Tensioni normali nelle aste rette e nelle aste con lieve curvatura
Definizione delle forze interne
Sia una barra diritta sollecitata da forze di direzione arbitraria, per le quali si suppone soltanto che giacciano tutte in un unico piano (piano delle forze) passante per l’asse della barra (linea che congiunge i baricentri delle sezioni trasversali).
Fig. 1
Per calcolare le tensioni che agiscono in una certa sezione trasversale n – n (fig. 1), è necessario conoscere la forza che attraverso questa sezione viene trasmessa da una parte dell’asta all’altra. Essa è evidentemente uguale, per grandezza e posizione, alla risultante di tutte le forze che agiscono su una parte dell’asta. Questa risultante si scompone in componenti in un sistema di coordinate il cui asse x- coincide con l’asse dell’asta, mentre l’asse z- è la linea lungo la quale il piano della sezione trasversale interseca il piano delle forze. La componente nella direzione dell’asse z si chiama forza trasversale Q o Qz e, nel caso della trave semplice, si considera positiva se a sinistra della sezione ha direzione verso l’alto e a destra verso il basso.
Quando la barra è curva, gli assi coordinati x e z hanno in ogni sezione un’altra direzione e in modo tale che l’asse x sia sempre tangente all’asse della barra. Se il piano in cui giace l’asse della barra non coincide con il piano delle forze, oppure se l’asse della barra è una curva spaziale, la risultante delle forze a sinistra della sezione ha anche una terza componente, la forza trasversale Qy. Con N, Qz e Qy sono determinate l’entità e la direzione della forza trasmessa attraverso la sezione, ma non la sua posizione. Per questo è necessario che siano noti anche i suoi momenti rispetto agli assi coordinati. Nel caso della flessione piana è sufficiente conoscere il momento flettente M o My. Nel caso più generale compare anche un altro momento flettente Mz e il momento attorno all’asse x, Mx.
Le sei forze e i momenti definiti nella precedente trattazione sono raggruppati sotto il termine comune «forze interne di sezione». La loro determinazione è uno dei compiti fondamentali della statica delle costruzioni.
Tra il carico continuamente distribuito p (dimensione: forza per unità di lunghezza), le forze trasversali Q e il momento flettente M esiste, nel caso della flessione piana, una semplice relazione. Infatti, dalle condizioni di equilibrio di un elemento di asta (fig. 2) si ottiene
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
quindi
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Fig. 2
Distribuzione delle tensioni normali
Se una barra è sollecitata soltanto da una forza assiale, nella sezione compare soltanto la tensione normale σ distribuita uniformemente (barra tesa, rispettivamente compressa). Se inoltre compare un momento flettente, queste tensioni devono in qualche modo essere distribuite in modo non uniforme, così che la loro risultante non passi più per il baricentro della sezione. Per determinare tale distribuzione, la teoria tecnica della flessione non parte dalla soluzione rigorosa delle equazioni fondamentali, ma sostituisce una parte di queste equazioni con un’ipotesi plausibile che, in un caso particolarmente semplice, è anche rigorosamente soddisfatta. Questo caso speciale è la flessione rettilinea di una barra prismatica senza l’azione di forze trasversali (fig. 3). Tutti gli elementi della barra sufficientemente lontani dalle sue estremità subiscono la stessa deformazione, da cui segue immediatamente che l’asse della barra si trasforma in un arco di cerchio e che tutti i piani delle sezioni trasversali, inizialmente perpendicolari all’asse della barra, durante la deformazione rimangono piani, poiché ciascuno di essi è un piano di simmetria per le parti adiacenti della barra deformata. È naturale assumere che le sezioni trasversali rimangano approssimativamente piane anche quando il momento flettente e la sezione trasversale della barra non sono costanti, ma variano gradualmente lungo la barra. Questa ipotesi, detta ipotesi di Navier, è alla base della teoria della flessione.
