נאָרמאַלע שפּאַנונגען בײַ גלײַכע שטענג און שטענג מיט אַ קליינעם קרומקייט
דעפֿיניציע פֿון די קרײַז־שניט־כּחות
נאָמען מיר, אַז אַ גלײַכער שטאַנג איז באלאסטעט מיט כּוחות פֿון אַרביטראַרער ריכטונג, וועגן וועלכע מען נעמט נאָר אָן, אַז זיי ליגן אַלע אין איין פּלאַנע (כּוחות־פּלאַנע), וואָס גייט דורך דעם אַקס פֿון דער שטאַנג (די ליניע, וואָס פֿאַרבינדט די שטרענג־צענטערן פֿון די קרײַז־סעקציעס).
איל. 1
כּדי אויסצורעכענען די שפּאַנונגען, וואָס ווירקן אין אַ געוויסן קראָס־סעקציע n – n (פֿיג. 1), דאַרף מען וויסן די כּוח, וואָס ווערט איבערגעגעבן דורך דעם קראָס־סעקציע פֿון איין טייל פֿון דער שטאַנג צום אַנדערן. זי איז אין איר גרייס און אין איר פּאָזיציע קלאָר גלייך דער רעזולטאַנט פֿון אַלע כּוחות, וואָס באַפֿאַלן איין טייל פֿון דער שטאַנג. דער דאָזיקער רעזולטאַנט ווערט אָפּגעשפּאַלטן אין קאָמפּאָנענטן אין אַ קאָאָרדינאַט־סיסטעם, וועמענס x-אַקס צוזאַמפֿאַלט מיט דער אַקס פֿון דער שטאַנג, און וועמענס z-אַקס איז די ליניע, לענגאויס וועלכער דער פּלאַן פֿון דער קראָס־סעקציע שניידט דעם כּוח־פּלאַן. דער קאָמפּאָנענט אין דער ריכטונג פֿון דער z-אַקס הייסט טראַנסווערסאַלע כּוח Q אָדער Qz, און בײַ אַ פשוטן באַלג ווערט ער געהאַלטן פּאָזיטיוו, אויב לינקס פֿון דער שניט איז זײַן ריכטונג אַרויף, און רעכטס אַראָפּ.
ווען דער שטאַנג איז געקרומט, האָבן די קאָאָרדינאַטן־אַקסן x און z אין יעדער קרײַז־סעקציע אַן אַנדער ריכטונג, און דאָס אַלץ אַזוי, אַז דער x-אַקס איז די טאַנגענט צו דער אַקס פֿון דער שטאַנג. אויב די פּלאַנע, אין וועלכער ליגט די אַקס פֿון דער שטאַנג, שטימט נישט איבער מיט דער כּוחות־פּלאַנע, אָדער אויב די אַקס פֿון דער שטאַנג איז אַ רוימישע קרומע ליניע, האָט די רעזולטאַנטע פֿון די כּוחות לינקס פֿון דער סעקציע אויך אַ דריטן קאָמפּאָנענט, די טראַנסווערסאַלע כּוח Qy. מיט N, Qz און Qy ווערן באַשטימט די גרייס און ריכטונג פֿון דער כּוח, וואָס ווערט איבערגעגעבן דורך דער סעקציע, אָבער נישט איר אָרט. פֿאַר דעם דאַרף מען אויך וויסן אירע מאָמענטן קעגן די קאָאָרדינאַטן־אַקסן. אין דעם פאַל פֿון גראָדן בייגן איז גענוג, אַז דער בייגן־מאָמענט M אָדער My זאָל זײַן באַקאַנט. אין דעם מערסט אַלגעמיינעם פֿאַל טרעט נאָך אויף אַ בייגן־מאָמענט Mz און אַ מאָמענט אַרום דעם x-אַקס, Mx.
די זעקס כוחות און מומענטן, דעפֿינירט אין דער פֿריִערדיקער אויספֿירונג, ווערן צוזאַמענגעפֿאַסט אונטער דעם געמיינזאַמען נאָמען „שניט־כוחות“. זייער באַשטימונג איז איינע פֿון די גרונט־אויפֿגאַבעס פֿון דער סטאַטיק פֿון בנין־קאַנסטרוקציעס.
