Түзу сырықтар мен аз иілген сырықтардағы қалыпты кернеулер
Қима күштерінің анықтамасы
Түзу сырыққа кез келген бағыттағы күштер әсер етсін, олар туралы тек бір жазықтықта (күштер жазықтығы) жататыны ғана жорамалданады; бұл жазықтық сырықтың өсі арқылы өтеді (қима центрлерін қосатын сызық).
Сур. 1
Кез келген n – n көлденең қимасында әсер ететін кернеулерді есептеу үшін (сур. 1), осы қима арқылы өзектің бір бөлігінен екінші бөлігіне берілетін күшті білу қажет. Ол шамасы мен орны бойынша өзектің бір бөлігіне әсер ететін барлық күштердің тең әсерлі күшімен бірдей. Бұл тең әсерлі күш x-осі өзек осімен сәйкес келетін, ал z-осі көлденең қима жазықтығы күштер жазықтығын қиып өтетін сызық болатын координат жүйесінде құраушыларға жіктеледі. z осі бағытындағы құраушы трансверсаль күш Q немесе Qz деп аталады және жай арқалықта қиманың сол жағында жоғары, оң жағында төмен бағытталған болса, оң деп есептеледі.
Сырық иілген кезде, x және z координаталық осьтері әр қимада басқа бағытқа ие болады және әрдайым x-ось сырық өсіне жанама болады. Егер сырық өсі жататын жазықтық күштер жазықтығымен сәйкес келмесе немесе сырық өсі кеңістіктік қисық болса, қиманың сол жағындағы күштер нәтижесінің үшінші құраушысы — Qy көлденең күші де болады. N, Qz және Qy арқылы қима арқылы берілетін күштің шамасы мен бағыты анықталады, бірақ оның орны емес. Ол үшін координаталық осьтерге қатысты оның моменттері де белгілі болуы қажет. Түзу иілу жағдайында иілу моменті M немесе My белгілі болуы жеткілікті. Ең жалпы жағдайда тағы бір иілу моменті Mz және x-оське қатысты момент Mx пайда болады.
Алдыңғы баяндауда анықталған алты күш пен момент бір ортақ атаумен «қима күштері» деп аталады. Оларды анықтау — құрылыс конструкциялары статиканың негізгі міндеттерінің бірі.
Үздіксіз бөлінген p жүктемесі (өлшемі: ұзындық бірлігіне түсетін күш), көлденең күш Q және иілу моменті M арасында жазық иілу жағдайында қарапайым байланыс бар. Яғни, өзекшенің бір элементінің тепе-теңдік шарттарынан (сур. 2) мынау алынады
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
сондықтан
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Сур. 2
Нормаль кернеулердің таралуы
Егер сырыққа тек осьтік күш әсер етсе, қимада тек біркелкі таралған қалыпты кернеу σ пайда болады (керілген, не сығылған сырық). Оған қоса июші момент әсер етсе, бұл кернеулер қандай да бір жолмен біркелкі емес таралуы тиіс, сондықтан олардың тең әсерлі күші қиманың ауырлық центрі арқылы енді өтпейді. Осы таралуды анықтау үшін иілудің техникалық теориясы негізгі теңдеулердің қатаң шешімінен бастамайды, керісінше осы теңдеулердің бір бөлігін шынайы деп танылатын, ал ерекше қарапайым бір жағдайда бір мезгілде қатаң орындалатын жорамалмен алмастырады. Бұл ерекше жағдай — көлденең күштер әсер етпегендегі түзу призмалық сырықтың иілуі (сур. 3). Ұштарынан жеткілікті қашық орналасқан сырықтың барлық элементтері бірдей деформацияға ұшырайды, осыдан сырық осінің шеңбер доғасына айналатыны және бастапқыда сырық осіне перпендикуляр болған қималардың барлық жазықтықтары деформация кезінде жазық күйінде қалатыны тікелей шығады, өйткені олардың әрқайсысы деформацияланған сырықтың көршілес бөліктері үшін симметрия жазықтығы болып табылады. Июші момент те, сырықтың қимасы да тұрақты болмай, сырық бойымен біртіндеп өзгерген кезде де қималар шамамен жазық күйінде қалады деген жорамал өздігінен туындайды. Навье гипотезасы деп аталатын осы жорамал иілу теориясының негізін құрайды.
