การดัดแบบง่ายและการดัดร่วมกับแรงปกติ

ความเค้นปกติใน แท่งตรงและแท่งที่มีความโค้งเล็กน้อย

นิยามของแรงภายในหน้าตัด

ให้แท่งตรงแท่งหนึ่งรับแรงจากแรงที่มีทิศทางใดๆ โดยสมมติเพียงว่าแรงทั้งหมดอยู่ในระนาบเดียวกัน (ระนาบแรง) ซึ่งผ่านแกนของแท่ง (เส้นที่เชื่อมจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัดต่างๆ)

รูปที่. 1

เพื่อคำนวณความเค้นที่กระทำในหน้าตัด n – n ใด ๆ (รูป 1) จำเป็นต้องทราบแรงที่ถ่ายผ่านหน้าตัดนี้จากส่วนหนึ่งของแท่งไปสู่อีกส่วนหนึ่ง แรงนี้เห็นได้ชัดว่าเท่ากันทั้งในด้านขนาดและตำแหน่งกับผลลัพธ์รวมของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อส่วนหนึ่งของแท่ง ผลลัพธ์รวมนั้นจะแตกออกเป็นองค์ประกอบในระบบพิกัดซึ่งแกน x- ตรงกับแกนของแท่ง และแกน z- เป็นแนวเส้นที่ระนาบหน้าตัดตัดกับระนาบแรง องค์ประกอบในทิศทางของแกน z เรียกว่าแรงเฉือนขวาง Q หรือ Qz และสำหรับคานธรรมดาจะถือว่าเป็นบวกหากทางซ้ายของหน้าตัดมีทิศขึ้น และทางขวามีทิศลง

เมื่อแท่งโค้ง แกนพิกัด x และ z ในแต่ละหน้าตัดจะมีทิศทางต่างออกไป โดย x-แกนจะเป็นเส้นสัมผัสกับแกนของแท่งเสมอ หากระนาบที่แกนของแท่งอยู่ไม่ตรงกับระนาบของแรง หรือหากแกนของแท่งเป็นเส้นโค้งในปริภูมิ ผลรวมแรงทางซ้ายของหน้าตัดจะมีองค์ประกอบที่สามเพิ่มขึ้น คือแรงเฉือน Qy ด้วย N, Qz และ Qy กำหนดขนาดและทิศทางของแรงที่ถ่ายผ่านหน้าตัด แต่ไม่กำหนดตำแหน่งของแรงนั้น สำหรับเรื่องนี้จำเป็นต้องทราบโมเมนต์ของแรงนั้นเทียบกับแกนพิกัดด้วย ในกรณีการดัดแบบระนาบ เพียงทราบโมเมนต์ดัด M หรือ My ก็เพียงพอ ในกรณีทั่วไปที่สุด จะมีโมเมนต์ดัดอีกตัวหนึ่ง Mz และโมเมนต์รอบ x-แกน Mx ปรากฏขึ้นอีก

แรงและโมเมนต์ทั้งหกที่กำหนดไว้ในการอธิบายก่อนหน้านี้ ถูกรวมเรียกรวมกันว่า “แรงภายในหน้าตัด” การกำหนดค่าเหล่านี้เป็นหนึ่งในภารกิจพื้นฐานของสถิตยศาสตร์ของโครงสร้างอาคาร

ระหว่างแรงกระจายต่อเนื่อง p (มิติ: แรงต่อหนึ่งหน่วยความยาว) แรงเฉือน Q และโมเมนต์ดัด M มีความสัมพันธ์อย่างง่ายในกรณีของการดัดแบบระนาบ กล่าวคือ จากเงื่อนไขสมดุลขององค์ประกอบแท่งหนึ่ง (รูป 2) ได้ว่า

dQ + p dx = 0,

dM = Q dx;

ดังนั้น

Q = dM/dx, 

p = - dQ/dx = - d2M/dx2.        (1a, b)

