直棒および緩い曲がりを有する棒の正応力
断面力の定義
直棒が任意方向の力を受けるものとし、それらの力はすべて棒の軸線（各断面の重心を結ぶ線）を通る一平面（力の平面）内にあるものとだけ仮定する。
図1
ある断面 n – n（図 1）に作用する応力を計算するには、この断面を通して一方の材部分から他方へ伝達される力を知る必要がある。それは大きさおよび位置からみて、明らかに材の一方の部分に作用するすべての力の合力に等しい。この合力は、x-軸が材の軸と一致し、z-軸が断面の平面が力の平面を切る線となる座標系で成分に分解される。z 軸方向の成分は横断力 Q または Qz と呼ばれ、単純梁では、断面の左側で上向き、右側で下向きのとき正とみなされる。
棒が曲がっている場合、座標軸 x と z は各断面で異なる方向をとり、常に x 軸が棒の軸線の接線となる。棒の軸線がある平面が力の平面と一致しない場合、または棒の軸線が空間曲線である場合、断面の左側にある力の合力には第三成分として横力 Qy も生じる。N, Qz および Qy によって、断面を通じて伝達される力の大きさと方向は定まるが、その位置は定まらない。これには、座標軸に対するそのモーメントも既知でなければならない。平面曲げの場合は、曲げモーメント M または My が分かれば十分である。最も一般的な場合には、さらにもう一つの曲げモーメント Mz と、x 軸まわりのモーメント Mx が現れる。
前述した6つの力とモーメントは、総称して「断面力」と呼ばれる。これらの決定は、建築構造力学の基本課題の一つである。
連続分布荷重 p（次元：単位長さ当たりの力）、せん断力 Q、曲げモーメント M の間には、平面曲げの場合に単純な関係がある。すなわち、棒の一要素のつり合い条件（図 2）から
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
したがって
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
図2
正規応力の分布
棒に軸方向力のみが作用する場合、断面には一様に分布した法線応力 σ（引張り、または圧縮された棒）だけが現れる。これに加えて曲げモーメントが作用すると、これらの応力は何らかの形で不均一に分布し、その合力はもはや断面の重心を通らなくなる。この分布を求めるために、技術的な曲げ理論は基本方程式の厳密解から出発するのではなく、これらの方程式の一部を、ある特に簡単な場合には同時に厳密に満たされる妥当な仮定で置き換える。この特別な場合とは、横力の作用しない直線プリズム棒の曲げである（図 3）。棒の両端から十分離れたすべての要素は同じ変形を受けるため、棒の軸は直接に円弧となり、もともと棒の軸に直交していたすべての断面の平面は、変形後も平面のままである。なぜなら、それぞれが変形した棒の隣接部分に対する対称面だからである。曲げモーメントと棒の断面が一定でなく、棒に沿って徐々に変化する場合でも、断面はおおむね平面のままであるという仮定は自然に導かれる。この Navier-の仮説が曲げ理論の基礎にある。
図3
法線応力の大きさ
梁の直材要素を曲げると、その「繊維」、すなわち棒の軸に平行な材料線の一部は伸び、別の部分は短くなる（図 4）。この二つの部分の間には中立繊維 z=0 があり、曲げの際にその長さは変化しない。これらの繊維の曲げ状態における曲率半径を ϱ とし、それが x-z 平面上にあるものとする。図 4 m から読み取ることができる
Δ dx/z = _dx/_ϱ
そしてそこから、中立軸から距離 z にある繊維の算出ひずみは、
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
したがって、Hooke-の法則に基づいて応力は
σ _= Ez/_ϱ (2)
図4
この応力は、中立繊維からの距離に比例する。この結果は、変形前には棒要素のすべての繊維が同じ長さであり、したがって棒は当初まっすぐであるか、少なくとも曲率の影響を無視できるほどわずかな曲がりしかなかった、という仮定に基づいている。中立層と断面平面が交わる直線を中立軸という。これを y 軸とする（図 5）。断面における中立軸の位置は、x 軸方向の力のつり合い条件から求められる。法線力 N=0（法線力のない曲げ）であれば、断面の法線応力で表される内力の合力もゼロでなければならない：
右側の積分は、y\軸に関する面積の静的モーメントである。これがゼロであるためには、この軸は重心軸の一つでなければならない。
変形を生じさせるモーメント M は、断面平面内の y 軸および z 軸に対して次の成分をもつ（図 5）：
