Normalne napetosti pri ravnih palicah in palicah z majhno ukrivljenostjo
Opredelitev presečnih sil
Naj bo raven palica obremenjena s silami poljubne smeri, o katerih se predpostavlja le, da vse ležijo v eni ravnini (ravnina sil), ki poteka skozi os palice (črta, ki povezuje težišča prečnih prerezov).
Slika 1
Da bi izračunali napetosti, ki delujejo v nekem prečnem prerezu n – n (sl. 1), je treba poznati silo, ki se prek tega prereza prenaša z enega dela palice na drugega. Po velikosti in legi je očitno enaka rezultanti vseh sil, ki delujejo na en del palice. Ta rezultanta se razstavi na komponente v koordinatnem sistemu, katerega x-os sovpada z osjo palice, z-os pa je črta, vzdolž katere ravnina prečnega prereza seka ravnino sil. Sestavina v smeri osi z se imenuje prečna sila Q ali Qz in se pri preprostem nosilcu šteje za pozitivno, če ima levo od prereza smer navzgor, desno pa navzdol.
Kadar je palica ukrivljena, imata koordinatni osi x in z v vsakem prerezu drugačno smer, in sicer tako, da je x-os vedno tangenta na os palice. Če ravnina, v kateri leži os palice, ne sovpada z ravnino sil ali če je os palice prostorska krivulja, ima rezultanta sil levo od prereza tudi tretjo komponento, prečno silo Qy. Z N, Qz in Qy sta določeni velikost in smer sile, ki se prenaša skozi prerez, ne pa tudi njen položaj. Za to morajo biti znani tudi njeni momenti glede na koordinatne osi. V primeru ravnega upogiba zadošča, da je znan upogibni moment M ali My. V najsplošnejšem primeru se pojavi še en upogibni moment Mz in moment okoli x-osi, Mx.
Šest sil in momentov, definiranih v prejšnji obravnavi, zajema skupni naziv »presečne sile«. Njihovo določanje je ena od osnovnih nalog statike gradbenih konstrukcij.
Med neprekinjeno porazdeljeno obremenitvijo p (dimenzija: sila na enoto dolžine), prečnimi silami Q in upogibnim momentom M obstaja v primeru ravnega upogiba preprosta povezava. Namreč, iz pogoja ravnotežja enega elementa droga (sl. 2) dobimo
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
torej
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Slika 2
Porazdelitev normalnih napetosti
Če je palica obremenjena samo z osno silo, se v prerezu pojavi le enakomerno porazdeljena normalna napetost σ (natezna oziroma tlačna palica). Če se ob tem pojavi še upogibni moment, morajo biti te napetosti na nek način neenakomerno porazdeljene, tako da njihova rezultanta ne poteka več skozi težišče prereza. Da bi določili to porazdelitev, tehnična teorija upogiba ne izhaja iz stroge rešitve temeljnih enačb, temveč nadomesti del teh enačb s smiselno predpostavko, ki je v enem posebej enostavnem primeru hkrati tudi strogo izpolnjena. Ta poseben primer je upogib ravne prizmatične palice brez delovanja prečnih sil (sl. 3). Vsi elementi palice, ki so dovolj oddaljeni od njenih koncev, doživijo enako deformacijo, iz česar neposredno sledi, da os palice preide v krožni lok in da vse ravnine prečnih prerezov, ki so bile prvotno pravokotne na os palice, pri deformaciji ostanejo ravne, ker je vsaka od njih ravnina simetrije za sosednje dele deformirane palice. Naravno se ponuja predpostavka, da prečni prerezi ostanejo približno ravni tudi tedaj, ko upogibni moment in prečni prerez palice nista konstantna, temveč se vzdolž palice postopno spreminjata. Ta predpostavka, imenovana Navier-ova hipoteza, je osnova teorije upogiba.
