साधारण मोड र सामान्य बलसहितको मोड

सीधा डण्डाहरू र सानो वक्रता भएका डण्डाहरूमा सामान्य तनावहरू

छेदक बलहरूको परिभाषा

सिधा डन्डीमा मनपरी दिशाका बलहरू लागेका छन्, जसका बारेमा यत्ति मात्र मानिन्छ कि ती सबै एउटै समतल (बलहरूको समतल) मा पर्छन्, जुन डन्डीको अक्षरेखाबाट (छेउछाउका अनुप्रस्थ काटहरूको गुरुत्वकेन्द्रहरू जोड्ने रेखा) भएर जान्छ।

क्र.1

कुनै अनुप्रस्थ काट n – n (आकृति 1) मा कार्य गर्ने तनावहरू गणना गर्न, यो काटमार्फत दण्डको एक भागबाट अर्को भागमा सर्ने बल कस्तो छ भन्ने जान्न आवश्यक हुन्छ। परिमाण र स्थितिका हिसाबले यो स्पष्ट रूपमा दण्डको एउटा भागमा लाग्ने सबै बलहरूको परिणामीसँग बराबर हुन्छ। यो परिणामीलाई त्यस्तो समन्वय प्रणालीमा अवयवहरूमा विभाजन गरिन्छ, जसको x-अक्ष दण्डको अक्षसँग मेल खान्छ र z-अक्ष त्यही रेखा हो जसअनुसार अनुप्रस्थ काटको समतलले बलहरूको समतल काट्छ। z अक्षको दिशामा रहेको अवयवलाई अनुप्रस्थ बल Q वा Qz भनिन्छ र साधारण गर्डरका लागि यदि काटको बायाँपट्टि यसको दिशा माथितिर र दायाँपट्टि तलतिर हुन्छ भने यसलाई धनात्मक मानिन्छ।

जब डन्डी बाङ्गो हुन्छ, समन्वय अक्षहरू x र z ले प्रत्येक काटमा फरक दिशा लिन्छन्, र सधैँ यस्तो हुन्छ कि x-अक्ष डन्डीको अक्षरेखासँग स्पर्शरेखीय हुन्छ। यदि डन्डीको अक्ष रहेको समतल बलहरूको समतलसँग मेल खाँदैन, वा यदि डन्डीको अक्ष अन्तरिक्षीय वक्र हो भने, काटको बाँयातर्फका बलहरूको परिणामलाई तेस्रो अवयव, अनुप्रस्थ बल Qy, पनि हुन्छ। N, Qz र Qy बाट काटमार्फत सर्ने बलको परिमाण र दिशा निर्धारित हुन्छ, तर यसको स्थान होइन। यसका लागि समन्वय अक्षहरूसँग सम्बन्धित यसको आघूर्णहरू पनि ज्ञात हुनुपर्छ। समतल वक्रनको अवस्थामा वक्रण आघूर्ण M वा My ज्ञात भए पुग्छ। सबैभन्दा सामान्य अवस्थामा अर्को वक्रण आघूर्ण Mz र x-अक्ष वरिपरि आघूर्ण Mx पनि देखा पर्छ।

अघिल्लो विवरणमा परिभाषित छवटा बल र मोमेन्टहरूलाई संयुक्त नाम ‘काट्ने बलहरू’ अन्तर्गत समेटिन्छ। तिनको निर्धारण भवन संरचनाको स्थैतिकीका आधारभूत कार्यहरूमध्ये एक हो।

लगातार वितरित भार p (एकाइ लम्बाइमा बल), अनुप्रस्थ बल Q र बाङ्गिने क्षण M बीच समतल बाङ्गाइको अवस्थामा एक सरल सम्बन्ध हुन्छ। अर्थात्, एउटा बार तत्वको सन्तुलन सर्त (आकृति 2) बाट प्राप्त हुन्छ

dQ + p dx = 0,

dM = Q dx;

त्यसैले

Q = dM/dx, 

p = - dQ/dx = - d2M/dx2.        (1a, b)