式（3）
ここで Iy, Iyz は、指定された軸に対する断面の赤道慣性モーメントおよび遠心慣性モーメントである。
最も重要なのは、Mz=0 となる特別な場合である。この場合は Iyz=0 のとき、すなわち y と z が断面の主慣性軸であるときに生じる。これは、ここで採用した x-z-平面内の曲げ面が、曲げモーメント M=My が作用する平面、すなわち力の平面と一致することを意味する。
図5
式 (2) および (3) から _E/_ϱ を消去すると、平面曲げの応力を求める式が得られる（Iy=I）:
σ = M/I * z (4)
境界点 1 および 2 については特に:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
量 W1,2 = I/h1,2（次元：長さの3乗）は、断面係数と呼ばれる。水平重心軸が同時に断面の対称軸でもある場合、W1 = W2 となるため、縁応力の絶対値は等しい。
弾性線
図6
前述の諸式の重要性はフックの法則に結び付いている。これは σ << E であること、したがって (2) により h << ϱ であることを要する。もっとも、曲げは ϱ が棒の長さ l と同程度になりうるほどであってもよい。建築で対象となる曲がった棒ではこの場合は生じず、常に ϱ は l より著しく大きく、したがってたわみ w << l である（図 6）。このとき近似的に成り立つ：
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
および（3）に基づいて：
w’’ = - M/EI.
この式と平衡条件（1b）は、曲げられた棒の微分方程式系を構成します。これらは消去法により、4次の1つの方程式にまとめることができます:
wIV = + p/EI
または、慣性モーメントが変化する場合：
(EIw’’)’’ = +p.
そこから積分によって、荷重が p=p(x) と与えられ、かつそれぞれの場合の材について2つの境界条件が既知であれば、弾性線の形状を求めることができる。このうち少なくとも2つは変形に関するものでなければならない。詳細は論文 建築構造物の静力学 を参照。
断面の核
中立軸が断面を横切ると、それは引張り帯と圧縮帯に分ける。引張強度の小さい材料では、断面のどこにも引張りが生じてはならない場合、圧縮力をどこに作用させるべきかという問題が生じる。このとき力の作用点の位置は、断面核 と呼ばれる領域に制限される。核の境界は明らかに、各中立軸が断面の周縁に接する点の軌跡である。これによって、その構成も同時に与えられる。
核境界から重心までの距離を、任意の方向について、その方向に対応する添字 k を用いて表す。主慣性軸については式に従い
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
用語は次のとおりである：
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
半径 r の円形断面では核心距離は k = r/4 であり、円環（外半径 R、内半径 r）では k = (R2 + r2) / 4R である。
長方形（図 7）では ky = 1/6 b, kz = 1/6 h である。したがって、長方形断面をいずれか一方の対称面内で荷重する場合（ただしその場合に限る）、合力が断面高さまたは幅の中央1/3内に作用すれば、断面内の応力は同符号となる。
図7
塑性領域における曲げ
曲げられた棒の縁部繊維において降伏点に達しても、その耐荷力はなお尽きていない。というのも、外側繊維が一定応力のもとで塑性変形する一方で、降伏点にまだ達していない中立軸に近い部分では応力が増大し、その結果、断面が負担しうる曲げモーメントも増加するからである。
応力‐ひずみ図の正確な推移が分かっている場合、対称二重断面（高さ_h_）については、断面は平面を保つと仮定し、応力‐ひずみ図から曲げによる応力分布 σ を、端部繊維の採用ひずみ ε__r に対応するものとして求め、そこから積分して曲げモーメントを決定することで、計算上容易に追跡できる。これを異なる ε__r について行い、他方で対応するたわみ線の曲率 w’’ = 2 ε__r / h を計算すると、それらを通る一連の点が得られ、その点を結ぶ曲線によって曲げモーメントと曲率の関係 M = M(w’’) が与えられる。この関係はもはや線形ではなく、これが分かれば、図式積分によって与えられたモーメント分布に対応するたわみ線を求めることができる。断面が非対称であれば、各 ε__r ごとに中立軸の位置も求めなければならないため、計算はさらに複雑になる。
