Нормални напони кај прави шипки и шипки со мала закривеност
Дефиниција на пресечните сили
Нека е прав прачка оптоварена со сили со произволен правец, за кои единствено се претпоставува дека сите лежат во една рамнина (рамнина на сили) што минува низ оската на прачката (линија што ги спојува тежиштата на попречните пресеци).
Сл.1
За да се пресметаат напоните што дејствуваат во некој попречен пресек n – n (сл. 1), потребно е да се познава силата што преку овој пресек се пренесува од еден дел на стапот на другиот. Таа очигледно по големина и положба е еднаква на резултантата од сите сили што дејствуваат врз еден дел од стапот. Оваа резултанта се разложува на компоненти во координатен систем чија x-оска се совпаѓа со оската на стапот, а z-оската е линија долж која рамнината на попречниот пресек ја сече рамнината на силите. Компонентата во правец на оската z се нарекува трансверзална сила Q или Qz и кај проста греда се смета за позитивна ако лево од пресекот има насока нагоре, а десно надолу.
Кога шипот е крив, координатните оски x и z имаат во секој пресек друга насока и тоа секогаш така што x-оската е тангента на оската на шипот. Ако рамнината во која лежи оската на шипот не се поклопува со рамнината на силите, или ако оската на шипот е просторна крива, резултантата на силите лево од пресекот има и трета компонента, трансверзална сила Qy. Со N, Qz и Qy се одредени големината и насоката на силата што се пренесува преку пресекот, но не и нејзината положба. За ова е потребно да бидат познати и нејзините моменти во однос на координатните оски. Во случај на рамно свиткување доволно е да биде познат моментот на свиткување M или My. Во најопштиот случај се појавува уште еден момент на свиткување Mz и момент околу x-оската, Mx.
Шесте сили и моменти дефинирани во претходното излагање се опфатени со заедничкиот назив „пресечни сили“. Нивното определување е една од основните задачи на статиката на градежните конструкции.
Помеѓу непрекинато распределеното оптоварување p (димензија: сила по единица должина), трансверзалната сила Q и моментот на свиткување M постои во случај на рамно свиткување едноставна врска. Имено, од условот за рамнотежа на еден елемент од прачката (сл. 2) се добива
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
затоа
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Сл. 2
Распределба на нормалните напрегања
Ако прачката е оптоварена само со аксијална сила, во пресекот се појавува само рамномерно распоредениот нормален напон σ (затегната, одн. притисната прачка). Ако покрај тоа се појави и момент на свиткување, овие напрегања мора на некој начин да бидат нерамномерно распоредени, така што нивната резултанта веќе не минува низ тежиштето на пресекот. За да се одреди овој распоред, техничката теорија на свиткување не поаѓа од строго решение на основните равенки, туку заменува еден дел од овие равенки со веројатна претпоставка која во еден особено едноставен случај е истовремено и строго исполнета. Овој специјален случај е свиткување на права призматична прачка без дејство на трансверзални сили (сл. 3). Сите елементи на прачката што се доволно оддалечени од нејзините краеви трпат иста деформација, од каде непосредно следи дека оската на прачката преминува во кружен лак и дека сите рамнини на попречните пресеци, кои првобитно биле нормални на оската на прачката, при деформацијата остануваат рамни, бидејќи секоја од нив е рамнина на симетрија за соседните делови на деформираната прачка. Природно се наметнува претпоставката дека попречните пресеци остануваат приближно рамни и кога моментот на свиткување и попречниот пресек на прачката не се константни, туку постепено се менуваат долж прачката. Оваа претпоставка, која се нарекува Navier-ова хипотеза, лежи во основата на теоријата на свиткување.
