الانحناء البسيط والانحناء مع قوة محورية

الإجهادات العادية في القضبان المستقيمة والقضبان ذات الانحناء البسيط

تعريف قوى المقطع

لنفرض أن قضيبًا مستقيمًا محمّل بقوى ذات اتجاهات اعتباطية، ويُفترض فقط أن جميعها تقع في مستوى واحد (مستوى القوى) يمر بمحور القضيب (الخط الواصل بين مراكز ثقل المقاطع العرضية).

الشكل. 1

ولكي تُحسب الإجهادات المؤثرة في مقطع عرضي ما n – n (الشكل 1)، يلزم معرفة القوة التي تنتقل عبر هذا المقطع من جزء من القضيب إلى الجزء الآخر. وهي، من حيث المقدار والموضع، تساوي بوضوح المحصلة لجميع القوى المؤثرة في أحد أجزاء القضيب. وتُفكَّك هذه المحصلة إلى مركبات في نظام إحداثي يطابق فيه محور x محورَ القضيب، ويكون محور z هو الخط الذي يقطع على امتداده مستوى المقطع العرضي مستوى القوى. وتُسمّى المركبة في اتجاه محور z القوة المستعرضة Q أو Qz، وتُعد في الكمرة البسيطة موجبة إذا كان اتجاهها إلى الأعلى على يسار المقطع، وإلى الأسفل على يمينه.

عندما يكون القضيب منحنياً، فإن المحاور الإحداثية x و z يكون لهما في كل مقطع اتجاه آخر، وذلك دائمًا بحيث تكون المحور x مماسًا لمحور القضيب. إذا كان المستوى الذي يقع فيه محور القضيب لا يطابق مستوى القوى، أو إذا كان محور القضيب منحنى فراغيًا، فإن محصلة القوى إلى يسار المقطع يكون لها أيضًا مركبة ثالثة، وهي قوة القص Qy. وبـ N, Qz و Qy يتحدد مقدار القوة المنقولة عبر المقطع واتجاهها، ولكن لا يتحدد موضعها. ولأجل ذلك يجب أن تكون عزومها بالنسبة إلى المحاور الإحداثية معروفة أيضًا. في حالة الانحناء المستوي يكفي أن يكون عزم الانحناء M أو My معلومًا. أما في الحالة العامة جدًا فيظهر عزم انحناء آخر Mz وعزم حول المحور x، Mx.

إن القوى والعزوم الستة المعرّفة في العرض السابق تُجمع تحت الاسم العام «قوى المقطع». ويعد تحديدها إحدى المهام الأساسية في استاتيكا المنشآت الإنشائية.

بين الحمل الموزع المستمر p (البعد: قوة لكل وحدة طول)، والقوة العرضية Q وعزم الانحناء M توجد في حالة الانحناء المستوي علاقة بسيطة. فبناءً على شروط اتزان عنصر من القضيب (الشكل 2) نحصل على

dQ + p dx = 0,

dM = Q dx;

لذلك

Q = dM/dx, 

p = - dQ/dx = - d2M/dx2.        (1a, b)

الشكل. 2

توزيع الإجهادات العادية

إذا كان القضيب محمّلًا بقوة محورية فقط، فلا يظهر في المقطع إلا الإجهاد العادي σ الموزع بانتظام (قضيب مشدود أو مضغوط). وإذا ظهر إلى جانب ذلك عزم انحناء، فيجب أن توزَّع هذه الإجهادات بطريقة ما توزيعًا غير منتظم، بحيث لا يمر محصلها بعد الآن عبر مركز ثقل المقطع. ولتحديد هذا التوزيع، لا تنطلق النظرية التقنية للانحناء من حل دقيق للمعادلات الأساسية، بل تستبدل جزءًا من هذه المعادلات بافتراض معقول، وهو في حالة خاصة بسيطة جدًا محقق أيضًا على نحو دقيق. وهذه الحالة الخاصة هي انحناء قضيب منشوري مستقيم من دون تأثير القوى المستعرضة (الشكل 3). فجميع عناصر القضيب التي تبعد بما فيه الكفاية عن نهايتيه تتعرض للتشوه نفسه، ومن هنا يستنتج مباشرة أن محور القضيب يتحول إلى قوس دائري وأن جميع مستويات المقاطع العرضية التي كانت أصلًا عمودية على محور القضيب تبقى أثناء التشوه مستوية، لأن كل واحد منها يشكل مستوى تماثل للأجزاء المجاورة من القضيب المتشوه. ومن الطبيعي افتراض أن المقاطع العرضية تبقى تقريبًا مستوية أيضًا عندما لا يكون عزم الانحناء والمقطع العرضي للقضيب ثابتين، بل يتغيران تدريجيًا على طول القضيب. ويقوم هذا الافتراض، الذي يُسمى فرضية Navier-، على أساس نظرية الانحناء.

