Kontrent nòmal nan bar dwat ak bar ki gen yon ti koube
Definisyon fòs seksyon yo
Ann sipoze yon ba dwat chaje ak fòs ki ka gen nenpòt direksyon, ak sèl ipotèz ke yo tout chita nan yon sèl plan (plan fòs) ki pase nan aks ba a (liy ki konekte sant gravite seksyon transvèsal yo).
Figi 1
Pou kalkile tansyon ki aji nan yon sekyon transvèsal n – n (fig. 1), li nesesè pou konnen fòs ki pase atravè sekyon sa a soti nan yon pati baton an pou ale nan lòt la. Klèman, selon gwosè ak pozisyon li, li egal ak reziltan tout fòs ki aji sou yon pati baton an. Reziltan sa a dekonpoze an konpozan nan yon sistèm kowòdone kote aks x la koinnide ak aks baton an, epi aks z la se liy kote plan sekyon transvèsal la koupe plan fòs la. Konpozan nan direksyon aks z la rele fòs transvèsal Q oswa Qz epi, pou yon gwo travès senp, li konsidere kòm pozitif si sou bò gòch sekyon an li monte anlè, epi sou bò dwat li desann.
Lè ba a koube, aks kowòdone x ak z yo gen nan chak seksyon yon lòt direksyon, epi li toujou konsa pou aks x la se tangen a aks ba a. Si plan kote aks ba a chita a pa koresponn ak plan fòs la, oswa si aks ba a se yon koub nan espas, reziltan fòs yo sou bò gòch seksyon an gen tou yon twazyèm konpozan, fòs transvèsal Qy. Avèk N, Qz ak Qy yo detèmine grandè ak direksyon fòs ki transmèt atravè seksyon an, men pa pozisyon li. Pou sa, fòk nou konnen tou moman li yo parapò ak aks kowòdone yo. Nan ka pliye nan yon plan, sifi pou moman pliye M oswa My a konnen. Nan ka ki pi jeneral la, gen yon lòt moman pliye Mz ak yon moman otou aks x la, Mx.
Sis fòs ak moman ki te defini nan ekspoze anvan an yo gwoupe anba non komen «fòs seksyon». Detèminasyon yo se youn nan travay fondamantal estatik estrikti konstriksyon yo.
Ant chay kontinyèlman distribye p a (dimansyon: fòs pa inite longè), fòs transversal Q a ak moman koube M a, gen yon relasyon senp nan ka koube plenn. An reyalite, apati kondisyon ekilib yon eleman baton (sl. 2) yo jwenn
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
se poutèt sa
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Fig. 2
Distribisyon tansyon nòmal yo
Si yon baton chaje sèlman ak yon fòs aksyal, nan seksyon an parèt sèlman yon estrès nòmal σ ki distribye inifòmman (baton ki an tansyon, oswa ki an konpresyon). Si, anplis de sa, gen yon moman fleksyon, estrès sa yo dwe distribye yon fason ki pa inifòm, konsa rezilta yo pa pase ankò nan sant gravite seksyon an. Pou detèmine distribisyon sa a, teyori teknik fleksyon an pa soti nan yon solisyon strik nan ekwasyon debaz yo, men li ranplase yon pati nan ekwasyon sa yo pa yon ipotèz plozib ki, nan yon ka patikilyèman senp, an menm tan estrikman respekte. Ka espesyal sa a se fleksyon yon baton prismatik dwat san aksyon fòs transvèsal (fig. 3). Tout eleman baton ki ase lwen de pwent li yo sibi menm deformasyon an, sa ki fè nou imedyatman dedwi ke aks baton an tounen yon ark sikilè epi tout plan seksyon kwa yo ki te okòmansman pèpandikilè ak aks baton an rete plat pandan deformasyon an, paske chak youn ladan yo se yon plan simetri pou pati vwazen baton ki deja defòme yo. Natirèlman, li parèt lojik pou sipoze ke seksyon kwa yo rete apeprè plat menm lè moman fleksyon an ak seksyon kwa baton an pa konstan, men yo chanje piti piti sou longè baton an. Ipotèz sa a, yo rele Navier-ova, se baz teyori fleksyon an.