צווישן דער אָן־אויפֿהערלעך פֿאַרטיילטער בעלאַסט p (דימענסיע: קראַפֿט אויף אַ יוניט לענג), דער טראַנסווערסאַלער קראַפֿט Q און דער בייג־מאָמענט M עקזיסטירט אין פֿאַל פֿון גלייכן בויגן אַ פּשוטער שײַכות. נעמלעך, פֿון דעם תנאי פֿון גלײַכוועג פֿון אַן עלעמענט פֿון אַ שטאַנג (איל. 2) באַקומט מען
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
דעריבער
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
אַביל. 2
פֿאַרטיילונג פֿון נאָרמאַלע שפּאַנונגען
אויב אַ שטאַנג איז באַלעסטיקט בלויז מיט אַקסיאַלער כּוח, דערשיינט אין דעם קרײַז־שניט בלויז אַ גלײַך פֿאַרטיילטער נאָרמאַלער שפּאַנונג σ (צוגעצויגענער, אָדער צוזאַמענגעדרוקטער שטאַנג). אויב דערצו דערשיינט נאָך אַ בויג־מאָמענט, מוזן די שפּאַנונגען אין אַ געוויסער אופֿן ווערן אומגלײַך פֿאַרטיילט, אַזוי אַז זייער רעזולטאַנט גייט מער נישט דורך דעם שווער־פּונקט פֿון דעם קרײַז־שניט. כּדי צו באַשטימען אַזאַ פֿאַרטיילונג, גייט די טעכנישע בויג־טעאָריע נישט פֿון אַ שטרענגן לייזונג פֿון די גרונט־גלײַכונגען, נאָר זי פֿאַרבײַטלט אַ טייל פֿון די גלײַכונגען מיט אַ פּלאָזיבלע הנחה, וואָס איז אין אַ באַזונדער פּשוטן פֿאַל Zugleich אויך שטרענג מקוים. דער ספּעציעלער פֿאַל איז בויגונג פֿון אַ גלײַכן פּריזמאַטישן שטאַנג אָן דער ווירקונג פֿון טראַנזווערסאַלע כּוחות (fig. 3). אַלע עלעמענטן פֿונעם שטאַנג, וואָס זענען גענוג ווייט פֿון זיינע ענדן, דערלײַדן די זעלבע דעפֿאָרמאַציע, פֿון וואַנען גלײַך פֿאָלגט אַז די אַקס פֿון דעם שטאַנג גייט איבער אין אַ קרײַז־בויגן און אַז אַלע פּלאַנען פֿון קרייַז־שניטן, וואָס זײַנען בײַם אָנהייב געווען פּערפּענדיקולער צו דער אַקס פֿון דעם שטאַנג, בלײַבן בײַ דער דעפֿאָרמאַציע פֿלאַך, ווײַל יעדער איינער פֿון זיי איז אַ סיממעטריע־פּלאַן פֿאַר די שכנותדיקע טיילן פֿונעם דעפֿאָרמירטן שטאַנג. נאַטירלעך שטעלט זיך פֿאָר די הנחה, אַז קרייַז־שניטן בלײַבן בערך פֿלאַך אויך דעמאָלט, ווען דער בויג־מאָמענט און דער קרייַז־שניט פֿונעם שטאַנג זײַנען נישט קעסיידערדיק, נאָר טוישן זיך לאַנגזאַם לענגס דעם שטאַנג. די דאָזיקע הנחה, וואָס מען רופֿט Navier-ס היפּאָטעזע, ליגט אין דער גרונט פֿון דער בויג־טעאָריע.
פֿיג. 3
די גרייס פֿון די נאָרמאַלע שפּאַנונגען
ווען מען בייגט דעם גליקן עלעמענט פֿון אַ בים, ציט זיך איין טייל פֿון זיינע „פֿיבערן“, ד.ה. מאַטעריעלע ליניעס פּאַראַלעל צום אַקס פֿון דער שטאַנג, בעת דער אַנדערער טייל פֿאַרקירצט זיך (בילד 4). צווישן די צוויי טיילן ליגן די נייטראַלע פֿיבערן z=0, וועמענס לענג בײַם בייגן ענדערט זיך נישט. זאָל דער ראַדיוס פֿון דער קרומקייַט פֿון די פֿיבערן אין געבויגענעם מצב זײַן ϱ און זאָל ער ליגן אין דער x-z־פּלאַך. פֿון בילד 4 m קען מען אויסלייענען
Δ dx/z = _dx/_ϱ
און פֿון דאָרטן אויס רעכענען די פֿאַרגרעסערונג פֿון די פֿעדעם אויף דער דיסטאַנץ z פֿון דער נייטראַלער אַקס, וואָס איז
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
און לויטן געזעץ פֿון Hooke ווערט דער שפּאַנונג
σ _= Ez/_ϱ (2)
איבר. 4
די שפּאַנונג איז פּראָפּאָרציאָנאַל צו דער אָפּשטאַנד פֿון די נייטראַלע פֿיבערן. אַזאַ רעזולטאַט איז פֿאַרבונדן מיט דער פֿאָרויסזעצונג, אַז פֿאַר דער דעפֿאָרמאַציע זײַנען אַלע פֿיבערן פֿונעם שטאַנגעלע־עלעמענט געווען גלײַך לאַנג, אַזוי אַז דער שטאַנג איז פֿון אָנהייב געווען גלײַך, אָדער לפּחות מיט אַזאַ קליינער קערווונג, אַז דער השפּעה פֿון דער קערווונג קען מען פֿאַרנאַכלעסיקן. די ליניע, לענגס וועלכער דער נייטראַלער שיכט און דער פּלאן פֿון דעם דורכשניט קרײַצן זיך, הייסט די נייטראַלע אַקס. מיר נעמען זי פֿאַר די y-אַקס (צייכן. 5). דער פּאָזיציע פֿון דער נייטראַלער אַקס אין דעם קראָס־שניט ווערט באַשטימט פֿון דעם גלײַכגעוויכט־באַדינגונג פֿון כּוחות אין דער ריכטונג פֿון דער x-אַקס: אויב די נאָרמאַלע כּוח N=0 (בייגן אָן נאָרמאַלע כּוח), דאַן דאַרף אויך דער רעזולטאַנט פֿון די אינערלעכע כּוחות אויסגעדריקט דורך נאָרמאַלע שפּאַנונגען אין דעם דורכשניט זײַן גלײַך נול:
דער אינטעגראל אויף דער רעכטער זײַט איז דער סטאַטישער מאָמענט פֿון דער פֿלאַך אין באַציִונג צו דער y-אַקס. כּדי ער זאָל זײַן גלײַך נול, מוז די אַקס זײַן איינער פֿון די צענטראַל־אַקסן.
