כיפוף פשוט וכיפוף עם כוח נורמלי

מאמצים נורמליים ב מוטות ישרים ומוטות בעלי עיקום קטן

הגדרת כוחות החתך

נניח שמוט ישר נתון לכוחות בכיוונים שרירותיים, אשר לגביהם מניחים רק שכלם נמצאים במישור אחד (מישור הכוחות) העובר דרך ציר המוט (הקו המחבר את מרכזי הכובד של החתכים הטרנסברסליים).

איור. 1

כדי לחשב את המאמצים הפועלים בחתך רוחב מסוים n – n (אי. 1), יש לדעת את הכוח המועבר דרך חתך זה מחלק אחד של המוט אל האחר. ברור שבגודלו ובמיקומו הוא שווה לרכיב השקול של כל הכוחות הפועלים על חלק אחד של המוט. שקול זה מתפרק לרכיבים במערכת צירים שבה ציר ה־x תואם לציר המוט, וציר ה־z הוא הקו שלאורכו מישור החתך הרוחבי חותך את מישור הכוחות. הרכיב בכיוון ציר ה־z נקרא כוח טרנסוורסלי Q או Qz ובקורה פשוטה נחשב חיובי אם משמאל לחתך כיוונו כלפי מעלה, ומימין כלפי מטה.

כאשר המוט עקום, צירי הקואורדינטות x ו-z הם בכל חתך בכיוון אחר, ובכל מקרה כך שציר x הוא משיק לציר המוט. אם המישור שבו נמצא ציר המוט אינו חופף למישור הכוחות, או אם ציר המוט הוא עקום מרחבי, שקול הכוחות משמאל לחתך כולל גם רכיב שלישי, הכוח הרוחבי Qy. עם N, Qz ו-Qy נקבעים הגודל והכיוון של הכוח המועבר דרך החתך, אך לא מיקומו. לשם כך יש לדעת גם את מומנטיו ביחס לצירי הקואורדינטות. במקרה של כפיפה ישרה די לדעת את מומנט הכפיפה M או My. במקרה הכללי ביותר מופיע גם מומנט כפיפה נוסף Mz ומומנט סביב ציר x, Mx.

שש הכוחות והמומנטים שהוגדרו בהסבר הקודם כלולים תחת השם המשותף „כוחות חיתוך“. קביעתם היא אחת המשימות הבסיסיות של סטטיקת מבנים.

בין העומס המפוזר ברציפות p (ממד: כוח ליחידת אורך), הכוח הטרנסברסלי Q ומומנט הכיפוף M קיים במקרה של כיפוף מישורי יחס פשוט. כלומר, מתנאי שיווי המשקל של אלמנט מוט אחד (איור 2) מתקבל

dQ + p dx = 0,

dM = Q dx;

לכן

Q = dM/dx, 

p = - dQ/dx = - d2M/dx2.        (1a, b)

איור. 2

התפלגות המאמצים הנורמליים

אם המוט נתון רק לכוח צירי, מופיע בחתך רק מאמץ נורמלי σ המחולק באופן אחיד (מוט מתוח, או לחוץ). אם בנוסף לכך מופיע מומנט כפיפה, יש לחלק מאמצים אלה באופן לא אחיד בדרך כלשהי, כך שהתוצאה השקולה שלהם כבר אינה עוברת דרך מרכז הכובד של החתך. כדי לקבוע חלוקה זו, תורת הכפיפה ההנדסית אינה יוצאת מפתרון מדויק של משוואות היסוד, אלא מחליפה חלק ממשוואות אלה בהנחה סבירה, שבמקרה אחד פשוט במיוחד מתקיימת גם בדיוק. מקרה מיוחד זה הוא כפיפה של מוט פריזמטי ישר ללא פעולת כוחות רוחביים (איור 3). כל מרכיבי המוט המרוחקים די הצורך מקצותיו עוברים אותה התעוותות, ומכאן נובע ישירות שציר המוט עובר לקשת מעגלית ושכל מישורי החתכים הרוחביים, שהיו בתחילה מאונכים לציר המוט, נותרים בעת ההתעוותות מישוריים, משום שכל אחד מהם הוא מישור סימטריה של החלקים הסמוכים של המוט המעוות. באופן טבעי עולה ההנחה כי החתכים הרוחביים נותרים בקירוב מישוריים גם כאשר מומנט הכפיפה והחתך הרוחבי של המוט אינם קבועים, אלא משתנים בהדרגה לאורך המוט. הנחה זו, הנקראת ההיפותזה של Navier, עומדת ביסוד תורת הכפיפה.