الشكل. 3

مقدار الإجهادات العادية

عندما ينحني عنصر مستقيم من الكمرة، يتمدد جزء من «أليافه»، أي الخطوط المادية الموازية لمحور القضيب، بينما يقصر الجزء الآخر (الشكل 4). وبين هذين الجزأين تقع الألياف المحايدة z=0، التي لا يتغير طولها أثناء الانحناء. وليكن نصف قطر انحناء هذه الألياف في الحالة المنحنية ϱ، ولْيفترض أنه يقع في المستوى x-z. ومن الشكل 4 m يمكن قراءة

Δ dx/z = _dx/_ϱ

ومن ثم تُحسب استطالة الألياف عند المسافة z من المحور المتعادل، والتي تساوي

ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ

فبناءً على قانون Hooke- يكون الإجهاد

σ _= Ez/_ϱ   (2)

الشكل. 4

هذا الإجهاد يتناسب مع المسافة عن الألياف المحايدة. وترتبط هذه النتيجة بالافتراض بأن جميع ألياف عنصر القضيب قبل التشوه كانت متساوية الطول، بحيث كان القضيب في الأصل مستقيمًا، أو على الأقل بانحناء صغير جدًا بحيث يمكن إهمال تأثير الانحناء. ويُسمّى المستقيم الذي يتقاطع فيه الطبقة المحايدة ومستوى المقطع المحورَ المحايد. ونعتمده محورًا لـ y (الشكل 5). ويُستنتج موضع المحور المحايد في المقطع العرضي من شرط اتزان القوى في اتجاه محور x: فإذا كانت القوة المحورية N=0 (الانحناء من دون قوة محورية)، فيجب أيضًا أن تكون محصلة القوى الداخلية المعبَّر عنها بواسطة الإجهادات العادية في المقطع مساوية للصفر:

الintegral على الجانب الأيمن هو العزم الساكن للمساحة بالنسبة إلى محور y. ولكي يكون مساويًا للصفر، يجب أن يكون هذا المحور أحد محاور المركز.

العزم M الذي يسبب التشوه له، بالنسبة للمحورين y و z في مستوى المقطع (شكل 5), المركبات التالية:

الوحدة (3)

حيث إن Iy, Iyz هما العزم الإهليلجي وعزم الطرد المركزي لمقطع بالنسبة إلى المحاور المشار إليها.

وأهم حالة خاصة هي عندما يكون Mz=0. وتحدث هذه الحالة عندما يكون Iyz=0، أي عندما يكون المحوران y و z هما المحورين الرئيسيين لعطالة المقطع. وهذا يعني أن مستوى الانحناء المعتمد هنا، الموافق لمستوى x-z\، يتطابق مع المستوى الذي يؤثر فيه عزم الانحناء M=My، أي مع مستوى القوى.

الشكل. 5

إذا حُذفت _E/_ϱ من المعادلتين (2) و(3), نحصل على الصيغة اللازمة لتحديد الإجهاد عند الانحناء المنتظم (Iy=I):

σ = M/I * z   (4)

بالنسبة إلى النقطتين الطرفيتين 1 و2 يكون ذلك خاصًا بـ:

σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2.   (5)

وتُسمّى الكميات W1,2 = I/h1,2 (البعد: طول أسّي الثالث) عزوم المقاومة. وإذا كان المحور الثقلاني الأفقي في الوقت نفسه محور تماثل المقطع، فإن W1 = W2، فتكون إجهادات الحافة متساوية في القيمة المطلقة.