דער מאָמענט M, וואָס ברענגט אַרויס דעפֿאָרמאַציע, האָט אין באַציִונג צו די אַקסן y און z אין דער פּלאַן פֿון דער קראָס־סעקציע (פֿיג. 5) די קאָמפּאָנענטן:
גל. (3)
דערבײַ זײַנען Iy, Iyz עקוואַטאָריאַלער און צענטריפוגאַלער מומענט פֿון אינערציע פֿון דעם קרײַז־שניט ביחס צו די באַצייכנטע אַקסן.
דער וויכטיקסטער איז דער ספּעציעלער פֿאַל ווען Mz=0. דער דאָזיקער פֿאַל טרעט אויף ווען Iyz=0, דאָס הייסט ווען y און z זענען די הויפּט אינערציע־אַקסן פֿון דעם שניט. דאָס הייסט, אַז דער בויג־פּלאַן, וואָס ווערט דאָ אָנגענומען צוזאַמען מיטן x-z-פּלאַן, שטימט צונויף מיטן פּלאַן אין וועלכן דער בויג־מאָמענט M=My ווירקט, דאָס הייסט מיטן קראַפֿט־פּלאַן.
פֿיג. 5
אויב מען עלימינירט פֿון די גלײַכונגען (2) און (3) _E/_ϱ, באַקומט מען דעם מוסטער פֿאַר דער באַשטימונג פֿון שפּאַנונג בײַ גלײַכן בייגן (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
פֿאַר די ברעג־פּונקטן 1 און 2 איז באַזונדער אַרויסגעשטעלט:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
די גרייסן W1,2 = I/h1,2 (דימענסיע: לענג צו דער דריטער) הייסן קעגנשטעל־מאָמענטן. אויב די האָריזאָנטאַלע צענטער־אַקס איז Zugleich די אַקס פֿון סימעטריע פֿון דעם קרייַז־שניט, דאַן איז W1 = W2, און די ראַנד־שפּאַנונגען זײַנען גלײַך לויט זייער אַבסאָלוטער גרייס.
עלאַסטישע ליניע
פיג. 6
די באַדײַטונג פֿון די אויבן דערמאָנטע פֿאַרמען איז פֿאַרבונדן מיטן לעג פֿון Hooke. דאָס פֿאָדערט, אַז σ << E, דהײַנו לויט (2) h << ϱ. אָבער די בויגונג מעג זײַן אַזוי גרויס, אַז ϱ זאָל זײַן אין דער זעלבער אָרדער פֿון גרייס ווי די לענג פֿון שטאַנגעלע l. בײַ בויגענע שטאַנגען וואָס קומען אין באַטראַכט אין בנין־קונסט, טרעפֿט דער פֿאַל זיך ניט; ϱ איז שטענדיק פֿיל גרעסער פֿון l, און דעריבער איז דער דורכקניק w << l (בילד 6). דאַן גילט בערך:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
און לויט (3):
w’’ = - M/EI.
די דאָזיקע גלייכונג און דער גלייכgewicht־באַדינגונג (1b) מאַכן אַ סיסטעם פֿון דיפערענציאַלגלייכונגען פֿון אַ געבויגענעם שטאַנג. דורך עלימינאַציע קען מען זיי רעדוצירן צו איין גלייכונג פֿון פֿערטן אָרדענונג:
wIV = + p/EI
אָדער, אין פֿאַל, אַז דער מאָמענט פֿון אינערציע איז פֿאַרענדערלעך:
(EIw’’)’’ = +p.
פֿון זיי קען מען דורך אינטעגראַציע געפֿינען די פֿאָרעם פֿון דער עלאַסטישער ליניע, ווען די געגעבן באַלעסטונג איז p=p(x) און ווען פֿאַר יעדער פאַל פֿון דער שטאַנג זענען באַקאַנט צוויי גרענעץ־באדינגונגען. פֿון די דאָזיקע מוזן לכל־הפּחות צוויי זיך באַציִען צו דער דעפֿאָרמאַציע. פֿאַר פּרטים זעט דעם אַרטיקל סטאַטיק פֿון קאַנסטרוקטיווע סטרוקטורן.