Slika 3
Velikost normalnih napetosti
Ko se upogne ravni element nosilca, se en del njegovih »vlaken«, tj. materialnih črt, vzporednih osi palice, razteguje, drugi del pa krajša (sl. 4). Med tema deloma ležijo nevtralna vlakna z=0, katerih dolžina se pri upogibu ne spremeni. Naj bo polmer ukrivljenosti teh vlaken v upognjenem stanju ϱ in naj leži v ravnini x-z. Iz sl. 4 mo se lahko prebere
Δ dx/z = _dx/_ϱ
in od tod izračunana dilatacija vlaken na razdalji z od nevtralne osi, ki znaša
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
zato po Hooke-ovem zakonu napetost
σ _= Ez/_ϱ (2)
Slika 4
Ta napetost je sorazmerna oddaljenosti od nevtralnih vlaken. Tak rezultat je vezan na predpostavko, da so bila pred deformacijo vsa vlakna elementa palice enako dolga, tako da je bila palica prvotno ravna ali pa je imela tako majhno ukrivljenost, da jo je mogoče zanemariti. Premica, vzdolž katere se sekata nevtralna plast in ravnina preseka, se imenuje nevtralna os. Zanjo prevzamemo y-os (sl. 5). Položaj nevtralne osi v prečnem prerezu dobimo iz pogoja ravnotežja sil v smeri x-osi: če je normalna sila N=0 (upogib brez normalne sile), mora biti tudi rezultanta notranjih sil, izražena z normalnimi napetostmi v prerezu, enaka nič:
Integral na desni strani je statični moment površine glede na y-os. Da bi bil enak nič, mora biti ta os ena od težiščnih osi.
Moment M, ki povzroča deformacijo, ima glede na osi y in z v ravnini prereza (sl. 5) komponente:
Enač. (3)
pri čemer sta Iy, Iyz ekvatorialni in centrifugalni vztrajnostni moment prereza glede na označeni osi.
Najpomembnejši je poseben primer, ko je Mz=0. Ta primer nastopi, ko je Iyz=0, torej kadar sta y in z glavni osi vztrajnostnega momenta preseka. To pomeni, da se ravnina upogibanja, ki je tu privzeta za x-z-ravnino, ujema z ravnino, v kateri deluje upogibni moment M=My, torej z ravnino sil.
Slika 5
Če iz enačb (2) in (3) izločimo _E/_ϱ, dobimo obrazec za določitev napetosti pri ravnem upogibu (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
za robni točki 1 in 2 posebej velja:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Veličine W1,2 = I/h1,2 (dimenzija: dolžina na tretjo) se imenujejo odporni momenti. Če je vodoravna težiščna os hkrati tudi os simetrije preseka, tedaj je W1 = W2, zato so robne napetosti po absolutni vrednosti enake.
Elastična serija
Slika 6
Pomen zgoraj navedenih vzorcev je povezan z Hookovim zakonom. To zahteva, da je σ << E, torej po (2) h << ϱ. Upogib pa sme biti toliko velik, da je ϱ istega reda velikosti kot dolžina palice l. Pri upognjenih palicah, ki pridejo v poštev v gradbeništvu, do tega primera ne pride; ϱ je vedno bistveno večji od l in zato je poves w << l (sl. 6). Tedaj približno velja:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
in na osnovi (3):
w’’ = - M/EI.
Ta enačba in pogoj ravnotežja (1b) tvorita sistem diferencialnih enačb ukrivljenega droga. Z eliminacijo ju lahko reduciramo na eno samo enačbo četrtega reda:
wIV = + p/EI
ali, v primeru da je moment vztrajnosti spremenljiv:
(EIw’’)’’ = +p.
Iz njih je z integracijo mogoče najti obliko elastične linije, kadar je dano obtežbo p=p(x) in kadar sta za vsak primer palice znana dva robna pogoja. Od teh se morata vsaj dva nanašati na deformacijo. Za podrobnosti glej članek Statika gradbenih konstrukcij.
Jedro prereza
Če nevtralna os seka prečni prerez, ga deli na območje natezanja in območje pritiska. Pri materialih z majhno natezno trdnostjo se zastavlja vprašanje, kje naj deluje tlačna sila, če v prečnem prerezu nikjer ne sme priti do natezanja. Položaj točke delovanja sile je tedaj omejen na območje, ki se imenuje jedro prereza. Meja jedra je očitno geometrijsko mesto točk, katerih nevtralne osi tangirajo prečni prerez po obodu. S tem je hkrati podana tudi njegova konstrukcija.
