Normale spændinger i lige stænger og stænger med svag krumning
Definition af snitkræfter
Lad en ret stang være belastet af kræfter af vilkårlig retning, hvor det eneste, der antages, er, at de alle ligger i ét plan (kraftplanen), som går gennem stangens akse (linjen, der forbinder tværsnittenes tyngdepunkter).
Fig. 1
For at beregne de spændinger, der virker i et bestemt tværsnit n – n (fig. 1), er det nødvendigt at kende den kraft, som gennem dette tværsnit overføres fra den ene del af stangen til den anden. Den er åbenbart ens i størrelse og placering med resultantens af alle kræfter, der angriber den ene del af stangen. Denne resultant opløses i komponenter i et koordinatsystem, hvis x-akse falder sammen med stangens akse, og hvis z-akse er den linje, langs hvilken tværsnittets plan skærer kraftplanet. Komponenten i retning af z-aksen kaldes tværkraften Q eller Qz, og ved en simpel bjælke anses den for positiv, hvis den til venstre for snittet er rettet opad, og til højre nedad.
Når stangen er krum, har koordinatakse x og z i hvert snit en anden retning, og sådan at x-aksen altid er tangent til stangens akse. Hvis det plan, hvori stangens akse ligger, ikke falder sammen med kraftplanet, eller hvis stangens akse er en rumkurve, har kraftresultanten til venstre for snittet også en tredje komponent, tværkraften Qy. Med N, Qz og Qy er størrelsen og retningen af den kraft, der overføres gennem snittet, bestemt, men ikke dens placering. For dette er det nødvendigt også at kende dens momenter i forhold til koordinatakserne. Ved ren bøjning er det tilstrækkeligt, at bøjningsmomentet M eller My er kendt. I det mest generelle tilfælde optræder endnu et bøjningsmoment Mz og momentet omkring x-aksen, Mx.
De seks kræfter og momenter, som er defineret i den foregående fremstilling, er samlet under betegnelsen „snitkræfter“. Deres bestemmelse er en af de grundlæggende opgaver i statikken for bygningskonstruktioner.
Mellem den kontinuert fordelte belastning p (dimension: kraft pr. længdeenhed), tværkraften Q og bøjningsmomentet M er der i tilfælde af plan bøjning en simpel sammenhæng. Nemlig fås ud fra ligevægtsbetingelserne for et stangelement (fig. 2)
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
derfor
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Fig. 2
Fordeling af normalspændinger
Hvis stangen kun er belastet af en aksial kraft, optræder der i tværsnittet kun en jævnt fordelt normalspænding σ (en trukket henholdsvis trykket stang). Hvis der derudover optræder et bøjningsmoment, må disse spændinger på en eller anden måde være ujævnt fordelt, så deres resultant ikke længere går gennem tværsnittets tyngdepunkt. For at bestemme denne fordeling tager den tekniske bøjningslære ikke udgangspunkt i en streng løsning af grundligningerne, men erstatter en del af disse ligninger med en plausibel antagelse, som i et særligt enkelt tilfælde samtidig er strengt opfyldt. Dette specielle tilfælde er bøjning af en lige prismatisk stang uden påvirkning af tværkræfter (fig. 3). Alle stangens elementer, der er tilstrækkeligt langt fra dens ender, undergår samme deformation, hvoraf det direkte følger, at stangens akse overgår til en cirkelbue, og at alle plan, der oprindeligt var vinkelrette på stangens akse, forbliver plane under deformationen, fordi hver af dem er et symmetriplan for de tilstødende dele af den deformerede stang. Det er naturligt at antage, at tværsnittene forbliver nogenlunde plane, også når bøjningsmomentet og stangens tværsnit ikke er konstante, men gradvist ændrer sig langs stangen. Denne antagelse, der kaldes Naviers-hypotese, ligger til grund for bøjningslæren.