איור 3

גודל המאמצים הנורמליים

כאשר אלמנט ישר של קורה מתכופף, חלק מ״סיביו״, כלומר קווי החומר המקבילים לציר המוט, נמתח, בעוד שהחלק האחר מתקצר (איור 4). בין שני חלקים אלה נמצאים הסיבים הנייטרליים z=0, שאורכם אינו משתנה בעת הכיפוף. נניח שרדיוס העקמומיות של סיבים אלה במצב המכופף הוא ϱ, ונניח שהוא נמצא במישור x-z. מן האיור 4 m ניתן לקרוא

Δ dx/z = _dx/_ϱ

ומשם לחשב את התארכות הסיבים במרחק z מן הציר הנייטרלי, אשר שווה

ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ

ולכן, על סמך חוק Hooke- נוצר מאמץ

σ _= Ez/_ϱ   (2)

Fig. 4

מאמץ זה פרופורציונלי למרחק מן הסיבים הנייטרליים. תוצאה כזו קשורה להנחה שלפני העיוות כל סיבי איבר המוט היו באורך שווה, כך שהמוט היה מלכתחילה ישר, או לפחות עם עקמומיות קטנה כל כך עד שניתן להזניח את השפעתה. הקו שלאורכו נחתכים השכבה הנייטרלית ומישור החתך נקרא הציר הנייטרלי. אנו מאמצים אותו כציר y (איור 5). מיקום הציר הנייטרלי בחתך הרוחב מתקבל מתנאי שיווי המשקל של הכוחות בכיוון ציר x: אם הכוח הנורמלי N=0 (כפיפה ללא כוח נורמלי), אז גם השקול של הכוחות הפנימיים המובע באמצעות המאמצים הנורמליים בחתך חייב להיות שווה לאפס:

האינטגרל בצד ימין הוא המומנט הסטטי של השטח ביחס לציר ה-y. כדי שהוא יהיה שווה לאפס, ציר זה חייב להיות אחד מצירי המרכז.

המומנט M הגורם לעיוות כולל ביחס לצירים y ו-z במישור החתך (איור 5) את הרכיבים:

יח׳. (3)

כאשר Iy, Iyz הם מומנטי האינרציה האקווטוריים והצנטריפוגליים של החתך ביחס לצירים המסומנים.

המקרה המיוחד החשוב ביותר הוא כאשר Mz=0. מקרה זה מתקיים כאשר Iyz=0, כלומר כאשר y ו־z הם הצירים הראשיים של התמדת החתך. פירוש הדבר הוא שמישור הכיפוף שננקט כאן, יחד עם מישור x-z-, חופף למישור שבו פועל מומנט הכיפוף M=My, כלומר למישור הכוחות.

Fig. 5

אם מהמשוואות (2) ו-(3) מבטלים את _E/_ϱ, מתקבל הנוסח לקביעת המאמצים בכיפוף אחיד (Iy=I):

σ = M/I * z   (4)

עבור נקודות הקצה 1 ו-2 במיוחד:

σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2.   (5)

הגדלים W1,2 = I/h1,2 (ממד: אורך בחזקת שלישית) נקראים מומנטים התנגדותיים. אם ציר הכובד האופקי הוא גם ציר הסימטריה של החתך, אז W1 = W2, ולכן מאמצי השפה שווים בערכם המוחלט.