الخط المرن

الشكل. 6

ترتبط أهمية الأشكال المذكورة أعلاه بقانون هوك. وهذا يتطلب أن يكون σ << E، أي وفقاً لـ (2) h << ϱ. ومع ذلك يجوز أن يكون الانحناء بحيث تكون ϱ من رتبة طول القضيب l. وفي القضبان المنحنية التي تدخل في الاعتبار في الهندسة المدنية لا يحدث هذا؛ إذ تكون ϱ دائماً أكبر بكثير من l، وبالتالي يكون الانحراف w << l (الشكل 6). وعندئذٍ يصح تقريباً:

1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’

وبناءً على (3):

w’’ = - M/EI.

هذه المعادلة وشرط التوازن (1b) يشكّلان نظامًا من المعادلات التفاضلية للقضيب المنحني. ويمكن اختزالهما بالحذف إلى معادلة واحدة من الرتبة الرابعة:

wIV = + p/EI

أو، في حالة كون عزم العطالة متغيرًا:

(EIw’’)’’ = +p.

ومن خلالها يمكن بالتكامل إيجاد شكل الخط المرن عندما يكون الحمل المعطى p=p(x) وعندما تكون لكل حالة من حالات القضيب شرطا حدّيان معروفان. ويجب أن يرتبط اثنان على الأقل من هذه الشروط بالتشوه. وللتفاصيل انظر المقال استاتيكا المنشآت الإنشائية.

لبّ المقطع

إذا قطع المحور المحايد المقطع العرضي فإنه يقسمه إلى منطقة شد ومنطقة ضغط. وفي المواد ذات مقاومة الشد الضعيفة يثور السؤال: أين يجب أن تقع قوة الضغط إذا كان يجب ألا يحدث في المقطع العرضي أي شد في أي موضع. وعندئذ يقتصر موضع تأثير القوة على منطقة تُسمّى نواة المقطع. وحدُّ النواة هو بوضوح المحل الهندسي للنقاط التي تَمَسُّ محاورُها المحايدة المقطعَ العرضي على محيطه. وبهذا تكون طريقة إنشائها قد أُعطيت أيضًا.

سنسمي المسافة بين حد النواة ومركز الثقل، المقاسة في أي اتجاه، بـ k مع الفهرس الذي يطابق ذلك الاتجاه. وللمحاور الرئيسية للعطالة، وفقًا للمعادلة

σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z  (6)

العبارات هي كما يلي:

ky = i2z / ey,      kz = i2y / ez.   (7)

للمقطع العرضي الدائري ذي نصف القطر r تكون مسافة النواة k = r/4، أما بالنسبة إلى الحلقة الدائرية (أنصاف الأقطار: الخارجي R، الداخلي r) فـ_k = (R2 + r2) / 4R_.

للمستطيل (الشكل 7) تكون ky = 1/6 b، kz = 1/6 h. وبالتالي، عند تحميل مقطع مستطيل في أحد مستويي التماثل (ولكن عندئذ فقط) يكفي أن تقع المحصلة في الثلث الأوسط من الارتفاع أو العرض للمقطع العرضي، لكي تكون الإجهادات في المقطع من الإشارة نفسها.

الشكل. 7

الانحناء في المجال اللدن

عندما تبلغ ألياف الحافة في القضيب المنحني حدّ الخضوع، فإن قدرته التحميلية لا تكون قد استنفدت بعد، لأن الألياف الخارجية تتشوه لدنًا تحت إجهاد ثابت، بينما يزداد الإجهاد في الأجزاء الأقرب إلى المحور المحايد، حيث لم يُبلغ حد الخضوع بعد، وبذلك يزداد أيضًا عزم الانحناء الذي يمكن للمقطع تحمله.

