Tensions normals en barres rectes i barres amb petita curvatura
Definició de les forces seccionals
Siguem suposar una barra recta carregada amb forces de direcció arbitrària, de les quals només s’assumeix que totes jeuen en un mateix pla (pla de forces) que passa per l’eix de la barra (línia que uneix els centres de gravetat de les seccions transversals).
Fig. 1
Per tal de calcular les tensions que actuen en una determinada secció transversal n – n (fig. 1), cal conèixer la força que es transmet a través d’aquesta secció d’una part de la barra a l’altra. Aquesta força és òbviament igual, pel seu mòdul i la seva posició, a la resultant de totes les forces que actuen sobre una part de la barra. Aquesta resultant es descompon en components en un sistema de coordenades la x-eix del qual coincideix amb l’eix de la barra, i la z-eix amb la línia al llarg de la qual el pla de la secció transversal talla el pla de forces. La component en direcció de l’eix z s’anomena força transversal Q o Qz i, en una biga simple, es considera positiva si a l’esquerra de la secció té sentit cap amunt i, a la dreta, cap avall.
Quan la barra és corba, els eixos coordinats x i z tenen a cada secció una direcció diferent, i sempre de manera que l’x-eix sigui tangent a l’eix de la barra. Si el pla en què jeu l’eix de la barra no coincideix amb el pla de forces, o si l’eix de la barra és una corba espacial, la resultant de les forces a l’esquerra de la secció també té una tercera component, la força transversal Qy. Amb N, Qz i Qy queden determinades la magnitud i la direcció de la força que es transmet a través de la secció, però no pas la seva posició. Per a això cal conèixer també els seus moments respecte als eixos coordinats. En el cas de la flexió plana n’hi ha prou amb conèixer el moment flector M o My. En el cas més general apareix encara un altre moment flector Mz i el moment al voltant de l’x-eix, Mx.
Les sis forces i moments definits en l’exposició anterior es recullen sota el nom comú de «forces de secció». La seva determinació és una de les tasques bàsiques de l’estàtica de les estructures constructives.
Entre la càrrega distribuïda contínuament p (dimensió: força per unitat de longitud), la força transversal Q i el moment de flexió M hi ha, en el cas de flexió plana, una relació simple. És a dir, de la condició d’equilibri d’un element de barra (fig. 2) s’obté
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
per tant
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Fig. 2
Distribució de les tensions normals
Si una barra està carregada només amb una força axial, a la secció apareix únicament una tensió normal σ uniformement distribuïda (barra a tracció, respectivament a compressió). Si, a més, hi apareix un moment de flexió, aquestes tensions han d’estar distribuïdes d’alguna manera de forma desigual, de manera que la seva resultant ja no passi pel centre de gravetat de la secció. Per determinar aquesta distribució, la teoria tècnica de la flexió no parteix de la solució estricta de les equacions fonamentals, sinó que substitueix una part d’aquestes equacions per una hipòtesi plausible que en un cas especialment senzill és alhora estrictament complerta. Aquest cas especial és la flexió recta d’una barra prismàtica sense l’acció de forces transversals (fig. 3). Tots els elements de la barra que es troben prou allunyats dels seus extrems pateixen la mateixa deformació, d’on se segueix directament que l’eix de la barra es converteix en un arc de circumferència i que tots els plans de les seccions transversals, que inicialment eren perpendiculars a l’eix de la barra, durant la deformació romanen plans, perquè cadascun d’ells és un pla de simetria per a les parts veïnes de la barra deformada. S’imposa de manera natural la hipòtesi que les seccions transversals romanen aproximadament planes també quan el moment de flexió i la secció transversal de la barra no són constants, sinó que canvien gradualment al llarg de la barra. Aquesta hipòtesi, anomenada hipòtesi de Navier, és la base de la teoria de la flexió.