Fig. 3
Valè tansyon nòmal yo
Lè yon eleman dwat yon travès pliye, yon pati nan «fib» li yo, sa vle di liy materyèl ki paralèl ak aks baton an, lonje, tandiske lòt pati a vin pi kout (fig. 4). Ant de pati sa yo yo jwenn fib netral yo z=0, ki longè yo pa chanje pandan pliye a. Ann sipoze reyon koube fib sa yo nan eta pliye a se ϱ epi li chita nan plan x-z a. Nan fig. 4 mon ka li
Δ dx/z = _dx/_ϱ
ak soti la a detire fib yo kalkile a distans z ak aks net la, ki egal a
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
donk, baze sou lwa Hooke a, estrès la
σ _= Ez/_ϱ (2)
Fig. 4
Tansyon sa a pwopòsyonèl ak distans ki genyen ak fib neytral yo. Yon rezilta konsa lye ak sipozisyon ke anvan deformasyon tout fib eleman baton an te gen menm longè, konsa baton an te okòmansman dwat, oswa omwen te gen yon koub tèlman piti ke efè koub la ka neglije. Liy kote kouch neytral la ak plan koup la kwaze a rele aks neytral la. Nou adopte li kòm aks y a (sl. 5). Pozisyon aks neytral la nan koup transvèsal la jwenn sou baz kondisyon ekilib fòs yo nan direksyon aks x a: si fòs nòmal N=0 (koube san fòs nòmal), lè sa a rezilta fòs entèn yo, ki eksprime atravè tansyon nòmal nan koup la, dwe egal a zewo:
Entegral ki sou bò dwat la se moman estatik sifas la parapò ak aks y-. Pou li egal zewo, aks sa a dwe youn nan aks santè yo.
Moman M ki lakòz defòmasyon an gen, anrapò ak aks y ak z yo nan plan sekyon an (fig. 5), konpozan:
Ekw. (3)
lè sa a Iy, Iyz yo se moman inèsi ekwateryal ak santrifij seksyon an an rapò ak aks yo ki make yo.
Ka espesyal ki pi enpòtan an se lè Mz=0. Ka sa a rive lè Iyz=0, sa vle di lè y ak z se aks prensipal inèsi seksyon an. Sa vle di plan koube a ki te adopte la a ansanm ak plan x-z a kowenside ak plan kote moman koube M=My a aji, sa vle di ak plan fòs yo.
Fig. 5
Si yo elimine _E/_ϱ nan ekwasyon (2) ak (3), yo jwenn fòmil pou detèmine estrès la nan fleksyon senp (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
pou pwen bò 1 ak 2 espesyalman se:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Gwosè W1,2 = I/h1,2 (dimansyon: longè a twazyèm) yo rele moman rezistan. Si aks sant gravite orizontal la an menm tan se aks senmetri seksyon an, lè sa a W1 = W2, kidonk tansyon sou bor yo egal nan valè absoli.
Liy elastik
Fig. 6
Enpòtans fòmil yo mansyone pi wo a baze sou lwa Hooke a. Sa mande pou σ << E, kidonk selon (2) h << ϱ. Men pli a ka rive nan yon nivo kote ϱ gen menm lòd grandè ak longè baton an l. Nan baton ki pliye epi ki konsène nan konstriksyon, ka sa a pa parèt; toujou ϱ pi gwo anpil pase l epi kidonk flechisman w << l (fig. 6). Lè sa a, apeprè sa ki annapre a valab:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
epi dapre (3):
w’’ = - M/EI.
Ekwasyon sa a ak kondisyon ekilib la (1b) fòme yon sistèm ekwasyon diferansyèl pou yon baton ki pliye. Atravè eliminasyon, yo ka mennen yo nan yon sèl ekwasyon katriyèm lòd:
wIV = + p/EI
oswa, nan ka moman inèsi a varyab:
(EIw’’)’’ = +p.
Soti nan yo, pa entegrasyon, yo ka jwenn fòm liy elastik la lè yo bay chaj p=p(x) epi lè pou chak ka baton an de kondisyon limit yo konnen. Omwen de nan yo dwe konsène deformasyon an. Pou detay, gade atik la Statik estrikti konstriksyon.
Nwayo sekyon an
Si aks net la koupe seksyon kwa a, li separe l an zòn tansyon ak zòn konpresyon. Nan materyèl ki gen ti rezistans a tansyon, kesyon an se kote fòs konpresyon an dwe aplike, si nan seksyon kwa a pa dwe gen okenn tansyon okenn kote. Pozisyon pwen aplikasyon fòs la konsa limite a yon zòn yo rele nwayo seksyon an. Limit nwayo a klèman se kote jeyometrik pwen yo, kote aks net yo manyen perimèt seksyon kwa a. Sa bay tou konstriksyon li.