Fig. 3
Størrelsen af normalspændinger
Når et lige bjælkeelement bøjes, strækkes en del af dets „fibre“, dvs. materialelinjer parallelle med stangens akse, mens den anden del forkortes (fig. 4). Mellem disse to dele ligger de neutrale fibre z=0, hvis længde ikke ændres ved bøjningen. Lad krumningsradius for disse fibre i den bøjede tilstand være ϱ, og lad den ligge i x-z-planet. Af fig. 4 m kan man aflæse
Δ dx/z = _dx/_ϱ
og deraf beregnes fiberdeformationen i afstanden z fra den neutrale akse, som er
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
så er spændingen på grundlag af Hookes-lov
σ _= Ez/_ϱ (2)
Fig. 4
Denne spænding er proportional med afstanden fra de neutrale fibre. Et sådant resultat er knyttet til antagelsen om, at alle fibrene i stangelementet før deformationen havde samme længde, så stangen oprindeligt var ret, eller i det mindste med så lille en krumning, at krumningspåvirkningen kan negligeres. Linjen, langs hvilken det neutrale lag og snitplanet skærer hinanden, kaldes den neutrale akse. Vi antager den som y-aksen (fig. 5). Den neutrale akses placering i tværsnittet fås ud fra ligevægtsbetingelsen for kræfter i retning af x-aksen: hvis normalkraften N=0 (bøjning uden normalkraft), så skal også resultant af de indre kræfter udtrykt ved normale spændinger i tværsnittet være lig nul:
Integralet på højre side er det statiske arealmoment i forhold til y-aksen. For at det skal være lig nul, må denne akse være en af tyngdeaksene.
Momentet M, som forårsager deformationen, har i forhold til y- og z-akserne i snittets plan (fig. 5) komponenterne:
Lign. (3)
hvor Iy, Iyz er tvær- og centrifugalmomentet for tværsnittets inertimoment i forhold til de angivne akser.
Det vigtigste er det særlige tilfælde, når Mz=0. Dette tilfælde opstår, når Iyz=0, dvs. når y og z er tværsnittets hovedinertiaakser. Det betyder, at den bøjningsplan, der her er antaget sammenfaldende med x-z-planet, falder sammen med det plan, hvori bøjningsmomentet M=My virker, dvs. med kraftplanet.
Fig. 5
Hvis _E/_ϱ elimineres fra ligningerne (2) og (3), fås udtrykket til bestemmelse af spændingen ved ren bøjning (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
for kantpunkterne 1 og 2 gælder især:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Størrelserne W1,2 = I/h1,2 (dimension: længde i tredje potens) kaldes modstandsmomenter. Hvis den horisontale tyngdeakse samtidig er tværsnittets symmetriakse, så er W1 = W2, og derfor er randspændingerne lige store i absolut værdi.
Den elastiske linje
Fig. 6
Vigtigheden af de ovennævnte former er knyttet til Hookes lov. Dette kræver, at σ << E, altså ifølge (2) h << ϱ. Bøjningen må dog gerne være så stor, at ϱ er af samme størrelsesorden som stangens længde l. For bøjede stænger, som er relevante i byggeriet, forekommer dette tilfælde ikke; ϱ er altid betydeligt større end l, og derfor er nedbøjningen w << l (fig. 6). Da gælder omtrent:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
og på grundlag af (3):
w’’ = - M/EI.
Denne ligning og ligevægtsbetingelsen (1b) danner et system af differentialligninger for den bøjede stang. Ved eliminering kan de reduceres til en enkelt ligning af fjerde orden:
wIV = + p/EI
eller, i tilfælde af at inertimomentet er variabelt:
(EIw’’)’’ = +p.
Ved integration kan man ud fra disse finde formen af den elastiske linje, når belastningen p=p(x) er givet, og når der for hver stang er kendt to randbetingelser. Af disse skal mindst to vedrøre deformationen. For detaljer se artiklen Statik for bygningskonstruktioner.
Tværsnittets kerne
Hvis den neutrale akse skærer tværsnittet, deler den det i en trækzone og en trykzone. For materialer med lav trækstyrke opstår spørgsmålet, hvor trykkraften skal angribe, hvis der i tværsnittet ingen steder må opstå træk. Kraftens angrebspunkt er da begrænset til det område, der kaldes tværsnittets kerne. Kernen grænse er tydeligvis stedets geometriske sted, hvis neutrale akser er tangent til tværsnittet langs omkredsen. Hermed er også dens konstruktion givet.