Fig. 3
Entità delle tensioni normali
Quando un elemento rettilineo di trave si piega, una parte delle sue «fibre», cioè delle linee materiali parallele all’asse della barra, si allunga, mentre l’altra parte si accorcia (fig. 4). Tra queste due parti si trovano le fibre neutre z=0, la cui lunghezza non cambia durante la flessione. Sia il raggio di curvatura di queste fibre nello stato piegato ϱ e sia esso situato nel piano x-z. Dalla fig. 4 m si può leggere
Δ dx/z = _dx/_ϱ
e da ciò la dilatazione delle fibre calcolata alla distanza z dall’asse neutro, che è pari a
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
quindi, sulla base della legge di Hooke, la tensione
σ _= Ez/_ϱ (2)
Fig. 4
Tale tensione è proporzionale alla distanza dalle fibre neutre. Un tale risultato è legato all’ipotesi che, prima della deformazione, tutte le fibre dell’elemento d’asta avessero la stessa lunghezza, così che l’asta fosse inizialmente rettilinea, o almeno con una curvatura così piccola che l’effetto della curvatura possa essere trascurato. La retta lungo la quale si intersecano lo strato neutro e il piano della sezione è detta asse neutro. Lo assumiamo come asse y (fig. 5). La posizione dell’asse neutro nella sezione trasversale si ottiene dalla condizione di equilibrio delle forze nella direzione dell’asse x: se la forza normale N=0 (flessione senza forza normale), allora anche la risultante delle forze interne espressa tramite le tensioni normali nella sezione deve essere uguale a zero:
L’integrale sul lato destro è il momento statico della superficie rispetto all’asse y. Affinché esso sia uguale a zero, questo asse deve essere uno degli assi baricentrici.
Il momento M che provoca la deformazione ha, rispetto agli assi y e z nel piano della sezione (fig. 5), le componenti:
Eq. (3)
in cui Iy, Iyz sono il momento d’inerzia equatoriale e centrifugo della sezione rispetto agli assi indicati.
Il caso particolare più importante è quando Mz=0. Questo caso si presenta quando Iyz=0, cioè quando y e z sono gli assi principali d’inerzia della sezione. Ciò significa che il piano di flessione qui assunto coincide con il piano x-z, con il piano in cui agisce il momento flettente M=My, cioè con il piano delle forze.
Fig. 5
Se dalle equazioni (2) e (3) si elimina _E/_ϱ, si ottiene lo schema per determinare la tensione nel caso di flessione piana (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
per i punti estremi 1 e 2 è in particolare:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Le grandezze W1,2 = I/h1,2 (dimensione: lunghezza alla terza) si chiamano momenti resistenti. Se l’asse baricentrico orizzontale coincide anche con l’asse di simmetria della sezione, allora W1 = W2, per cui le tensioni ai bordi sono uguali in valore assoluto.
Linea elastica
Fig. 6
L’importanza dei suddetti schemi è legata alla legge di Hooke. Ciò richiede che σ << E, quindi secondo (2) h << ϱ. La flessione tuttavia può essere tale che ϱ sia dello stesso ordine di grandezza della lunghezza dell’asta l. Per le aste piegate che interessano l’ingegneria civile questo caso non si presenta; ϱ è sempre notevolmente maggiore di l e quindi la freccia w << l (fig. 6). Allora vale approssimativamente:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
e in base a (3):
w’’ = - M/EI.
Questa equazione e la condizione di equilibrio (1b) costituiscono il sistema di equazioni differenziali della trave inflessa. Mediante eliminazione, esse possono essere ricondotte a una sola equazione del quarto ordine:
wIV = + p/EI
oppure, nel caso in cui il momento d’inerzia sia variabile:
(EIw’’)’’ = +p.
Mediante integrazione si può ricavare da esse la forma della linea elastica quando è dato il carico p=p(x) e quando per ciascun caso dell’asta sono note due condizioni al contorno. Di queste, almeno due devono riguardare la deformazione. Per i dettagli v. l’articolo Statica delle strutture edilizie.
Nucleo della sezione
Se l’asse neutro interseca la sezione trasversale, la divide in zona di trazione e zona di compressione. Nei materiali con scarsa resistenza a trazione sorge la questione di dove debba agire la forza di compressione, se nella sezione trasversale non deve verificarsi trazione in alcun punto. La posizione del punto di applicazione della forza è allora limitata alla regione detta nucleo della sezione. Il limite del nucleo è evidentemente il luogo geometrico dei punti i cui assi neutri sono tangenti alla sezione trasversale lungo il contorno. Con ciò è data anche la sua costruzione.