קערן פֿון דער קראָס־סעקציע
אויב די נייטראַלע אַקסע שנײַדט דעם קרײַז־אָפּטייל, טיילט זי אים אין אַ ציע־זאָנע און אַ דרוק־זאָנע. בײַ מאַטעריאַלן מיט אַ קליינער ציע־שטאַרקייט שטעלט זיך די קשיא, וווּ דאַרף די דרוק־קראַפֿט אָנשטויסן, אויב אין דעם קרײַז־אָפּטייל טאָר קיינמאָל נישט קומען צו ציע. דער אָרט פֿון דער אָנשטויס־פּונקט פֿון דער קראַפֿט איז דאַן באַגרענעצט אויף אַ געגנט, וואָס ווערט גערופֿן קערן פֿונעם אָפּטייל. די גרענעץ פֿונעם קערן איז קלאָר די גאמעטרישע אָרט פֿון פּונקטן, וועמעס נייטראַלע אַקסעס טאַנגיערן דעם קרײַז־אָפּטייל אַרום דעם גאנצן אַרומפֿאַנג. דערמיט איז Zugleich געגעבן אויך זײַן קאָנסטრუქציע.
די דיסטאַנץ פֿון דער קערנדיקער גרענעץ ביזן שווערן פּונקט, געמאָסן אין וועלכער ריכטונג ס׳איז, וועלן מיר באַצייכענען מיט k אינדעקס וואָס פּאַסט צו יענער ריכטונג. לויט דער גלײַכונג פֿאַר די הויפּט אינערציע־אַקסן
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
די אויסדרוקן זײַנען די פֿאָלגנדיקע:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
פֿאַר אַ רונדיקן קרײַז־שניט מיט ראַדיוס r איז דער קערנדיקייט־אָפּשטאַנד k = r/4, און פֿאַר אַ קייַלעכיקן רינג (ראַדיוסן: דרויסנדיקער R, אינעווייניקסטער r) k = (R2 + r2) / 4R.
פֿאַר דעם רעקטאַנגגעל (בילד 7) איז ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. אַזוי, בײַ באַלעסטיקן פֿון אַ רעקטאַנגגולערן קרײַז־שניט אין איינעם פֿון די סימעטריע־פּלאַנען (אָבער נאָר דאַן) איז גענוג אַז די רעזולטאַנטע זאָל אָנגרייפן אין דער מיטלער דריטל פֿון דער הייך אָדער ברייט פונעם קרײַז־שניט, כּדי די שפּאַנונגען אין קרײַז־שניט זאָלן האָבן דעם זעלבן סימן.
פֿיג. 7
בייגן אין דער פּלאַסטישער געגנט
ווען אין די ברעג־פֿאַזערן פֿון אַ בויגנעם שטאַנג איז דער פליס־גרענעץ דערגרייכט, איז זײַן טראָגפֿעיִקייט דערמיט נאָך נישט אויסגענוצט, ווײַל בשעת די דרויסנדיקע פֿאַזערן ווערן פּלאַסטיש דעפאָרמירט בײַ קאָנסטאַנטער שפּאַנונג, וואַקסט די שפּאַנונג אין די טיילן וואָס ליגן נעענטער צום נייטראַלן אַקס, וווּ דער פליס־גרענעץ איז נאָך נישט דערגרייכט, און דעריבער וואַקסט אויך דער בויג־מאָמענט, וואָס דער אָפּשניט קען אָפּטראָגן.
אויב דער גענויער גאַנג פֿון דעם דיאַגראַם פֿון שפּאַנונגען און דעפֿאָרמאַציעס איז באַקאַנט, קען מען דעם פּראָצעס בײַ טאָפּל־סימעטרישע קרייזן (מיט דער הייך h) לייכט רעכעניש נאָכפֿאָלגן אויף אַזאַ אופֿן, אַז אונטער דער אָנהאַבע, אַז די קרייזן בלײַבן גלײַך, באַשטימט מען אויס דעם דיאַגראַם פֿון שפּאַנונגען און דעפֿאָרמאַציעס די פֿאַרטיילונג פֿון שפּאַנונגען σ צוליב בייגן, וואָס ענטפֿערט צו אַן אָנגענומענער דילאַטאַציע פֿון די עק־פֿעדעם ε__r און פֿון דאָרטן באַשטימט מען דורך אינטעגראַציע דעם בייגן־מאָמענט. אויב דאָס ווערט דורכגעפֿירט פֿאַר פֿאַרשידענע ε__r און פֿון דער צווייטער זײַט אויסגערעכנט דער צוגעפּאַסטער קריווונג־ראַדיאָן פֿון דער דעפֿלעקטיאָן־ליניע w’’ = 2 ε__r / h, באַקומט מען אַ ריי פונקטן, דורך וועלכע מע קען דורכציִען אַ ליניע, וואָס גיט דעם פֿאַרבינד צווישן בייגן־מאָמענט און קריווונג M = M(w’’); די פֿאַרבינדונג איז ניט מער לינעאַר, און ווען זי איז באַקאַנט, קען מען דורך גראַפֿישע אינטעגראַציע באַשטימען די דעפֿלעקטיאָן־ליניע, וואָס ענטפֿערט צו דער געגעבן פֿאַרטיילונג פֿון מאָמענטן. אויב דער קרייז איז נישט־סימעטריש, ווערט די רעכענונג קאָמפּליצירטער, ווײַל פֿאַר יעדן ε__r דאַרף מען נאָך אויך באַשטימען דעם אָרט פֿון דער נייטראַלער אַקס.