รูปที่. 2

การกระจายของความเค้นปกติ

หากแท่งรับแรงตามแนวแกนเพียงอย่างเดียว ในหน้าตัดจะเกิดเฉพาะความเค้นปกติ σ ที่กระจายอย่างสม่ำเสมอ (แท่งที่ถูกดึง หรือแท่งที่ถูกอัดตามลำดับ) หากนอกเหนือจากนั้นยังเกิดโมเมนต์ดัดด้วย ความเค้นเหล่านี้ต้องมีการกระจายไม่สม่ำเสมอในลักษณะหนึ่ง ทำให้ผลลัพธ์รวมของมันไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของหน้าตัดอีกต่อไป เพื่อกำหนดการกระจายดังกล่าว ทฤษฎีดัดเชิงวิศวกรรมไม่ได้เริ่มจากคำตอบที่เคร่งครัดของสมการพื้นฐาน แต่แทนบางส่วนของสมการเหล่านี้ด้วยสมมติฐานที่สมเหตุสมผล ซึ่งในกรณีที่เรียบง่ายเป็นพิเศษกรณีหนึ่งก็เป็นจริงอย่างเคร่งครัดด้วย กรณีพิเศษนั้นคือการดัดของแท่งปริซึมตรงโดยไม่มีแรงตามขวางกระทำ (รูป 3) องค์ประกอบทั้งหมดของแท่งที่อยู่ห่างจากปลายของมันพอสมควรจะเกิดการเปลี่ยนรูปแบบเดียวกัน ซึ่งนำไปสู่ข้อสรุปโดยตรงว่าแกนของแท่งเปลี่ยนเป็นส่วนโค้งวงกลม และระนาบของหน้าตัดทั้งหมดซึ่งเดิมตั้งฉากกับแกนของแท่ง เมื่อเกิดการเปลี่ยนรูปแล้วยังคงเป็นระนาบ เพราะแต่ละระนาบเป็นระนาบสมมาตรของส่วนที่อยู่ติดกันของแท่งที่เปลี่ยนรูปตามธรรมชาติแล้วจึงเกิดสมมติฐานว่า หน้าตัดยังคงเป็นระนาบโดยประมาณแม้เมื่อโมเมนต์ดัดและหน้าตัดของแท่งไม่คงที่ แต่ค่อย ๆ เปลี่ยนไปตามความยาวของแท่ง สมมติฐานนี้เรียกว่า Navier-ova hipoteza และเป็นพื้นฐานของทฤษฎีการดัด

รูปที่. 3

ขนาดของความเค้นปกติ

เมื่อชิ้นส่วนคานที่เป็นเส้นตรงถูกดัด ส่วนหนึ่งของ “เส้นใย” ของมัน กล่าวคือเส้นวัสดุที่ขนานกับแกนของแท่ง จะยืดออก ขณะที่อีกส่วนหนึ่งจะหดสั้นลง (รูป 4) ระหว่างสองส่วนนี้มีเส้นใยเป็นกลาง z=0 ซึ่งความยาวของมันจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเกิดการดัด ให้รัศมีความโค้งของเส้นใยเหล่านี้ในสภาวะที่ถูกดัดเป็น ϱ และให้มันอยู่ในระนาบ x-z จากรูป 4 mสามารถอ่านได้

Δ dx/z = _dx/_ϱ

และจากนั้นจึงคำนวณการยืดตัวของเส้นใยที่ระยะ z จากแกนเป็นกลาง ซึ่งมีค่าเท่ากับ

ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ

จึงได้ความเค้นตามกฎของ Hooke-ovog

σ _= Ez/_ϱ   (2)