Oddaljenost meje jedra od težišča, izmerjeno v poljubni smeri, bomo označili s k indeksom, ki ustreza tej smeri. Za glavne vztrajnostne osi po enačbi
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
izrazi so sledeči:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Za krožni prečni prerez polmera r je odmik jedra k = r/4, za krožni obroč (polmera: zunanji R, notranji r) pa k = (R2 + r2) / 4R.
Za pravokotnik (sl. 7) je ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Torej pri obremenitvi pravokotnega prereza v eni od ravnin simetrije (vendar le tedaj) zadošča, da rezultanta deluje v srednji tretjini višine ali širine prečnega prereza, da so napetosti v prerezu enakega predznaka.
Slika 7
Upogibanje v plastičnem območju
Ko je v robnih vlaknih upognjene palice dosežena meja tečenja, njena nosilnost s tem še ni izčrpana, saj se medtem ko se zunanja vlakna plastično deformirajo pri stalni napetosti, v delih bliže nevtralni osi, kjer meja tečenja še ni dosežena, napetost povečuje, s tem pa tudi upogibni moment, ki ga lahko prevzame presek.
Če je natančen potek diagrama napetosti in deformacij znan, je mogoče postopek za dvostransko simetrične prereze (višine h) zlahka računsko spremljati tako, da se ob predpostavki, da prerezi ostajajo ravni, iz diagrama napetosti in deformacij določi razpored napetosti σ zaradi upogibanja, ki ustreza neki sprejeti dilataciji končnih vlaken ε__r, in se od tod z integriranjem določi upogibni moment. Če to izvedemo za različne ε__r in po drugi strani izračunamo ustrezno ukrivljenost črte povesa w’’ = 2 ε__r / h, dobimo niz točk, skozi katere lahko potegnemo črto, ki daje zvezo med upogibnim momentom in ukrivljenostjo M = M(w’’); ta zveza ni več linearna, in ko je znana, je mogoče z grafično integracijo določiti črto povesa, ki ustreza danemu razporedu momentov. Če je presek nesimetričen, je račun bolj zapleten, saj je treba za vsak ε__r dodatno določiti tudi položaj nevtralne osi.
Slika 8
Račun se do neke mere poenostavi, če se poleg simetrije prereza predpostavi tudi poenostavljena zveza med napetostmi in raztezki po sl. 8. Tedaj imajo napetosti zaradi upogiba po prekoračitvi meje tečenja razpored, prikazan na sl. 9, in upogibni moment je:
pa se ukrivljenost krivulje povesitve dobi, ko se enačba (2) uporabi na del preseka, katerega napetosti so v elastičnem območju w’’ = σf / Ez’. Če je za vsak izbran z’ znana oblika preseka, je mogoče integrale izračunati. Npr. za najpreprostejši primer pravokotnega prečnega preseka širine b in višine h je
Če tukaj izrazimo z’ s pomočjo w’’, dobimo
Pri I-prerezih in podobnih je potek krivulje M-w’’ v plastičnem območju še bolj položen, moment, pri katerem nastopi tečenje, pa je tedaj praktično enak največjemu upogibnemu momentu, ki ga lahko presek sploh prenese. Zato pomen plastičnega upogibanja v gradbeništvu ni v povečanju upogibnega momenta, ki ga presek lahko nosi, temveč v tem, da lahko velika lokalna deformacija, ki nastopi na meji tečenja, pri statično nedoločenih sistemih povzroči ugodno spremembo razporeditve sil.
