直杆和微弯杆的正应力
截面力定义
设一根直杆受任意方向的力作用，只假定这些力都位于同一平面内（力平面），该平面通过杆轴线（连接各横截面形心的线）。
图 1
为了计算作用于某一截面 n – n（图 1）中的应力，需要知道通过该截面从杆件一部分传递到另一部分的力。就其大小和位置而言，它显然等于作用于杆件某一部分的所有力的合力。该合力分解到一个坐标系的各分量中，其中 x-轴与杆件轴线重合，z-轴则为截面平面与力平面相交的那条线。沿 z 轴方向的分量称为横向力 Q 或 Qz，对于简支梁而言，如果在截面左侧方向向上、右侧方向向下，则认为其为正。
当杆件弯曲时，坐标轴 x 和 z 在每个截面中都具有不同方向，并且始终使 x-轴为杆轴线的切线。如果杆轴所在平面与力平面不重合，或者杆轴是一条空间曲线，则截面左侧的力的合力还具有第三个分量，即横向力 Qy。通过 N, Qz 和 Qy 可确定传递过截面的力的大小和方向，但不能确定其作用位置。为此还需要知道其关于坐标轴的力矩。在平面弯曲情况下，只需知道弯矩 M 或 My。在最一般情况下，还会出现另一个弯矩 Mz 以及绕 x-轴的力矩 Mx。
前面论述中定义的六个力和力矩统称为“截面力”。它们的确定是建筑结构静力学的基本任务之一。
在连续分布荷载 p（量纲：单位长度上的力）、横向力 Q 和弯矩 M 之间，在平面弯曲情况下存在一个简单关系。也就是说，由杆件某一微元的平衡条件（图 2）可得
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
因此
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
图2
正应力分布
如果杆件仅承受轴向力，则在截面中只出现均匀分布的正应力 σ（受拉，或受压杆件）。如果同时还存在弯矩，这些应力就必须以某种方式呈不均匀分布，使其合力不再通过截面重心。为了确定这种分布，工程弯曲理论并不从基本方程的严格解出发，而是用一个合理假设取代其中一部分方程；在一个特别简单的情况下，这一假设同时也是严格成立的。这个特殊情况就是直棱柱杆件在不受横向力作用时的弯曲（图 3）。杆件中离两端足够远的所有部分承受相同的变形，由此直接推出杆件轴线变成圆弧，并且所有原先垂直于杆轴的横截面平面在变形过程中仍保持平面，因为其中每一个平面都是变形后杆件相邻部分的对称面。自然可以假定，当弯矩和杆件横截面都不是常数，而是沿杆长逐渐变化时，横截面也大致保持平面。这一称为 Navier-假设的假定，是弯曲理论的基础。
图 3
正应力的大小
当梁的直杆构件发生弯曲时，其一部分“纤维”，即与杆轴平行的材料线，会被拉长，而另一部分则缩短（图 4）。在这两部分之间存在中性纤维 z=0，其长度在弯曲过程中不变。设这些纤维在弯曲状态下的曲率半径为 ϱ，并且它位于 x-z 平面内。从图 4 m可读出
Δ dx/z = _dx/_ϱ
并由此计算距中性轴距离为 z 处纤维的伸长，其值为
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
于是根据 Hooke- 定律，应力
σ _= Ez/_ϱ (2)
图4
这种应力与距中性纤维的距离成正比。该结果基于如下假设：变形前杆件所有纤维长度相等，因此杆件最初是直的，或者至少其曲率很小，以至于可以忽略曲率影响。中性层与截面平面的交线称为中性轴。我们将其取为 y 轴（图 5）。中性轴在横截面中的位置可由 x 轴方向力平衡条件得到：如果法向力 N=0（无法向力弯曲），那么由截面内法向应力表示的内力合力也必须等于零：
右侧的积分是相对于 y 轴的面积静矩。要使其等于零，这条轴必须是形心轴之一。
引起变形的力矩 M 相对于截面平面内 y 轴和 z 轴的分量为：（图 5）
方程 (3)
其中 Iy, Iyz 为截面对所标示轴的赤道惯性矩和离心惯性矩。
最重要的是一个特殊情况，即 Mz=0。当 Iyz=0 时就会出现这种情况，也就是说 y 和 z 是截面的主惯性轴。这意味着这里采用的弯曲平面与 x-z-平面重合，而弯矩 M=My 也作用在该平面内，即作用在力平面内。
图 5
若由方程 (2) 和 (3) 中消去 _E/_ϱ，则可得到用于确定纯弯曲时应力的公式（Iy=I）：
σ = M/I * z (4)
对于边缘点 1 和 2，特别有：
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
量值 W1,2 = I/h1,2（量纲：长度的三次方）称为截面抵抗矩。如果水平形心轴同时也是截面对称轴，则 W1 = W2，因此边缘应力在绝对值上相等。
弹性线
图。 6
上述各式的重要性与胡克定律有关。这要求 σ << E，因此按（2） h << ϱ。不过弯曲仍可达到 ϱ 与杆长 l 同数量级的程度。对于建筑工程中可能遇到的弯曲杆，这种情况不会出现；ϱ 总是远大于 l，因此挠度 w << l（图 6）。此时近似成立：
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
并根据（3）：
w’’ = - M/EI.