La distanza del limite del nocciolo dal baricentro, misurata in qualsiasi direzione, sarà indicata con k e con un indice corrispondente a tale direzione. Per gli assi principali d’inerzia, secondo l’equazione
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
le espressioni sono le seguenti:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Per la sezione trasversale circolare di raggio r la distanza del nucleo è k = r/4, mentre per l’anello circolare (raggi: esterno R, interno r) k = (R2 + r2) / 4R.
Per il rettangolo (fig. 7) si ha ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Dunque, nel caso di un carico di una sezione rettangolare in uno dei piani di simmetria (ma solo allora) è sufficiente che la risultante agisca nel terzo centrale dell’altezza o della larghezza della sezione trasversale, affinché le tensioni nella sezione abbiano lo stesso segno.
Fig. 7
Flessione nel campo plastico
Quando nelle fibre esterne dell’asta piegata è stato raggiunto il limite di snervamento, la sua capacità portante non è ancora esaurita, poiché mentre le fibre esterne si deformano plasticamente a tensione costante, nelle parti più vicine all’asse neutro, dove il limite di snervamento non è ancora stato raggiunto, la tensione aumenta, e con essa aumenta anche il momento flettente che la sezione può sopportare.
Se è noto l’andamento esatto dei diagrammi delle tensioni e delle deformazioni, il processo per sezioni doppiamente simmetriche (altezza h) può essere seguito facilmente per via di calcolo, nel modo seguente: supponendo che le sezioni restino piane, dal diagramma delle tensioni e delle deformazioni si determina la distribuzione delle tensioni σ dovute alla flessione, corrispondente a una certa dilatazione adottata delle fibre estreme ε__r, e da ciò, per integrazione, si determina il momento flettente. Se questo viene eseguito per diversi ε__r e, d’altra parte, si calcola la corrispondente curvatura della linea di inflessione w’’ = 2 ε__r / h, si ottiene una serie di punti attraverso i quali si può tracciare una linea che fornisce la relazione tra momento flettente e curvatura M = M(w’’); questa relazione non è più lineare e, quando è nota, è possibile determinare per integrazione grafica la linea di inflessione corrispondente a una data distribuzione dei momenti. Se la sezione è asimmetrica, il calcolo diventa più complesso, in quanto per ogni ε__r occorre determinare anche la posizione dell’asse neutro.
Fig. 8
Il calcolo si semplifica in una certa misura se, oltre alla simmetria della sezione, si assume anche una relazione semplificata tra tensioni e deformazioni secondo la fig. 8. In tal caso, le tensioni dovute alla flessione oltre il superamento del limite di snervamento hanno la distribuzione mostrata nella fig. 9 e il momento flettente è:
e così la curvatura della linea di inflessione si ottiene quando l’equazione (2) viene applicata alla parte della sezione le cui tensioni si trovano nel campo elastico w’’ = σf / Ez’. Se è nota la forma della sezione, per ogni z’ assunto gli integrali si possono calcolare. Ad esempio, per il caso più semplice di una sezione trasversale rettangolare di larghezza b e altezza h è
Se qui z’ viene espresso mediante w’’, si ottiene
Nel caso delle sezioni a I e simili, l’andamento della curva M-w’’ nella regione plastica è ancora più appiattito e il momento in corrispondenza del quale inizia lo snervamento è allora praticamente uguale al massimo momento flettente che la sezione possa sopportare. Per questo motivo l’importanza della flessione plastica nell’ingegneria civile non consiste nell’aumento del momento flettente che la sezione può portare, ma nel fatto che la grande deformazione locale che si verifica al limite di snervamento può condurre a una favorevole ridistribuzione degli sforzi nei sistemi staticamente indeterminati.