Afstanden fra kernens grænse til tyngdepunktet, målt i en vilkårlig retning, betegnes med k-indeks, der svarer til den pågældende retning. For hovedtræghedsakserne ifølge ligningen
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
udtryk er følgende:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
For et cirkulært tværsnit med radius r er kernens afstand k = r/4, og for en cirkulær ring (radier: ydre R, indre r) k = (R2 + r2) / 4R.
For et rektangel (fig. 7) er ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Ved belastning af et rektangulært tværsnit i et af symmetriplanerne (men kun da) er det således tilstrækkeligt, at resultantens angrebspunkt ligger i den midterste tredjedel af tværsnittets højde eller bredde, for at spændingerne i tværsnittet får samme fortegn.
Fig. 7
Bøjning i det plastiske område
Når flydegrænsen er nået i de yderste fibre af en bøjet stang, er dens bæreevne dermed endnu ikke opbrugt, for mens de ydre fibre deformeres plastisk ved konstant spænding, stiger spændingen i de dele, der ligger nærmere neutralaksen, hvor flydegrænsen endnu ikke er nået, og dermed øges også det bøjningsmoment, som tværsnittet kan optage.
Hvis det nøjagtige forløb af spændings- og deformationsdiagrammerne er kendt, kan processen for dobbelt symmetriske tværsnit (højde h) let følges beregningsmæssigt ved, under antagelse af at tværsnittene forbliver plane, ud fra spændings- og deformationsdiagrammerne at bestemme spændingsfordelingen σ som følge af bøjning, svarende til en valgt tøjning af de yderste fibre ε__r, og derfra ved integration bestemme bøjningsmomentet. Hvis dette gennemføres for forskellige ε__r, og den tilsvarende krumning af nedbøjningslinjen w’’ = 2 ε__r / h på den anden side beregnes, opnås en række punkter, gennem hvilke der kan trækkes en kurve, som giver sammenhængen mellem bøjningsmoment og krumning M = M(w’’); denne sammenhæng er ikke længere lineær, og når den er kendt, er det muligt ved grafisk integration at bestemme den nedbøjningslinje, som svarer til en given momentfordeling. Hvis tværsnittet er usymmetrisk, bliver beregningen mere kompliceret, idet man for hver ε__r også må bestemme neutralaksens placering.
Fig. 8
Beregningen forenkles i et vist omfang, hvis man ud over tværsnittets symmetri også antager en forenklet sammenhæng mellem spændinger og tøjninger i henhold til fig. 8. Da har spændingerne som følge af bøjning efter overskridelse af flydegrænsen den fordeling, der er vist på fig. 9, og bøjningsmomentet er:
og derfor fås krumningen af nedbøjningslinjen, når ligning (2) anvendes på den del af tværsnittet, hvis spændinger i det elastiske område er w’’ = σf / Ez’. Hvis tværsnittets form er kendt for hver valgt z’, kan integralerne beregnes. F.eks. gælder for det enkleste tilfælde med et rektangulært tværsnit med bredde b og højde h:
Hvis z’ her udtrykkes ved hjælp af w’’, fås
Ved I-profiler og lignende er forløbet af M-w’’-kurven i det plastiske område endnu mere fladt, og det moment, hvor flydning indtræder, er da praktisk talt lig med det største bøjningsmoment, som tværsnittet overhovedet kan modstå. Derfor består betydningen af plastisk bøjning i byggeri ikke i at øge det bøjningsmoment, som tværsnittet kan bære, men i, at den store lokale deformation, der opstår ved flydegrænsen, kan føre til en gunstig ændring af kraftfordelingen i statisk ubestemte systemer.
