سادہ موڑ اور معمولی قوت کے ساتھ موڑ

سیدھی سلاخوں اور ہلکے خم والی سلاخوں میں معمولی تناؤ

قطع قوتوں کی تعریف

فرض کریں کہ ایک سیدھا سلاخ من مانی سمت کی قوتوں سے لادا گیا ہے، جن کے بارے میں صرف یہ فرض کیا جاتا ہے کہ وہ سب ایک ہی سطح (قوتوں کا سطح) میں واقع ہیں جو سلاخ کے محور سے گزرتی ہے (وہ لکیر جو عرضی مقاطع کے مرکزِ ثقل کو ملاتی ہے)۔

نمبر1

کسی عرضی مقطع n – n (شکل 1) میں عمل کرنے والے تناؤوں کا حساب لگانے کے لیے یہ جاننا ضروری ہے کہ اس مقطع کے ذریعے سلاخ کے ایک حصے سے دوسرے حصے تک کون سی قوت منتقل ہو رہی ہے۔ ظاہر ہے کہ مقدار اور مقام کے لحاظ سے یہ اس حصے پر اثر انداز ہونے والی تمام قوتوں کے حاصلِ جمع کے برابر ہوتی ہے۔ اس حاصلِ جمع کو ایسے مختصاتی نظام میں اجزا میں تقسیم کیا جاتا ہے جس کی x-محور سلاخ کی محور کے ساتھ اور z-محور وہ خط ہو جس کے ساتھ عرضی مقطع کا مستوی قوتوں کے مستوی کو کاٹتا ہے۔ z محور کی سمت والا جزو عرضی قوت Q یا Qz کہلاتا ہے اور سادہ بیم کے لیے اسے مثبت سمجھا جاتا ہے اگر مقطع کے بائیں طرف اوپر کی سمت اور دائیں طرف نیچے کی سمت ہو۔

جب سلاخ مڑی ہوئی ہو تو معیاری محور x اور z ہر مقطع میں مختلف رخ اختیار کرتے ہیں اور ہمیشہ اس طرح کہ x-محور سلاخ کے محور پر مماس ہو۔ اگر وہ سطح جس میں سلاخ کا محور واقع ہے قوتوں کی سطح سے مطابقت نہ رکھتی ہو، یا اگر سلاخ کا محور فضائی منحنی ہو، تو مقطع کے بائیں جانب قوتوں کے نتیجے میں ایک تیسرا جز بھی ہوتا ہے، عرضی قوت Qy۔ N, Qz اور Qy سے اس قوت کی مقدار اور سمت متعین ہو جاتی ہے جو مقطع سے منتقل ہوتی ہے، لیکن اس کی جگہ نہیں۔ اس کے لیے اس کے لحظات کو بھی معیاری محوروں کے نسبت معلوم ہونا ضروری ہے۔ مستقیم خم میں صرف خم لحظہ M یا My کا معلوم ہونا کافی ہے۔ عام ترین صورت میں ایک اور خم لحظہ Mz اور x-محور کے گرد لحظہ Mx بھی ظاہر ہوتا ہے۔

پچھلی گفتگو میں متعین کی گئی چھ قوتیں اور مومنٹس مشترکہ نام „عرضی قوتیں“ کے تحت آتے ہیں۔ ان کا تعین عماراتی ڈھانچوں کی استاتیک کے بنیادی کاموں میں سے ایک ہے۔

مسلسل تقسیم شدہ بوجھ p (ابعاد: فی اکائی لمبائی قوت)، عرضی قوت Q اور خم کے لمحے M کے درمیان ہموار خم کی صورت میں ایک سادہ تعلق موجود ہوتا ہے۔ یعنی، ایک بار کے عنصر (شکل 2) کے توازن کی شرطوں سے یہ حاصل ہوتا ہے

dQ + p dx = 0,

dM = Q dx;

لہذا

Q = dM/dx, 

p = - dQ/dx = - d2M/dx2.        (1a, b)