קו אלסטי

איור. 6

חשיבות התבניות הנזכרות לעיל קשורה לחוק הוק. הדבר מחייב ש-σ << E, כלומר לפי (2) h << ϱ. עם זאת, הכיפוף יכול להיות כזה ש-ϱ יהיה מאותו סדר גודל כמו אורך המוט l. במוטות מכופפים הרלוונטיים בבנייה מקרה זה אינו מתקיים; תמיד ϱ גדול בהרבה מ-l ולפיכך החץ w << l (איור 6). אז בקירוב מתקיים:

1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’

ועל סמך (3):

w’’ = - M/EI.

משוואה זו ותנאי שיווי המשקל (1b) מהווים מערכת של משוואות דיפרנציאליות של מוט כפוף. באמצעות חיסול ניתן לצמצמן למשוואה אחת מדרגה רביעית:

wIV = + p/EI

או, במקרה שמומנט האינרציה משתנה:

(EIw’’)’’ = +p.

מן אלה אפשר למצוא באמצעות אינטגרציה את צורת הקו האלסטי כאשר נתון העומס p=p(x) וכאשר לכל מקרה של מוט ידועים שני תנאי שפה. מבין אלה לפחות שניים חייבים להתייחס לעיוות. לפרטים נוספים ראו את המאמר סטטיקה של מבני בניין.

ליבת החתך

אם הציר הנייטרלי חותך את החתך, הוא מחלק אותו לאזור מתיחה ולאזור לחיצה. בחומרים בעלי חוזק מתיחה נמוך עולה השאלה היכן צריכה לפעול כוח הלחיצה, אם בחתך אסור שתתרחש מתיחה בשום מקום. מיקומה של נקודת הפעולה של הכוח מוגבל אז לאזור הנקרא גרעין החתך. גבול הגרעין הוא בבירור המקום הגאומטרי של נקודות, שצירן הנייטרלי משיק לחתך ההיקפי. בכך ניתנת גם בנייתו.

את מרחק גבול הליבה ממרכז הכובד, הנמדד בכל כיוון שהוא, נסמן ב־k עם אינדקס המתאים לאותו כיוון. עבור הצירים הראשיים של האינרציה לפי המשוואה

σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z  (6)

הביטויים הם כדלקמן:

ky = i2z / ey,      kz = i2y / ez.   (7)

עבור חתך רוחב מעגלי בעל רדיוס r מרחק הליבה הוא k = r/4, ועבור טבעת מעגלית (רדיוסים: חיצוני R, פנימי r) k = (R2 + r2) / 4R.

למלבן (איור 7) מתקבל ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. כלומר, בעת העמסה של חתך מלבני באחת ממישורי הסימטריה (אך רק אז) די בכך שהתוצאה תפעל בשליש האמצעי של הגובה או הרוחב של החתך, כדי שהמאמצים בחתך יהיו בעלי אותו סימן.

Fig. 7

כיפוף בתחום הפלסטי

כאשר הושג גבול הזרימה בסיבים הקיצוניים של מוט כפוף, כושר הנשיאה שלו עדיין לא מוצא, משום שבעוד הסיבים החיצוניים עוברים עיוות פלסטי תחת מאמץ קבוע, בחלקים הקרובים יותר לציר הנייטרלי, שבהם גבול הזרימה עדיין לא הושג, המאמץ גדל, ובהתאם לכך גדל גם מומנט הכפיפה שהחתך יכול לשאת.