क्र.2

सामान्य तनावहरूको वितरण

यदि छडमा केवल अक्षीय बल मात्र लागू हुन्छ भने, अनुप्रस्थ क्षेत्रमा समान रूपमा वितरित सामान्य तनाव σ मात्र देखिन्छ (तानिएको, अर्थात् थिचिएको छड)। यदि त्यससँगै बङ्ग्याउने क्षण पनि देखा पर्छ भने, यी तनावहरू कुनै न कुनै रूपमा असमान रूपमा वितरण हुनुपर्छ, ताकि तिनको परिणामी अब अनुप्रस्थ क्षेत्रको गुरुत्वकेन्द्र हुँदै नजाओस्। यो वितरण निर्धारण गर्न प्राविधिक बङ्गाइ सिद्धान्तले आधारभूत समीकरणहरूको कठोर समाधानबाट सुरु गर्दैन, बरु ती समीकरणहरूको एक भागलाई एउटा तर्कसंगत मान्यताले प्रतिस्थापन गर्छ, जुन एक विशेष सरल अवस्थामा एकैसाथ ठ्याक्कै पनि पूरा हुन्छ। यो विशेष अवस्था भनेको अनुप्रस्थ बलहरूको प्रभाव बिना सीधा प्रिज्मात्मक छडको बङ्गाइ हो (आकृति 3)। छडका सबै तत्वहरू, जो यसको छेउबाट पर्याप्त टाढा छन्, एउटै विकृति भोग्छन्, जसबाट सीधै यो निष्कर्ष निस्कन्छ कि छडको अक्ष वृत्तीय चापमा परिणत हुन्छ र प्रारम्भमा छडको अक्षमा लम्ब रहेका सबै अनुप्रस्थ काटका समतलहरू विकृत हुँदा पनि समतलै रहन्छन्, किनकि तीमध्ये प्रत्येक विकृत छडका छिमेकी भागहरूका लागि सममितिको समतल हो। स्वाभाविक रूपमा यस्तो मानिन्छ कि बङ्गाउने क्षण र छडको अनुप्रस्थ काट स्थिर नभएर छडको लम्बाइसँगै क्रमशः बदलिँदा पनि अनुप्रस्थ काटहरू लगभग समतल नै रहन्छन्। यो मान्यतालाई Navier-को परिकल्पना भनिन्छ र यो बङ्गाइ सिद्धान्तको आधार हो।

क्र.3

सामान्य तनावहरूको परिमाण

जब बीमको सिधा तत्व मोडिन्छ, त्यसका “रेशाहरू” मध्ये एक भाग, अर्थात् डण्डीको अक्षसँग समानान्तर भौतिक रेखाहरू, तानिन्छन्, जबकि अर्को भाग छोटिन्छ (चित्र 4). यी दुई भागबीच तटस्थ रेशा z=0 हुन्छन्, जसको लम्बाइ मोडिँदा परिवर्तन हुँदैन। मानौँ यी रेशाहरूको घुमावको त्रिज्या मोडिएको अवस्थामा ϱ हो र यो x-z समतलमा अवस्थित छ। चित्र 4 mबाट पढ्न सकिन्छ

Δ dx/z = _dx/_ϱ

र तिनैबाट तटस्थ अक्ष z बाटको दूरीमा रहेका रेशा-विकृति गणना गरिन्छ, जुन बराबर हुन्छ

ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ

र त्यसैले Hooke-को नियमका आधारमा तनाव

σ _= Ez/_ϱ   (2)

क्र.4

यो तनाव तटस्थ रेशाहरूबाटको दूरीसँग समानुपाती हुन्छ। यस्तो परिणाम यस धारणासँग सम्बन्धित छ कि विकृतिभन्दा पहिले छड तत्वका सबै रेशा बराबर लम्बाइका थिए, त्यसैले छड सुरुमा सीधा थियो, वा कम्तीमा यति सानो वक्रता थियो कि वक्रताको प्रभाव उपेक्षा गर्न सकियोस्। तटस्थ तह र काट्ने समतलले जहाँ भेट्छन्, त्यो रेखालाई तटस्थ अक्ष भनिन्छ। हामी यसलाई y-अक्षका रूपमा मान्छौँ (sl. 5). अनुप्रस्थ काटमा तटस्थ अक्षको स्थिति x-अक्षको दिशामा बल सन्तुलनको शर्तबाट प्राप्त हुन्छ: यदि सामान्य बल N=0 (सामान्य बलबिनाको झुकाइ) हो भने, काटमा सामान्य तनावद्वारा व्यक्त आन्तरिक बलहरूको परिणामी पनि शून्य हुनुपर्छ:

दाहिने पक्षको इंटीग्रल सतहको y-अक्षप्रति स्थैतिक आघूर्ण हो। यो शून्य हुनका लागि, यो अक्ष केन्द्रगुरुत्व अक्षहरूमध्ये एक हुनुपर्छ।

विकृति उत्पन्न गर्ने M moment को y र z धुरीहरूको सन्दर्भमा, अनुभागको समतलमा (चित्र 5) घटकहरू हुन्छन्:

समी. (3)

जहाँ Iy, Iyz ले तोकिएका अक्षहरूको सन्दर्भमा कटअनुप्रस्थका इक्वेटोरियल र केन्द्रापसारक जडत्व आघूर्णहरू जनाउँछन्।

सबैभन्दा महत्वपूर्ण विशेष अवस्था Mz=0 भएको हो। यो अवस्था Iyz=0 हुँदा आउँछ, अर्थात् क्रस-सेक्सनका y र z मुख्य जडत्व अक्षहरू हुँदा। यसको अर्थ यहाँ स्वीकार गरिएको x-z-तलसँग मिल्ने बाङ्गिने तल त्यो तलसँग मेल खान्छ जहाँ बाङ्गिने क्षण M=My कार्य गर्छ, अर्थात् बलहरूको तलसँग।

क्र.5

यदि समीकरणहरू (2) र (3) बाट _E/_ϱ हटाइयो भने, समान बङ्गाइका लागि तनाव निर्धारण गर्ने रूप प्राप्त हुन्छ (Iy=I):

σ = M/I * z   (4)

1 र 2 किनारी बिन्दुहरूका लागि विशेष रूपमा:

σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2.   (5)

W1,2 = I/h1,2 (आयाम: लम्बाइ घन) लाई प्रतिरोधी मोमेन्ट भनिन्छ। यदि तेर्सो केन्द्र-अक्ष नै खण्डको सममिति-अक्ष हो भने, W1 = W2, त्यसैले किनारी तनावहरू परिमाणमा समान हुन्छन्।

प्रत्यास्थ रेखा

चित्र। 6

माथि उल्लेखित रूपहरूको महत्त्व हुकको नियमसँग सम्बन्धित छ। यसले σ << E हुनुपर्ने माग गर्छ, अर्थात् (2) अनुसार h << ϱ । यद्यपि, मोडाइ यति मात्र हुन सक्छ कि ϱ डन्डीको लम्बाइ l सँग उही कोटिको परिमाणको होस्। निर्माणकला मा विचार गरिने मुडिएका डन्डीहरूमा यस्तो अवस्था देखा पर्दैन; सधैँ ϱ l भन्दा निकै ठूलो हुन्छ र त्यसैले झुकाव w << l (चित्र 6) हुन्छ। त्यस अवस्थामा लगभग यो मान्य हुन्छ:

1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’

र (3): को आधारमा

w’’ = - M/EI.

यो समीकरण र सन्तुलनको सर्त (1b) ले मोडिएको दण्डको अवकल समीकरणहरूको प्रणाली बनाउँछन्। तिनलाई उन्मूलनद्वारा चौथो क्रमको एउटै समीकरणमा रूपान्तरण गर्न सकिन्छ:

wIV = + p/EI

वा, यदि जडत्व आघूर्ण परिवर्तनशील छ भने:

(EIw’’)’’ = +p.