Сур. 3
Нормаль кернеулердің шамасы
Бөрененің түзу элементі иілгенде, оның «талшықтарының», яғни өзек осіне параллель материалдық сызықтарының бір бөлігі созылады, ал екінші бөлігі қысқарады (сур. 4). Осы екі бөліктің арасында бейтарап талшықтар z=0 орналасады, олардың ұзындығы иілу кезінде өзгермейді. Иілген күйдегі осы талшықтардың қисықтық радиусы ϱ болсын және ол x-z жазықтығында жатсын. Сур. 4 može se pročitati
Δ dx/z = _dx/_ϱ
және осыдан нейтрал осьтен z қашықтықтағы талшықтың деформациясын есептеу, ол тең болады
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
сондықтан Hooke-тің заңы бойынша кернеу
σ _= Ez/_ϱ (2)
Сур. 4
Бұл кернеу бейтарап талшықтардан қашықтыққа пропорционал. Мұндай нәтиже деформацияға дейін элемент өзегінің барлық талшықтары бірдей ұзындықта болған деген жорамалға байланысты, яғни өзек бастапқыда түзу болған немесе қисықтығы оның әсерін елемеуге болатындай өте аз болған. Бейтарап қабат пен қима жазықтығы қиылысатын түзу бейтарап ось деп аталады. Оны біз y осі деп қабылдаймыз (сур. 5). Бейтарап осьтің көлденең қимадағы орны x осі бағыты бойынша күштердің тепе-теңдік шарты арқылы анықталады: егер нормаль күш N=0 (нормаль күшсіз иілу) болса, онда қимадағы нормаль кернеулер арқылы өрнектелген ішкі күштердің тең әсерлісі де нөлге тең болуы тиіс:
Оң жақтағы интеграл — y-осьіне қатысты ауданның статикалық моменті. Оның нөлге тең болуы үшін бұл ось центрлік осьтердің бірі болуы тиіс.
Деформация тудыратын M моменті қиманың жазықтығындағы y және z осьтеріне қатысты (сур. 5) мына құраушыларға ие:
Теңд. (3)
мұнда Iy, Iyz — көрсетілген осьтерге қатысты қиманың экваторлық және центрифугалық инерция моменттері.
Ең маңыздысы — Mz=0 болғандағы ерекше жағдай. Бұл жағдай Iyz=0 болғанда, яғни y мен z қима инерциясының басты осьтері болғанда пайда болады. Бұл осы жерде қабылданған x-z-жазықтығымен иілу жазықтығы иілу моменті M=My әрекет ететін жазықтықпен, яғни күштер жазықтығымен сәйкес келетінін білдіреді.
Сур. 5
Егер теңдеулерден (2) және (3) _E/_ϱ жойылса, бірқалыпты иілу кезіндегі кернеуді анықтау өрнегі (Iy=I) алынады:
σ = M/I * z (4)
1 және 2 шеткі нүктелері үшін әсіресе:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
W1,2 = I/h1,2 (өлшемі: ұзындықтың үшінші дәрежесі) кедергі моменттері деп аталады. Егер көлденең ауырлық осі қиманың симметрия осі де болса, онда W1 = W2, сондықтан шеткі кернеулер абсолюттік шамасы бойынша тең болады.
