Suorat sauvat ja vähän kaarevat sauvat: normaalijännitykset
Leikkausvoimien määritelmä
Olkoon suora tanko kuormitettu mielivaltaisen suuntaisilla voimilla, joiden ainoana oletuksena on, että ne kaikki sijaitsevat yhdessä tasossa (voimatasossa), joka kulkee tangon akselin kautta (poikkileikkausten painopisteet yhdistävä linja).
Kuva 1
Jotta voidaan laskea jännitykset, jotka vaikuttavat jossakin poikkileikkauksessa n – n (kuva 1), on tunnettava voima, joka tämän poikkileikkauksen kautta siirtyy sauvan yhdestä osasta toiseen. Suuruudeltaan ja sijainniltaan se on ilmeisesti sama kuin kaikkien sellaiseen sauvan osaan vaikuttavien voimien resultanttivoima. Tämä resultanttivoima hajotetaan komponentteihin koordinaatistossa, jonka x-akseli yhtyy sauvan akseliin ja jonka z-akseli on se viiva, jota pitkin poikkileikkauksen taso leikkaa voimien tason. z-akselin suuntainen komponentti on poikittaisvoima Q eli Qz, ja yksinkertaisella palkilla se katsotaan positiiviseksi, jos leikkauksesta vasemmalle suunta on ylöspäin ja oikealle alaspäin.
Kun tanko on kaareva, koordinaattiakselit x ja z ovat jokaisessa leikkauksessa eri suunnassa siten, että x-akseli on tangon akselin tangentti. Jos taso, jossa tangon akseli sijaitsee, ei ole sama kuin voimataso, tai jos tangon akseli on avaruuskäyrä, leikkauksen vasemmalla puolella olevien voimien resultanttivoimalla on myös kolmas komponentti, poikittaisvoima Qy. Suure ja suunta yli poikkileikkauksen välittyvälle voimalla määräytyvät N, Qz ja Qy:n avulla, mutta eivät sen sijainnin. Tätä varten on tunnettava myös sen momentit koordinaattiakseleihin nähden. Tasataivutuksessa riittää, että tunnetaan taivutusmomentti M tai My. Yleisimmässä tapauksessa esiintyy vielä yksi taivutusmomentti Mz ja momentti x-akselin ympäri, Mx.
Edellä esitetyt kuusi voimaa ja momenttia sisällytetään yhteisnimityksen ”leikkausvoimat” alle. Niiden määrittäminen on yksi rakennusrakenteiden statiikan perustehtävistä.
Jatkuvasti jakautuneen kuormituksen p (ulottuvuus: voima pituusyksikköä kohti), poikittaisvoiman Q ja taivutusmomentin M välillä on tasataivutuksen tapauksessa yksinkertainen yhteys. Nimittäin sauvan yhden elementin tasapainoehdoista (kuv. 2) saadaan
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
siksi
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Kuva. 2
Normaalijännitysten jakauma
Jos sauvaa kuormittaa vain aksiaalivoima, poikkileikkauksessa esiintyy ainoastaan tasaisesti jakautunut normaalijännitys σ (vedetty eli puristettu sauva). Jos tämän lisäksi esiintyy taivutusmomentti, näiden jännitysten on jollakin tavalla jakauduttava epätasaisesti, niin että niiden resultanttivoima ei enää kulje poikkileikkauksen painopisteen kautta. Tämän jakauman määrittämiseksi tekninen taivutusteoria ei lähde perusyhtälöiden täsmällisestä ratkaisusta, vaan korvaa osan näistä yhtälöistä uskottavalla oletuksella, joka yhdessä erityisen yksinkertaisessa tapauksessa myös täyttyy täsmällisesti. Tämä erityistapaus on suoran, prismamaisen sauvan taivutus ilman poikittaisvoimien vaikutusta (kuv. 3). Kaikki sauvan osat, jotka ovat riittävän kaukana sen päistä, kokevat saman muodonmuutoksen, mistä seuraa suoraan, että sauvan akseli muuttuu ympyränkaareksi ja että kaikki poikkileikkaustasot, jotka alun perin olivat kohtisuorassa sauvan akselia vastaan, pysyvät muodonmuutoksessa tasoina, koska kukin niistä on symmetriataso muodonmuutoksen alaisen sauvan viereisille osille. Luonnollisesti syntyy oletus, että poikkileikkaukset pysyvät likimäärin tasoina myös silloin, kun taivutusmomentti ja sauvan poikkileikkaus eivät ole vakioita, vaan muuttuvat vähitellen sauvan pituudella. Tätä oletusta, jota kutsutaan Navier-n hypoteesiksi, käytetään taivutusteorian perustana.