פֿיג. 8
דער חשבון ווערט אין געוויסער מאָס פֿאַרפּשוטערט אויב, אויסער דער סימעטריע פֿון דעם שניט, מען נעמט אויך אָן אַ פֿאַרפּשוטערטן פֿאַרבינדונג צווישן שפּאַנונגען און פֿאַרלענגערונגען לויט פיג. 8. דעמאָלט האָבן די שפּאַנונגען צוליב בייגן נאָך איבערשרײַטן דעם פלאָס־גרענעץ די פֿאַרטיילונג געוויזן אויף פיג. 9 און דער בייג־מאָמענט איז:
און אַזוי ווערט די קרומונג פֿון דער דורכבויגונג־ליניע באַקומען, ווען די גלײַכונג (2) ווערט אָנגעווענדט אויף אַ טייל פֿונעם אָפּשניט, וועמענס שפּאַנונגען ליגן אין דער עלאַסטישער געגנט w’’ = σf / Ez’. אויב די פֿאָרעם פֿונעם אָפּשניט איז באַקאַנט פֿאַר יעדן אָנגענומענעם z’, קען מען אויסרעכענען די אינטעגראַלן. למשל, פֿאַר דעם פּשוטסטן פֿאַל פֿון אַ רעקטאַנגולערן קראָס־אָפּשניט מיט ברייט b און הייך h איז
אויב מען דריקט דאָ אויס z’ דורך w’’, באַקומט מען
בײַ I־פּראָפֿילן און ענלעכע איז דער גאַנג פֿון דער M-w’’־קוּרווע אין דער פּלאַסטישער געגנט נאָך מער פֿאַרלייגט, און דער מאָמענט, בײַ וועלכן עס הייבט זיך אָן פֿליסן, איז דאַן פּראַקטיש גלײַך צום גרעסטן בייג־מאָמענט, וואָס דער פּראָפֿיל קען בכלל אויסהאַלטן. דערפֿאַר באַשטייט דער באַטײַט פֿון פּלאַסטישן בייגן אין בוי־קונסט נישט אין דער פֿאַרגרעסערונג פֿון דעם בייג־מאָמענט, וואָס דער פּראָפֿיל קען טראָגן, נאָר אין דעם, אַז די גרויסע לאָקאַלע דעפֿאָרמאַציע, וואָס אַנטשטייט בײַ דער פֿליסן־גרענעץ, קען פֿירן צו אַ גינסטיקער ענדערונג אין דער פֿאַרטיילונג פֿון קראַפֿטן בײַ סטאַטיש אומבאַשטימטע סיסטעמען.
פֿיג. 9
דאָס קען מען דערקלערן אויפֿן בײַשפּיל פֿון אַ קאָנטינויִערלעכן טרעגער איבער צוויי פֿעלדער. נעמט מען אַן טרעגער (פֿיג. 10) מיט פֿעלדער פֿון גלײַכער לענג, אַ קאָנסטאַנטן קראָס־אָפּטייל און לאָזט אים זײַן באַלעסטיקט מיט אַ גלײַך־פֿאַרטיילטער באַלעסטיקונג. דאַן איז, פֿאַרן דערגרייכן דעם צעטל פֿון פֿליסן, דער מאָמענט איבערן לאַגער MB = _pl_2/8. אויב מען פֿאַרגרעסערט די באַלעסטיקונג p אַזוי ווײַט, אַז דער מאָמענט אין דעם לאַגער־קרײַז עררייכט דעם ווערט Mf, בײַ וועלכן פֿליסן הייבט זיך אָן, וועט בײַ ווײַטערדיקער פֿאַרגרעסערונג פֿון דער באַלעסטיקונג אין יענעם אָרט זיך אויך פֿאַרגרעסערן די קרומע אָן אַ באַמערקבאַרן צוגאַנג פֿון מאָמענט. עס שאַפֿט זיך דער אַזוי־גערופֿענער פּלאַסטישער הינדזש, הייסט עס, דער טרעגער פֿירט זיך אונטער דער צוזעצלעכער באַלעסטיקונג אַזוי, ווי עס וואָלט געווען אַן הינדזש איבערן מיטל־לאַגער. מען קען די באַלעסטיקונג ווײַטער פֿאַרגרעסערן ביז אויך אין אָרט פֿון דעם גרעסטן מאָמענט אין פֿעלד הייבט זיך אָן פֿליסן. אַ ווײַטערדיקער פֿאַרגרעסערונג פֿון דעם בייג־מאָמענט איז שוין מער נישט מעגלעך, און די טראַגפֿעיִקייט פֿון דעם טרעגער איז אויסגעשעפּט. די לאַסט, בײַ וועלכער דער מצב איז עררייכט, הייסט גרענעץ־באַלעסטיקונג.