รูปที่. 4

ความเค้นนี้แปรผันตามระยะห่างจากเส้นใยเป็นกลาง ผลดังกล่าวอิงกับสมมติฐานว่าก่อนการเสียรูป เส้นใยทั้งหมดขององค์ประกอบแท่งมีความยาวเท่ากัน ดังนั้นแท่งจึงเดิมตรง หรืออย่างน้อยมีความโค้งน้อยมากจนละเลยอิทธิพลของความโค้งได้ เส้นตรงที่ชั้นเป็นกลางและระนาบหน้าตัดตัดกันเรียกว่าแกนเป็นกลาง เราถือให้เป็นแกน y (รูป 5). ตำแหน่งของแกนเป็นกลางในหน้าตัดได้จากเงื่อนไขสมดุลของแรงในทิศทางแกน x: ถ้าแรงตามแนวแกน N=0 (การดัดโดยไม่มีแรงตามแนวแกน) ดังนั้นผลรวมของแรงภายในที่แสดงด้วยความเค้นปกติในหน้าตัดต้องเท่ากับศูนย์ด้วย:

อินทิกรัลทางด้านขวาเป็นโมเมนต์สถิตของพื้นที่เมื่อเทียบกับแกน y-axis เพื่อให้เป็นศูนย์ แกนนี้ต้องเป็นหนึ่งในแกนผ่านจุดศูนย์กลางมวล

โมเมนต์ M ที่ทำให้เกิดการเสียรูป มีองค์ประกอบตามแกน y และ z ในระนาบหน้าตัด (รูป 5) ดังนี้:

สมการ (3)

โดยที่ Iy, Iyz เป็นโมเมนต์ความเฉื่อยแบบเอควอเรียลและแบบเซนทริฟิวกัลของหน้าตัดเทียบกับแกนที่กำหนด

กรณีพิเศษที่สำคัญที่สุดคือเมื่อ Mz=0 กรณีนี้เกิดขึ้นเมื่อ Iyz=0 กล่าวคือเมื่อ y และ z เป็นแกนหลักของความเฉื่อยของหน้าตัด นั่นหมายความว่าระนาบดัดที่สมมติไว้ที่นี่ตรงกับ x-z-ระนาบกับระนาบที่โมเมนต์ดัด M=My กระทำอยู่ กล่าวคือกับระนาบของแรง

รูปที่. 5

หากกำจัด _E/_ϱ ออกจากสมการ (2) และ (3) จะได้รูปแบบสำหรับกำหนดความเค้นในการดัดแบบเรียบ (Iy=I):

σ = M/I * z   (4)

สำหรับจุดขอบ 1 และ 2 โดยเฉพาะคือ:

σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2.   (5)

ปริมาณ W1,2 = I/h1,2 (มิติ: ความยาวยกกำลังสาม) เรียกว่า โมเมนต์ต้านทาน หากแกนมวลในแนวนอนเป็นแกนสมมาตรของหน้าตัดด้วยเช่นกัน ดังนั้น W1 = W2 และความเค้นที่ขอบจะมีค่าเท่ากันในเชิงสัมบูรณ์

เส้นยืดหยุ่น

รูปที่. 6

ความสำคัญของรูปแบบที่กล่าวข้างต้นเกี่ยวข้องกับกฎของ Hooke ซึ่งกำหนดให้ σ << E ดังนั้นตาม (2) h << ϱ. อย่างไรก็ตามการโก่งงออาจมากพอที่ ϱ จะมีลำดับขนาดเดียวกับความยาวของแท่ง l สำหรับแท่งโค้งงอที่พบในการงานก่อสร้าง กรณีนี้ไม่เกิดขึ้นเสมอไป; โดยทั่วไป ϱ มีค่ามากกว่า l อย่างมาก และดังนั้นการแอ่นตัว w << l (รูป 6). แล้วโดยประมาณจะเป็น:

1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’

และอิงตาม (3):

w’’ = - M/EI.

สมการนี้และเงื่อนไขสมดุล (1b) เป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์ของแท่งที่โค้งงอ โดยสามารถกำจัดบางตัวแปรแล้วลดลงเหลือสมการอันดับสี่เพียงสมการเดียวได้:

wIV = + p/EI

หรือ ในกรณีที่โมเมนต์ความเฉื่อยเปลี่ยนแปลงได้:

(EIw’’)’’ = +p.