Fig. 3
Magnitud de les tensions normals
Quan es corba un element recte de la biga, una part de les seves «fibres», és a dir, línies materials paral·leles a l’eix de la barra, s’allarga, mentre que l’altra part s’escurça (fig. 4). Entre aquestes dues parts hi ha les fibres neutrals z=0, la longitud de les quals no canvia durant la flexió. Suposem que el radi de curvatura d’aquestes fibres en estat corbat és ϱ i que es troba en el pla x-z. De la fig. 4 m es pot llegir
Δ dx/z = _dx/_ϱ
i d’aquí la dilatació calculada de les fibres a una distància z de l’eix neutral, que és
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
i així, d’acord amb la llei de Hooke, la tensió
σ _= Ez/_ϱ (2)
Fig. 4
Aquesta tensió és proporcional a la distància respecte de les fibres neutres. Aquest resultat està relacionat amb la hipòtesi que, abans de la deformació, totes les fibres de l’element de la barra tenien la mateixa longitud, de manera que la barra inicialment era recta, o almenys amb una curvatura tan petita que se’n pot negligir l’efecte. La recta al llarg de la qual es tallen la capa neutra i el pla de la secció s’anomena eix neutre. El prenem com a eix y (fig. 5). La posició de l’eix neutre en la secció transversal s’obté a partir de la condició d’equilibri de forces en la direcció de l’eix x: si la força normal N=0 (flexió sense força normal), aleshores també la resultant de les forces internes expressada mitjançant les tensions normals a la secció ha de ser igual a zero:
La integral del costat dret és el moment estàtic de l’àrea respecte de l’eix y. Perquè sigui igual a zero, aquest eix ha de ser un dels eixos centrals.
El moment M que provoca la deformació té, respecte als eixos y i z en el pla de la secció (fig. 5), components:
Eq. (3)
on Iy, Iyz són el moment d’inèrcia equatorial i el moment d’inèrcia centrífug de la secció respecte dels eixos indicats.
El cas especial més important és quan Mz=0. Aquest cas es presenta quan Iyz=0, és a dir, quan y i z són els eixos principals d’inèrcia de la secció. Això vol dir que el pla de flexió que aquí s’ha adoptat amb el pla x-z\ coincideix amb el pla en què actua el moment de flexió M=My, és a dir, amb el pla de les forces.
Fig. 5
Si de les equacions (2) i (3) s’elimina _E/_ϱ, s’obté l’esquema per determinar la tensió en la flexió plana (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
per als punts de vora 1 i 2 és especialment:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Les magnituds W1,2 = I/h1,2 (dimensió: longitud a la tercera potència) s’anomenen moments resistents. Si l’eix neutre horitzontal és alhora l’eix de simetria de la secció, aleshores W1 = W2, i per tant les tensions de vora són iguals en valor absolut.
Línia elàstica
Fig. 6
La importància dels patrons anteriors està vinculada a la llei de Hooke. Això exigeix que σ << E, és a dir, segons (2) h << ϱ. La flexió, però, pot ser suficient perquè ϱ sigui del mateix ordre de magnitud que la longitud de la barra l. En les barres corbades que entren en consideració en la construcció aquest cas no es presenta; sempre ϱ és notablement més gran que l i, per tant, la fletxa w << l (fig. 6). Aleshores, aproximadament, és vàlid:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
i sobre la base de (3):
w’’ = - M/EI.
Aquesta equació i la condició d’equilibri (1b) formen un sistema d’equacions diferencials de la barra corbada. Mitjançant eliminació es poden reduir a una sola equació de quart ordre:
wIV = + p/EI
o, en cas que el moment d’inèrcia sigui variable:
(EIw’’)’’ = +p.
A partir d’elles, per integració, es pot trobar la forma de la línia elàstica quan es dona la càrrega p=p(x) i quan per a cada cas de barra es coneixen dues condicions de contorn. D’aquestes, almenys dues s’han de referir a la deformació. Per a més detalls, vegeu l’article Estàtica de les estructures de construcció.