Fig. 9
Ciò si può spiegare con l’esempio di una trave continua su due campate. Si supponga che la trave (fig. 10) abbia campate di uguale lunghezza, sezione costante e sia caricata con un carico uniformemente distribuito. Allora, prima del raggiungimento del limite di snervamento, il momento sull’appoggio MB = _pl_2/8. Se il carico p aumenta tanto da far raggiungere al momento nella sezione d’appoggio il valore Mf al quale interviene lo snervamento, con ulteriori aumenti del carico in quel punto aumenterà anche la curvatura senza un apprezzabile incremento del momento. Si forma il cosiddetto cerniera plastica, cioè la trave sotto carico aggiuntivo si comporta come se sopra l’appoggio intermedio vi fosse una cerniera. Il carico può essere ulteriormente aumentato fino a quando anche nel punto del massimo momento in campata non inizia lo snervamento. Un ulteriore aumento del momento flettente non è più possibile e la capacità portante della trave è esaurita. Il carico sotto il quale si verifica questo stato si chiama carico limite.
Fig. 10
In generale si può prevedere che in un sistema staticamente indeterminato di ordine n debbano comparire (n+1) cerniere plastiche prima che il sistema diventi mobile e raggiunga così il proprio limite di portata. Questa regola, tuttavia, presenta eccezioni in entrambi i sensi. Come mostra l’esempio citato, al limite di portata possono comparire simultaneamente due nuove cerniere plastiche (in entrambe le campate), cosicché il sistema, ancora immobilizzabile fino a quel momento, passa improvvisamente a un sistema con due gradi di libertà. D’altra parte è possibile che anche con meno di (n+1) cerniere plastiche la capacità portante si esaurisca localmente, ad esempio quando in una trave continua cede una sola campata. La fig. 11 mostra come ciò possa avvenire in un sistema staticamente due volte indeterminato con n=2 cerniere plastiche. Se sul lato destro della trave si aggiunge anche una quarta campata, la trave diventa staticamente tre volte indeterminata, per cui sono sufficienti (n-1) cerniere plastiche per portare al limite di portata la sola campata sinistra.
Fig. 11
Tensioni di taglio nella flessione
Calcolo elementare
Fig. 12
Le tensioni normali σ, ossia le tensioni che in realtà si manifestano a causa della flessione, non sono le sole tensioni nell’asta inflessa; accanto ad esse compaiono anche tensioni di taglio dovute all’azione della forza trasversale. Poiché la caratteristica fondamentale della teoria tecnica della flessione consiste nel trascurare le deformazioni dovute alle tensioni di taglio, queste possono essere determinate solo dalle condizioni di equilibrio. Per formularle, l’elemento di trave dx viene tagliato, come indicato in fig. 12, da un piano orizzontale in due parti, e si impone la condizione di equilibrio delle forze orizzontali che agiscono sulla parte inferiore. Sul lato sinistro si tratta delle forze interne espresse dalle tensioni σ dovute alla flessione, che vanno integrate da z’ = z a z’ = h2
Sul lato destro agiscono le stesse tensioni, ma incrementate del differenziale in conformità con il corrispondente momento flettente M + dM. La differenza tra le forze sui due lati dell’elemento deve essere in equilibrio con la forza dovuta alle tensioni di taglio τ che agiscono sulla superficie sezionale orizzontale t dx:
Qui l’integrale rappresenta il momento statico della parte della sezione trasversale individuata da un piano trasversale orizzontale rispetto all’asse baricentrico della sezione. Esso è indicato con S. Da dM/dx = Q si ottiene, dalle condizioni di equilibrio:
τ = QS/It. (8)
Secondo il principio di coniugazione delle tensioni di taglio, essa corrisponde contemporaneamente al valore della tensione di taglio verticale che agisce sulla superficie della sezione trasversale e che, insieme a S e t, è funzione di z.
Fig. 13
Fig. 13.1
L’equazione (8) fornisce dati affidabili in tutte le sezioni a parete sottile se il piano di sezione non è disposto parallelamente all’asse neutro, ma nella direzione dello spessore della parete. Pertanto il profilo a I viene tagliato trasversalmente attraverso l’anima e trasversalmente attraverso la flangia, ottenendo la distribuzione delle tensioni mostrata in fig. 13.1. Nella sezione anulare (fig. 13) le tensioni di taglio sono distribuite simmetricamente rispetto al diametro verticale e a sinistra e a destra della linea neutra raggiungono il massimo
τ = Q / πrt.