Икемді сызық
Cурет. 6
Жоғарыда келтірілген өрнектердің маңызы Гук заңы ilə байланысты. Бұл σ << E болуын талап етеді, яғни (2) бойынша h << ϱ. Дегенмен иілу ϱ өзек ұзындығы l-мен бірдей шамада болатындай дәрежеге дейін болуы мүмкін. Құрылыста қарастырылатын иілген өзектерде мұндай жағдай болмайды; әрқашан ϱ l-ден_ әлдеқайда үлкен, демек майысу w << l (сур. 6). Онда жуық түрде мынау орындалады:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
және (3) бойынша:
w’’ = - M/EI.
Бұл теңдеу және тепе-теңдік шарты (1b) иілген сырықтың дифференциалдық теңдеулер жүйесін құрайды. Оларды алып тастау арқылы төртінші ретті бір теңдеуге келтіруге болады:
wIV = + p/EI
немесе, егер инерция моменті айнымалы болса:
(EIw’’)’’ = +p.
Олардан интегралдау арқылы p=p(x) жүктеме берілген кезде және әрбір өзек жағдайы үшін екі шекті шарт белгілі болғанда серпімді сызықтың пішінін табуға болады. Солардың кемінде екеуі деформацияға қатысты болуы тиіс. Толығырақ Ғимарат конструкцияларының статикасы мақаласын қараңыз.
Қиманың өзегі
Егер бейтарап ось көлденең қиманы кесіп өтсе, ол оны созылу аймағына және қысылу аймағына бөледі. Созылуға беріктігі төмен материалдарда, көлденең қиманың еш жерінде созылу болмауы тиіс болса, қысу күшінің қай жерге әсер етуі керектігі туралы сұрақ туындайды. Сонда күштің түсу нүктесінің орны қима өзегі деп аталатын аймақпен шектеледі. Өзектің шекарасы — айқын түрде, бейтарап осьтері көлденең қиманы шеті бойымен жанайтын нүктелердің геометриялық орны. Осы арқылы оның құрылысы да беріледі.
Ядро шекарасының ауырлық центрінен кез келген бағытта өлшенген қашықтығын сол бағытқа сәйкес k индексімен белгілейміз. Негізгі инерция осьтері үшін теңдеу бойынша
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
өрнектер төмендегідей:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
r радиусы бар дөңгелек көлденең қима үшін өзекше арақашықтығы k = r/4, ал дөңгелек сақина үшін (радиустары: сыртқы R, ішкі r) k = (R2 + r2) / 4R.
Тіктөртбұрыш үшін (сур. 7) ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Демек, тіктөртбұрыш қиманы симметрия жазықтықтарының бірінде жүктегенде (бірақ тек сол кезде ғана) қорытқы күш қиманың биіктігі немесе ені бойынша ортаңғы үштен бірге түссе жеткілікті, сонда қимадағы кернеулердің таңбасы бірдей болады.
Сур. 7
Пластикалық аймақта иілу
Иілген шыбықтың шеткі талшықтарында аққыштық шегі жеткен кезде, оның көтергіш қабілеті әлі де толық таусылған жоқ, өйткені сыртқы талшықтар тұрақты кернеу кезінде пластикалық деформацияланған сәтте, аққыштық шегі әлі жетпеген нейтрал оське жақынырақ бөліктерде кернеу артады, соның нәтижесінде қиманың қабылдай алатын иілу моменті де ұлғаяды.
Кернеу мен деформация диаграммасының нақты жүруі белгілі болса, екі жақты симметриялы қималар үшін (биіктігі h) процесті есептеу арқылы оңай қадағалауға болады: қималар жазық күйінде қалады деп қабылдап, кернеу мен деформация диаграммасынан қабылданған шеткі талшықтар созылымына ε__r сәйкес иілу кезіндегі кернеу σ таралуын анықтайды да, содан интегралдау арқылы иілу моментін табады. Мұны әртүрлі ε__r үшін орындап, ал екінші жағынан сәйкес иілу сызығының қисықтығын w’’ = 2 ε__r / h есептесе, нүктелер қатары алынады, сол нүктелер арқылы иілу моменті мен қисықтық арасындағы байланысты беретін сызық жүргізуге болады M = M(w’’); бұл байланыс енді сызықтық емес, ал ол белгілі болған кезде берілген моменттер таралуына сәйкес келетін иілу сызығын графикалық интегралдау арқылы анықтауға болады. Егер қима симметриялы болмаса, есеп одан да күрделірек болады, өйткені әрбір ε__r үшін нейтрал осьтің орнын да қосымша анықтау керек.