Nou pral make distans limit nwayo a ak sant gravite a, mezire nan nenpòt direksyon, ak endèks k ki koresponn ak direksyon sa a. Pou aks prensipal inèsi yo selon ekwasyon an
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
Ekspresyon yo se sa ki annapre yo:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Pou yon koupe transvèsal sikilè ak reyon r, distans nwayo a se k = r/4, epi pou yon bag sikilè (reyon yo: ekstèn R, entèn r) k = (R2 + r2) / 4R.
Pou rektang lan (fig. 7) ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Donk, lè yon seksyon rektangilè sibi chaj nan youn nan plan simetri yo (men sèlman nan ka sa a), li sifi pou reziltan an aji nan tyè santral la nan wotè a oswa lajè seksyon travès la, pou estrès yo nan seksyon an gen menm siy.
Fig. 7
Pliye nan rejyon plastik la
Lè fib ki sou bò ekstèn yo nan yon baton ki koube rive nan limit koule a, sa pa vle di kapasite pote chaj li deja fini, paske pandan fib ekstèn yo ap defòme plastikman ak yon tansyon ki rete konstan, nan pati ki pi pre aks net la, kote limit koule a poko rive, tansyon an ogmante, e konsa moman koube seksyon an ka resevwa a ogmante tou.
Si yo konnen kou egzak dyagram estrès ak deformasyon an, pwosesis la pou seksyon doub simetrik yo (wotè h) ka fasilman swiv an kalkil nan fason sa a: sipoze seksyon yo rete plat, yo detèmine nan dyagram estrès ak deformasyon an repatisyon estrès σ akòz pliyman ki koresponn ak yon dilatasyon yo adopte nan fib ekstèn yo ε__r epi soti la, pa entegrasyon, yo detèmine moman pliyman an. Si yo fè sa pou diferan ε__r epi, de lòt bò, yo kalkile koub liy flèch la w’’ = 2 ε__r / h, yo jwenn yon seri pwen kote yo ka trase yon liy ki bay relasyon ant moman pliyman ak koub M = M(w’’); relasyon sa a pa lineyè ankò, epi lè li konnen, li posib pa entegrasyon grafik pou detèmine liy flèch ki koresponn ak yon repatisyon moman bay. Si seksyon an pa simetrik, kalkil la vin pi konplèks, paske pou chak ε__r yo dwe toujou detèmine pozisyon aks net la.
Fig. 8
Kalkil la vin yon ti jan pi senp si, anplis simetri seksyon an, yo sipoze tou yon lyen senplifye ant estrès yo ak dilatasyon yo dapre fig. 8. Lè sa a, estrès yo akòz fleksyon, apre yo fin depase limit koule a, gen repatisyon yo montre nan fig. 9 epi moman fleksyon an se:
epi koub liy defleksyon an jwenn lè yo aplike ekwasyon (2) sou pati seksyon an kote tansyon yo nan zòn elastik la w’’ = σf / Ez’. Si fòm seksyon an konnen pou chak z’ yo adopte, entegral yo ka kalkile. Pa egzanp, pou ka ki pi senp nan yon seksyon kwa rektangilè ki gen lajè b ak wotè h se
Si isit la z’ eksprime avèk èd w’’, yo jwenn
Nan pwofil I ak sa ki sanble avè l yo, trajektwa koub M-w’’ a nan zòn plastik la pi plat ankò, epi moman kote koule a kòmanse a pratikman egal ak pi gwo moman fleksyon pwofil la ka sipòte ditou. Se poutèt sa, enpòtans fleksyon plastik nan konstriksyon pa chita nan ogmantasyon moman fleksyon pwofil la ka pote, men nan lefèt ke gwo defòmasyon lokal ki parèt nan limit koule a ka mennen nan yon chanjman favorab nan repatisyon fòs yo nan sistèm estatistikman endetèmine yo.