Сл.3
Големина на нормалните напрегања
Кога се свиткува прав елемент на греда, еден дел од неговите „влакна“, т.е. материјални линии паралелни со оската на шипката, се издолжува, додека другиот дел се скратува (сл. 4). Помеѓу овие два дела лежат неутралните влакна z=0, чија должина при свиткување не се менува. Нека е радиусот на закривеноста на овие влакна во свиткана состојба ϱ и нека тој лежи во x-z рамнината. Од сл. 4 m може да се прочита
Δ dx/z = _dx/_ϱ
и од тоа да се пресмета дилатацијата на влакната на растојание z од неутралната оска, која изнесува
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
па врз основа на Hooke-овиот закон напрегањето
σ _= Ez/_ϱ (2)
Сл.4
Овој напон е пропорционален на оддалеченоста од неутралните влакна. Таквиот резултат е врзан за претпоставката дека пред деформацијата сите влакна на елементот на прачката биле со подеднаква должина, така што прачката првично била права, или барем со толку мала закривеност што влијанието на закривеноста може да се занемари. Правата долж која се сечат неутралниот слој и рамнината на пресекот се нарекува неутрална оска. Ние ја прифаќаме за y-оска (сл. 5). Положбата на неутралната оска во попречниот пресек се добива од условот на рамнотежа на силите во правец на x-оската: ако е нормалната сила N=0 (свиткување без нормална сила), тогаш и резултантата на внатрешните сили изразена преку нормалните напрегања во пресекот мора да биде еднаква на нула:
Интегралот на десната страна е статички момент на површината во однос на y-оската. За да биде тој еднаков на нула, оваа оска мора да биде една од тежишните оски.
Моментот M што предизвикува деформација има во однос на оските y и z во рамнината на пресекот (сл. 5) компоненти:
Рав. (3)
при што Iy, Iyz се екваторијален и центрифугален момент на инерција на пресекот во однос на означените оски.
Најважен е специјалниот случај кога Mz=0. Овој случај настапува кога Iyz=0, односно кога y и z се главни оски на инерција на пресекот. Тоа значи дека рамнината на свиткување, која овде е усвоена како x-z-рамнина, се поклопува со рамнината во која дејствува моментот на свиткување M=My, односно со рамнината на силите.
Сл.5
Ако од равенките (2) и (3) се елиминира _E/_ϱ, се добива образец за одредување на напонот при рамно свиткување (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
za krajnite točki 1 i 2 posebno e:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Големините W1,2 = I/h1,2 (димензија: должина на трет степен) се нарекуваат отпорни моменти. Ако хоризонталната тежишна оска воедно е и оска на симетрија на пресекот, тогаш W1 = W2, па рабните напрегања по апсолутна вредност се еднакви.
Еластична линија
Сл. 6
Важноста на горенаведените обрасци е поврзана со Hooke-овиот закон. Тоа бара σ << E, значи според (2) h << ϱ. Свиткувањето сепак смее да биде толку, што ϱ е од ист ред големина како и должината на прачката l. Кај свиткани прачки што доаѓаат предвид во градежништвото овој случај не настапува; секогаш ϱ е значително поголемо од l и според тоа прогибот w << l (сл. 6). Тогаш приближно важи:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
и врз основа на (3):
w’’ = - M/EI.
Оваа равенка и условот на рамнотежа (1b) формираат систем од диференцијални равенки на свиткана прачка. Тие со елиминација може да се сведат на една равенка од четврти ред:
wIV = + p/EI
или, во случај да е моментот на инерција променлив:
(EIw’’)’’ = +p.
Од нив со интеграција може да се најде обликот на еластичната линија кога е дадено оптоварување p=p(x) и кога за секој случај на стап се познати два гранични услова. Од овие барем два мора да се однесуваат на деформацијата. За детали в. статијата Статика на градежни конструкции.
Јадро на пресекот
Ако неутралната оска го сече попречниот пресек, таа го дели на зона на затегање и зона на притисок. Кај материјали со мала цврстина на затегање се поставува прашањето каде треба да дејствува силата на притисок, ако во попречниот пресек никаде не смее да дојде до затегање. Положбата на местото на дејство на силата тогаш е ограничена на област што се нарекува јадро на пресекот. Границата на јадрото е очигледно геометриско место на точки, чии неутрални оски го тангираат попречниот пресек по обем. Со ова е истовремено дадена и неговата конструкција.