إذا كان المسار الدقيق لمنحنيات الإجهادات والانفعالات معلومًا، أمكن تتبّع العملية حسابيًا بسهولة للمقاطع المتماثلة حول محورين (بارتفاع h)، وذلك على النحو التالي: بافتراض بقاء المقاطع مستوية، يُحدَّد من منحنيات الإجهادات والانفعالات توزيع الإجهادات σ الناتج عن الانحناء، الموافق لاستطالة معتمدة ما للألياف النهائية ε__r، ومن ثم يُحدَّد عزم الانحناء بالتكامل. وإذا أُجري ذلك لقيم مختلفة من ε__r، وفي الوقت نفسه حُسب انحناء خط الترخيم w’’ = 2 ε__r / h، نحصل على سلسلة من النقاط يمكن وصلها بخط يبيّن العلاقة بين عزم الانحناء والانحناء M = M(w’’); وهذه العلاقة لم تعد خطية، وعندما تكون معروفة يمكن بالتكامل البياني تحديد خط الترخيم الموافق لتوزيع معيّن من العزوم. وإذا كان المقطع غير متماثل، تصبح الحسابات أعقد، إذ يجب عند كل ε__r تحديد موضع المحور المحايد أيضًا.

س. 8

يُبسَّط الحساب إلى حد ما إذا افترضنا، إضافةً إلى تماثل المقطع، علاقة مبسطة بين الإجهادات والانفعالات وفق الشكل 8. عندئذٍ تكون الإجهادات الناتجة عن الانحناء بعد تجاوز حد الخضوع موزعة كما هو موضح في الشكل 9، ويكون عزم الانحناء:

فتُستنتج انحناءة خط الانحراف عندما تُطبَّق المعادلة (2) على جزء من المقطع تكون إجهاداته في المجال المرن w’’ = σf / Ez’. وإذا كان شكل المقطع معلومًا لكل z’ مفترض، أمكن حساب التكاملات. فمثلًا في أبسط حالة لمقطع عرضي مستطيل بعرض b وارتفاع h يكون

إذا جرى هنا التعبير عن z’ بواسطة w’’، نحصل على

في المقاطع على شكل I وما شابهها، يكون مسار المنحنى M-w’’ في المجال اللدن أكثر تسطحًا، وعندئذ تكون العزوم التي يبدأ عندها الجريان مساوية عمليًا لأكبر عزم انحناء يمكن للمقطع أن يتحمله أصلًا. لذلك فإن أهمية الانحناء اللدن في البناء لا تكمن في زيادة عزم الانحناء الذي يمكن للمقطع حمله، بل في أن التشوه المحلي الكبير الذي يحدث عند حد الجريان يمكن أن يؤدي إلى تغير ملائم في توزيع القوى في الأنظمة غير المحددة استاتيكيًا.

الشكل. 9

يمكن تفسير ذلك على مثال كمرة مستمرة فوق فتحتين. لنفترض أن الكمرة (الشكل 10) لها فتحات بطول متساوٍ، ومقطع ثابت، وأنها محمَّلة بحمل موزع بالتساوي. عندئذٍ، قبل بلوغ حد الخضوع، تكون العزوم فوق المساند MB = _pl_2/8. وإذا زيد الحمل p إلى الحد الذي تصل فيه العزوم في مقطع الإسناد إلى القيمة Mf التي يبدأ عندها الخضوع، فإن زيادة الحمل بعد ذلك في ذلك الموضع تؤدي إلى زيادة الانحناء أيضًا من دون زيادة ملحوظة في العزم. ويتكوّن ما يسمى المفصل اللدن، أي إن الكمرة تحت الحمل الإضافي تتصرف كما لو أن مفصلًا موجودًا فوق المسند الأوسط. ويمكن زيادة الحمل أكثر إلى أن يبدأ الخضوع أيضًا عند موضع أكبر عزم في الفتحة. وعندئذٍ لا تعود زيادة عزم الانحناء ممكنة، وتكون قدرة التحمل للكمرة قد استُنفدت. ويُسمى الحمل الذي تحدث عنده هذه الحالة بالحمل الحدي.