אם ידוע מהלך מדויק של דיאגרמת המאמצים והעיוותים, ניתן לעקוב אחר התהליך חישובית עבור חתכים סימטריים כפולה (בגובה h) בקלות, כך שבהנחה שהחתכים נותרים ישרים, מן הדיאגרמה של המאמצים והעיוותים נקבעת התפלגות המאמצים σ עקב כפיפה, המתאימה לעיוות שנבחר כלשהו של הסיבים הקיצוניים ε__r, ומכאן נקבע מומנט הכפיפה באמצעות אינטגרציה. אם הדבר מבוצע עבור ערכים שונים של ε__r ומצד שני מחושב העקמומיות המתאימה של קו הסטייה w’’ = 2 ε__r / h, מתקבלת סדרת נקודות שדרכן ניתן להעביר קו המגדיר את הקשר בין מומנט הכפיפה לבין העקמומיות M = M(w’’); קשר זה אינו עוד ליניארי, וכאשר הוא ידוע ניתן לקבוע באמצעות אינטגרציה גרפית את קו הסטייה המתאים להתפלגות נתונה של מומנטים. אם החתך אינו סימטרי, החישוב נעשה מורכב יותר, בכך שלכל ε__r יש לקבוע גם את מיקום הציר הנייטרלי.

איור 8

החישוב מתפשט במידה מסוימת אם מלבד סימטריית החתך מניחים גם קשר מפושט בין המאמצים והמעוותים לפי איור 8. אז המאמצים עקב כפיפה לאחר חריגת גבול הכנ屈 מתפלגים כפי שמוצג באיור 9 ומומנט הכפיפה הוא:

וכך מתקבלת עקמומיות קו ההסטה כאשר משוואה (2) מוחלת על חלק של החתך שמאמציו בתחום האלסטי w’’ = σf / Ez’. אם צורת החתך ידועה עבור כל z’ שנבחר, ניתן לחשב את האינטגרלים. למשל, במקרה הפשוט ביותר של חתך רוחב מלבני ברוחב b ובגובה h הוא

אם כאן z’ מבוטא באמצעות w’’, מתקבל

בחתכי I ובחתכים דומים להם, מהלך עקומת M-w’’ בתחום הפלסטי שטוח עוד יותר, והמומנט שבו מתחילה הזרימה שווה למעשה למומנט הכיפוף המרבי שהחתך מסוגל לשאת בכלל. לכן חשיבותה של הכפיפה הפלסטית בהנדסת הבנייה אינה בהגדלת מומנט הכיפוף שהחתך יכול לשאת, אלא בכך שהעיוות המקומי הגדול המופיע בגבול הזרימה יכול להביא לשינוי נוח בפיזור הכוחות במערכות סטטיות-בלתי-מוגדרות.

איור 9

אפשר להסביר זאת בדוגמה של קורה רציפה על פני שני מפתחים. נניח שלקורה (אי. 10) יש מפתחים באורך שווה, חתך קבוע, והיא נתונה לעומס אחיד. אזי לפני הגעה לגבול הכנ屈 המומנט מעל התמך MB = _pl_2/8. אם העומס p יגדל עד כדי כך שהמומנט בחתך התמך יגיע לערך Mf שבו מתחילה כנ屈, הרי שבהמשך הגדלת העומס יגדל באותו מקום גם העקמומיות בלי גידול ניכר במומנט. נוצר מה שנקרא ציר פלסטי, כלומר הקורה תחת העומס הנוסף מתנהגת כאילו מעל התמך האמצעי קיים ציר. אפשר להוסיף ולהגדיל את העומס עד שגם במקום המומנט המרבי במפתח תתחיל כנ屈. הגדלה נוספת של מומנט הכיפוף אינה אפשרית עוד וכושר הנשיאה של הקורה מוצָה. העומס שבו מופיע מצב זה נקרא עומס גבולי.

איור. 10

בדרך כלל ניתן לצפות שבמערכת בת n דרגות אי-ודאות סטטית יצטרכו להיווצר (n+1) מפרקים פלסטיים לפני שהמערכת תהפוך לניידת ובכך תגיע לגבול נשיאתה. אולם לכלל זה יש חריגים בשני הכיוונים. כפי שמראה הדוגמה המובאת, בגבול הנשיאה יכולים להיווצר בו-זמנית שני מפרקים פלסטיים חדשים (בשני המפתחים), כך שמערכת שעד אז הייתה עדיין בלתי ניידת עוברת לפתע למערכת בעלת שתי דרגות חופש. מצד שני, ייתכן שגם עם פחות מ-(n+1) מפרקים פלסטיים ייגמרת הנשיאה מקומית, למשל כאשר בקורה רציפה נכשל רק מפתח אחד. איור 11 מראה כיצד הדבר יכול להתרחש במערכת אחת בעלת שתי דרגות אי-ודאות סטטית, עם n=2 מפרקים פלסטיים. אם בצד הימני של הקורה מוסיפים גם מפתח רביעי, הקורה נעשית סטטית לא-ודאית בשלוש דרגות, ולכן די ב-(n-1) מפרקים פלסטיים כדי להביא רק את המפתח השמאלי לגבול הנשיאה.