Slika 9
To lahko ponazorimo na primeru kontinuiranega nosilca nad dvema poljema. Naj ima nosilec (sl. 10) polja enake dolžine, konstanten prerez in naj bo obremenjen z enakomerno porazdeljeno obtežbo. Tedaj je pred dosego meje tečenja moment nad oporo MB = _pl_2/8. Če se obtežba p toliko poveča, da moment v opornem prerezu doseže vrednost Mf, pri kateri nastopi tečenje, se bo pri nadaljnjem povečevanju obtežbe na tem mestu povečal tudi upogib brez občutnega prirastka momenta. Nastane t. i. plastični zgib, tj. nosilec se pod dodatno obtežbo obnaša tako, kot da nad srednjo oporo obstaja zgib. Obtežbo je mogoče dalje povečevati, dokler tudi na mestu največjega momenta v polju ne začne tečenje. Nadaljnje povečevanje upogibnega momenta ni več mogoče in nosilnost nosilca je izčrpana. Tovor, pri katerem nastopi to stanje, se imenuje mejna obtežba.
Slika 10
Na splošno lahko pričakujemo, da se bo v enem n-krat statično nedoločenem sistemu moralo pojaviti (n+1) plastičnih zglobov, preden sistem postane premakljiv in s tem doseže svojo nosilnostno mejo. To pravilo pa ima izjeme v obe smeri. Kot kaže navedeni primer, se lahko na nosilnostni meji hkrati pojavita dva nova plastična zgloba (v obeh poljih), tako da dotlej še nepremakljiv sistem nenadoma preide v sistem z dvema prostostnima stopnjama. Po drugi strani je mogoče, da se tudi z manj kot (n+1) plastičnimi zglobi nosilnost lokalno izčrpa, npr. kadar pri zveznem nosilcu popusti samo eno polje. Sl. 11 kaže, kako se to lahko zgodi pri statično dvakrat nedoločenem sistemu z n=2 plastična zgloba. Če na desni strani nosilca dodamo še četrto polje, postane nosilec trikrat statično nedoločen, zato zadošča (n-1) plastičnih zglobov, da se samo levo polje pripelje do nosilnostne meje.
Slika 11
Strižne napetosti pri upogibanju
Osnovni izračun
Slika 12
Normalne napetosti σ, torej napetosti, ki se dejansko pojavljajo zaradi upogiba, niso edine napetosti v upognjenem drogu, temveč se poleg njih pojavijo tudi strižne napetosti zaradi delovanja prečne sile. Glede na to, da je osnovna značilnost tehnične teorije upogiba v tem, da se deformacije zaradi strižnih napetosti zanemarjajo, se te lahko določijo samo iz pogoja ravnotežja. Da bi ga postavili, se element nosilca dx prereže, kot je prikazano na sl. 12, z vodoravno ravnino na dva dela, nato pa se postavi pogoj ravnotežja vodoravnih sil, ki delujejo na spodnji del. Na levi strani so to notranje sile, izražene z napetostmi σ zaradi upogiba, ki jih je treba integrirati od z’ = z do z’ = h2
Na desni strani delujejo enake napetosti, vendar povečane za diferencial v skladu z ustreznim upogibnim momentom M + dM. Razlika med silama na obeh straneh elementa mora biti v ravnovesju s silo zaradi strižnih napetosti τ, ki delujejo v vodoravni presečni ploskvi t dx:
Tu integral predstavlja statični moment dela prečnega prereza, izločenega s horizontalno prečno ravnino, glede na težiščno os preseka. Označuje se z S. Iz dM/dx = Q po pogoju ravnotežja dobimo:
τ = QS/It. (8)
To je po stališču o konjugiranosti strižnih napetosti hkrati vrednost vertikalne strižne napetosti, ki deluje v površini prereza in je skupaj z S in t funkcija od z.
Slika 13
Slika 13.1
Enačba (8) daje zanesljive podatke pri vseh prerezih s tankimi stenami, če prerezna ravnina ni postavljena vzporedno z nevtralno osjo, temveč v smeri debeline stene. Zato se I-profil prereže prečno skozi rebro in prečno skozi prirobnico, s čimer dobimo razpored napetosti, prikazan na sl. 13.1. Pri obročastem prerezu (sl. 13) so strižne napetosti razporejene simetrično glede na navpični premer in levo in desno na nevtralni črti dosežejo maksimum
τ = Q / πrt.