तिनबाट समाकलनद्वारा प्रत्यास्थ रेखाको रूप पत्ता लगाउन सकिन्छ, जब भार p=p(x) दिइएको हुन्छ र प्रत्येक अवस्थाका लागि दण्डका दुई सीमावर्ती सर्तहरू ज्ञात हुन्छन्। यीमध्ये कम्तीमा दुईवटा विकृतिसँग सम्बन्धित हुनुपर्छ। विस्तृत जानकारीका लागि निर्माण संरचनाको स्थैतिकी लेख हेर्नुहोस्।

अनुभागको केन्द्र

यदि तटस्थ अक्षले अनुप्रस्थ काटलाई छेउछ भने, यसले त्यसलाई तान्ने क्षेत्र र चाप क्षेत्र गरी दुई भागमा बाँड्छ। कम तन्य मजबुती भएका पदार्थहरूमा, यदि अनुप्रस्थ काटको कुनै पनि स्थानमा तन्य तनाव हुनु हुँदैन भने, चाप बलले कहाँ प्रहार गर्नुपर्ने हो भन्ने प्रश्न उठ्छ। त्यस अवस्थामा बलको प्रहार बिन्दुको स्थिति काटको केन्द्रक भनिने क्षेत्रमा सीमित हुन्छ। केन्द्रकको सीमा स्पष्ट रूपमा ती बिन्दुहरूको ज्यामितीय स्थान हो, जसका तटस्थ अक्षहरूले अनुप्रस्थ काटलाई परिधि भरि स्पर्श गर्छन्। यससँगै यसको निर्माण पनि दिइन्छ।

केन्द्रक सीमाको द्रव्यमध्यदेखि भएको दूरीलाई, जुनसुकै दिशामा मापन गरिएको भए पनि, त्यस दिशासँग मेल खाने k सूचकाङ्कद्वारा जनाउनेछौं। प्रमुख जडत्व अक्षहरूका लागि समीकरणअनुसार

σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z  (6)

शब्दहरू निम्नानुसार छन्:

ky = i2z / ey,      kz = i2y / ez.   (7)

व्यास r भएको वृत्ताकार अनुप्रस्थ काटका लागि केन्द्रकको दूरी k = r/4, र वृत्ताकार रिङ्गका लागि (व्यास: बाहिरी R, भित्री r) k = (R2 + r2) / 4R.

आयतका लागि (चित्र 7) ky = 1/6 b, kz = 1/6 h हुन्छ। त्यसैले, सममितिका कुनै एक समतलमा आयताकार कटअनुप्रस्थलाई लोड गर्दा (तर केवल त्यस अवस्थामा) परिणामी बल अनुप्रस्थ काटको उचाइ वा चौडाइको मध्य तिहाइभित्र पर्नु पर्याप्त हुन्छ, ताकि कटअनुप्रस्थका तनावहरूको चिन्ह एउटै होस्।

क्र.7

प्लास्टिक क्षेत्रमा बाङ्ग्याइ

जब मोडिएको छडका किनारीय तन्तुहरूमा उपज सीमा पुगिसकेको हुन्छ, त्यसको वहन क्षमता त्यतिमै समाप्त भइसकेको हुँदैन, किनकि बाह्य तन्तुहरू स्थिर तनावमा प्लास्टिक रूपमा विकृत भइरहँदा, तटस्थ अक्षसँग अझ नजिक रहेका भागहरूमा, जहाँ उपज सीमा अझै पुगेको हुँदैन, तनाव बढ्छ, र त्यससँगै अनुप्रस्थ काटले ग्रहण गर्न सक्ने मोड्ने मोमेंट पनि बढ्छ।