Сур. 8
Есептеу белгілі бір дәрежеде жеңілдейді, егер қима симметриясымен қатар, 8-суретке сәйкес кернеу мен деформация арасындағы жеңілдетілген байланыс та қабылданса. Онда аққыштық шегінен асқаннан кейін майысу салдарынан пайда болатын кернеулер 9-суретте көрсетілгендей таралады және майысу моменті:
сонда иілу сызығының қисықтығы (2) теңдеуін қиманың кернеулері серпімді аймақта болған бөлігіне w’’ = σf / Ez’ түрінде қолданғанда алынады. Әрбір қабылданған z’ үшін қиманың пішіні белгілі болса, интегралдарды есептеуге болады. Мысалы, ені b және биіктігі h тікбұрышты көлденең қиманың ең қарапайым жағдайы үшін:
Егер мұнда z’ w’’ арқылы өрнектелсе, алынады
I-қималарда және оларға ұқсас қималарда M-w’’ қисығының пластикалық аймақтағы жүрісі одан да жатық болады, ал аққыштық басталатын момент іс жүзінде қиманың көтере алатын ең үлкен иілу моментіне тең болады. Сондықтан құрылыс ісінде пластикалық иілудің маңызы қиманың көтере алатын иілу моментін арттыруда емес, аққыштық шегінде пайда болатын үлкен жергілікті деформация статикалық анықталмаған жүйелердегі күштердің таралуын қолайлы түрде өзгертуі мүмкіндігінде.
Сур. 9
Мұны екі өрісті үздіксіз арқалық мысалында түсіндіруге болады. Арқалықтың (сур. 10) ұзындықтары бірдей өрістері, тұрақты қимасы болсын және ол біркелкі бөлінген жүктемемен жүктелсін. Сонда ағу шегіне жеткенге дейін тірек үстіндегі момент MB = _pl_2/8. Егер p жүктемесі тірек қимасындағы момент аққыштық басталатын Mf мәніне жететіндей етіп ұлғайтылса, жүктеме одан әрі артқанда осы жерде айтарлықтай момент өсімінсіз қисықтық та ұлғаяды. Сонда аталатын пластикалық топса түзіледі, яғни арқалық қосымша жүктеме астында ортаңғы тірек үстінде топса бардай әрекет етеді. Жүктемені әрі қарай арттыруға өрістегі ең үлкен момент орнында да аққыштық басталғанға дейін болады. Иілу моментін одан әрі арттыру мүмкін болмайды және арқалықтың көтергіштік қабілеті таусылады. Осындай күй басталатын жүк шекті жүктеме деп аталады.
Cурет. 10
Жалпы алғанда, n рет статикалық анықталмаған бір жүйеде жүйе жылжымалы болып, сол арқылы өз көтергіштік шегіне жеткенге дейін (n+1) пластикалық топса пайда болуы тиіс деп күтіледі. Алайда бұл ереженің екі бағытта да ерекшеліктері бар. Көрсетілген мысалдан көрінетіні сияқты, көтергіштік шегінде бір мезгілде екі жаңа пластикалық топса (екі өрісте де) пайда болуы мүмкін, сондықтан осыған дейін әлі жылжымайтын жүйе кенеттен екі еркіндік дәрежесі бар жүйеге өтеді. Екінші жағынан, (n+1) пластикалық топсадан азырақ болғанда да көтергіштік қабілет жергілікті түрде таусылуы мүмкін, мысалы, үздіксіз тіректе тек бір өріс істен шыққанда. 11 мұның n=2 пластикалық топсасы бар статикалық екі есе анықталмаған жүйеде қалай болатынын көрсетеді. Егер тіректің оң жағына тағы төртінші өріс қосылса, тірек үш еселік статикалық анықталмаған болады, сондықтан тек сол жақ өрісті көтергіштік шегіне жеткізу үшін (n-1) пластикалық топса жеткілікті.