Kuv. 3
Normaalijännitysten suuruus
Kun palkin suora elementti taivutetaan, yksi osa sen “kuiduista”, eli sauvan akselin suuntaisista materiaaliviivoista, venyy, kun taas toinen osa lyhenee (kuv. 4). Näiden kahden osan välissä sijaitsevat neutraalit kuidut z=0, joiden pituus ei taivutuksessa muutu. Olkoon näiden kuitujen kaarevuussäde taivutetussa tilassa ϱ ja olkoon se x-z -tasossa. Kuvasta 4 može se pročitati
Δ dx/z = _dx/_ϱ
ja siitä laskettu kuitujen venymä etäisyydellä z neutraalista akselista, joka on
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
ja Hooken lain perusteella jännitys
σ _= Ez/_ϱ (2)
Kuv. 4
Tämä jännitys on verrannollinen etäisyyteen neutraaleista säikeistä. Tällainen tulos perustuu oletukseen, että ennen muodonmuutosta kaikki tangon elementin säikeet olivat yhtä pitkiä, niin että tanko oli alun perin suora tai ainakin niin lievästi kaareva, että kaarevuuden vaikutus voidaan jättää huomiotta. Suora, jossa neutraali kerros ja leikkaustaso leikkaavat, kutsutaan neutraaliksi akseliksi. Otamme sen y-akseliksi (kuva 5). Neutraalin akselin sijainti poikkileikkauksessa saadaan x-akselin suunnan voimatasapainon ehdosta: jos normaalivoima N=0 (taivutus ilman normaalivoimaa), silloin myös leikkauksessa normaalijännitysten kautta ilmaistun sisäisten voimien resultantin on oltava nolla:
Oikean puolen integraali on pinta-alan staattinen momentti y-akselin suhteen. Jotta se olisi nolla, tämän akselin on oltava yksi painopisteakseleista.
Muodonmuutoksen aiheuttavalla momentilla M on leikkaustason akselien y ja z suhteen (kuva 5) komponentit:
Yht. (3)
jolloin Iy, Iyz ovat poikkileikkauksen ekvaattorinen ja sentrifugaalinen hitausmomentti suhteessa merkittyihin akseleihin.
Tärkein on erikoistapaus, kun Mz=0. Tämä tapaus esiintyy, kun Iyz=0, eli kun y ja z ovat poikkileikkauksen pääinertia-akselit. Tämä tarkoittaa, että tässä omaksuttu taivutustaso, joka yhtyy x-z-tasoon, on sama kuin taso, jossa vaikuttaa taivutusmomentti M=My, eli voimataso.
Kuva 5
Jos yhtälöistä (2) ja (3) eliminoidaan _E/_ϱ, saadaan kaava taivutuksen jännityksen määrittämiseksi suorassa taivutuksessa (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
erityisesti reunapisteille 1 ja 2 pätee:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Suureita W1,2 = I/h1,2 (mitan ulottuvuus: pituus kolmanteen) kutsutaan vastusmomentiksi. Jos vaakasuora painopisteakseli on samalla poikkileikkauksen symmetria-akseli, silloin W1 = W2, joten reunajännitykset ovat itseisarvoltaan yhtä suuret.
Joustokäyrä
Kuva. 6
Edellä esitettyjen kaavojen merkitys liittyy Hooken lakiin. Tämä edellyttää, että σ << E, siis yhtälön (2) mukaan h << ϱ. Taivutus saa kuitenkin olla niin suuri, että ϱ on samaa suuruusluokkaa kuin sauvan pituus l. Rakennustekniikassa tarkasteltavissa taivutetuissa tangoissa tätä tapausta ei esiinny; aina ϱ on huomattavasti suurempi kuin l, ja siten taipuma w << l (kuva 6). Tällöin pätee likimäärin:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
ja sen perusteella (3):
w’’ = - M/EI.