Оддалеченоста на границата на јадрото од тежиштето, измерена во било кој правец, ќе ја означиме со k индекс што одговара на тој правец. За главните оски на инерција според равенката
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
изразите се следниве:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
За кружен попречен пресек со полупречник r растојанието на јадрото е k = r/4, а за кружен прстен (полупречници: надворешен R, внатрешен r) k = (R2 + r2) / 4R.
За правоаголник (сл. 7) е ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Значи, при оптоварување на правоаголен пресек во една од рамнините на симетрија (но само тогаш) доволно е резултантата да дејствува во средната третина од висината или ширината на попречниот пресек, па напрегањата во пресекот да имаат ист знак.
Сл. 7
Свиткување во пластична област
Кога во рабните влакна на свитканиот прачка е достигната границата на течење, неговата носивост со тоа уште не е исцрпена, бидејќи додека надворешните влакна пластично се деформираат при константен напон, во деловите што лежат поблиску до неутралната оска, каде границата на течење уште не е достигната, напонот се зголемува, па со тоа се зголемува и моментот на свиткување што пресекот може да го прими.
Ако е познат точниот тек на дијаграмот на напрегања и деформации, процесот за двојно симетрични пресечоци (висини h) може лесно да се следи со пресметка на тој начин што, под претпоставка дека пресеците остануваат рамни, од дијаграмот на напрегања и деформации се одредува распределбата на напрегањата σ поради свиткување што одговара на некоја усвоена дилатација на крајните влакна ε__r и од таму со интегрирање се одредува моментот на свиткување. Ако ова се спроведе за различни ε__r и од друга страна се пресмета соодветната закривеност на линијата на провисување w’’ = 2 ε__r / h, се добива низа точки низ кои може да се повлече линија што ја дава врската меѓу моментот на свиткување и закривеноста M = M(w’’); оваа врска веќе не е линеарна, а кога е позната можно е со графичка интеграција да се одреди линијата на провисување што одговара на дадената распределба на моменти. Ако пресекот е асиметричен, пресметката станува посложена, дотолку што за секое ε__r мора уште да се одреди и положбата на неутралната оска.
Сл. 8
Пресметката до извесна мера се поедноставува ако, покрај симетријата на пресекот, се претпостави и поедноставена врска меѓу напрегањата и дилатациите според сл. 8. Тогаш напрегањата поради свиткување по надминувањето на границата на течење имаат распоред прикажан на сл. 9 и моментот на свиткување е:
па кривината на линијата на провиснување се добива кога равенката (2) ќе се примени на дел од пресекот чии напони се во еластичната област w’’ = σf / Ez’. Ако е познат обликот на пресекот за секое усвоено z’ интегралите можат да се пресметаат. На пр., за наједноставниот случај на правоаголен попречен пресек со ширина b и висина h е
Ако тука z’ се изрази со помош на w’’, се добива
Кај I-пресеци и слични на нив, текот на кривата M-w’’ во пластичната област е уште повеќе положен и моментот при кој настанува течење тогаш практично е еднаков на најголемиот момент на свиткување што пресекот воопшто може да го поднесе. Затоа значењето на пластичното свиткување во градежништвото не се состои во зголемување на моментот на свиткување што пресекот може да го носи, туку во тоа што големата локална деформација што настанува на границата на течење може да доведе до поволна промена на распределбата на силите кај статички неопределени системи.