Nucli de la secció
Si l’eix neutral talla la secció transversal, la divideix en una zona de tracció i una zona de compressió. En materials amb poca resistència a la tracció, sorgeix la qüestió de on ha d’incidir la força de compressió, si a la secció transversal no pot aparèixer tracció en cap punt. La posició del punt d’aplicació de la força queda llavors limitada a l’àrea anomenada nucli de la secció. El límit del nucli és, evidentment, el lloc geomètric dels punts els eixos neutres dels quals tangentegen el contorn de la secció transversal. Amb això queda també determinada la seva construcció.
La distància de la frontera del nucli al centre de gravetat, mesurada en qualsevol direcció, la designarem amb l’índex k que correspon a aquella direcció. Per als eixos principals d’inèrcia segons l’equació
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
els termes són els següents:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Per a una secció transversal circular de radi r, la distància del nucli és k = r/4, i per a un anell circular (radis: exterior R, interior r) k = (R2 + r2) / 4R.
Per al rectangle (fig. 7) és ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Per tant, quan es carrega una secció rectangular en un dels plans de simetria (però només aleshores) n’hi ha prou que la resultant actuï al terç central de l’alçada o de l’amplada de la secció transversal perquè les tensions a la secció tinguin el mateix signe.
Fig. 7
Flexió en la zona plàstica
Quan a les fibres extremes de la barra corbada s’ha assolit el límit elàstic, la seva capacitat portant no s’ha esgotat encara, perquè mentre les fibres exteriors es deformen plàsticament amb una tensió constant, en les parts situades més a prop de l’eix neutre, on el límit elàstic encara no s’ha assolit, la tensió augmenta, i així també augmenta el moment flector que la secció pot suportar.
Si es coneix el curs exacte del diagrama d’esforços i deformacions, el procés per a seccions doblement simètriques (alçada h) es pot seguir fàcilment per càlcul d’aquesta manera: suposant que les seccions romanen planes, a partir del diagrama d’esforços i deformacions es determina la distribució d’esforços σ deguts a la flexió corresponent a una dilatació adoptada de les fibres extremes ε__r i, integrant-ho, se’n determina el moment de flexió. Si això es porta a terme per a diferents ε__r i, d’altra banda, es calcula la curvatura corresponent de la línia de fletxa w’’ = 2 ε__r / h, s’obté una sèrie de punts pels quals es pot traçar una línia que dona la relació entre el moment de flexió i la curvatura M = M(w’’); aquesta relació ja no és lineal, i quan es coneix és possible determinar per integració gràfica la línia de fletxa que correspon a una distribució determinada de moments. Si la secció és asimètrica, el càlcul es fa més complex, en el sentit que per a cada ε__r cal determinar també la posició de l’eix neutre.
Fig. 8
El càlcul es simplifica en certa mesura si, a més de la simetria de la secció, s’assumeix també una relació simplificada entre tensions i dilatacions segons la fig. 8. Aleshores, les tensions degudes a la flexió després de superar el límit d’esfluixament tenen la distribució mostrada a la fig. 9 i el moment flector és:
i així la curvatura de la línia de flexió s’obté quan s’aplica l’equació (2) a la part de la secció les tensions de la qual es troben en l’àmbit elàstic w’’ = σf / Ez’. Si es coneix la forma de la secció per a cada z’ adoptat, els integrals es poden calcular. Per exemple, per al cas més simple d’una secció transversal rectangular d’amplada b i alçada h és
Si aquí z’ s’expressa mitjançant w’’, s’obté
En els perfils en I i similars, el traçat de la corba M-w’’ a la zona plàstica és encara més pla i el moment en què s’inicia el fluïment és llavors pràcticament igual al moment de flexió màxim que la secció pot suportar en absolut. Per això, la importància de la flexió plàstica en l’enginyeria no consisteix en augmentar el moment de flexió que la secció pot resistir, sinó en el fet que la gran deformació local que apareix al límit de fluïment pot provocar un canvi favorable en la distribució de forces en sistemes hiperestàtics.