จากสมการเหล่านี้สามารถหารูปร่างของเส้นยืดหยุ่นได้ด้วยการอินทิเกรต เมื่อกำหนดโหลด p=p(x) และเมื่อทราบเงื่อนไขขอบเขตสองข้อสำหรับแท่งแต่ละกรณี โดยอย่างน้อยสองข้อในนั้นต้องเกี่ยวกับการเปลี่ยนรูป สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมดูบทความ สถิตยศาสตร์ของโครงสร้างอาคาร

แกนกลางของหน้าตัด

หากแกนเป็นกลางตัดผ่านหน้าตัด มันจะแบ่งหน้าตัดออกเป็นโซนแรงดึงและโซนแรงอัด สำหรับวัสดุที่มีความต้านทานแรงดึงต่ำ จึงเกิดคำถามว่าควรกระทำแรงอัดที่จุดใด หากในหน้าตัดห้ามเกิดแรงดึงในตำแหน่งใดก็ตาม ตำแหน่งกระทำของแรงจึงถูกจำกัดอยู่ในบริเวณที่เรียกว่า แกนกลางของหน้าตัด ขอบเขตของแกนกลางเห็นได้ชัดว่าเป็นสถานที่ทางเรขาคณิตของจุด ซึ่งแกนเป็นกลางของมันสัมผัสกับขอบรอบนอกของหน้าตัด ทั้งนี้ได้ให้วิธีการก่อสร้าง/กำหนดขึ้นของมันไว้ด้วย

ระยะของขอบแกนกลางจากจุดศูนย์ถ่วงที่วัดในทิศทางใดก็ตาม จะกำหนดด้วย k ตามดัชนีที่สอดคล้องกับทิศทางนั้น สำหรับแกนความเฉื่อยหลัก ตามสมการ

σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z  (6)

นิพจน์มีดังนี้:

ky = i2z / ey,      kz = i2y / ez.   (7)

สำหรับหน้าตัดวงกลมรัศมี r ระยะจากแกนกลางถึงขอบแกนคือ k = r/4 และสำหรับวงแหวนกลม (รัศมี: ภายนอก R, ภายใน r) k = (R2 + r2) / 4R

สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูป 7) ได้ ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. ดังนั้น เมื่อรับแรงบนหน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้าในระนาบสมมาตรระนาบหนึ่ง (แต่เฉพาะในกรณีนั้น) เพียงให้แรงลัพธ์กระทำในช่วงหนึ่งในสามส่วนกลางของความสูงหรือความกว้างของหน้าตัด ก็จะทำให้ความเค้นในหน้าตัดมีเครื่องหมายเดียวกัน

รูปที่. 7

การดัดงอในบริเวณพลาสติก

เมื่อถึงขีดจำกัดครากในเส้นใยส่วนขอบของแท่งที่ดัดแล้ว ความสามารถรับน้ำหนักของมันยังไม่หมดสิ้นไป เพราะในขณะที่เส้นใยนอกเกิดการเสียรูปพลาสติกภายใต้ความเค้นคงที่ ส่วนที่อยู่ใกล้แกนเป็นกลางมากกว่า ซึ่งยังไม่ถึงขีดจำกัดคราก ความเค้นจะเพิ่มขึ้น จึงทำให้โมเมนต์ดัดที่หน้าตัดสามารถรับได้เพิ่มขึ้นด้วย

หากทราบลักษณะการเปลี่ยนแปลงของแผนภาพความเค้นและการเสียรูปอย่างแม่นยำ กระบวนการสำหรับหน้าตัดสมมาตรสองด้าน (ความสูง h) สามารถติดตามเชิงคำนวณได้ง่าย โดยสมมุติว่าหน้าตัดยังคงเป็นระนาบ แล้วจากแผนภาพความเค้นและการเสียรูปกำหนดการกระจายความเค้น σ จากการดัด ซึ่งสอดคล้องกับการยืดตัวที่ปลายเส้นใย ε__r ที่กำหนดขึ้น และจากนั้นหาค่าโมเมนต์ดัดด้วยการอินทิเกรต หากทำเช่นนี้สำหรับ ε__r หลายค่า และในอีกด้านหนึ่งคำนวณความโค้งที่สอดคล้องกันของเส้นแอ่น w’’ = 2 ε__r / h จะได้ชุดจุดซึ่งสามารถลากเส้นผ่านเพื่อให้ความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์ดัดและความโค้ง M = M(w’’); ความสัมพันธ์นี้ไม่เป็นเชิงเส้นอีกต่อไป และเมื่อทราบแล้วสามารถหาค่าเส้นแอ่นที่สอดคล้องกับการกระจายโมเมนต์ที่กำหนดได้ด้วยการอินทิเกรตเชิงกราฟ หากหน้าตัดไม่สมมาตร การคำนวณจะซับซ้อนขึ้น เพราะสำหรับแต่ละ ε__r ยังต้องกำหนดตำแหน่งของแกนเป็นกลางด้วย