פיג. 10
אַלגעמיין קען מען דערוואַרטן, אַז אין אַ סיסטעם מיט n מאָל סטאַטיש אומבאַשטימטקייט דאַרפֿן זיך אַנטפּלעקן (n+1) פּלאַסטישע שלאָסן, איידער די סיסטעם ווערט באַוועגלעך און דערגרייכט אַזוי איר טראַגפֿעיִקייט־גרענעץ. אָבער די דאָזיקע כּלל האָט אויסנאַמען אין ביידע ריכטונגען. ווי דאָס געגעבן בײַשפּיל ווייזט, קענען בײַ דער טראַגפֿעיִקייט־גרענעץ גלײַכצײַטיק אויפֿטרעטן צוויי נײַע פּלאַסטישע שלאָסן (אין ביידע פעלדער), אַזוי אַז די ביז דעמאָלט נאָך ניט־באַוועגלעכע סיסטעם גייט פּלוצעם איבער אין אַ סיסטעם מיט צוויי פֿרײַהייטסגראַדן. פֿון דער אַנדערער זײַט איז מעגלעך, אַז אויך מיט ווייניקער ווי (n+1) פּלאַסטישע שלאָסן ווערט די טראַגפֿעיִקייט לאָקאַל אויסגעניצט, למשל ווען בײַ אַ קאָנטינויִערלעכן טרעגער גיט אונטער נאָר איין פֿעלד. פֿיג. 11 ווייזט, ווי דאָס קען פּאַסירן בײַ אַ סטאַטיש צוויי־מאָל אומבאַשטימטן סיסטעם מיט n=2 פּלאַסטישע שלאָסן. אויב מען לייגט נאָך אויך אַ פֿערטן פֿעלד אויף דער רעכטער זײַט פֿונעם טרעגער, ווערט דער טרעגער דריי־מאָל סטאַטיש אומבאַשטימט, און דאַן זײַנען (n-1) פּלאַסטישע שלאָסן גענוג, כּדי נאָר דאָס לינקע פֿעלד צו ברענגען ביז דער טראַגפֿעיִקייט־גרענעץ.
בילד 11
שערן־שפּאַנונגען בײַם בייגן
עלעמענטאַרער חישוב
פיג. 12
די נאָרמאַלע שפּאַנונגען σ, ד.ה. די שפּאַנונגען וואָס טאַקע אַנטשטייען צוליב בייגן, זײַנען נישט די איינציקע שפּאַנונגען אין דעם געבויגענעם שטאַנג, נאָר צוזאַמען מיט זיי טרעטן אויך שיר־שפּאַנונגען אויף צוליב דער ווירקונג פֿון דער טראַנסווערסאַלער כּוח. ווײַל דער יסודותדיקער כאַראַקטער פֿון דער טעכנישער בייג־טעאָריע איז דער, אַז מען פֿאַרזעט אויס דעפֿאָרמאַציעס צוליב שיר־שפּאַנונגען, קען מען די דאָזיקע באַשטימען נאָר פֿון די גלײַכgewicht־באַדינגונגען. כּדי דאָס אַרויסצושטעלן, ווערט דער באַלק־עלעמענט dx אָפּגעשניטן, ווי ס׳איז אויף דער איל. 12 אָנגעוויזן, דורך אַ האָריזאָנטאַלע פֿלאַך אויף צוויי טיילן, און מען שטעלט די גלײַכgewicht־באַדינגונג פֿון האָריזאָנטאַלע כּחות וואָס ווירקן אויף דעם אונטערשטן טייל. אויף דער לינקער זײַט זײַנען דאָס אינערלעכע כּחות אויסגעדריקט דורך שפּאַנונגען σ צוליב בייגן, פֿאַר וועלכע מען דאַרף אינטעגרירן פֿון z’ = z ביז z’ = h2
אויף דער רעכטער זײַט wirken די זעלבע שפּאַנונגען, אָבער פֿאַרגרעסערט מיטן דיפערענציאַל לויט דעם באַטreffנדיקן בייג־מאָמענט M + dM. דער חילוק צווישן די כוחות אויף ביידע זײַטן פֿונעם עלעמענט מוז זײַן אין גלײַכגעוויכט מיטן כּוח צוליב די שערן־שפּאַנונגען τ, וואָס wirken אין דער האָריזאָנטאַלער דורכשניט־פֿלאַך t dx:
דאָ שטעלט דער אינטעגראַל פֿאָר דעם סטאַטישן מאָמענט פֿון דעם טייל פֿונעם קרײַז־שניט, אויסגעטיילט דורך אַ האָריזאָנטאַלע דורכשניט־פלאַך, אין באַציִונג צו דער צענטראַלער אַקס פֿון דעם קרײַז־שניט. ער ווערט באַצייכנט מיט S. פֿון dM/dx = Q לויטן באַלאנס־צושטאַנד באַקומט מען:
τ = QS/It. (8)
דאָס איז לויטן באַגריף פֿון קאָנגוגירטקייט פֿון שטראַף־שפּאַנונגען Zugleich די גרייס פֿון דער ווערטיקאַלער שטראַף־שפּאַנונג, וואָס ווירקט אין דער פֿלאַך פֿון דעם קראָס־אָפּטייל און וואָס איז, צוזאַמען מיט S און t, אַ פֿונקציע פֿון z.