Fig. 9
Això es pot explicar amb l’exemple d’una biga contínua sobre dos trams. Suposem que la biga (fig. 10) té trams de la mateixa longitud, secció constant i que està carregada amb una càrrega uniformement distribuïda. Aleshores, abans d’assolir el límit de fluència, el moment sobre el suport és MB = _pl_2/8. Si la càrrega p augmenta tant que el moment a la secció de suport assoleix el valor Mf en el qual apareix la fluència, amb un augment ulterior de la càrrega en aquell punt també augmentarà la curvatura sense un increment apreciable del moment. Es crea l’anomenada frontissa plàstica, és a dir, la biga es comporta sota la càrrega addicional com si existís una frontissa sobre el suport central. La càrrega es pot continuar augmentant fins que també al punt del moment màxim al tram comenci la fluència. Un augment ulterior del moment flector ja no és possible i la capacitat portant de la biga s’esgota. La càrrega sota la qual es produeix aquest estat s’anomena càrrega límit.
Fig. 10
En general es pot esperar que, en un sistema estàticament indeterminat n vegades, hagin d’aparèixer (n+1) articulacions plàstiques abans que el sistema esdevingui mòbil i assoleixi així el seu límit de capacitat portant. Aquesta regla, però, té excepcions en ambdós sentits. Com mostra l’exemple esmentat, al límit de capacitat portant poden aparèixer simultàniament dues noves articulacions plàstiques (en ambdós trams), de manera que el sistema, fins aleshores encara immòbil, passa de cop a un sistema amb dos graus de llibertat. D’altra banda, també és possible que amb menys de (n+1) articulacions plàstiques es produeixi l’esgotament local de la capacitat portant, per exemple quan en una biga contínua cedeix només un tram. La fig. 11 mostra com això pot succeir en un sistema estàticament indeterminat per duplicat amb n=2 articulacions plàstiques. Si al costat dret de la biga s’afegeix també un quart tram, la biga esdevé estàticament indeterminada per triplicat, i n’hi ha prou amb (n-1) articulacions plàstiques perquè només el tram esquerre arribi al límit de capacitat portant.
Fig. 11
Tensions tallants en flexió
Càlcul elemental
Fig. 12
Les tensions normals σ, és a dir, les tensions que en realitat apareixen a causa de la flexió, no són les úniques tensions en la barra corbada, sinó que, a més, també hi apareixen tensions tallants a causa de l’acció de la força transversal. Atès que la característica fonamental de la teoria tècnica de la flexió és que es desprecien les deformacions degudes a les tensions tallants, aquestes només es poden determinar a partir de les condicions d’equilibri. Per establir-les, l’element de biga dx es talla, com s’indica a la fig. 12, per un pla horitzontal en dues parts, i s’imposa la condició d’equilibri de les forces horitzontals que actuen sobre la part inferior. A l’esquerra hi ha les forces internes expressades per les tensions σ a causa de la flexió, per a les quals cal integrar de z’ = z fins a z’ = h2
A la dreta actuen les mateixes tensions, però augmentades pel diferencial d’acord amb el moment de flexió corresponent M + dM. La diferència entre les forces a ambdós costats de l’element ha d’estar en equilibri amb la força deguda a les tensions tallants τ que actuen en la superfície seccional horitzontal t dx:
Aquí la integral representa el moment estàtic de la part de la secció transversal separada per un pla transversal horitzontal respecte de l’eix del centre de gravetat de la secció. Es designa amb S. De dM/dx = Q i de la condició d’equilibri s’obté:
τ = QS/It. (8)
Això és, segons el principi de conjugació de les tensions tallants, alhora el valor de la tensió tallant vertical que actua en la superfície de la secció transversal i que, juntament amb S i t, és funció de z.
Fig. 13
Fig. 13.1
L’equació (8) proporciona dades fiables en totes les seccions de paret prima si el pla de secció no es disposa paral·lelament a l’eix neutre, sinó en la direcció del gruix de la paret. Per tant, el perfil I es talla transversalment a través de l’ànima i transversalment a través de les ales, obtenint-se la distribució de tensions mostrada a la fig. 13.1. En la secció anular (fig. 13) les tensions tallants estan distribuïdes simètricament respecte del diàmetre vertical i a l’esquerra i a la dreta de la línia neutra assoleixen el màxim
τ = Q / πrt.