איור 11

מאמצי גזירה בכיפוף

חישוב אלמנטרי

איור. 12

מאמצים נורמליים σ, כלומר המאמצים המופיעים למעשה עקב כיפוף, אינם המאמצים היחידים במוט כפוף, אלא לצדם מופיעים גם מאמצי גזירה עקב פעולת הכוח הטרנסוורסלי. מאחר שהתכונה הבסיסית של תורת הכיפוף ההנדסית היא שמתעלמים מעיוותים עקב מאמצי גזירה, ניתן לקבוע אלה רק מתנאי שיווי משקל. כדי לקבוע זאת, יסוד הקורה dx נחתך, כפי שמצוין באיור 12, במישור אופקי לשני חלקים, ונקבע תנאי שיווי משקל של הכוחות האופקיים הפועלים על החלק התחתון. בצד השמאלי אלה הם הכוחות הפנימיים המתבטאים באמצעות המאמצים σ עקב כיפוף, שיש לאינטגרל מ־z’ = z עד z’ = h2

בצד הימני פועלים אותם מאמצים, אך מוגדלים בדיפרנציאל בהתאם למומנט הכפיפה המתאים M + dM. ההפרש בין הכוחות משני צדי האלמנט חייב להיות בשיווי משקל עם הכוח הנגרם על ידי מאמצי הגזירה τ הפועלים במשטח החתך האופקי t dx:

כאן האינטגרל מייצג את המומנט הסטטי של חלק מן החתך הצולב המופרד על ידי מישור חתך אופקי ביחס לציר הכובד של החתך. הוא מסומן ב-S. מן התנאי dM/dx = Q מתקבל משיווי המשקל:

τ = QS/It.  (8)

זוהי, לפי עקרון הצמידות של מאמצי הגזירה, גם עוצמת מאמץ הגזירה האנכי הפועל במשטח החתך, אשר, יחד עם S ו-t, הוא פונקציה של z.

איור. 13

איור 13.1

המשוואה (8) מספקת נתונים מהימנים בכל החתכים בעלי דופן דקה אם מישור החתך אינו מקביל לציר הנייטרלי, אלא בכיוון עובי הדופן. לפיכך פרופיל I נחתך לרוחב דרך הגל ודרך האוגן, וכך מתקבלת התפלגות המאמצים המוצגת באיור 13.1. בחתך טבעתי (איור 13) מאמצי הגזירה מסודרים באופן סימטרי ביחס לקוטר האנכי ומגיעים משמאל ומימין על הקו הנייטרלי למקסימום

τ = Q / πrt.

אם החתך נחתך בנקודה הגבוהה ביותר או הנמוכה ביותר, התפלגות מאמצי הגזירה אינה משתנה; אולם אם הוא נחתך בקצה הימני של הקוטר האופקי (איור 14), מאמץ הגזירה בנקודה זו שווה לאפס, בעוד שערכו מוכפל בקצה השמאלי של אותו קוטר.

איור 14

חתכים מלאים

בחתכים מלאים בעלי צורה שרירותית, בעיית מאמצי הגזירה קשורה בקשר הדוק לבעיית הפיתול. המשוואה האלמנטרית (8) במקרה זה אינה עוד אמינה. עבור חתך מעגלי ברדיוס r משוואה (8) נותנת

τ = 4Q / 3__πr2

כממוצע של מאמץ הגזירה לאורך הציר הנייטרלי, והערך המדויק גבוה ממנו רק בכמה אחוזים.