สล. 8

การคำนวณจะง่ายขึ้นในระดับหนึ่ง หากนอกจากสมมาตรของหน้าตัดแล้ว ยังสมมติความสัมพันธ์แบบง่ายระหว่างความเค้นกับความยืดตัวตามรูป 8 ด้วย เมื่อถึงขีดจำกัดการครากแล้ว ความเค้นเนื่องจากการดัดจะมีการกระจายดังแสดงในรูป 9 และโมเมนต์ดัดคือ:

ดังนั้นความโค้งของเส้นการโก่งจะได้มาจากการนำสมการ (2) ไปใช้กับส่วนของหน้าตัดซึ่งมีความเค้นอยู่ในบริเวณยืดหยุ่น w’’ = σf / Ez’. หากทราบรูปทรงของหน้าตัดสำหรับ z’ ที่เลือกแต่ละค่า อินทิกรัลก็สามารถคำนวณได้ เช่น สำหรับกรณีที่ง่ายที่สุดของหน้าตัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้าง b และความสูง h คือ

ถ้าแสดง z’ ในที่นี้โดยใช้ w’’, จะได้

สำหรับหน้าตัดรูป I และที่คล้ายกัน เส้นโค้ง M-w’’ ในบริเวณพลาสติกจะราบลงยิ่งกว่าเดิม และโมเมนต์ที่เกิดการครากจึงแทบเท่ากับโมเมนต์ดัดสูงสุดที่หน้าตัดสามารถรับได้ ด้วยเหตุนี้ ความสำคัญของการดัดแบบพลาสติกในงานก่อสร้างจึงไม่ได้อยู่ที่การเพิ่มโมเมนต์ดัดที่หน้าตัดรับได้ แต่อยู่ที่ความจริงที่ว่าการเสียรูปเฉพาะที่ขนาดใหญ่ที่เกิดขึ้นที่ขีดจำกัดครากสามารถนำไปสู่การปรับเปลี่ยนการกระจายแรงที่เป็นประโยชน์ในระบบสถิตเกิน

รูปที่. 9

เรื่องนี้สามารถอธิบายได้ด้วยตัวอย่างของคานต่อเนื่องผ่านสองช่วง สมมติว่าคาน (รูป 10) มีช่วงยาวเท่ากัน หน้าตัดคงที่ และรับแรงกระจายสม่ำเสมอ ดังนั้นก่อนถึงขีดจำกัดคราก โมเมนต์เหนือจุดรองรับ MB = _pl_2/8 หากเพิ่มแรงกระทำ p มากพอจนโมเมนต์ในหน้าตัดรองรับถึงค่า Mf ซึ่งเริ่มเกิดการคราก เมื่อเพิ่มแรงต่อไป ความโค้งที่ตำแหน่งนั้นจะเพิ่มขึ้นโดยที่โมเมนต์เพิ่มขึ้นไม่มากนัก เกิดสิ่งที่เรียกว่า พลาสติกฮินจ์ กล่าวคือ คานภายใต้แรงเพิ่มจะมีพฤติกรรมราวกับว่ามีบานพับเหนือจุดรองรับกลาง สามารถเพิ่มแรงได้ต่อไปจนกระทั่งที่ตำแหน่งโมเมนต์มากที่สุดในช่วงเริ่มเกิดการครากด้วยเช่นกัน การเพิ่มโมเมนต์ดัดต่อไปจะไม่สามารถทำได้อีก และกำลังรับน้ำหนักของคานก็หมดลง ภาระที่ทำให้เกิดสภาวะนี้เรียกว่า ภาระวิกฤต