Se la sezione è tagliata nel punto più alto o più basso, la distribuzione delle tensioni tangenziali non cambia; tuttavia, se è tagliata all’estremità destra del diametro orizzontale (fig. 14), la tensione tangenziale in quel punto è uguale a zero, mentre il suo valore raddoppia all’estremità sinistra dello stesso diametro.
Fig. 14
Sezioni piene
Nel caso di sezioni piene di forma arbitraria, il problema delle tensioni di taglio è strettamente legato alla problematica della torsione. In tal caso l’equazione elementare (8) non è più affidabile. Per una sezione circolare di raggio r l’equazione (8) dà
τ = 4Q / 3__πr2
come valore medio della tensione di taglio lungo l’asse neutro, mentre il valore esatto è solo di pochi percenti superiore.
Centro di taglio
Se per la sezione a U si calcolano le tensioni di taglio nel modo descritto sopra, si ottiene la distribuzione delle tensioni mostrata in fig. 15. La risultante delle corrispondenti forze interne è la forza trasversale Q. Dalla figura si può vedere la sua posizione rispetto alla sezione, quindi che essa non passa né per il baricentro della sezione né giace nel piano dell’anima. Se la forza trasversale calcolata in base alle forze esterne non ha la posizione mostrata in fig. 15, la trave non è sollecitata solo a flessione, ma anche a torsione.
Se per la stessa sezione trasversale si determina la risultante corrispondente alle tensioni di taglio per un certo carico orizzontale, si ottiene la linea d’azione della forza trasversale orizzontale. Nell’intersezione di queste due linee d’azione si trova il punto caratteristico della sezione trasversale considerata, chiamato centro di taglio M. Nella trave non compaiono tensioni dovute alla torsione quando i centri di taglio di tutte le sezioni trasversali giacciono su una stessa retta e tutti i carichi perpendicolari all’asse dell’asta passano attraverso tale retta. In caso contrario, il momento di ogni carico rispetto alla retta che unisce i centri di taglio rappresenta il taglio torsionale.
Fig. 15
Influenza della forza trasversale sulla flessione
La teoria tecnica della flessione si basa sulla trascuratezza delle deformazioni dovute alle tensioni di taglio. Di conseguenza, essa può essere applicata realmente alle aste snelle, per le quali tale trascuratezza è giustificata e dove la forza trasversale non ha un’influenza sensibile sulla flessione.
L’esperienza ha però dimostrato che la teoria tecnica della flessione può essere applicata con un certo successo anche a travi corte e alte, per le quali in realtà non è affatto concepita. Si rende allora necessario tener conto successivamente, almeno in modo approssimativo, dell’influenza della deformazione dovuta alle tensioni di taglio, trascurata in questa teoria.
Allo stesso modo, anche le tensioni di taglio τ dovute alle forze trasversali e gli scorrimenti corrispondenti γ_’ =_ τ_/G_ sono distribuiti in modo non uniforme sulla sezione. Per questo si introduce il loro valore medio γ, che si determina in modo tale che la forza trasversale, a questo valore medio di deformazione, compia sull’elemento di trave dx un lavoro di deformazione uguale a quello che si otterrebbe integrando i lavori delle tensioni di taglio sui singoli elementi volumetrici che compongono l’elemento di trave considerato:
da cui
L’integrale può essere calcolato quando è nota la distribuzione delle tensioni di taglio nella sezione. Poiché tutte le tensioni di taglio sono proporzionali a Q/F, il suo valore è proporzionale a Q2/F2 * F, e ponendo che sia κ__Q2/F, si ottiene
γ = κ__Q / GF.
La costante κ è detta coefficiente di distribuzione delle tensioni di taglio. Per le sezioni rettangolari κ=1,2.
Fig. 16
Quando è noto il coeff. κ, e quindi anche lo scorrimento medio γ, si può calcolare la freccia supplementare wQ, prodotta dall’azione delle forze trasversali, da aggiungere alle frecce w: perché, secondo la fig. 16,
quindi, a causa di Q = dM/dx:
per cui la costante di integrazione si ottiene da una condizione al contorno.