الشكل. 10

بوجه عام يمكن توقع أنه في نظام غير محدد استاتيكيًا n مرة يجب أن يظهر (n+1) من المفاصل اللدنة قبل أن يصبح النظام قابلاً للحركة ويبلغ بذلك حد قدرته التحميلية. غير أن لهذه القاعدة استثناءات في كلا الاتجاهين. فكما يبيّن المثال المذكور، قد يظهر عند حد القدرة التحميلية مفصلان لدنان جديدان في الوقت نفسه (في كلا المجالين)، بحيث ينتقل النظام الذي كان إلى ذلك الحين غير قابل للحركة فجأة إلى نظام ذي درجتي حرية. ومن جهة أخرى، قد تُستنفد القدرة التحميلية محليًا حتى مع أقل من (n+1) من المفاصل اللدنة، مثلًا عندما ينهار مجال واحد فقط في جسر مستمر. يوضح الشكل 11 كيف يمكن أن يحدث ذلك في نظام غير محدد استاتيكيًا مرتين مع n=2 مفصل لدن. وإذا أضيف في الجانب الأيمن من الجسر أيضًا مجال رابع، يصبح الجسر غير محدد استاتيكيًا ثلاث مرات، وعندها تكفي (n-1) من المفاصل اللدنة للوصول بالمجال الأيسر فقط إلى حد القدرة التحميلية.

الشكل. 11

إجهادات القص عند الانحناء

الحساب الأولي

الشكل. 12

إن الإجهادات العادية σ، أي الإجهادات التي تظهر فعليًا بسبب الانحناء، ليست الإجهادات الوحيدة في القضيب المنحني، بل تظهر إلى جانبها أيضًا إجهادات قصية نتيجة تأثير القوة المستعرضة. وبما أن السمة الأساسية للنظرية التقنية للانحناء هي إهمال التشوهات الناتجة عن إجهادات القص، فإن هذه الأخيرة لا يمكن تحديدها إلا من شروط التوازن. ولصياغة ذلك، يُقسَّم عنصر العارضة dx، كما هو موضح في الشكل 12، بمستوى أفقي إلى جزأين، ثم يُوضع شرط توازن القوى الأفقية المؤثرة على الجزء السفلي. ففي الجانب الأيسر توجد القوى الداخلية المعبَّر عنها بالإجهادات σ الناتجة عن الانحناء، والتي يجب تكاملها من z’ = z إلى z’ = h2

على الجانب الأيمن تؤثر الإجهادات نفسها، لكنها تزداد بمقدار التفاضل وفقًا لعزم الانحناء المناسب M + dM. ويجب أن يكون فرق القوى على جانبي العنصر في حالة اتزان مع القوة الناتجة عن إجهادات القص τ المؤثرة في السطح المقطعي الأفقي t dx:

يمثّل التكامل هنا العزم الساكن لجزء المقطع العرضي المفصول بمستوى عرضي أفقي بالنسبة إلى محور الثقل للمقطع. ويُرمز له بـ S. ومن dM/dx = Q وفقًا لشرط التوازن نحصل على:

τ = QS/It.  (8)

وهو، وفقًا لمبدأ اقتران إجهادات القص، مقدار إجهاد القص العمودي المؤثر في سطح المقطع العرضي، والذي هو، مع S و t، دالة في z.

الشكل. 13

الشكل 13.1

تقدّم المعادلة (8) بيانات موثوقة في جميع المقاطع ذات الجدران الرقيقة إذا لم يُوضَع مستوى المقطع موازيًا للمحور المحايد، بل في اتجاه سُمك الجدار. ولذلك يُقطع المقطع على شكل I عرضيًا عبر الجِسر وعرضيًا عبر الجناح، وبذلك نحصل على توزيع الإجهادات المبين في الشكل 13.1. وفي حالة المقطع الحلقي (الشكل 13) تكون إجهادات القص موزعة تماثليًا بالنسبة إلى القطر الرأسي، وتبلغ الحد الأقصى على اليسار واليمين عند الخط المحايد

τ = Q / πrt.

إذا قُطع المقطع عند أعلى نقطة أو أدنى نقطة، فلا يتغير توزيع إجهادات القص؛ أما إذا قُطع عند النهاية اليمنى للقطر الأفقي (الشكل 14), فإن إجهاد القص في تلك النقطة يساوي صفرًا، بينما تتضاعف قيمته عند النهاية اليسرى من القطر نفسه.