รูปที่. 10

โดยทั่วไปสามารถคาดได้ว่า ในระบบที่ไม่กำหนดเชิงสถิตครั้งหนึ่ง n เท่า จะต้องเกิดบานพับพลาสติก ((n+1)) จุด ก่อนที่ระบบจะกลายเป็นระบบที่เคลื่อนที่ได้ และด้วยเหตุนี้จึงถึงขีดจำกัดกำลังรับน้ำหนักของตน อย่างไรก็ตาม กฎนี้มีข้อยกเว้นได้ทั้งสองด้าน ดังที่ตัวอย่างดังกล่าวแสดงให้เห็น ที่ขีดจำกัดกำลังรับน้ำหนักอาจเกิดบานพับพลาสติกใหม่สองจุดพร้อมกัน (ในทั้งสองช่วง) ทำให้ระบบที่ยังไม่เคลื่อนที่จนถึงขณะนั้นเปลี่ยนเป็นระบบที่มีองศาอิสระสององศาทันที ในอีกด้านหนึ่งก็เป็นไปได้ว่า แม้มีบานพับพลาสติกน้อยกว่า ((n+1)) จุด กำลังรับน้ำหนักก็อาจหมดสิ้นเฉพาะที่ได้ เช่น เมื่อในคานต่อเนื่องมีเพียงช่วงเดียวที่เสียกำลัง รูป 11 แสดงให้เห็นว่าเหตุการณ์เช่นนี้อาจเกิดขึ้นได้อย่างไรในระบบที่ไม่กำหนดเชิงสถิตสองเท่าระบบหนึ่ง ซึ่งมีบานพับพลาสติก n=2 จุด ถ้าเพิ่มช่วงที่สี่ทางด้านขวาของคานด้วย คานจะกลายเป็นระบบไม่กำหนดเชิงสถิตสามเท่า ดังนั้นจึงเพียงพอที่มีบานพับพลาสติก ((n-1)) จุด เพื่อให้เฉพาะช่วงซ้ายถึงขีดจำกัดกำลังรับน้ำหนัก

รูปที่. 11

ความเค้นเฉือนในการดัด

การคำนวณเบื้องต้น

รูปที่. 12

ความเค้นปกติ σ กล่าวคือ ความเค้นที่เกิดขึ้นจริงจากการดัด ไม่ใช่ความเค้นเพียงชนิดเดียวในแท่งที่โค้งงอ แต่ยังมีความเค้นเฉือนเกิดขึ้นจากแรงขวางด้วย เนื่องจากลักษณะพื้นฐานของทฤษฎีการดัดเชิงวิศวกรรมคือการละเลยการเสียรูปจากความเค้นเฉือน ความเค้นเหล่านี้จึงสามารถกำหนดได้จากเงื่อนไขสมดุลเท่านั้น เพื่อกำหนดเงื่อนไขนี้ องค์ประกอบคาน dx ถูกตัดดังที่แสดงในรูป 12 ด้วยระนาบแนวนอนออกเป็นสองส่วน แล้วตั้งเงื่อนไขสมดุลของแรง แนวนอน ที่กระทำต่อส่วนล่าง ทางด้านซ้ายคือแรงภายในที่แสดงด้วยความเค้น σ จากการดัด ซึ่งต้องอินทิเกรตจาก z’ = z ถึง z’ = h2

ทางด้านขวาจะมีความเค้นแบบเดียวกัน แต่เพิ่มขึ้นตามดิฟเฟอเรนเชียลให้สอดคล้องกับโมเมนต์ดัด M + dM ความแตกต่างของแรงทั้งสองด้านขององค์ประกอบต้องสมดุลกับแรงเนื่องจากความเค้นเฉือน τ ที่กระทำบนพื้นที่หน้าตัดแนวนอน t dx:

ที่นี่ อินทิกรัลแสดงถึงโมเมนต์สถิตของส่วนหนึ่งของหน้าตัดที่แยกออกโดยระนาบตัดขวางแนวนอน เมื่อเทียบกับแกนผ่านจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัด โดยใช้สัญลักษณ์ S จาก dM/dx = Q ตามเงื่อนไขสมดุล ได้ว่า:

τ = QS/It.  (8)

ตามหลักความสัมพันธ์สอดคล้องของความเค้นเฉือน นี่เป็นปริมาณของความเค้นเฉือนในแนวดิ่งที่กระทำบนพื้นที่หน้าตัด และซึ่งร่วมกับ S และ t เป็นฟังก์ชันของ z.

รูปที่. 13

รูป 13.1

สมการ (8) ให้ข้อมูลที่เชื่อถือได้สำหรับหน้าตัดผนังบางทุกชนิด หากระนาบตัดไม่ได้วางขนานกับแกนเป็นกลาง แต่ให้วางในทิศทางของความหนาผนัง ดังนั้นหน้าตัดรูป I จึงถูกตัดขวางผ่านเอวและตัดขวางผ่านปีก ทำให้ได้การกระจายความเค้นดังแสดงในรูป 13.1 สำหรับหน้าตัดวงแหวน (รูป 13) ความเค้นเฉือนจะกระจายอย่างสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นผ่านศูนย์กลางแนวตั้ง และทางซ้ายและขวาบนเส้นเป็นกลางจะถึงค่าสูงสุด

τ = Q / πrt.

หากหน้าตัดถูกผ่าที่ตำแหน่งสูงสุดหรือต่ำสุด การกระจายของความเค้นเฉือนจะไม่เปลี่ยนแปลง; อย่างไรก็ตาม หากผ่าที่ปลายขวาของเส้นผ่านศูนย์กลางแนวนอน (รูป 14) ความเค้นเฉือนที่ตำแหน่งนั้นจะเท่ากับศูนย์ ในขณะที่ค่าของมันจะเพิ่มเป็นสองเท่าที่ปลายซ้ายของเส้นผ่านศูนย์กลางเดียวกัน

รูป 14

หน้าตัดเต็ม

สำหรับหน้าตัดทึบที่มีรูปทรงใด ๆ ปัญหาความเค้นเฉือนมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับปัญหาการบิด ตัวสมการพื้นฐาน (8) ในกรณีนี้ไม่อาจเชื่อถือได้อีกต่อไป สำหรับหน้าตัดวงกลมรัศมี r สมการ (8) ให้

τ = 4Q / 3__πr2

ในฐานะค่าเฉลี่ยของความเค้นเฉือนตามแนวแกนเป็นกลาง และค่าที่แท้จริงจะสูงกว่าเพียงไม่กี่เปอร์เซ็นต์เท่านั้น

จุดเฉือน

หากคำนวณความเค้นเฉือนสำหรับหน้าตัดรูป U ตามวิธีที่อธิบายข้างต้น จะได้การกระจายความเค้นดังแสดงในรูป 15. ผลลัพธ์ของแรงภายในที่สอดคล้องกันคือแรงเฉือนตามขวาง Q. จากรูปจะเห็นตำแหน่งของมันเมื่อเทียบกับหน้าตัด กล่าวคือ มันไม่ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัด และไม่อยู่ในระนาบของเอวคาน หากแรงเฉือนตามขวางที่คำนวณจากแรงภายนอกไม่มีตำแหน่งดังแสดงในรูป 15 คานจะไม่รับเฉพาะการดัดเท่านั้น แต่ยังรับแรงบิดด้วย