نمبر2

نارمل تناؤ کی تقسیم

اگر چھڑ پر صرف محوری قوت لگ رہی ہو تو مقطع میں صرف یکساں طور پر تقسیم شدہ نارمل تناؤ σ ظاہر ہوتا ہے (کھنچا ہوا، یا دبایا ہوا چھڑ)۔ اگر اس کے ساتھ خم کرنے والا مومینٹ بھی موجود ہو تو یہ تناؤ کسی نہ کسی طرح غیر یکساں طور پر تقسیم ہونے چاہییں، تاکہ ان کا حاصلِ جمع اب مقطع کے مرکزِ ثقل سے نہ گزرے۔ اس تقسیم کو متعین کرنے کے لیے تکنیکی نظریۂ خم میں بنیادی مساوات کے دقیق حل سے آغاز نہیں کیا جاتا، بلکہ ان مساوات کے ایک حصے کی جگہ ایک معقول مفروضہ اختیار کیا جاتا ہے جو ایک خاص نہایت سادہ حالت میں بیک وقت دقیق طور پر بھی درست ثابت ہوتا ہے۔ یہ خاص حالت ان ترسیلی قوتوں کے بغیر سیدھے، یکساں منشوری چھڑ کا خم ہے (شکل 3)۔ چھڑ کے وہ تمام عناصر جو اس کے سروں سے کافی دور ہوں ایک ہی شکلِ تغیر اختیار کرتے ہیں، جس سے براہِ راست نتیجہ نکلتا ہے کہ چھڑ کا محور دائرہ نما قوس بن جاتا ہے اور وہ تمام سطحیں جو ابتدا میں چھڑ کے محور پر عمودی تھیں، تغیر کے بعد بھی ہموار رہتی ہیں، کیونکہ ان میں سے ہر ایک بگڑے ہوئے چھڑ کے متصل حصوں کے لیے تقارن کا مستوی ہے۔ فطری طور پر یہ مفروضہ سامنے آتا ہے کہ جب خم کرنے والا مومینٹ اور چھڑ کا مقطع مستقل نہ ہوں بلکہ چھڑ کے طول کے ساتھ تدریجاً بدل رہے ہوں، تب بھی مقاطع تقریباً ہموار رہتے ہیں۔ اس مفروضے کو Navier-کی مفروضہ کہا جاتا ہے اور یہی نظریۂ خم کی بنیاد ہے۔

نمبر3

عمودی تناؤ کی مقدار

جب شہتیر کے سیدھے عنصر کو موڑا جاتا ہے تو اس کے “ریشوں” یعنی چھڑ کی محور کے متوازی مادّی لکیروں کا ایک حصہ کھنچ جاتا ہے، جبکہ دوسرا حصہ سکڑ جاتا ہے (شکل 4). ان دونوں حصوں کے درمیان غیر جانبدار ریشے z=0 واقع ہوتے ہیں، جن کی لمبائی موڑنے کے دوران نہیں بدلتی۔ ان ریشوں کے خمیدہ حالت میں خم کا رداس ϱ ہو اور وہ x-z سطح میں واقع ہو۔ شکل 4 može se pročitati

Δ dx/z = _dx/_ϱ

اور وہاں سے ان ریشوں کی طوالت میں تبدیلی حساب کی جاتی ہے جو غیر جانبدار محور سے z کے فاصلے پر ہوں، جو ہے

ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ

اور Hooke-کے قانون کی بنیاد پر تناؤ

σ _= Ez/_ϱ   (2)

نمبر4

یہ تناؤ غیر جانبدار ریشوں سے فاصلے کے متناسب ہوتا ہے۔ ایسا نتیجہ اس مفروضے سے وابستہ ہے کہ بگاڑ سے پہلے لاٹھے کے عنصر کے تمام ریشے برابر لمبائی کے تھے، اس لیے لاٹھی ابتدا میں سیدھی تھی، یا کم از کم اتنی کم خمیدہ تھی کہ خم کے اثر کو نظر انداز کیا جا سکے۔ وہ سیدھی لکیر جس کے ساتھ غیر جانبدار تہہ اور قطعہ کے سطحی رقبے کاٹتے ہیں، غیر جانبدار محور کہلاتی ہے۔ ہم اسے y-محور کے طور پر اختیار کرتے ہیں (شکل 5). عرضی قطعے میں غیر جانبدار محور کی حالت x-محور کی سمت میں قوتوں کے توازن کی شرط سے حاصل ہوتی ہے: اگر معمولی قوت N=0 ہو (بلا معمولی قوت کے خم میں)، تو قطعے میں معمولی تناؤ کے ذریعے ظاہر کردہ اندرونی قوتوں کا نتیجہ بھی صفر کے برابر ہونا چاہیے:

دائیں جانب موجود تکامل سطح کا y-محور کے لحاظ سے ساکن لمحہ ہے۔ تاکہ یہ صفر کے برابر ہو، یہ محور مرکزِ ثقل کے محاور میں سے ایک ہونا چاہیے۔

وہ لمحہ M جو بگاڑ پیدا کرتا ہے، مقطع کی سطح میں y اور z محوروں کے لحاظ سے درج ذیل اجزا رکھتا ہے (شکل 5):

مساوات۔ (3)

جس میں Iy, Iyz متعلقہ محوروں کے نسبت مقطع کے ایکویٹوریل اور سینٹری فیوگل ممانِ جمود ہیں۔

سب سے اہم ایک خاص حالت ہے جب Mz=0۔ یہ حالت اس وقت پیدا ہوتی ہے جب Iyz=0، یعنی جب y اور z حصے کے جمودی اصلی محوری خطوط ہوں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ یہاں اختیار کیا گیا خم کا مسطح، x-z-مسطح کے ساتھ، اس مسطح سے مطابقت رکھتا ہے جس میں خم کا لمحہ M=My عمل کرتا ہے، یعنی قوتوں کے مسطح سے۔

نمبر5

اگر مساوات (2) اور (3) سے _E/_ϱ حذف کر دیا جائے، تو یکساں خم (Iy=I) میں تناؤ معلوم کرنے کا فارمولا حاصل ہوتا ہے:

σ = M/I * z   (4)

کناری نقاط 1 اور 2 کے لیے خاص طور پر:

σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2.   (5)

مقداریں W1,2 = I/h1,2 (بعد: لمبائی کی تیسری طاقت) کو مزاحم مومنٹس کہا جاتا ہے۔ اگر افقی مرکزِ ثقل محور ہی قطعے کی محورِ تقارن بھی ہو، تو W1 = W2، لہٰذا کنارے کے تناؤ مطلق قدر کے لحاظ سے برابر ہوتے ہیں۔

لچکدار خط

نمبر6

ان مذکورہ بالا نمونوں کی اہمیت ہُک کے قانون سے متعلق ہے۔ اس کے لیے ضروری ہے کہ σ << E ہو، یعنی (2) کے مطابق h << ϱ۔ تاہم خم اتنا ضرور ہو سکتا ہے کہ ϱ، سلاخ کی لمبائی l کے ہم مرتبہ ہو۔ تعمیرات میں آنے والی مڑی ہوئی سلاخوں کے لیے یہ صورت پیش نہیں آتی؛ ہمیشہ ϱ، l سے کہیں زیادہ ہوتا ہے اور اس لیے جھکاؤ w << l ہوتا ہے (شکل 6). تب تقریباً یہ درست ہے:

1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’

اور (3):

w’’ = - M/EI.

یہ مساوات اور توازن کی شرط (1b) خمیدہ راڈ کے تفاضلی مساوات کے نظام کو تشکیل دیتے ہیں۔ انہیں حذف کے ذریعے ایک چوتھے درجے کی ایک مساوات تک محدود کیا جا سکتا ہے:

wIV = + p/EI

یا، اگر جمودی لمحہ متغیر ہو:

(EIw’’)’’ = +p.