מרכז הגזירה

אם עבור חתך U מחשבים את מאמצי הגזירה בדרך המתוארת לעיל, מתקבלת התפלגות המאמצים המוצגת באיור 15. השקול של הכוחות הפנימיים המתאימים הוא הכוח הטרנסוורסלי Q. מן האיור ניתן לראות את מיקומו ביחס לחתך, כלומר שהוא אינו עובר דרך מרכז הכובד של החתך, ואינו שוכן במישור הצלע. אם הכוח הטרנסוורסלי המחושב על סמך הכוחות החיצוניים אינו נמצא במיקום המוצג באיור 15, הקורה אינה נתונה רק לכפיפה, אלא גם לטורשן.

אם עבור אותו חתך רוחבי נקבעת שקולה המתאימה למאמצי הגזירה עבור עומס אופקי כלשהו, מתקבלת קו הפעולה של הכוח הרוחבי האופקי. בחיתוך של שני קווי פעולה אלה נמצאת הנקודה האופיינית לחתך הרוחבי הנתון, הנקראת מרכז הגזירה M. בקורה לא מופיעים מאמצים עקב פיתול כאשר מרכזי הגזירה של כל החתכים הרוחביים נמצאים על ישר אחד, וכל העומסים המאונכים לציר המוט עוברים דרך אותו ישר. אחרת, מומנט כל עומס ביחס לישר המחבר את מרכזי הגזירה מייצג גזירת פיתול.

איור. 15

השפעת כוח רוחבי על כפיפה

התיאוריה הטכנית של הכיפוף מבוססת על הזנחת העיוותים הנובעים ממאמצי גזירה. לפיכך ניתן ליישם אותה בפועל על מוטות דקים, שבהם הזנחה זו מוצדקת ושבהם הכוח הטרנסברסלי אינו משפיע באופן ניכר על הכיפוף.

הניסיון הראה, עם זאת, כי ניתן להחיל בהצלחה מסוימת את תורת הכיפוף ההנדסית גם על קורות קצרות וגבוהות, שלמעשה כלל אינן מיועדות לה. אז מתעורר הצורך להביא בחשבון, לפחות בקירוב, לאחר מכן, את השפעת העיוות עקב מאמצי הגזירה, שהוזנחה בתיאוריה זו.

בדומה למאמצי הגזירה τ עקב כוחות רוחביים ולמחליקות המתאימות γ_’ =_ τ_/G_ הם מפוזרים באופן בלתי אחיד על פני החתך. משום כך מגדירים את הערך הממוצע שלהם γ, הנקבע כך שכוח רוחבי, בערך ממוצע זה של העיוות, מבצע על אלמנט הקורה dx עבודה עיוותית השווה לזו שהייתה מתקבלת על ידי אינטגרציה של עבודות מאמצי הגזירה על רכיבי הנפח הבודדים המרכיבים את אלמנט הקורה הנבחן:

שממנו

ניתן לחשב את האינטגרל כאשר ידועה התפלגות מאמצי הגזירה לאורך החתך. מאחר שכל מאמצי הגזירה פרופורציונליים ל־Q/F, ערכו פרופורציונלי ל־Q2/F2 * F, ולכן אם מציבים שהוא κ__Q2/F, מתקבל

γ = κ__Q / GF.

הקבוע κ נקרא מקדם חלוקת מאמצי הגזירה. עבור חתכים מלבניים κ=1,2.

Fig. 16

כאשר מקדם κ, ולכן גם ההחלקה הממוצעת γ, ידוע, אפשר לחשב את הסטייה הנוספת wQ, שנוצרת מפעולת כוחות גזירה, ושיש להוסיף אותה לסטיות w: כי לפי איור 16 מתקבל

ולכן בשל Q = dM/dx:

כאשר קבוע האינטגרציה מתקבל מאחד מתנאי השפה.