פֿיג. 13
פֿיג. 13.1
די גלײַכונג (8) גיט פֿאַרלעסלעכע דאַטן בײַ אַלע דין־וואַנטיקע קרייַזן־שניטן, אויב מען שטעלט די שניט־פּלאַנע נישט פּאַראַלעל צום נייטראַלן אַקס, נאָר אין דער ריכטונג פֿון דער וואַנט־דיכקייט. לויט דעם ווערט דער I־פּראָפֿיל אָפּגעשניטן טראַנסווערסאַל איבערן וועב און טראַנסווערסאַל איבערן פלאַנדזש, און מען באַקומט דעם שפּאַנונג־פֿאַרטייל ווי געוויזן אין פֿיג. 13.1. בײַם רינגפֿאָרמיקן קרייַזן־שניט (פֿיג. 13) זײַנען די שערן־שפּאַנונגען פֿאַרטיילט סימעטריש צום ווערטיקאַלן דיאַמעטער און דערגרייכן לינקס און רעכטס אויפֿן נייטראַלן שורה דעם מאַקסימום
τ = Q / πrt.
אויב דער אָפּשניט איז אָפּגעשניטן אין דער העכסטער אָדער נידעריקסטער שטעלע, ענדערט זיך די צעשפּרייטונג פֿון די שערן־שפּאַנונגען נישט; אָבער אויב ער איז אָפּגעשניטן בײַם רעכטן עק פֿון דעם האָריזאָנטאַלן דיאַמעטער (פֿיג. 14), איז די שערן־שפּאַנונג דאָרטן גלײַך נול, בעת איר ווערט דאָרט פֿאַרדאָפּלט בײַם לינקן עק פֿון דעם זעלבן דיאַמעטער.
fig. 14
פֿולע סעקציעס
בײַ האַרטע קרײַזן פֿון אַרביטרärer פֿאָרעם איז דער פּראָבלעם פֿון שיר־שפּאַנונגען שטאַרק פֿאַרבונדן מיט דער פּראָבלעמאַטיק פֿון טאָרסיאָן. די עלעמענטאַר־גלײַכונג (8) איז אין אַזאַ פֿאַל שוין נישט פֿאַרלעסלעך. פֿאַר אַ קײַלעכיקן קרײַז מיט ראַדיוס r גיט די גלײַכונג (8)
τ = 4Q / 3__πr2
ווי אַ דורכשניטלעכע ווערט פֿון דער שערן־שפּאַנונג לענגס דער נייטראַלער אַקס, און די פּינקטלעכע ווערט איז בלויז מיט עטלעכע פּראָצענטן גרעסער.
שערן־צענטער
אויב מען רעכנט די שערן־שפּאַנונגען פֿאַרן U-קראָס אָן אויף דער אופֿן באַשריבן אויבן, באַקומען זיך די שפּאַנונג־פֿאַרשפּרייטונג געוויזן אויף פֿיג. 15. די רעזולטאַנטע פֿון די געהעריקע אינערלעכע כּוחות איז די טראַנסווערסאַלע כּוח Q. פֿון דער בילד קען מען זען איר אָרט אין יחס צום קראָס, דהיינו אַז זי גייט נישט דורך דעם צענטער־כּובד פֿון דעם קראָס און ליגט אויך נישט אין דער פּלאַן פֿון דער ריפּע. אויב די טראַנסווערסאַלע כּוח, אויסגערעכנט אויף דער באַזע פֿון אויסערן כּוחות, האָט נישט דעם אָרט געוויזן אויף פֿיג. 15, איז דער טרעגער נישט נאָר אויף בייגן לאָודיד, נאָר אויך אויף טאָרסיע.