यदि तनाव र विकृति आरेखको ठ्याक्कै क्रम थाहा छ भने, दुवैतर्फ सममित खण्डहरू (उचाइ h) का लागि प्रक्रिया सजिलै गणनात्मक रूपमा यसरी पछ्याउन सकिन्छ कि, खण्डहरू समतल रहन्छन् भन्ने मान्यतामा, तनाव र विकृति आरेखबाट झुकाइका कारण हुने तनावको वितरण σ निर्धारण गरिन्छ, जुन अन्तिम रेशा ε__r को कुनै अपनाइएको दीर्घीकरणसँग मेल खान्छ, र त्यहीँबाट समाकलन गरेर झुकाउने मोमेंट निर्धारण गरिन्छ। यदि यो विभिन्न ε__r का लागि लागू गरियो र अर्कोतर्फ सम्बन्धित विचलन रेखाको वक्रता w’’ = 2 ε__r / h गणना गरियो भने, बिन्दुहरूको एउटा शृङ्खला प्राप्त हुन्छ, जसबाट झुकाउने मोमेंट र वक्रताबीच सम्बन्ध दिने रेखा तान्न सकिन्छ M = M(w’’); यो सम्बन्ध अब रैखिक रहँदैन, र जब यो ज्ञात हुन्छ, ग्राफिक समाकलनबाट दिइएको मोमेंट वितरणसँग मेल खाने विचलन रेखा निर्धारण गर्न सकिन्छ। यदि खण्ड असममित छ भने, गणना अझ जटिल हुन्छ, किनकि प्रत्येक ε__r का लागि तटस्थ अक्षको स्थान पनि निर्धारण गर्नुपर्छ।

क्र. 8

यदि काटको सममितिसँगै चित्र 8 अनुसार तनाव र विकृतिबीचको सरल सम्बन्ध पनि मानियो भने, गणना केही हदसम्म सरल हुन्छ। तब प्रत्यास्थ सीमाभन्दा माथि गएपछि बाङ्गिनबाट उत्पन्न तनावहरूको वितरण चित्र 9 मा देखाइएको जस्तो हुन्छ र बाङ्गिने मोमेन्ट यस्तो हुन्छ:

त्यसैले झुकाव रेखाको वक्रता तब प्राप्त हुन्छ जब समीकरण (2) लाई त्यस्तो अनुप्रस्थ काटको भागमा लागू गरिन्छ जसका तनावहरू प्रत्यास्थ क्षेत्रमा w’’ = σf / Ez’ हुन्। यदि प्रत्येक ग्रहण गरिएको z’ का लागि अनुप्रस्थ काटको आकार ज्ञात छ भने, समाकलहरू गणना गर्न सकिन्छ। उदाहरणका लागि, चौडाइ b र उचाइ h भएको आयताकार अनुप्रस्थ काटको सबैभन्दा सरल अवस्थामा यो हुन्छ

यदि यहाँ z’ लाई w’’, को सहायताले व्यक्त गरिन्छ भने, प्राप्त हुन्छ

I-सेक्सन र तिनजस्तै आकारहरूमा, प्लास्टिक क्षेत्रमा M-w’’ वक्रको चाल अझै समथर हुन्छ, र त्यसबेला yielding सुरु हुने moment प्रायः सेक्षनले सम्हाल्न सक्ने अधिकतम bending moment बराबर हुन्छ। त्यसैले निर्माणमा plastic bending को महत्त्व सेक्षनले बोक्न सक्ने bending moment बढाउनुमा होइन, बरु त्यहाँ yield सीमा मा उत्पन्न हुने ठूलो स्थानीय विकृतिले statically indeterminate प्रणालीहरूमा बलहरूको वितरण अनुकूल रूपमा परिवर्तन गर्न सक्ने भएकामा हुन्छ।

क्र.9

यसलाई दुई क्षेत्र भएको निरन्तर गर्डरको उदाहरणबाट बुझाउन सकिन्छ। मानौँ गर्डर (आकृति 10) का क्षेत्रहरू बराबर लम्बाइका छन्, यसको अनुप्रस्थ काट स्थिर छ, र यसमा समान रूपमा वितरित भार लागेको छ। तब यील्ड सीमा नपुग्दासम्म आधारमाथिको मोमेन्ट MB = _pl_2/8 हुन्छ। यदि भार p यति बढाइयो कि आधार काटमा मोमेन्ट Mf को मानमा पुग्छ, जहाँ यील्डिङ सुरु हुन्छ, त्यस बिन्दुमा भार थप बढाउँदा मोमेन्टमा उल्लेखनीय वृद्धि नभई वक्रता बढ्छ। यसरी तथाकथित प्लास्टिक जोर्न बन्छ, अर्थात् अतिरिक्त भारमा गर्डर यस्तो व्यवहार गर्छ मानौँ बीचको आधारमाथि जोर्न छ। भारलाई अझ बढाउन सकिन्छ, जबसम्म क्षेत्रमा अधिकतम मोमेन्ट भएको स्थानमा पनि यील्डिङ सुरु हुँदैन। त्यसपछि झुकाउने मोमेन्टको थप वृद्धि सम्भव हुँदैन र गर्डरको वहन क्षमता समाप्त हुन्छ। यो अवस्था उत्पन्न गराउने भारलाई सीमित भार भनिन्छ।