Če je prerez razrezan na najvišjem ali najnižjem mestu, se razpored strižnih napetosti ne spremeni; če pa je razrezan na desnem koncu vodoravnega premera (sl. 14), je strižna napetost na tem mestu enaka nič, medtem ko se njena vrednost na levem koncu istega premera podvoji.
Slika 14
Polni prerezi
Pri polnih prerezih poljubne oblike je problem strižnih napetosti tesno povezan s problematiko torzije. Elementarna enačba (8) v tem primeru ni več zanesljiva. Za krožni prerez polmera r enačba (8) daje
τ = 4Q / 3__πr2
kot srednjo vrednost strižne napetosti vzdolž nevtralne osi, natančna vrednost pa je le za nekaj odstotkov večja.
Središče striga
Če za U-prerez izračunamo strižne napetosti na način, opisan zgoraj, dobimo porazdelitev napetosti, prikazano na sl. 15. Rezultanta ustreznih notranjih sil je prečna sila Q. Iz slike je mogoče videti njen položaj glede na prerez, torej da ne poteka skozi težišče prereza niti ne leži v ravnini rebra. Če prečna sila, izračunana na podlagi zunanjih sil, nima položaja, prikazanega na sl. 15, nosilec ni obremenjen samo na upogib, temveč tudi na torzijo.
Če se za isti prečni prerez določi rezultanta, ki ustreza strižnim napetostim pri nekem vodoravnem obremenjevanju, dobimo linijo delovanja vodoravne prečne sile. V presečišču teh dveh linij delovanja se nahaja značilna točka za dani prečni prerez, ki se imenuje središče striga M. V nosilcu se napetosti zaradi torzije ne pojavijo, kadar ležijo središča striga vseh prečnih prerezov na isti premici in vse sile, pravokotne na os palice, potekajo skozi to premico. Sicer moment vsake obremenitve glede na premico, ki povezuje središča striga, predstavlja torzijski strig.
Slika 15
Vpliv prečne sile na upogib
Tehnična teorija upogibanja temelji na zanemarjanju deformacij zaradi strižnih napetosti. Zato jo je mogoče dejansko uporabiti za vitke palice, pri katerih je to zanemarjanje upravičeno in kjer prečna sila nima opaznega vpliva na upogibanje.
Izkušnje pa so pokazale, da se tehnična teorija upogiba z določenim uspehom lahko uporabi tudi za kratke, visoke nosilce, za katere v resnici sploh ni namenjena. Tedaj se pokaže potreba, da se vpliv deformacije zaradi strižnih napetosti, ki je v tej teoriji zanemarjen, vsaj približno naknadno upošteva.
Tako kot strižne napetosti τ zaradi prečnih sil in pripadajoča zdrsa γ_’ =_ τ_/G_ so tudi ti neenakomerno porazdeljeni po prerezu. Zato se uvede njuna srednja vrednost γ, ki se določi tako, da prečna sila pri tej srednji vrednosti deformacije opravi na elementu nosilca dx deformacijsko delo, enako tistemu, ki bi ga dobili z integriranjem del strižnih napetosti po posameznih prostorskih elementih, ki sestavljajo opazovani element nosilca:
od tod je
Integral je mogoče izračunati, ko je znana porazdelitev strižnih napetosti po prerezu. Ker so vse strižne napetosti sorazmerne z Q/F, je njegova vrednost sorazmerna z Q2/F2 * F, zato če postavimo, da je ta κ__Q2/F, dobimo
γ = κ__Q / GF.
Konstanta κ se imenuje koef. porazdelitve strižnih napetosti. Za pravokotne prereze je κ=1,2.
Slika 16
Ko je koef. κ znan, in s tem tudi srednje drsenje γ, lahko izračunamo dodatni poves wQ, nastal zaradi delovanja prečnih sil, ki ga je treba prišteti povesom w: kajti po sl. 16 je
zato je zaradi Q = dM/dx:
pri čemer se integracijska konstanta dobi iz enega robnega pogoja.