该方程和平衡条件（1b）构成了弯曲杆的微分方程组。通过消元，可将其化为一个四阶方程：
wIV = + p/EI
或者，在转动惯量可变的情况下：
(EIw’’)’’ = +p.
通过对它们积分，可以在已知荷载 p=p(x) 且对每种杆件已知两个边界条件时，求得弹性线的形状。其中至少两个条件必须涉及变形。详见文章 建筑结构静力学。
截面核心
如果中性轴切穿横截面，它就把截面分成拉伸区和压缩区。对于抗拉强度较低的材料，就会提出这样一个问题：压缩力应作用在什么位置，因为在横截面中任何地方都不允许出现拉伸。此时，力的作用点位置被限制在一个称为 截面核心 的区域内。核心边界显然是这些点的几何轨迹，这些点的中性轴沿其周边与横截面相切。由此也同时给出了其构造方法。
从形心到核边界的距离，无论沿哪个方向测量，都用与该方向相对应的 k 下标表示。对于主惯性轴，根据方程
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
表达式如下：
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
对于半径为 r 的圆形截面，核距为 k = r/4；而对于圆环（半径：外半径 R，内半径 r），则为 k = (R2 + r2) / 4R。
对于矩形（图 7），有 ky = 1/6 b，kz = 1/6 h。因此，当矩形截面沿某一对称平面受荷时（仅在这种情况下），只要合力作用点落在截面高度或宽度的中间三分之一内，截面中的应力便具有相同符号。
图 7
塑性区域中的弯曲
当弯杆边缘纤维达到屈服极限时，其承载能力尚未因此完全耗尽，因为在外层纤维以恒定应力发生塑性变形的同时，位于更靠近中性轴、屈服极限尚未达到的部分中，应力会增加，从而也提高了截面所能承受的弯矩。
如果已知应力和应变图的准确过程，对于双对称截面（高度 h）可通过计算轻松跟踪：在假定截面保持平面的前提下，根据应力和应变图确定由弯曲引起、与某一已取端纤维伸长量 ε__r 相对应的应力分布 σ，并由此积分求得弯矩。若对不同的 ε__r 进行这一计算，并在另一方面计算相应的挠曲线曲率 w’’ = 2 ε__r / h，就会得到一系列点，可通过这些点绘出一条表示弯矩与曲率关系的曲线 M = M(w’’); 该关系不再是线性的，而一旦已知，就可通过图解积分确定与给定弯矩分布相对应的挠曲线。若截面不对称，计算会更复杂，因为对每个 ε__r 还必须确定中性轴的位置。
图 8
如果除截面对称性之外，还按图 8 假定应力与应变之间的简化关系，则计算在一定程度上会简化。此时，超过屈服极限后的弯曲应力分布如图 9 所示，弯矩为：
于是，当将方程 (2) 作用于截面中处于弹性范围内、其应力满足 w’’ = σf / Ez’ 的部分时，就可得到挠曲线的曲率。如果对每一个所取的 z’ 已知截面形状，则可计算这些积分。例如，对于宽度为 b、高度为 h 的最简单矩形截面，有
如果这里用 w’’ 表示 z’，则得到
对于工字形截面及类似截面，塑性区内 M-w’’ 曲线的走势更为平缓，此时发生屈服的弯矩实际上等于该截面所能承受的最大弯矩。因此，塑性弯曲在建筑中的意义不在于提高截面可承受的弯矩，而在于屈服极限处出现的大局部变形能够使静不定体系中的内力分布发生有利变化。
图9
这可以用一个跨越两个跨的连续梁为例来说明。设梁（图 10）具有等长跨、恒定截面，并承受均布荷载。则在达到屈服极限之前，支座上方的弯矩 MB = _pl_2/8。如果荷载 p 增大到使支座截面中的弯矩达到发生屈服的数值 Mf，则在进一步增大荷载时，该处的曲率会增加，而弯矩却不会有明显增大。于是形成所谓的 塑性铰，即梁在附加荷载作用下的行为就像中间支座上存在一个铰一样。荷载还可以继续增大，直到跨中最大弯矩处也开始屈服为止。此后已不可能再增加弯曲弯矩，梁的承载能力便耗尽。引起这种状态的荷载称为极限荷载。
图。 10