الشكل 14

المقاطع المصمتة

في المقاطع المصمتة ذات الشكل التعسفي ترتبط مسألة إجهادات القص ارتباطاً وثيقاً بمشكلة الالتواء. والمعادلة الأولية (8) لا تكون عندئذٍ موثوقة. أما للمقطع الدائري نصف قطره r فإن المعادلة (8) تعطي

τ = 4Q / 3__πr2

بوصفه القيمة المتوسطة لإجهاد القص على طول المحور المحايد، وتكون القيمة الدقيقة أكبر منه ببضعة في المئة فقط.

مركز القص

إذا حُسبت إجهادات القص للمقطع U على النحو الموصوف أعلاه، نحصل على توزيع الإجهادات المبين في الشكل 15. والمحصلـة للقوى الداخلية المقابلة هي القوة المستعرضة Q. ومن الشكل يمكن رؤية موضعها بالنسبة للمقطع، أي إنها لا تمر بمركز ثقل المقطع ولا تقع في مستوى الجِسْرَة. وإذا كانت القوة المستعرضة المحسوبة استناداً إلى القوى الخارجية لا تتخذ الموضع المبين في الشكل 15، فإن الجائز لا يكون محملاً على الانحناء فقط، بل على الالتواء أيضاً.

إذا حُدِّدت للمقطع العرضي نفسه المحصلة الموافقة لإجهادات القص الناتجة عن حمل أفقي ما، نحصل على خط تأثير القوة العرضية الأفقية. وفي تقاطع خطي التأثير هذين توجد النقطة المميزة لذلك المقطع العرضي، وتسمى مركز القص M. ولا تظهر في الحامل إجهادات ناتجة عن الالتواء عندما تقع مراكز القص لجميع المقاطع العرضية على خط مستقيم واحد، وتكون جميع الأحمال العمودية على محور القضيب مارّة عبر ذلك الخط. وإلا فإن عزم كل حمل بالنسبة إلى الخط الواصل بين مراكز القص يمثل قصًا لويًا.

الشكل. 15

تأثير القوة المستعرضة على الانحناء

تقوم النظرية التقنية للانحناء على إهمال التشوهات الناتجة عن إجهادات القص. ولذلك يمكن تطبيقها فعليًا على القضبان النحيفة، حيث يكون هذا الإهمال مبررًا ولا تؤثر القوة المستعرضة تأثيرًا ملحوظًا في الانحناء.

وقد بيّنت الخبرة، مع ذلك، أن نظرية الانحناء التقنية يمكن تطبيقها بنجاح ما، إلى حدٍّ ما، على الحمالات القصيرة العالية، مع أنها في الواقع لم تُصمَّم لها أصلًا. وعندئذ تبرز الحاجة إلى أخذ تأثير التشوه الناتج عن إجهادات القص، وهو مهمل في هذه النظرية، في الاعتبار لاحقًا، ولو تقريبًا.

وكما أن إجهادات القص τ الناتجة عن القوى العرضية والانزلاقات المقابلة لها γ_’ =_ τ_/G_ موزعة بصورة غير منتظمة على المقطع، كذلك فإن متوسطها γ يُدخل، ويُحدد بحيث تقوم القوة العرضية عند هذه القيمة المتوسطة للتشوه بإنجاز شغل تشوهي على عنصر الجائز dx مساوٍ لذلك الذي كان سيحصل بتكامل أشغال إجهادات القص على عناصر الحجم الفردية التي تؤلف عنصر الجائز الملاحظ:

ومن هنا

يمكن حساب التكامل عندما يكون توزيع إجهادات القص عبر المقطع معروفًا. وبما أن جميع إجهادات القص تتناسب مع Q/F، فإن قيمته تتناسب مع Q2/F2 * F، وبوضعها مساوية لـ κ__Q2/F نحصل على

γ = κ__Q / GF.

الثابت κ يُسمّى معامل توزيع إجهادات القص. وللمقاطع المستطيلة يكون κ=1,2.

الشكل. 16

عندما يكون معامل κ معروفًا، وبالتالي يكون الانزلاق المتوسط γ معلومًا أيضًا، يمكن حساب الهبوط الإضافي wQ الناتج عن تأثير القوى المستعرضة، والذي يجب إضافته إلى الهبوطات w: إذ بحسب الشكل 16 هو

ولهذا السبب، بسبب Q = dM/dx:

حيث تُستخرج ثابتة التكامل من شرط حدّي واحد.