ان سے تکامل کے ذریعے جب بوجھ p=p(x) دیا گیا ہو اور ہر صورتِ سلاخ کے لیے دو حدی شرائط معلوم ہوں تو لچکدار خط کی شکل معلوم کی جا سکتی ہے۔ ان میں سے کم از کم دو کو بگاڑ سے متعلق ہونا چاہیے۔ تفصیل کے لیے تعمیراتی ڈھانچوں کی سٹیٹکس مضمون دیکھیے۔

مقطع کا مرکزِ جمود

اگر نیوٹرل محور کسی کراس سیکشن کو کاٹتا ہے تو وہ اسے کھینچاؤ کے زون اور دباؤ کے زون میں تقسیم کر دیتا ہے۔ ایسے مواد میں جن کی tensile strength کم ہو، یہ سوال پیدا ہوتا ہے کہ دبانے والی قوت کہاں لگنی چاہیے، اگر کراس سیکشن میں کہیں بھی کھینچاؤ نہیں ہونا چاہیے۔ اس صورت میں قوت کے حملہ نقطے کی جگہ اس علاقے تک محدود ہو جاتی ہے جسے جَیْزَرۂ مقطع کہا جاتا ہے۔ جیزرہ کی حد بظاہر ان نقاط کا مقامی محل ہے جن کے نیوٹرل محور کراس سیکشن کو اس کے محیط پر مماس کرتے ہیں۔ اس سے اس کی تعمیر بھی واضح ہو جاتی ہے۔

مرکزِ ثقل سے ناپی گئی کوَرِ بنیادی کی سرحد کا فاصلہ، کسی بھی سمت میں، اس سمت کے مطابق k انڈیکس سے ظاہر کریں گے۔ جمود کے مرکزی محوروں کے لیے مساوات کے مطابق

σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z  (6)

اصطلاحات درج ذیل ہیں:

ky = i2z / ey,      kz = i2y / ez.   (7)

دائرہ نما عرضی قطعہ، رداس r کے لیے، مرکز کا فاصلہ k = r/4 ہے، اور دائرہ نما حلقے کے لیے (رداس: بیرونی R، اندرونی r) k = (R2 + r2) / 4R ہے۔

مستطیل کے لیے (شکل 7) ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. لہٰذا، مستطیلی مقطع پر بوجھ ایک تقابلی توازن کی سطحوں میں سے کسی ایک میں آنے کی صورت میں (اور صرف اسی صورت میں) یہ کافی ہے کہ نتیجہ خیز قوت مقطع کی اونچائی یا چوڑائی کے وسطی تہائی حصے پر عمل کرے، تاکہ مقطع میں تناؤ ایک ہی علامت کے ہوں۔

نمبر7

پلاسٹک علاقے میں خم کاری

جب خمیدہ شہتیر کے کناروی ریشوں میں پیداوار کی حد حاصل ہو جاتی ہے، تب بھی اس کی بوجھ برداشت کرنے کی صلاحیت ختم نہیں ہوتی، کیونکہ جب بیرونی ریشے مستقل تناؤ پر پلاسٹک طور پر بگڑتے ہیں تو ان حصوں میں، جو غیر جانب دار محور کے زیادہ قریب ہوتے ہیں اور جہاں پیداوار کی حد ابھی نہیں پہنچی، تناؤ بڑھتا جاتا ہے، اور یوں وہ خماؤ مومنٹ بھی بڑھ جاتا ہے جسے مقطع برداشت کر سکتا ہے۔

اگر تناؤ اور بگاڑ کے خاکے کا درست بہاؤ معلوم ہو تو دوہری متناسب تراشوں (اونچائی h) کے لیے اس عمل کو حسابی طور پر اس طرح آسانی سے دنبال کیا جا سکتا ہے کہ، اس فرض پر کہ تراشے ہموار رہتے ہیں، تناؤ اور بگاڑ کے خاکے سے خم کے باعث تناؤ کی تقسیم σ طے کی جاتی ہے جو سروں کے ریشوں کی کسی اختیار کردہ کھچاؤ ε__r کے مطابق ہو، اور پھر وہاں سے تکامل کے ذریعے خم کرنے والا مومنٹ طے کیا جاتا ہے۔ اگر یہ مختلف ε__r کے لیے کیا جائے اور دوسری طرف جھکاؤ کی لکیر کا متعلقہ خم w’’ = 2 ε__r / h حساب کیا جائے تو نقاط کی ایک سلسلہ حاصل ہوتی ہے جن کے ذریعے ایک لکیر کھینچی جا سکتی ہے جو خم کرنے والے مومنٹ اور خم کے درمیان تعلق دیتی ہے M = M(w’’); یہ تعلق اب خطی نہیں رہتا، اور جب یہ معلوم ہو تو گرافی تکامل کے ذریعے جھکاؤ کی وہ لکیر متعین کی جا سکتی ہے جو مومنٹوں کی دی گئی تقسیم کے مطابق ہو۔ اگر تراشہ غیر متقارن ہو تو حساب زیادہ پیچیدہ ہو جاتا ہے، اس حد تک کہ ہر ε__r کے لیے غیر جانبدار محور کی جگہ بھی متعین کرنا پڑتی ہے۔