Сур. 11
Иілу кезіндегі ығысу кернеулері
Элементарлық есептеу
Cурет. 12
Қалыпты кернеулер σ, яғни іс жүзінде иілу салдарынан пайда болатын кернеулер иілген сырықтағы жалғыз кернеулер емес, олардың қатарында көлденең күштің әсерінен туындайтын қырқушы кернеулер де болады. Қырқушы кернеулерден болатын деформациялар ескерілмейтін иілудің техникалық теориясының негізгі сипатына байланысты, оларды тек тепе-теңдік шарттарынан ғана анықтауға болады. Мұны қою үшін, арқалық элементі dx, сур. 12-де көрсетілгендей, горизонталь жазықтықпен екі бөлікке кесіледі де, төменгі бөлікке әсер ететін горизонталь күштердің тепе-теңдік шарты жазылады. Сол жақта бұлар иілу салдарынан σ кернеулерімен өрнектелетін ішкі күштер, олар үшін z’ = z-ден z’ = h2-ге дейін интегралдау керек
Оң жағында дәл сол кернеулер әсер етеді, бірақ тиісті иілу моментіне M + dM сәйкес дифференциалға ұлғайтылған түрде. Элементтің екі жағындағы күштердің айырмасы горизонталь қима бетінде t dx әрекет ететін τ ығысу кернеулерінен туатын күшпен теңгерілуі тиіс:
Мұнда интеграл көлденең қима жазықтығымен бөлінген қиманың бір бөлігінің ауырлық центрі осіне қатысты статикалық моментін білдіреді. Ол S таңбасымен белгіленеді. Тепе-теңдік шартынан dM/dx = Q бойынша мынаны аламыз:
τ = QS/It. (8)
Бұл, ығысу кернеулерінің конъюгациясы туралы қағидаға сәйкес, көлденең қиманың бетінде әсер ететін тік ығысу кернеуінің шамасы болып табылады және ол S және t-мен бірге z-тің функциясы болып табылады.
Cурет. 13
Сур. 13.1
Теңдеу (8) барлық жұқа қабырғалы қималар үшін сенімді мәлімет береді, егер қима жазықтығы нейтрал оське параллель емес, қабырға қалыңдығы бағытымен орналасса. Демек, I-профиль қимасы қыр арқылы да, фланец арқылы да көлденең кесіледі, соның нәтижесінде сур. 13.1-де көрсетілген кернеулердің таралуы алынады. Сақиналы қима үшін (сур. 13) ығысу кернеулері тік диаметрге қатысты симметриялы орналасады және сол жақта да, оң жақта да нейтрал сызықта ең жоғары мәнге жетеді
τ = Q / πrt.
Егер қима ең жоғарғы немесе ең төменгі нүктеде қиылса, ығысу кернеулерінің таралуы өзгермейді; алайда, егер ол горизонталь диаметрдің оң жақ шетінде қиылса (сур. 14), осы нүктедегі ығысу кернеуі нөлге тең болады, ал сол диаметрдің сол жақ шетінде оның мәні екі еселенеді.
Сур. 14
Толық қималар
Еркін пішінді тұтас қималарда ығысу кернеулері мәселесі бұралу проблемасымен тығыз байланысты. Мұндай жағдайда элементар теңдеу (8) енді сенімді емес. Радиусы r болатын дөңгелек қима үшін теңдеу (8) береді
τ = 4Q / 3__πr2
бейтарап ось бойындағы ығысу кернеуінің орташа мәні ретінде, ал нақты мәні бар болғаны бірнеше пайызға ғана жоғары.