図 8
断面の対称性に加えて、図8に従った応力とひずみの簡略化された関係を仮定すると、計算はある程度簡単になる。そのとき、降伏限界を超えた後の曲げ応力は図9に示すような分布をとり、曲げモーメントは次式となる:
したがって、たわみ線の曲率は、式 (2) を、弾性域にある応力が w’’ = σf / Ez’ である断面部分に適用することで得られる。各 z’ について断面形状が分かっていれば、積分を計算することができる。たとえば、幅 b、高さ h の最も単純な長方形断面の場合は
ここで z’ を w’’ で表すと、
I形断面およびそれに類似する断面では、塑性域における M-w’’ 曲線の経過はさらに平坦となり、降伏が始まるときのモーメントは、その断面が理論上支えうる最大の曲げモーメントと実質的に等しくなる。したがって、建設分野における塑性曲げの重要性は、断面が負担できる曲げモーメントを増大させることにあるのではなく、降伏限界で生じる大きな局所変形が、静定不静定系における力の分配を有利に変化させうる点にある。
図9
これは、2スパンの連続梁の例で説明できる。梁（図 10）が同じ長さのスパン、一定断面をもち、等分布荷重を受けるとする。このとき、降伏限界に達する前の支点上モーメントは MB = _pl_2/8 である。荷重 p を増加させて、支点断面のモーメントが降伏が生じる値 Mf に達すると、その後さらに荷重を増しても、その箇所ではモーメントの顕著な増加なしに曲率が増大する。いわゆる 塑性ヒンジ が形成され、すなわち梁は追加荷重の下で、中間支点の上にヒンジがあるかのように挙動する。荷重は、スパン内で最大モーメントとなる箇所でも降伏が始まるまで、さらに増加させることができる。曲げモーメントのさらなる増加はもはや不可能となり、梁の耐荷能力は尽きる。この状態が生じる荷重を極限荷重という。
図10
一般に、静的に n 次不静定の系では、系が移動可能となってその耐力限界に達する前に、(n+1) 個の塑性ヒンジが生じなければならないと考えられる。しかし、この規則には両方向に例外がある。前述の例が示すように、耐力限界で同時に2つの新たな塑性ヒンジ（両スパンにおいて）が生じることがあり、その場合、それまでなお不動であった系が一挙に2自由度系へ移行する。一方で、(n+1) 個未満の塑性ヒンジでも、たとえば連続梁でただ1スパンだけが破綻する場合のように、局所的に耐力が尽きることもあり得る。図 11 は、n=2 の塑性ヒンジをもつ静的2回不静定系でそれがどのように起こり得るかを示している。さらに梁の右側に第4スパンを追加すると、梁は3回静的不静定となり、(n-1) 個の塑性ヒンジで左スパンだけを耐力限界に達させるのに十分である。
図11
曲げにおけるせん断応力
基本計算
図12
法線応力 σ、すなわち実際には曲げによって生じる応力は、曲げられた棒における唯一の応力ではなく、これに加えて横断力の作用によるせん断応力も生じます。技術的な曲げ理論の基本的特徴は、せん断応力による変形を無視することにあるため、これらは平衡条件からのみ求めることができます。これを設定するため、図12に示すように、梁要素 dx を水平面で2つに切断し、下側部分に作用する 水平 力の平衡条件を立てます。左側には、曲げによる応力 σ で表される内部力があり、z’ = z から z’ = h2 まで積分しなければなりません
右側には同じ応力が作用するが、対応する曲げモーメント M + dM に応じて微小量だけ増加している。要素の両側に作用する力の差は、水平断面積 t dx に作用するせん断応力 τ による力とつり合わなければならない:
ここで積分は、水平断面で切り取られた断面の一部の静的モーメントを、断面の重心軸に対して表す。それは S で表される。dM/dx = Q と平衡条件から、次式が得られる：
τ = QS/It. (8)
これは、せん断応力の共役性に関する原理によれば、断面に作用する垂直せん断応力の大きさでもあり、S および t とともに z の関数である。
図13
図 13.1
方程式（8）は、薄肉断面では、切断平面を中立軸に平行にせず、壁厚方向に設定した場合に、すべての場合で信頼できるデータを与えます。したがって、I形断面はウェブを横切って、またフランジを横切って切断され、その結果、図13.1に示す応力分布が得られます。環状断面（図13）では、せん断応力は垂直直径に対して対称に分布し、左右の中立線上で最大値に達します
τ = Q / πrt.