نمبر 8

اگر سیکشن کی ہم آہنگی کے ساتھ ساتھ شکل 8 کے مطابق تناؤ اور اسٹرین کے درمیان سادہ ربط بھی فرض کیا جائے تو حساب کچھ حد تک آسان ہو جاتا ہے۔ تب پیداوار کی حد سے تجاوز کے بعد جھکاؤ کے باعث تناؤ کی ترتیب شکل 9 میں دکھائی گئی ترتیب کے مطابق ہوتی ہے اور جھکنے کا مومنٹ یہ ہے:

اس طرح جھکاؤ کی لکیر کا انحنا اس وقت حاصل ہوتا ہے جب مساوات (2) کو مقطع کے اس حصے پر لاگو کیا جائے جس میں تناؤ لچکدار علاقے میں ہوں w’’ = σf / Ez’. اگر ہر اختیار کردہ z’ کے لیے مقطع کی شکل معلوم ہو تو انٹیگرل نکالے جا سکتے ہیں۔ مثلاً، چوڑائی b اور اونچائی h والے مستطیل عمودی مقطع کی نہایت سادہ صورت میں یہ ہے

اگر یہاں z’ کو w’’ کی مدد سے ظاہر کیا جائے تو حاصل ہوتا ہے

I-مقطع اور ان جیسے دیگر میں، پلاسٹک علاقے میں M-w’’ منحنی کی رفتار اور بھی زیادہ ہموار ہوتی ہے، اور وہ لمحہ جس پر yielding شروع ہوتا ہے، عملی طور پر اس زیادہ سے زیادہ bending moment کے برابر ہوتا ہے جسے یہ مقطع کسی بھی صورت برداشت کر سکتا ہے۔ اسی لیے تعمیرات میں پلاسٹک bending کی اہمیت اس میں نہیں کہ مقطع کی برداشت کرنے والی bending moment میں اضافہ ہو، بلکہ اس میں ہے کہ yield حد پر پیدا ہونے والی بڑی مقامی deformation غیر معین اسٹرکچرز میں قوتوں کی تقسیم میں موافق تبدیلی لا سکتی ہے۔

نمبر9

اس کی وضاحت دو اسپین والے مسلسل بیم کی مثال سے کی جا سکتی ہے۔ فرض کریں کہ بیم (شکل 10) کے اسپین برابر لمبائی کے ہیں، اس کا مقطع مستقل ہے اور اس پر یکساں تقسیم شدہ بوجھ لگایا گیا ہے۔ تب تسلیم کی حد تک پہنچنے سے پہلے سہارا کے اوپر مومنٹ MB = _pl_2/8 ہوتا ہے۔ اگر بوجھ p اتنا بڑھا دیا جائے کہ سہارا کے مقطع میں مومنٹ Mf کی وہ قیمت پہنچ جائے جس پر تسلیم شروع ہوتی ہے، تو بوجھ میں مزید اضافے کے ساتھ اس مقام پر مومنٹ میں نمایاں اضافہ ہوئے بغیر خمیدگی بھی بڑھتی ہے۔ یوں نام نہاد پلاسٹک جوائنٹ بنتا ہے، یعنی اضافی بوجھ کے تحت بیم اس طرح برتاؤ کرتی ہے گویا درمیانی سہارا پر قبضہ موجود ہو۔ بوجھ کو مزید بڑھایا جا سکتا ہے یہاں تک کہ اسپین میں زیادہ سے زیادہ مومنٹ کے مقام پر بھی تسلیم شروع نہ ہو جائے۔ اس کے بعد خمشی مومنٹ میں اضافہ اب ممکن نہیں رہتا اور بیم کی برداشت ختم ہو جاتی ہے۔ جس بوجھ پر یہ حالت پیدا ہو اسے حدی بوجھ کہا جاتا ہے۔