Fig. 9
Sa ka eksplike ak egzanp yon travès kontinyèl sou de travé. Ann sipoze travès la (fig. 10) gen travé ki gen menm longè, yon seksyon konstan epi li chaje ak yon chaj inifòm. Lè sa a, anvan li rive nan limit koule a, moman an sou sipò a MB = _pl_2/8. Si chaj la p ogmante tèlman ke moman an nan seksyon sipò a rive nan valè Mf kote koule a kòmanse, lè chaj la kontinye ogmante nan plas sa a, koub la ap ogmante tou san yon ogmantasyon remakab nan moman an. Yo fòme sa yo rele yon charnyè plastik, sa vle di travès la, anba chaj adisyonèl, konpòte li tankou si te gen yon charnyè anwo sipò mitan an. Chaj la ka kontinye ogmante jiskaske koule a kòmanse tou nan pwen kote moman an pi gwo nan travé a. Pli lwen ogmantasyon nan moman koube a pa posib ankò epi kapasite chaj travès la fin depanse. Chaj kote eta sa a parèt la rele chaj limit.
Fig. 10
An jeneral, yo ka espere ke nan yon sistèm ki se n fwa endetèmine estatikman, pral oblije parèt (n+1) jwenti plastik anvan sistèm nan vin mobil epi konsa rive nan limit kapasite pote li. Sepandan, règ sa a gen eksepsyon nan toude sans yo. Jan egzanp ki site la montre sa, sou limit kapasite pote a, de nouvo jwenti plastik ka parèt an menm tan (nan tou de travée yo), konsa sistèm ki te jiska lè sa a toujou san deplasman an tounen toudenkou yon sistèm ak de degre libète. Nan lòt sans, li posib pou kapasite pote a fin itilize lokalman menm ak mwens pase (n+1) jwenti plastik, pa egzanp lè, nan yon travès kontinyèl, se sèlman yon sèl travée ki lage. Fig. 11 montre kijan sa ka rive nan yon sistèm ki endetèmine estatikman de fwa ak n=2 jwenti plastik. Si yo ajoute yon katriyèm travée sou bò dwat travès la, travès la vin endetèmine estatikman twa fwa, epi li sifi pou genyen (n-1) jwenti plastik pou sèlman travée gòch la rive nan limit kapasite pote a.
Fig. 11
Kontrent sizo nan pliye
Prensip kalkil
Fig. 12
Konsènan estrès nòmal yo σ, sètadi estrès ki an reyalite parèt akoz pliye a, yo pa sèl estrès ki nan baton ki pliye a; anplis yo, gen tou estrès taye ki parèt akoz aksyon fòs transvèsal la. Etandone karakteristik debaz teyori teknik pliye a se ke li neglije defòmasyon ki sòti nan estrès taye yo, sa yo ka detèmine sèlman selon kondisyon ekilib yo. Pou poze sa, yo koupe eleman travès dx la, jan yo make sou fig. 12, avèk yon plan orizontal an de pati, epi yo poze kondisyon ekilib fòs orizontal yo ki aji sou pati anba a. Sou bò gòch la, se fòs enteryè yo ki eksprime pa estrès σ yo akoz pliye a, pou yo dwe entegre soti nan z’ = z rive nan z’ = h2
Sou bò dwat la, menm estrès yo aji, men yo ogmante pa diferansyèl la an akò ak moman fleksyon ki koresponn lan M + dM. Diferans ant fòs yo sou tou de bò eleman an dwe an ekilib ak fòs ki soti nan estrès taye τ ki aji nan sifas seksyon orizontal t dx:
Isit la, integral la reprezante moman estatik pati seksyon transvèsal la ki separe pa yon plan orizontal transvèsal an rapò ak aks santwoyid seksyon an. Yo make li ak S. Avèk dM/dx = Q soti nan kondisyon balans lan, nou jwenn:
τ = QS/It. (8)
Sa a, selon prensip konjigasyon tansyon taye yo, se an menm tan valè tansyon taye vètikal ki aji sou sifas seksyon transvèsal la epi ki, ansanm ak S ak t, se yon fonksyon de z.
Fig. 13
Fig. 13.1
Ekwasyon (8) bay done serye pou tout seksyon ki gen mi mens si plan seksyon an pa mete paralèl ak aks net la, men nan direksyon epesè miray la. Kidonk, pwofil I a koupe kwa sou rebra a ak kwa sou flanj lan, sa ki bay yon distribisyon tansyon yo montre nan fig. 13.1. Nan seksyon annilè a (fig. 13), tansyon koupe yo distribye simetrikman parapò ak dyamèt vètikal la epi sou bò gòch ak sou bò dwat sou liy net la yo rive nan maksimòm
τ = Q / πrt.