Si la secció es talla al punt més alt o al més baix, la distribució de les tensions tallants no canvia; però, si es talla a l’extrem dret del diàmetre horitzontal (fig. 14), la tensió tallant en aquell punt és igual a zero, mentre que el seu valor es duplica a l’extrem esquerre del mateix diàmetre.
Fig. 14
Seccions plenes
En el cas de seccions massisses de forma arbitrària, el problema de les tensions tallants està estretament relacionat amb la torsió. L’equació elemental (8) en aquest cas ja no és fiable. Per a una secció circular de radi r, l’equació (8) dona
τ = 4Q / 3__πr2
com a valor mitjà de la tensió tallant al llarg de l’eix neutre, i el valor exacte és només uns quants per cent més gran.
Centre de cisalla
Si per a la secció U es calculen les tensions tallants de la manera descrita anteriorment, s’obté la distribució de tensions mostrada a la fig. 15. La resultant de les forces internes corresponents és la força transversal Q. De la figura es pot veure la seva posició respecte a la secció, és a dir, que no passa pel centre de gravetat de la secció ni es troba en el pla de l’ànima. Si la força transversal calculada a partir de les forces externes no té la posició mostrada a la fig. 15, la biga no està sotmesa només a flexió, sinó també a torsió.
Si, per a la mateixa secció transversal, es determina la resultant corresponent a les tensions de cisallament per a una determinada càrrega horitzontal, s’obté la línia d’acció de la força transversal horitzontal. En la intersecció d’aquestes dues línies d’acció hi ha un punt característic per a la secció transversal donada, que s’anomena centre de cisallament M. En la biga no apareixen tensions degudes a la torsió quan els centres de cisallament de totes les seccions transversals es troben en una mateixa recta, i totes les càrregues perpendiculars a l’eix de la barra passen per aquesta recta. En cas contrari, el moment de cada càrrega respecte de la recta que uneix els centres de cisallament representa el cisallament torsional.
Fig. 15
Influència de la força transversal en la flexió
La teoria tècnica de la flexió es basa en negligir les deformacions degudes a les tensions de tall. Per tant, realment es pot aplicar a barres esveltes, en les quals aquesta negligència és justificable i on la força transversal no té una influència apreciable sobre la flexió.
L’experiència, però, ha demostrat que la teoria tècnica de la flexió es pot aplicar amb un cert èxit també a suports curts i alts, per als quals, en realitat, no està destinada gens. Aleshores sorgeix la necessitat de tenir en compte posteriorment, si més no de manera aproximada, la influència de la deformació deguda a les tensions tallants, que en aquesta teoria s’omet.
Igual que les tensions tallants τ degudes a les forces transversals i els desplaçaments corresponents γ_’ =_ τ_/G_ estan distribuïts de manera desigual sobre la secció. Per això s’introdueix el seu valor mitjà γ, que es determina de manera que la força transversal, amb aquest valor mitjà de deformació, realitza sobre l’element de biga dx un treball de deformació igual al que s’obtindria integrant els treballs de les tensions tallants sobre els diversos elements volumètrics que componen l’element de biga considerat:
d’on és
La integral es pot calcular quan es coneix la distribució de les tensions tallants per la secció. Com que totes les tensions tallants són proporcionals a Q/F, el seu valor és proporcional a Q2/F2 * F, i posant que és κ__Q2/F, s’obté
γ = κ__Q / GF.
La constant κ s’anomena coef. de repartiment de les tensions tallants. Per a seccions rectangulars, κ=1,2.
Fig. 16
Quan es coneix el coef. κ, i per tant el lliscament mitjà γ, es pot calcular la fletxa addicional wQ, produïda per l’acció de les forces transversals, que s’ha d’afegir a les fletxes w: perquè segons la fig. 16 és
per això, a causa de Q = dM/dx:
a partir de la qual la constant d’integració s’obté d’una condició de contorn.