تصویر۔ 10

عمومی طور پر یہ توقع کی جا سکتی ہے کہ ایک n گنا ساکن طور پر نامتعین نظام میں (n+1) پلاسٹک جوڑ پیدا ہوں گے، اس سے پہلے کہ نظام متحرک ہو جائے اور یوں اپنی آخری بوجھ برداشت کرنے کی حد تک پہنچے۔ تاہم اس قاعدے کی دونوں سمتوں میں استثنائیں موجود ہیں۔ جیسا کہ مذکورہ مثال دکھاتی ہے، بوجھ برداشت کرنے کی حد پر بیک وقت دو نئے پلاسٹک جوڑ (دونوں میدانوں میں) پیدا ہو سکتے ہیں، اس طرح اب تک غیرمتحرک نظام اچانک دو درجاتِ آزادی والے نظام میں بدل جاتا ہے۔ دوسری طرف یہ بھی ممکن ہے کہ (n+1) سے کم پلاسٹک جوڑوں کے ساتھ بھی بوجھ برداشت کرنے کی صلاحیت مقامی طور پر ختم ہو جائے، مثلاً جب مسلسل شہتیر میں صرف ایک ہی میدان ناکام ہو جائے۔ شکل 11 دکھاتی ہے کہ یہ ایک ساکن طور پر دوہرا نامتعین نظام جس میں n=2 پلاسٹک جوڑ ہوں، میں کیسے ہو سکتا ہے۔ اگر شہتیر کے دائیں طرف ایک چوتھا میدان بھی شامل کر دیا جائے، تو شہتیر ساکن طور پر سہ گنا نامتعین ہو جاتا ہے، اس لیے صرف (n-1) پلاسٹک جوڑ کافی ہیں کہ صرف بائیں میدان کو بوجھ برداشت کرنے کی حد تک پہنچا دیا جائے۔

نمبر11

خم میں قینچی تناؤ

ابتدائی حساب

تصویر۔ 12

نارمل تناؤ σ، یعنی وہ تناؤ جو دراصل موڑنے کے باعث پیدا ہوتے ہیں، صرف یہی تناؤ نہیں ہوتے جو خمیدہ راڈ میں موجود ہوں، بلکہ ان کے ساتھ عرضی قوت کے اثر سے قینچی تناؤ بھی پیدا ہوتے ہیں۔ چونکہ موڑنے کے فنی نظریے کی بنیادی خصوصیت یہی ہے کہ قینچی تناؤ سے پیدا ہونے والی بگاڑ کو نظرانداز کیا جاتا ہے، اس لیے ان کا تعین صرف توازن کی شرط سے کیا جا سکتا ہے۔ اسے قائم کرنے کے لیے شہتیر کے عنصر dx کو، جیسا کہ شکل 12 میں دکھایا گیا ہے، افقی سطح سے دو حصوں میں کاٹا جاتا ہے، اور پھر نچلے حصے پر اثر انداز ہونے والی افقی قوتوں کے توازن کی شرط لگائی جاتی ہے۔ بائیں جانب وہ داخلی قوتیں ہیں جو موڑنے سے پیدا ہونے والے تناؤ σ کے ذریعے ظاہر ہوتی ہیں، جسے z’ = z سے z’ = h2 تک ضم کرنا چاہیے

دائیں جانب بھی وہی تناؤ عمل کرتے ہیں، لیکن متعلقہ خمیدہ لمحے M + dM کے مطابق اضافی درجے تک بڑھا ہوا۔ عنصر کے دونوں جانب قوتوں کا فرق اُن قینچی تناؤ τ کی وجہ سے پیدا ہونے والی قوت کے ساتھ توازن میں ہونا چاہیے جو افقی مقطعی سطح t dx میں عمل کرتے ہیں:

یہاں integral کراس سیکشن کے اس حصے کا ساکن لمحہ (static moment) ہے جو افقی عرضی سطح کے ذریعے الگ کیا گیا ہے، اور اسے سیکشن کے مرکزِ ثقل کی محور کے لحاظ سے لیا جاتا ہے۔ اسے S سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ dM/dx = Q کے توازن کی شرط سے حاصل ہوتا ہے:

τ = QS/It.  (8)

یہ قینچی تناؤ کی باہمی وابستگی کے اصول کے مطابق وہی عمودی قینچی تناؤ کی مقدار ہے جو عرضی قطعہ کی سطح پر عمل کرتی ہے اور جو، S اور t کے ساتھ مل کر، z کا تابع ہے۔

نمبر13

شکل 13.1

مساوات (8) تمام باریک دیوار والے مقاطع کے لیے قابلِ اعتماد معلومات فراہم کرتی ہے، بشرطیکہ مقطعی سطح کو غیر جانب دار محور کے متوازی نہ رکھا جائے بلکہ دیوار کی موٹائی کی سمت میں رکھا جائے۔ لہٰذا I-پروفائل کو جال سے عرضی طور پر اور فلینج سے عرضی طور پر کاٹا جاتا ہے، جس سے شکل 13.1 میں دکھایا گیا تناؤ کی تقسیم حاصل ہوتی ہے۔ حلقہ نما مقطع (شکل 13) میں قینچی تناؤ عمودی قطر کے لحاظ سے متقارن طور پر تقسیم ہوتے ہیں اور بائیں اور دائیں جانب غیر جانب دار لکیر پر زیادہ سے زیادہ ہوتے ہیں

τ = Q / πrt.

اگر مقطع کو سب سے اوپر یا سب سے نیچے والی جگہ سے کاٹا جائے تو قصّی تناؤات کی تقسیم نہیں بدلتی؛ تاہم اگر اسے افقی قطر کے دائیں سرے پر کاٹا جائے (شکل 14), تو اس مقام پر قصّی تناؤ صفر کے برابر ہوتا ہے، جبکہ اسی قطر کے بائیں سرے پر اس کی قیمت دوگنی ہو جاتی ہے۔

شکل 14

مکمل مقاطع

مکمل صَلیبوں کی کسی بھی شکل کے لیے کٹاؤی تناؤ کا مسئلہ ٹورشن کے مسئلے سے گہرا تعلق رکھتا ہے۔ ابتدائی مساوات (8) اس صورت میں اب قابلِ اعتماد نہیں رہتی۔ نصف قطر r کے دائرہ نما صَلیب کے لیے مساوات (8) دیتی ہے

τ = 4Q / 3__πr2

جیسے غیر مرکزی محور کے ساتھ قینچی تناؤ کی اوسط قدر، اور درست قدر صرف چند فیصد زیادہ ہوتی ہے۔

قَصّی مرکز

اگر U-قطع کے لیے اوپر بیان کردہ طریقے کے مطابق کتراؤی تناؤوں کا حساب کیا جائے، تو شکل 15 میں دکھائی گئی تناؤ کی تقسیم حاصل ہوتی ہے۔ متعلقہ داخلی قوتوں کا نتیجہ عرضی قوت Q ہے۔ شکل سے اس کی قطع کے نسبت پوزیشن دیکھی جا سکتی ہے، یعنی یہ نہ تو قطع کے مرکزِ ثقل سے گزرتی ہے اور نہ ہی پسلی کے مستوی میں واقع ہوتی ہے۔ اگر خارجی قوتوں کی بنیاد پر حساب کی گئی عرضی قوت کی پوزیشن شکل 15 میں دکھائی گئی پوزیشن نہ ہو، تو شہتیر پر صرف خم نہیں بلکہ torsion بھی عمل کرتی ہے۔