चित्र। 10

सामान्यतया अपेक्षा गर्न सकिन्छ कि एउटा n पटक स्थिर-अनिर्धारित प्रणालीमा प्रणाली चलायमान र यसरी आफ्नो वहन क्षमताको सीमामा पुग्नु अघि (n+1) प्लास्टिक जोइन्टहरू उत्पन्न हुनैपर्छ। तर यो नियम दुवै दिशामा अपवादसहितको छ। उल्लेखित उदाहरणले देखाएझैँ, वहन क्षमताको सीमामा एकैसाथ दुई नयाँ प्लास्टिक जोइन्ट (दुवै स्प्यानमा) देखा पर्न सक्छन्, जसले गर्दा त्यतिन्जेलसम्म अझ नचलायमान रहेको प्रणाली एकाएक दुई स्वतन्त्रता-डिग्री भएको प्रणालीमा परिणत हुन्छ। अर्कोतर्फ, (n+1) भन्दा कम प्लास्टिक जोइन्ट भए पनि वहन क्षमता स्थानीय रूपमा समाप्त हुन सक्छ, जस्तै निरन्तर बीमको केवल एउटा स्प्यान कमजोर हुँदा। चित्र 11 ले n=2 प्लास्टिक जोइन्ट भएको एउटा स्थिर-द्वि-अनिर्धारित प्रणालीमा यो कसरी हुन सक्छ भन्ने देखाउँछ। यदि बीमको दायाँपट्टि चौथो स्प्यान पनि थपियो भने, बीम त्रि-स्थिर-अनिर्धारित हुन्छ, र केवल बायाँ स्प्यानलाई वहन क्षमताको सीमामा ल्याउन (n-1) प्लास्टिक जोइन्टहरू पर्याप्त हुन्छन्।

क्र.11

बङ्क्रणमा हुने शीयर तनावहरू

प्रारम्भिक गणना

चित्र। 12

सामान्य तनाव σ, अर्थात् वास्तवमा मोडिने क्रममा देखा पर्ने तनावहरू मोडिएको दण्डमा मात्र हुने तनाव होइनन्; तिनसँगै अनुप्रस्थ बलको प्रभावका कारण काट्ने तनावहरू पनि देखा पर्छन्। मोड्ने प्राविधिक सिद्धान्तको मूल विशेषता नै काट्ने तनावका कारण हुने विकृतिहरूलाई बेवास्ता गर्नु भएकाले, यी तनावहरू सन्तुलनको सर्तबाट मात्र निर्धारण गर्न सकिन्छ। यो सर्त राख्नका लागि, बीमको तत्त्व dx लाई, चित्र 12 मा देखाएझैँ, क्षैतिज समतलद्वारा दुई भागमा काटिन्छ, र तल्लो भागमा लाग्ने क्षैतिज बलहरूको सन्तुलनको सर्त राखिन्छ। बायाँपट्टि, यी मोड्ने क्रममा तनावहरू σ द्वारा व्यक्त आन्तरिक बलहरू हुन्, जसलाई z’ = z देखि z’ = h2 सम्म समाकलन गर्नुपर्छ

दायाँतर्फ उही तनावहरू कार्य गर्छन्, तर सम्बन्धित मोडन आघूर्ण M + dM अनुसार डिफरेन्सियलले बढाइएका हुन्छन्। तत्वका दुवै पक्षमा रहेका बलहरूको अन्तर, तेर्सो काट सतह t dx मा कार्य गर्ने कर्तन तनाव τ का कारण उत्पन्न बलसँग सन्तुलनमा हुनुपर्छ:

यहाँ समाकलनले तेर्सो अनुप्रस्थ समतलद्वारा अलग गरिएको अनुप्रस्थ काटको भागको स्थैतिक आघूर्णलाई काटको गुरुत्वकेन्द्रीय अक्षको सन्दर्भमा जनाउँछ। यसलाई S द्वारा सूचित गरिन्छ। dM/dx = Q बाट सन्तुलन अवस्थाको आधारमा प्राप्त हुन्छ:

τ = QS/It.  (8)

यो, कर्तन तनावहरूको सहसम्बन्धसम्बन्धी कथनअनुसार, क्रस-सेक्सनको सतहमा कार्य गर्ने ऊर्ध्वाधर कर्तन तनावको परिमाण पनि हो, र यो S र t सँगै z को फलन हो।

चित्र। 13

चित्र 13.1

समीकरण (8) ले सबै पातला-पर्खाल भएका अनुप्रस्थ काटहरूमा विश्वसनीय तथ्य दिन्छ, यदि काट्ने समतल तटस्थ अक्षसँग समानान्तर नराखी भित्ताको मोटाइको दिशामा राखियो भने। त्यसअनुसार I-प्रोफाइललाई वेब हुँदै अनुप्रस्थ र फ्ल्यान्ज हुँदै अनुप्रस्थ काटिन्छ, जसबाट चित्र 13.1 मा देखाइएको तनाव-वितरण प्राप्त हुन्छ। घेराकार अनुप्रस्थ काटमा (चित्र 13) कर्तन तनावहरू ठाडो व्यासको सापेक्ष सममित रूपमा वितरण हुन्छन् र बायाँ तथा दायाँ तटस्थ रेखामा अधिकतम मानमा पुग्छन्

τ = Q / πrt.

यदि अनुप्रस्थ काटलाई सबैभन्दा माथिल्लो वा सबैभन्दा तल्लो स्थानमा चिरेको छ भने, कर्तन तनावहरूको वितरण परिवर्तन हुँदैन; तर यदि यसलाई तेर्सो व्यासको दायाँ छेउमा (चित्र 14) चिरेको छ भने, त्यस स्थानमा कर्तन तनाव शून्य हुन्छ, जबकि उही व्यासको बायाँ छेउमा यसको मान दोब्बर हुन्छ।

आकृति 14

ठोस अनुप्रस्थ काटहरू

जथाभावी आकारका ठोस अनुप्रस्थ काटहरूमा कर्तन तनावको समस्या टर्सनको समस्यासँग घनिष्ठ रूपमा सम्बन्धित हुन्छ। यस्तो अवस्थामा आधारभूत समीकरण (8) अब विश्वसनीय रहँदैन। r त्रिज्याको वृत्ताकार अनुप्रस्थ काटका लागि समीकरण (8) ले

τ = 4Q / 3__πr2

तटस्थ अक्षसँगैको काट्ने तनावको औसत मानका रूपमा, र सटीक मान केवल केही प्रतिशतले मात्र बढी हुन्छ।

कतरनी केन्द्र

यदि U-सेक्शनका लागि माथि वर्णन गरिएको तरिकाले काटीय तनावहरू गणना गरिएमा, चित्र 15 मा देखाइएको तनाव वितरण प्राप्त हुन्छ। सम्बन्धित आन्तरिक बलहरूको परिणामी अनुप्रस्थ बल Q हो। चित्रबाट यसको स्थिति काटसँग सम्बन्धमा देख्न सकिन्छ, अर्थात् यो न त काटको गुरुत्वकेन्द्रबाट जान्छ, न त रिबको समतलमा पर्छ। यदि बाह्य बलहरूको आधारमा गणना गरिएको अनुप्रस्थ बलको स्थिति चित्र 15 मा देखाइएको जस्तो छैन भने, बहक केवल बेंडिङका लागि मात्र होइन, टorsion का लागि पनि लोड हुन्छ।