Сл. 9
Ова може да се објасни на примерот на континуиран носач преку две полиња. Нека носачот (сл. 10) има полиња со еднаква должина, константен пресек и нека е оптоварен со рамномерно распоредено оптоварување. Тогаш, пред да се достигне границата на течење, моментот над потпирачот MB = _pl_2/8. Ако оптоварувањето p толку се зголеми што моментот во потпорниот пресек ја достигне вредноста Mf при која настапува течење, при натамошно зголемување на оптоварувањето на тоа место ќе се зголемува и закривеноста без забележлив пораст на моментот. Се создава т.н. пластичен зглоб, односно носачот под дополнително оптоварување се однесува како над средниот потпирач да постои зглоб. Оптоварувањето може понатаму да се зголемува сè додека и на местото на најголемиот момент во полето не почне течење. Натамошно зголемување на моментот на свиткување веќе не е можно и носивоста на носачот е исцрпена. Товарот при кој настапува ова состојба се нарекува гранично оптоварување.
Сл. 10
Општо земено, може да се очекува дека во еден n пати статички неопределен систем ќе мора да се појави (n+1) пластични зглобови пред системот да стане подвижен и со тоа да ја достигне својата гранична носивост. Ова правило, меѓутоа, има исклучоци во двата правци. Како што покажува наведениот пример, на границата на носивоста можат истовремено да се појават два нови пластични зглоба (во обата полиња), така што дотогаш уште неподвижниот систем одеднаш преминува во систем со два степени на слобода. Од друга страна, можно е и со помалку од (n+1) пластични зглобови носивоста локално да се исцрпи, на пр. кога кај континуиран носач попушта само едно поле. Сл. 11 покажува како тоа може да се случи кај еден статички двојно неопределен систем со n=2 пластични зглоба. Ако на десната страна на носачот се додаде и четврто поле, носачот станува тројно статички неопределен, па се доволни (n-1) пластични зглоба за само левото поле да се доведе до границата на носивоста.
Сл.11
Напони на смикнување при свиткување
Елементарен пресмет
Сл. 12
Нормалните напрегања σ, односно напрегањата што всушност се појавуваат поради свиткување, не се единствените напрегања во свитканата прачка, туку покрај нив се појавуваат и смолкнувачки напрегања поради дејството на трансверзалната сила. Со оглед на тоа дека основната карактеристика на техничката теорија на свиткување е во тоа што се занемаруваат деформациите поради смолкнувачките напрегања, овие може да се одредат само од условите на рамнотежа. За да се постави овој услов, елементот на гредата dx се сече, како што е на сл. 12 означено, со хоризонтална рамнина на два дела, па се поставува услов на рамнотежа на хоризонталните сили што дејствуваат на долниот дел. На левата страна тоа се внатрешните сили изразени со напрегањата σ поради свиткување, за кои треба да се интегрира од z’ = z до z’ = h2
На десната страна дејствуваат истите напрегања, но зголемени за диференцијалот во согласност со соодветниот момент на свиткување M + dM. Разликата меѓу силите на двете страни од елементот мора да биде во рамнотежа со силата поради напоните на смикнување τ што дејствуваат во хоризонталната пресечна површина t dx:
Тука интегралот претставува статички момент на дел од попречниот пресек издвоен со хоризонтална попречна рамнина во однос на тежишната оска на пресекот. Тој се означува со S. Со dM/dx = Q од условот на рамнотежа се добива:
τ = QS/It. (8)
Тоа е, според ставот за конјугираност на смолкнувачките напрегања, истовремено големината на вертикалниот смолкнувачки напон што дејствува во површината на попречниот пресек и кој, заедно со S и t, е функција на z.
Сл. 13
Сл. 13.1
Равенката (8) дава сигурни податоци кај сите тенкозидни пресеци ако пресечната рамнина не се постави паралелно со неутралната оска, туку во правец на дебелината на ѕидот. Според тоа I-профилот се сече попречно преку реброто и попречно преку прирабницата, со што се добива распоред на напоните прикажан на сл. 13.1. Кај прстенестиот пресек (сл. 13) смолкнувачките напрегања се распоредени симетрично во однос на вертикалниот дијаметар и лево и десно на неутралната линија достигнуваат максимум
τ = Q / πrt.