หากสำหรับหน้าตัดเดียวกันกำหนดแรงลัพธ์ที่สอดคล้องกับความเค้นเฉือนสำหรับภาระในแนวนอนหนึ่งอย่าง จะได้แนวแรงของแรงเฉือนขวางในแนวนอน จุดตัดของแนวแรงทั้งสองนี้เป็นจุดลักษณะเฉพาะของหน้าตัดนั้น ซึ่งเรียกว่า ศูนย์กลางการเฉือน M. ในคานจะไม่เกิดความเค้นอันเนื่องมาจากแรงบิดเมื่อศูนย์กลางการเฉือนของหน้าตัดทั้งหมดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และน้ำหนักทั้งหมดที่ตั้งฉากกับแกนของแท่งผ่านเส้นตรงนั้น ในทางกลับกัน โมเมนต์ของน้ำหนักแต่ละตัวเมื่อเทียบกับเส้นตรงที่เชื่อมศูนย์กลางการเฉือนนั้นก่อให้เกิดการเฉือนแบบบิด

รูปที่. 15

อิทธิพลของแรงเฉือนต่อการดัด

ทฤษฎีการดัดทางวิศวกรรมตั้งอยู่บนการละเลยการเสียรูปเนื่องจากความเค้นเฉือน ดังนั้นจึงสามารถนำไปใช้ได้จริงกับแท่งเรียวยาว ซึ่งการละเลยนี้เหมาะสม และซึ่งแรงเฉือนตามขวางไม่มีอิทธิพลอย่างมีนัยสำคัญต่อการดัด

อย่างไรก็ตาม ประสบการณ์ได้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีเชิงเทคนิคของการดัดสามารถนำไปใช้กับคานสั้นและคานสูงได้ด้วยความสำเร็จในระดับหนึ่ง แม้ว่าที่จริงแล้วทฤษฎีนี้ไม่ได้ถูกกำหนดมาสำหรับกรณีดังกล่าวเลย ในกรณีนั้นจึงเกิดความจำเป็นต้องนำอิทธิพลของการเสียรูปอันเนื่องมาจากความเค้นเฉือน ซึ่งถูกละเลยไว้ในทฤษฎีนี้ มาพิจารณาเพิ่มเติมอย่างน้อยโดยประมาณ

เช่นเดียวกับความเค้นเฉือน τ อันเนื่องมาจากแรงตามขวาง และการลื่นไถลที่สอดคล้องกัน γ_’ =_ τ_/G_ ถูกกระจายไม่สม่ำเสมอตามหน้าตัด ดังนั้นจึงกำหนดค่าเฉลี่ยของมัน γ ซึ่งกำหนดให้แรงตามขวางที่ค่าเฉลี่ยของการเสียรูปนี้ทำให้เกิดงานการเสียรูปบนองค์ประกอบคาน dx เท่ากับงานที่ได้จากการอินทิเกรตงานของความเค้นเฉือนบนองค์ประกอบเชิงปริมาตรแต่ละส่วนซึ่งประกอบกันเป็นองค์ประกอบคานที่พิจารณา:

ซึ่งจากนั้น

สามารถคำนวณอินทิกรัลได้เมื่อทราบการกระจายของความเค้นเฉือนตามหน้าตัด เนื่องจากความเค้นเฉือนทั้งหมดแปรผันตาม Q/F ค่าของมันจึงแปรผันตาม Q2/F2 * F, ดังนั้นเมื่อกำหนดว่าเป็น κ__Q2/F จะได้

γ = κ__Q / GF.

ค่าคงที่ κ เรียกว่า สัมประสิทธิ์การกระจายความเค้นเฉือน สำหรับหน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้า κ=1,2.

รูปที่. 16

เมื่อทราบค่าสัมประสิทธิ์ κ และด้วยเหตุนี้การลื่นเฉลี่ย γ แล้ว ก็สามารถคำนวณค่าการโก่งตัวเสริม wQ ที่เกิดจากแรงเฉือน ซึ่งต้องนำไปบวกกับการโก่งตัว w ได้: เพราะตามรูป 16 คือ

ดังนั้นเนื่องจาก Q = dM/dx:

โดยค่าคงที่ของการอินทิเกรตได้มาจากเงื่อนไขขอบเขตหนึ่งข้อ