אויב פֿאַר דעם זעלבן טראַנסווערסאַלן קראָס־סעקציע באַשטימט מען די רעזולטאַנט וואָס שטימט מיט די שיר־שפּאַנונגען פֿאַר אַ געוויסע האָריזאָנטאַלע באַלעסטיקונג, באַקומט מען דעם אַגריפֿ־ליניע פֿון דער האָריזאָנטאַלער טראַנסווערסאַלער קראַפֿט. אין דעם דורכשניט פֿון די צוויי אַגריפֿ־ליניעס געפֿינט זיך אַ כאַראַקטעריסטיש פונקט פֿאַר דעם געגעבן טראַנסווערסאַלן קראָס־סעקציע, וואָס מען רופֿט שיר־צענטער M. אין דער טראַגער קומען נישט פֿאָר שפּאַנונגען צוליב טאָרזיע, ווען די שיר־צענטערן פֿון אַלע טראַנסווערסאַלע קראָס־סעקציעס ליגן אויף איין גלײַכער ליניע, און אַלע לאָסטן פּערפּענדיקולער צום שטאַנגענ־אַקס גייען דורך יענער ליניע. אַנדערש איז דער מאָמענט פֿון יעדער לאָסט לגבי דער ליניע וואָס פֿאַרבינדט די שיר־צענטערן און רעפּרעזענטירט טאָרציאָנעלע שירונג.
פיג. 15
אײַנווירקונג פֿון דער טראַנסווערסאַלער קראַפֿט אויף בייגן
די טעכנישע טעאָריע פֿון בייגן באַשטייט אויף דעם איגנאָרירן דעפֿאָרמאַציעס צוליב שויר־שפּאַנונגען. דערפֿאַר קען זי אין אמתן געווענדט ווערן אויף שלאַנקע שטעבן, וווּ אַזאַ איגנאָרירן איז באַרעכטיקט און וווּ די טראַנסווערסאַלע קראַפֿט האָט קיין באַמערקבאַרן איינפֿלוס אויף בייגן.
די דערפֿאַרונג האָט אָבער געוויזן, אַז די טעכנישע טעאָריע פֿון בייגן קען מיט אַ געוויסן הצלחה אויך געווענדט ווערן אויף קורצע, הויכע טרעגער, פֿאַר וועלכע זי איז למעשה גאָר ניט באַשטימט. דאַן שטעלט זיך אַרויס די נויטווענדיקייט, דעם השפּעה פֿון דעפֿאָרמאַציע צוליב שאַרף־שנײַדנדיקע שפּאַנונגען, וואָס איז אין דער טעאָריע אָפּגעלאָזט געוואָרן, צו נעמען, לפּחות בערך, שפּעטער אין באַטראַכט.
אַזוי ווי די שאַרף־שנײַדנדיקע שפּאַנונגען τ צוליב טראַנסווערסאַלע כּוחות און די צוגעפּאַסטע גליטשונגען γ_’ =_ τ_/G_ זײַנען פֿאַרטיילט אומגלײַך איבערן דורכשניט, ווערט אַרײַנגעפֿירט זייער מיטל־ווערט γ, וואָס ווערט באַשטימט אַזוי, אַז דער טראַנסווערסאַלער כּוח בײַ דעם מיטל־ווערט פֿון דעפֿאָרמאַציע דורכפֿירט אויפֿן בעם־עלעמענט dx אַ דעפֿאָרמאַציע־אַרבעט גלײַך דער אַרבעט, וואָס וואָלט אויסגעקומען בײַם אינטעגרירן די אַרבעטן פֿון די שאַרף־שנײַדנדיקע שפּאַנונגען אויף די איינצלנע וואָליום־עלעמענטן, וואָס באַשטייען דעם באַמערקטן בעם־עלעמענט:
וואָרום דאָס איז
דער אינטעגראל קען מען אויסרעכענען ווען מען ווייסט די פֿאַרטיילונג פֿון די שערן־שפּאַנונגען איבער דעם קרײַז־שניט. ווײַל אַלע שערן־שפּאַנונגען זײַנען פּראָפּאָרציונאַל מיט Q/F, איז זײַן ווערט פּראָפּאָרציונאַל מיט Q2/F2 * F, און אויב מען שטעלט אַז עס איז κ__Q2/F, באַקומט מען
γ = κ__Q / GF.
די קאָנסטאַנטע κ הייסט דער קאָעפֿ. פֿון דער פֿאַרשפּרייטונג פֿון שיר־דרוקן. פֿאַר רעקטאַנגגולערע קראָס־סעקציעס איז κ=1,2.
פיג. 16
ווען דער קאָעפֿיציענט κ, און דערמיט אויך דער דורכשניטלעכער גליטש γ, איז באַקאַנט, קען מען אויסרעכענען דעם צוזעצלעכן דורכבויג wQ, געפֿירט דורך טראַנסווערסאַלע כּוחות, וועלכן מען דאַרף צולייגן צו די דורכבויגן w: ווײַל לויט פֿיג. 16 איז
און דעריבער צוליב Q = dM/dx:
וואָבײַ די אינטעגראַציע־קאָנסטאַנטע ווערט באַקומען פֿון איין גרענעץ־באַדינגונג.