Ако пресекот е засечен на највисокото или најниското место, распоредот на смичните напони не се менува; меѓутоа, ако е засечен на десниот крај на хоризонталниот дијаметар (сл. 14), смичниот напон на тоа место е еднаков на нула, додека неговата вредност се удвојува на левиот крај на истиот дијаметар.
Сл. 14
Полни пресеци
Кај полни пресеци со произволен облик проблемот на смични напрегања е тесно поврзан со проблематиката на торзијата. Елементарната равенка (8) во тој случај веќе не е сигурна. За кружен пресек со радиус r равенката (8) дава
τ = 4Q / 3__πr2
како средна вредност на смичниот напон по должината на неутралната оска, а точната вредност е само за неколку проценти поголема.
Средиште на сечење
Ако за U-пресекот се пресметаат смолкнувачки напрегања на начин опишан погоре, се добива распоредот на напрегања прикажан на сл. 15. Резултантата на соодветните внатрешни сили е трансверзалната сила Q. Од сликата може да се види нејзината положба во однос на пресекот, значи дека таа ниту минува низ тежиштето на пресекот, ниту лежи во рамнината на реброто. Ако трансверзалната сила пресметана врз основа на надворешните сили нема положба прикажана на сл. 15, носачот не е оптоварен само на свиткување, туку и на торзија.
Ако за истиот попречен пресек се определи резултантата што одговара на смолкнувачките напрегања за некое хоризонтално оптоварување, се добива нападната линија на хоризонталната трансверзална сила. Во пресекот на овие две нападни линии се наоѓа карактеристичната точка за дадениот попречен пресек, која се нарекува средиште на смолкнување M. Во носачот не се појавуваат напрегања поради торзија кога средиштата на смолкнување на сите попречни пресеци лежат на една права, а сите товари управени на оската на стапчето минуваат низ таа права. Во спротивно, моментот на секој товар во однос на правата што ги спојува средиштата на смолкнување претставува торзионо смолкнување.
Сл. 15
Влијание на трансверзалната сила на свиткувањето
Техничката теорија на свиткување се заснова на занемарување на деформациите поради смолкнувачките напрегања. Според тоа, таа навистина може да се применува на витки прачки, кај кои ова занемарување е оправдано и каде што попречната сила нема забележително влијание врз свиткувањето.
Искуството, меѓутоа, покажало дека техничката теорија на свиткување може со одреден успех да се примени и на кратки, високи носачи, за кои таа всушност воопшто не е наменета. Тогаш се јавува потреба влијанието на деформацијата поради смолкнувачките напрегања, што во оваа теорија е занемарено, да се земе, барем приближно, дополнително предвид.
Исто така како и смолкнувачките напрегања τ поради попречните сили и соодветните лизгања γ_’ =_ τ_/G_ се распоредени нерамномерно по пресекот. Затоа се воведува нивната средна вредност γ, која се определува така што попречната сила при оваа средна вредност на деформацијата врши на елементот на гредата dx деформациона работа еднаква на онаа што би се добила со интегрирање на работите на смолкнувачките напрегања на поединечните запремински елементи што го сочинуваат набљудуваниот елемент на гредата:
од каде што е
Интегралот може да се пресмета кога е познат распоредот на смолкнувачките напрегања по пресекот. Бидејќи сите смолкнувачки напрегања се пропорционални со Q/F, неговата вредност е пропорционална со Q2/F2 * F, па ако се стави дека таа е κ__Q2/F, се добива
γ = κ__Q / GF.
Константата κ се нарекува коеф. на распределба на смолкнувачките напрегања. За правоаголни пресеци κ=1,2.
Сл. 16
Кога е познат коеф. κ, а со тоа и средното лизгање γ, може да се пресмета дополнителниот отклон wQ, настанат под дејство на трансверзалните сили, кој треба да се додаде на отклоните w: бидејќи според сл. 16 е
па е поради Q = dM/dx:
при што интеграциската константа се добива од еден граничен услов.