اگر اسی عرضی قطعہ کے لیے، کسی افقی بوجھ کے لیے قینچی تناؤ کے مطابق حاصل ہونے والا resultant متعین کیا جائے، تو افقی ترسیلی قوت کی اثر لائن حاصل ہوتی ہے۔ ان دونوں اثر لائنوں کے تقاطع میں دیے گئے عرضی قطعے کے لیے ایک خصوصیتی نقطہ واقع ہوتا ہے، جسے قینچی مرکز M. کہا جاتا ہے۔ جب تمام عرضی قطعوں کے قینچی مراکز ایک ہی سیدھی لکیر پر ہوں اور سلاخ کے محور پر عمودی تمام بوجھ اسی لکیر سے گزریں تو بیم میں torsion کے باعث تناؤ پیدا نہیں ہوتے۔ بصورتِ دیگر، ہر بوجھ کا اس لکیر کے مقابل مومنٹ جو قینچی مراکز کو ملاتی ہے، torsional shear کو ظاہر کرتا ہے۔

نمبر15

عرضی قوت کا خم پر اثر

موڑنے کے تکنیکی نظریے کی بنیاد یہ ہے کہ قینچی تناؤ کی وجہ سے پیدا ہونے والی بگاڑ کو نظر انداز کیا جائے۔ لہٰذا اسے حقیقتاً باریک سلاخوں پر لاگو کیا جا سکتا ہے، جہاں یہ نظراندازی موزوں ہو اور جہاں عرضی قوت کا موڑنے پر نمایاں اثر نہ پڑتا ہو۔

تجربے نے تاہم یہ دکھایا ہے کہ تکنیکی خم کاری کا نظریہ ایک حد تک کامیابی کے ساتھ چھوٹے، اونچے بیموں پر بھی لاگو کیا جا سکتا ہے، جن کے لیے دراصل یہ بالکل بنایا ہی نہیں گیا تھا۔ اس صورت میں قینچی تناؤ کے باعث پیدا ہونے والی بگاڑ کا اثر، جسے اس نظریے میں نظر انداز کیا گیا ہے، کم از کم تقریباً بعد میں مدنظر لانے کی ضرورت سامنے آتی ہے۔

اسی طرح، ترسیلی قوتوں کے باعث پیدا ہونے والے قینچی تناؤ τ اور متعلقہ سرکنا γ_’ =_ τ_/G_ بھی قطعہ کے رقبے پر غیر یکساں طور پر تقسیم ہوتے ہیں۔ اسی لیے ان کی اوسط قدر γ متعارف کرائی جاتی ہے، جس کا تعین اس طرح کیا جاتا ہے کہ اس اوسط بگاڑ کی صورت میں ترسیلی قوت بیم کے عنصر dx پر ایسا بگاڑی کام کرے جو اس کام کے برابر ہو جو بیم کے زیرِ مطالعہ عنصر کو تشکیل دینے والے انفرادی حجمی عناصر پر قینچی تناؤ کے کاموں کو مجتمع کرنے سے حاصل ہوتا:

جہاں سے یہ ہے

انٹیگرل اس وقت حساب کیا جا سکتا ہے جب سیکشن پر قینچی تناؤ کی تقسیم معلوم ہو۔ چونکہ تمام قینچی تناؤ Q/F کے متناسب ہیں، اس لیے اس کی قیمت Q2/F2 * F کے متناسب ہے، لہٰذا اگر اسے κ__Q2/F مان لیا جائے تو حاصل ہوتا ہے

γ = κ__Q / GF.

مستقل κ کو قصی تناؤ کی تقسیم کے عددِ ترتیب کہا جاتا ہے۔ مستطیل مقاطع کے لیے κ=1,2 ہے۔

تصویر۔ 16

جب ضریب κ معلوم ہو، اور اس کے ساتھ اوسط سرکاؤ γ بھی، تو اضافی جھکاؤ wQ، جو عرضی قوتوں کے اثر سے پیدا ہوتا ہے، حساب کیا جا سکتا ہے، جسے جھکاؤ w میں شامل کرنا چاہیے: کیونکہ شکل 16 کے مطابق یہ ہے

اور اس لیے Q = dM/dx کی وجہ سے:

جس میں انضمامی مستقل ایک سرحدی شرط سے حاصل کیا جاتا ہے۔