Fig. 9
Dette kan forklares ved eksemplet med en kontinuerlig bjælke over to fag. Lad bjælken (fig. 10) have fag af samme længde, et konstant tværsnit, og lad den være belastet med en jævnt fordelt belastning. Så er momentet over understøtningen før flydegrænsen nås MB = _pl_2/8. Hvis belastningen p øges så meget, at momentet i understøtningssnittet når værdien Mf, hvor flydning indtræder, vil krumningen på dette sted ved yderligere belastningsøgning også øges uden nogen mærkbar stigning i momentet. Der dannes en såkaldt plastisk hængsel, dvs. bjælken opfører sig under den yderligere belastning, som om der over midterste understøtning findes et hængsel. Belastningen kan derefter øges, indtil flydning også begynder ved stedet for det største moment i feltet. En yderligere forøgelse af bøjningsmomentet er da ikke længere mulig, og bjælkens bæreevne er opbrugt. Den belastning, under hvilken denne tilstand indtræder, kaldes grænsebelastning.
Fig. 10
Generelt kan man forvente, at der i et n gange statisk ubestemt system må opstå (n+1) plastiske led, før systemet bliver bevægeligt og dermed når sin bæreevnegrænse. Denne regel har dog undtagelser i begge retninger. Som det nævnte eksempel viser, kan der ved bæreevnegrænsen samtidig opstå to nye plastiske led (i begge felter), så det hidtil ubevægelige system pludselig overgår til et system med to frihedsgrader. Omvendt er det muligt, at bæreevnen også med færre end (n+1) plastiske led lokalt opbruges, f.eks. når kun ét felt svigter i en kontinuert bjælke. Fig. 11 viser, hvordan dette kan ske i et statisk to gange ubestemt system med n=2 plastiske led. Hvis der på bjælkens højre side også tilføjes et fjerde felt, bliver bjælken tre gange statisk ubestemt, så der er tilstrækkeligt med (n-1) plastiske led til kun at bringe det venstre felt til bæreevnegrænsen.
Fig. 11
Skærspændinger ved bøjning
Elementær beregning
Fig. 12
Normalspændingerne σ, dvs. de spændinger, som faktisk opstår ved bøjning, er ikke de eneste spændinger i den bøjede stang, men derudover optræder også forskydningsspændinger som følge af den tværgående kraft. Da grundkarakteristikken for den tekniske bøjningsteori er, at deformationer som følge af forskydningsspændinger negligeres, kan disse kun bestemmes ud fra ligevægtsbetingelsen. For at opstille denne skæres bjelkeelementet dx som vist på fig. 12 af et vandret plan i to dele, og der opstilles en ligevægtsbetingelse for de horisontale kræfter, der virker på den nederste del. På venstre side er det de indre kræfter udtrykt ved spændingerne σ som følge af bøjning, som skal integreres fra z’ = z til z’ = h2
På højre side virker de samme spændinger, men forøget med differentialet i overensstemmelse med det tilsvarende bøjningsmoment M + dM. Forskellen mellem kræfterne på begge sider af elementet må være i ligevægt med kraften som følge af de forskydningsspændinger τ, der virker i det horisontale tværsnitsareal t dx:
Her repræsenterer integralet det statiske moment af den del af tværsnittet, der er afskilt af et horisontalt tværsnitsplan, i forhold til tværsnittets tyngdeakse. Det betegnes med S. Af dM/dx = Q fås ud fra ligevægtsbetingelsen:
τ = QS/It. (8)
Det er ifølge sætningen om forskydningsspændingers konjugering samtidig værdien af den vertikale forskydningsspænding, der virker i tværsnittets flade, og som sammen med S og t er en funktion af z.
Fig. 13
Fig. 13.1
Ligningen (8) giver pålidelige oplysninger for alle tyndvæggede tværsnit, hvis snitplanet ikke lægges parallelt med neutralaksen, men i vægtykkelsens retning. Derfor skæres I-profilen tværs gennem livet og tværs gennem flangen, hvorved den spændingsfordeling opnås, som er vist på fig. 13.1. Ved et ringformet tværsnit (fig. 13) er forskydningsspændingerne fordelt symmetrisk i forhold til den lodrette diameter og når maksimum til venstre og højre på neutralaksen
τ = Q / πrt.
