прямую. В противном случае момент каждой нагрузки относительно прямой, соединяющей центры сдвига, и представляет собой крутящий сдвиг.
Рис. 15
Влияние поперечной силы на изгиб
Техническая теория изгиба основана на пренебрежении деформациями, вызванными сдвигающими напряжениями. Следовательно, она действительно может применяться к тонким стержням, для которых такое пренебрежение оправдано и где поперечная сила не оказывает заметного влияния на изгиб.
Однако опыт показал, что техническую теорию изгиба с известным успехом можно применять и к коротким, высоким балкам, для которых она, собственно, вовсе не предназначена. Тогда возникает необходимость хотя бы приблизительно учитывать впоследствии влияние деформации вследствие касательных напряжений, которым в этой теории пренебрегают.
Так же, как и касательные напряжения τ вследствие поперечных сил, соответствующие сдвиги γ_’ =_ τ_/G_ распределены по сечению неравномерно. Поэтому вводят их среднее значение γ, которое определяют так, чтобы поперечная сила при этом среднем значении деформации совершала на элементе балки dx работу деформации, равную той, которая получилась бы при интегрировании работ касательных напряжений по отдельным объёмным элементам, составляющим рассматриваемый элемент балки:
откуда
Интеграл можно вычислить, когда известено распределение касательных напряжений по сечению. Поскольку все касательные напряжения пропорциональны Q/F, то его значение пропорционально Q2/F2 * F, а если положить, что оно равно κ__Q2/F, получается
γ = κ__Q / GF.
Константа κ называется коэффициентом распределения касательных напряжений. Для прямоугольных сечений κ=1,2.
Рис. 16
Когда известен коэффициент κ, а следовательно и среднее скольжение γ, можно вычислить дополнительный прогиб wQ, вызванный действием поперечных сил, который следует прибавить к прогибам w: так как согласно рис. 16
поэтому из Q = dM/dx:
при этом интеграционная константа получается из одного граничного условия.