Si seksyon an koupe nan pwen ki pi wo a oswa ki pi ba a, distribisyon tansyon koupe yo pa chanje; men, si li koupe nan fen dwat dyamèt orizontal la (fig. 14), tansyon koupe a nan pwen sa a egal a zewo, tandiske valè li double nan fen gòch menm dyamèt la.
Fig. 14
Seksyon plen yo
Nan seksyon plen ki gen fòm lib, pwoblèm estrès taye yo trè lye ak pwoblèm tòsyon an. Ekwasyon elemantè (8) nan ka sa a pa ankò fyab. Pou yon seksyon sikilè ki gen reyon r, ekwasyon (8) bay
τ = 4Q / 3__πr2
kòm valè mwayèn kontrent tayan an sou aks neut la, epi valè egzak la se sèlman kèk pousan pi gwo.
Sant taye
Si yo kalkile tansyon koupe yo pou yon seksyon U nan fason ki dekri pi wo a, yo jwenn yon distribisyon tansyon ki montre nan fig. 15. Rezilta fòs entèn ki koresponn yo se fòs transversal Q. Nan imaj la, nou ka wè pozisyon li parapò ak seksyon an, kidonk li pa pase ni nan sant gravite seksyon an, ni li chita nan plan kote kòt la ye a. Si fòs transversal ki kalkile sou baz fòs ekstèn yo pa gen pozisyon ki montre nan fig. 15, sipò a pa chaje sèlman an flexion, men tou an tòsyon.
Si pou menm koup transvèsal la yo detèmine yon rezilta ki koresponn ak kontrent taye yo pou yon chaj orizontal, yo jwenn liy aksyon fòs transvèsal orizontal la. Nan entèseksyon de liy aksyon sa yo gen yon pwen karakteristik pou koup transvèsal sa a, yo rele li sant taye M. Nan poto a, pa gen kontrent ki parèt poutèt tòsyon lè sant taye tout koup transvèsal yo sou yon menm liy dwat, epi tout chay ki pèpandikilè ak aks poto a pase nan liy sa a. Sinon, moman chak chaj an rapò ak liy ki konekte sant taye yo reprezante taye tòsyonèl.
Fig. 15
Enfliyans fòs transvèsal sou fleksyon
Teyori teknik koube a baze sou neglije defòmasyon ki rive akòz tansyon taye. Kidonk, an reyalite li ka aplike sèlman sou branch mens, kote neglijans sa a jistifye epi kote fòs transverse a pa gen enfliyans remakab sou koube a.
Sepandan, eksperyans montre ke teyori teknik koube a ka, ak yon sèten siksè, aplike tou sou sipò kout, wo, pou ki an reyalite li pa te fèt ditou. Lè sa a, bezwen parèt pou pran an kont, omwen apeprè, apre sa, enfliyans defòmasyon ki soti nan tansyon taye yo, ke teyori sa a neglije.
Menm jan ak tansyon taye τ ki parèt akoz fòs transvèsal yo, ansanm ak glisman koresponn yo γ_’ =_ τ_/G_, yo distribye yon fason inegal sou seksyon an. Se poutèt sa, yo entwodui valè mwayen yo γ, ki detèmine konsa ke fòs transvèsal la, lè li aji ak valè mwayen defòmasyon sa a sou eleman travès dx, fè yon travay defòmasyon ki egal ak sa ki ta jwenn si yo te entegre travay tansyon taye yo sou eleman volim endividyèl ki fòme eleman travès obsève a:
kote li ye
Entegral la ka kalkile lè yo konnen repatisyon estrès sizo yo sou seksyon an. Kòm tout estrès sizo yo pwopòsyonèl ak Q/F, valè li pwopòsyonèl ak Q2/F2 * F, epi lè nou mete ke li se κ__Q2/F, nou jwenn
γ = κ__Q / GF.
Konstanta κ yo rele koyefisyan distribisyon tansyon sizo yo. Pou seksyon rektangilè yo, κ=1,2.
Fig. 16
Lè koefisyan κ a konnen, epi konsa glisman mwayen an γ, yo ka kalkile defleksyon adisyonèl wQ a, ki sòti anba aksyon fòs transversal yo, epi ki dwe ajoute ak defleksyon w yo: paske selon fig. 16 la se
kidonk akòz Q = dM/dx:
lè sa a, yo jwenn konstan entegrasyon an nan yon sèl kondisyon limit.