Hvis tværsnittet er skåret ved det højeste eller laveste punkt, ændres fordelingen af forskydningsspændinger ikke; hvis det derimod er skåret ved højre ende af den horisontale diameter (fig. 14), er forskydningsspændingen på dette sted lig nul, mens dens værdi fordobles ved venstre ende af samme diameter.
Fig. 14
Fuldtværsnit
Ved massive tværsnit af vilkårlig form er problemet med forskydningsspændinger tæt knyttet til torsionsproblematikken. Den elementære ligning (8) er i dette tilfælde ikke længere pålidelig. For et cirkulært tværsnit med radius r giver ligning (8)
τ = 4Q / 3__πr2
som middelværdien af forskydningsspændingen langs neutralaksen, og den nøjagtige værdi er kun nogle få procent større.
Skæringscentrum
Hvis forskydningsspændingerne for U-tværsnittet beregnes på den ovenfor beskrevne måde, opnås den spændingsfordeling, der er vist på fig. 15. Resultanten af de tilsvarende indre kræfter er tværkraften Q. Af figuren kan dens placering i forhold til tværsnittet ses, altså at den hverken går gennem tværsnittets tyngdepunkt eller ligger i ribbensplanet. Hvis den tværkraft, der beregnes på grundlag af de ydre kræfter, ikke har den på fig. 15 viste placering, er bjælken ikke kun belastet i bøjning, men også i torsion.
Når man for det samme tværsnit bestemmer den resultant, der svarer til forskydningsspændingerne for en given horisontal belastning, fås virkningslinjen for den horisontale tværkraft. I skæringspunktet mellem disse to virkningslinjer findes et karakteristisk punkt for det givne tværsnit, som kaldes forskydningscentrum M. I bjælken optræder der ingen spændinger som følge af torsion, når forskydningscentrene for alle tværsnit ligger på en ret linje, og alle laster vinkelret på stangens akse passerer gennem denne linje. Ellers er momentet af hver last i forhold til den linje, der forbinder forskydningscentrene, et mål for torsionsforskydningen.
Fig. 15
Transversal krafts indflydelse på bøjning
Den tekniske bøjteori bygger på, at deformationer som følge af forskydningsspændinger negligeres. Derfor kan den i praksis kun anvendes på slanke stave, hvor denne forenkling er berettiget, og hvor tværkraften ikke har nogen mærkbar indvirkning på bøjningen.
Erfaring har imidlertid vist, at den tekniske bøjningslære med en vis succes også kan anvendes på korte, høje bærere, som den i virkeligheden slet ikke er beregnet til. Her viser der sig et behov for at tage hensyn til virkningen af deformation som følge af skærspændinger, der i denne teori er forsømt, i det mindste tilnærmelsesvis og efterfølgende.
Ligesom skærspændingerne τ som følge af tværkræfter og de tilhørende glidninger γ_’ =_ τ_/G_ er de fordelt uensartet over tværsnittet. Derfor indføres deres middelværdi γ, som bestemmes således, at tværkraften ved denne middelværdi af deformationen udfører et deformtionsarbejde på bjælkeelementet dx, der er lig med det arbejde, der ville fremkomme ved integration af skærspændingernes arbejder på de enkelte volumen-elementer, som udgør det betragtede bjælkeelement:
hvorfra det er
Integralet kan beregnes, når fordelingen af de forskydningsspændinger, der virker i tværsnittet, er kendt. Da alle forskydningsspændinger er proportionale med Q/F, er dens værdi proportional med Q2/F2 * F, og når man sætter, at den er κ__Q2/F, fås
γ = κ__Q / GF.
Konstanten κ kaldes fordelingskoefficienten for forskydningsspændinger. For rektangulære tværsnit er κ=1,2.
Fig. 16
Når koefficienten κ er kendt, og dermed også den gennemsnitlige glidning γ, kan den supplerende nedbøjning wQ, som opstår ved virkningen af tværkræfter, beregnes og lægges til nedbøjningerne w: for ifølge fig. 16 er
og derfor på grund af Q = dM/dx:
hvor integrationskonstanten fås ud fra en randbetingelse.