断面を最上部または最下部で切断した場合、せん断応力の分布は変わらない。これに対し、水平直径の右端で切断した場合（図 14）、その場所でのせん断応力はゼロであり、同じ直径の左端ではその値が2倍になる。
図 14
実断面
任意形状の実断面では、せん断応力の問題はねじりの問題と密接に関連している。この場合、基本式（8）はもはや信頼できない。半径 r の円形断面では、式（8）は
τ = 4Q / 3__πr2
中立軸に沿ったせん断応力の平均値としてであり、正確な値は数パーセント高いにすぎない。
せん断中心
U断面について上記の方法でせん断応力を算定すると、図 15 に示す応力分布が得られる。対応する内力の合力は横せん断力 Q である。図から、これが断面に対してどの位置にあるか、すなわち断面の重心を通らず、ウェブの平面上にもないことが分かる。外力に基づいて算出した横せん断力が図 15 に示す位置にない場合、部材は曲げだけでなくねじりにも作用を受ける。
同じ断面について、ある水平荷重に対してせん断応力に対応する合力を求めると、水平横力の作用線が得られる。これら二つの作用線の交点には、与えられた断面に固有の特徴点があり、これを せん断中心 M. という。すべての断面のせん断中心が一つの直線上にあり、棒の軸に直交するすべての荷重がその直線を通る場合、部材にはねじりによる応力は生じない。そうでない場合、各荷重の、そのせん断中心を結ぶ直線に対するモーメントがねじりせん断を表す。
図15
横力の曲げへの影響
技術的な曲げ理論は、せん断応力による変形を無視することに基づいている。したがって、これはこの無視が妥当であり、横断力が曲げに顕著な影響を及ぼさない細長い棒材に実際に適用できる。
しかし経験により、技術的曲げ理論は、本来はその対象ではない短く背の高い部材にも、ある程度成功裏に適用できることが示されている。その場合、この理論では無視されているせん断応力による変形の影響を、少なくとも近似的に後から考慮に入れる必要が生じる。
横せん断力によるせん断応力 τ と、それに対応するすべり変形 γ_’ =_ τ_/G_ もまた、断面内で不均一に分布している。したがって、その平均値 γ を導入し、この平均変形値において横せん断力が部材の要素 dx に対して、当該梁要素を構成する各体積要素上のせん断応力の仕事を積分して得られるものと等しい変形仕事をなすように定める。
そこから
積分は、断面におけるせん断応力の分布が分かれば計算できる。すべてのせん断応力は Q/F に比例するので、その値は Q2/F2 * F に比例し、これを κ__Q2/F と置くと、次が得られる
γ = κ__Q / GF.
定数 κ はせん断応力分布係数と呼ばれます。長方形断面では κ=1,2 です。
図16
係数 κ、ひいては平均すべり γ が既知であれば、横せん断力によって生じる補正たわみ wQ を算定でき、これを w のたわみに加えなければならない。というのも、図 16 によれば
したがって Q = dM/dx により:
このとき、積分定数は一つの境界条件から得られる。