一般可以预期，在一个静力超静定 n 次的体系中，在体系变成可动并从而达到其承载极限之前，必须出现（n+1) 个塑性铰。然而，这一规律在两个方向上都存在例外。正如上述实例所示，在承载极限时可能同时出现两个新的塑性铰（在两个跨中），因此原本仍不可动的体系会突然转变为具有两个自由度的体系。另一方面，也可能在少于（n+1) 个塑性铰时，承载力就在局部被耗尽，例如连续梁仅有一个跨失效时。图 11 表明，在一个静力超静定两次的体系中，n=2 个塑性铰时就可能发生这种情况。若在梁右侧再增加第四个跨，则梁成为三次静力超静定，因此只需（n-1) 个塑性铰，就足以使左侧跨达到承载极限。
图11
弯曲时的剪应力
基础计算
图。 12
法向应力 σ，即实际上由于弯曲而产生的应力，并不是弯曲杆中唯一的应力，此外还会由于横向力的作用而出现剪应力。鉴于技术弯曲理论的基本特征在于忽略剪应力引起的变形，这些应力只能由平衡条件求出。为建立该条件，将梁单元 dx 按图 12 所示用一水平面切成两部分，然后对作用于下部的 水平 力建立平衡条件。左侧是由弯曲引起的应力 σ 所表示的内力，应从 z’ = z 积分到 z’ = h2
右侧作用着相同的应力，但按相应弯矩 M + dM 增加了微分量。元件两侧力的差值必须与作用在水平截面 t dx 内的剪应力 τ 所产生的力相平衡：
这里，积分表示由水平截面切出的截面部分相对于截面形心轴的静矩。它用 S 表示。由平衡条件 dM/dx = Q 可得：
τ = QS/It. (8)
根据剪应力的共轭性原理，这也是作用于横截面上的竖向剪应力的大小，并且它与 S 和 t 一起，是 z 的函数。
图13
图 13.1
方程（8）对所有薄壁截面都能提供可靠数据，前提是截面平面不是平行于中性轴布置，而是沿壁厚方向布置。因此，I形截面沿腹板横切并沿翼缘横切，从而得到图13.1所示的应力分布。对于环形截面（图13），剪应力关于竖直直径对称分布，并在中性线上左右两侧达到最大值
τ = Q / πrt.
如果截面在最高点或最低点被切开，剪应力分布不会改变；然而，如果在水平直径的右端被切开（图 14），则该处剪应力为零，而在同一直径的左端其数值则加倍。
图 14
实心截面
对于任意形状的实心截面，剪应力问题与扭转问题密切相关。在这种情况下，基本方程 (8) 已不再可靠。对于半径为 r 的圆形截面，方程 (8) 给出
τ = 4Q / 3__πr2
可将其视为沿中性轴的剪应力平均值，而精确值仅高出几个百分点。
剪切中心
如果按上述方法计算 U 形截面的剪应力，则得到图 15 所示的应力分布。相应内力的合力为横向力 Q。从图中可以看出它相对于截面的位置，即它既不通过截面形心，也不位于腹板平面内。如果根据外力计算得到的横向力的位置与图 15 所示不符，则梁不仅承受弯曲，还承受扭转。
如果针对同一横截面，针对某一水平荷载求得与剪应力相对应的合力，就得到水平横向力的作用线。这两条作用线的交点处，位于该横截面的特征点，称为 剪切中心 M.。当所有横截面的剪切中心都位于同一直线上，且所有垂直于杆轴线的荷载都通过该直线时，梁中不会出现扭转载荷引起的应力。否则，每个荷载相对于连接剪切中心的直线所产生的力矩就表现为扭转载荷。
图15
横向力对弯曲的影响
工程弯曲理论建立在忽略剪应力所致变形的基础上。因此，它实际上只适用于细长杆件；在这类杆件中，这种忽略是合理的，且横向力对弯曲没有明显影响。
然而，经验表明，技术弯曲理论在某种程度上也可以成功地适用于短而高的梁，而这一理论实际上并非为其设计。此时就有必要将剪应力引起的变形影响——在该理论中已被忽略——至少近似地补充考虑进去。
同样地，与横向力引起的剪应力 τ 相应的滑移 γ_’ =_ τ_/G_ 也是不均匀地分布在截面上。因此引入其平均值 γ，其确定方法是：在这种平均变形值下，横向力对梁元件 dx 所做的变形功，应等于将构成所考察梁元件的各个体积单元上的剪应力功积分所得的功：
由此可见
当已知截面上的剪应力分布时，就可以计算该积分。由于所有剪应力都与 Q/F 成正比，因此其值与 Q2/F2 * F 成正比，若设其为 κ__Q2/F，则得到
γ = κ__Q / GF.
常数 κ 称为剪应力分布系数。对于矩形截面，κ=1,2。
图16
当已知系数 κ，从而已知平均滑移 γ 时，可计算由横向力作用产生的附加挠度 wQ，它应加到挠度 w 上：因为根据图 16，
因此，由于 Q = dM/dx：
其中积分常数由一个边界条件确定。