यदि एउटै अनुप्रस्थ काटका लागि कुनै क्षैतिज भारका सन्दर्भमा शियर तनावसँग मिल्ने परिणामी निर्धारण गरियो भने, क्षैतिज अनुप्रस्थ बलको आक्रमण रेखा प्राप्त हुन्छ। यी दुई आक्रमण रेखाहरूको प्रतिच्छेदमा उक्त अनुप्रस्थ काटको विशेष बिन्दु हुन्छ, जसलाई शियर केन्द्र M. भनिन्छ। जब सबै अनुप्रस्थ काटहरूका शियर केन्द्रहरू एउटै सीधा रेखामा पर्छन् र छडको अक्षसँग लम्बवत् सबै भारहरू सोही रेखाबाट भएर जान्छन्, तब वहकमा मरोडीका कारण उत्पन्न तनावहरू देखा पर्दैनन्। अन्यथा, प्रत्येक भारको उक्त रेखासँग सम्बन्धित आघूर्ण, जसले शियर केन्द्रहरूलाई जोड्छ, मरोडीय शियरलाई जनाउँछ।

क्र.15

अवर रेखीय बलको बाङ्गोपनमा प्रभाव

प्राविधिक वक्रण सिद्धान्त शियर तनावका कारण हुने विकृतिहरूलाई उपेक्षा गर्ने आधारमा बनेको छ। त्यसैले यसलाई वास्तवमा पतला डण्डीहरूमा लागू गर्न सकिन्छ, जहाँ यस्तो उपेक्षा उचित हुन्छ र जहाँ अनुप्रस्थ बलले वक्रणमा उल्लेखनीय प्रभाव पार्दैन।

तर अनुभवले देखाएको छ कि प्राविधिक बाङ्गिने सिद्धान्तलाई केही सफलतासाथ छोटा, अग्ला वहकहरूमा पनि लागू गर्न सकिन्छ, यद्यपि वास्तवमा त्यसका लागि यो सिद्धान्त अभिप्रेत होइन। तब, शियर तनावका कारण उत्पन्न हुने विकृतिको प्रभाव, जुन यस सिद्धान्तमा उपेक्षित छ, कम्तीमा अनुमानित रूपमा भए पनि, पछि विचारमा लिनुपर्ने आवश्यकता देखा पर्छ।

त्यसैगरी, अनुप्रस्थ बलका कारण उत्पन्न हुने शियर तनाव τ र तिनसँग सम्बन्धित स्लिप γ_’ =_ τ_/G_ पनि अनुप्रस्थ रूपमा असमान रूपले क्रस-सेक्सनमा वितरित हुन्छन्। त्यसैले तिनको औसत मान γ प्रस्तुत गरिन्छ, जसलाई यसरी निर्धारण गरिन्छ कि यस औसत विकृति मानमा अनुप्रस्थ बलले बीमको तत्त्व dx मा गर्ने विकृति-कार्य, ती अलग-अलग आयतन तत्त्वहरूमा रहेका शियर तनावहरूको कार्यलाई समाकलन गर्दा प्राप्त हुने कार्यबराबर होस्, जसबाट उक्त बीम तत्त्व बनेको हुन्छ:

जहाँबाट

समाकलनलाई तब गणना गर्न सकिन्छ जब काटमा भएका काट्ने तनावहरूको वितरण ज्ञात हुन्छ। सबै काट्ने तनावहरू Q/F सँग समानुपाती भएकाले, यसको मान Q2/F2 * F सँग समानुपाती हुन्छ, त्यसैले यसलाई κ__Q2/F मानेर प्राप्त हुन्छ

γ = κ__Q / GF.

स्थिराङ्क κ लाई अपरिकर्तन तनावहरूको वितरण गुणांक भनिन्छ। आयताकार क्रस-सेक्सनका लागि κ=1,2 हो।

चित्र। 16

जब गुणांक κ ज्ञात हुन्छ, र त्यससँगै औसत सरकाइ γ पनि, तब अनुप्रस्थ बलहरूको प्रभावबाट उत्पन्न हुने अतिरिक्त झुकाव wQ गणना गर्न सकिन्छ, जसलाई w झुकावमा थप्नुपर्छ: किनकि चित्र 16 अनुसार यो

Q = dM/dx का कारणले:

जहाँ समाकलन स्थिराङ्क एउटा सीमाशर्तबाट प्राप्त हुन्छ।