Ығысу орталығы
Егер U-қима үшін жоғарыда сипатталған тәсілмен ығысу кернеулері есептелсе, онда сур. 15-де көрсетілген кернеулердің таралуы алынады. Сәйкес ішкі күштердің қорытқысы — көлденең күш Q. Суреттен оның қимаға қатысты орны көрінеді, яғни ол қиманың ауырлық центрі арқылы да өтпейді, қабырға жазықтығында да жатпайды. Егер сыртқы күштер негізінде есептелген көлденең күштің орны сур. 15-де көрсетілгендей болмаса, онда арқалық тек иілуге ғана емес, сонымен қатар бұралуға да ұшырайды.
Егер сол бір көлденең қима үшін қандай да бір горизонталь жүктемеге сәйкес келетін қорытқы күш анықталса, горизонталь көлденең күштің әсер ету сызығы алынады. Осы екі әсер ету сызығының қиылысында берілген көлденең қимаға тән нүкте орналасады, ол ығысу орталығы M деп аталады. Барлық көлденең қималардың ығысу орталықтары бір түзудің бойында жатса және шыбық осіне перпендикуляр барлық жүктемелер сол түзудің арқылы өтсе, арқалықта бұралу салдарынан кернеулер пайда болмайды. Әйтпесе, әрбір жүктеменің ығысу орталықтарын қосатын түзуге қатысты моменті бұралу ығысуын тудырады.
Сур. 15
Көлденең күштің июге әсері
Иілу жөніндегі техникалық теория ығысу кернеулерінен туатын деформацияларды елемеуге негізделеді. Сондықтан ол іс жүзінде жіңішке таяқшаларға қолданылады, онда мұндай елемеу орынды және көлденең күштің иілуге айтарлықтай әсері жоқ.
Тәжірибе, алайда, иілу жөніндегі техникалық теорияны қысқа, биік тіректерге белгілі бір табыспен қолдануға болатынын көрсетті, ал бұл үшін ол іс жүзінде мүлдем арналмаған. Онда осы теорияда еленбеген ығысу кернеулерінен туындайтын деформация әсерін кем дегенде шамамен кейіннен ескеру қажеттігі туындайды.
Трансверзаль күштерден туындайтын ығысу кернеулері τ сияқты және соған сәйкес сырғулар γ_’ =_ τ_/G_ да қимада біркелкі емес таралады. Сондықтан олардың орташа мәні γ енгізіледі; ол трансверзаль күш осы деформацияның орташа мәні кезінде dx арқалық элементінде дәл сол, қарастырылып отырған арқалық элементін құрайтын жекелеген көлемдік элементтердегі ығысу кернеулері жұмыстарының интегралдауынан шығатын жұмысқа тең деформациялық жұмыс істеуі үшін анықталады:
осыдан
Интегралды қима бойынша ығысу кернеулерінің таралуы белгілі болғанда есептеуге болады. Барлық ығысу кернеулері Q/F-ке пропорционал болғандықтан, оның мәні Q2/F2 * F-ке пропорционал, сондықтан оны κ__Q2/F деп алып, мынадай нәтиже шығады
γ = κ__Q / GF.
κ тұрақтысы ығысу кернеулерінің таралу коэффициенті деп аталады. Тікбұрышты қималар үшін κ=1,2.
Cурет. 16
κ коэффициенті белгілі болғанда, демек орташа сырғу γ да белгілі болғанда, көлденең күштердің әсерінен пайда болған қосымша иілу wQ есептеледі, оны w иілулеріне қосу керек: өйткені 16-суретке сәйкес бұл
сондықтан Q = dM/dx бойынша:
мұнда интегралдау тұрақтысы бір шеттік шарттан алынады.