Tämä yhtälö ja tasapainoehto (1b) muodostavat taivutetun sauvan differentiaaliyhtälöryhmän. Eliminoinnilla ne voidaan supistaa yhteen neljännen kertaluvun yhtälöön:
wIV = + p/EI
tai, jos hitausmomentti on muuttuva:
(EIw’’)’’ = +p.
Näistä voidaan integroimalla löytää elastisen viivan muoto, kun kuormitus p=p(x) on annettu ja kun sauvalle tunnetaan kaksi reunaehtoa. Näistä vähintään kahden on koskettava muodonmuutosta. Yksityiskohdista ks. artikkeli Rakennuskonstruktioiden statiikka.
Poikkileikkauksen ydin
Jos neutraali akseli leikkaa poikkileikkauksen, se jakaa sen vetovyöhykkeeseen ja puristusvyöhykkeeseen. Materiaaleilla, joilla on pieni vetolujuus, herää kysymys, mihin kohtaan puristusvoima saa vaikuttaa, jos poikkileikkauksessa ei missään saa esiintyä vetoa. Voiman vaikutuspisteen sijainti rajoittuu silloin alueeseen, jota kutsutaan poikkileikkauksen ytimeksi. Ytimen raja on selvästi niiden pisteiden geometrinen paikka, joiden neutraalit akselit sivuavat poikkileikkausta sen ympäri. Tämä antaa samalla myös sen konstruktion.
Ytimen rajan etäisyys painopisteestä, mitattuna missä tahansa suunnassa, merkitään k:lla kyseistä suuntaa vastaavalla indeksillä. Pääinertiakselien osalta yhtälön mukaan
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
termit ovat seuraavat:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Pyöreän poikkileikkauksen, jonka säde on r, ydin-etäisyys on k = r/4, ja rengasmaisen poikkileikkauksen (säteet: ulompi R, sisempi r) k = (R2 + r2) / 4R.
Suorakulmiolle (kuva 7) on ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Siis, kun suorakulmaista poikkileikkausta kuormitetaan jossakin symmetriatasossa (mutta vain silloin), riittää että resultantti vaikuttaa poikkileikkauksen korkeuden tai leveyden keskikolmannekseen, jotta poikkileikkauksen jännityksillä on sama merkki.
Kuv. 7
Taivutus plastisella alueella
Kun taivutetun tangon reunakuituihin on saavutettu myötöraja, sen kantokyky ei vielä ole ehtynyt, sillä samalla kun ulkokerrokset muovautuvat plastisesti vakiojännityksellä, neutraaliakselia lähempänä olevissa osissa, joissa myötörajaa ei vielä ole saavutettu, jännitys kasvaa, ja siten kasvaa myös taivutusmomentti, jonka poikkileikkaus voi ottaa vastaan.
Jos jännitys- ja muodonmuutosdiagrammien tarkka kulku on tunnettu, prosessia voidaan kaksinkertaisesti symmetristen poikkileikkausten (korkeus h) osalta seurata helposti laskennallisesti siten, että oletuksella poikkileikkausten pysymisestä tasaisina määritetään jännitys- ja muodonmuutosdiagrammista taivutuksesta johtuva jännitysjakauma σ, joka vastaa jotakin hyväksyttyä pääkuitujen venymää ε__r, ja siitä integroiden määritetään taivutusmomentti. Jos tämä tehdään eri ε__r:ille ja toisaalta lasketaan vastaava taipumaviivan kaarevuus w’’ = 2 ε__r / h, saadaan joukko pisteitä, joiden kautta voidaan piirtää viiva, joka antaa yhteyden taivutusmomentin ja kaarevuuden välille M = M(w’’); tämä yhteys ei ole enää lineaarinen, ja kun se tunnetaan, voidaan graafisella integroinnilla määrittää taipumaviiva, joka vastaa annettua momenttijakaumaa. Jos poikkileikkaus on epäsymmetrinen, laskenta muuttuu monimutkaisemmaksi, koska jokaista ε__r:ää varten on vielä määritettävä neutraaliakselin sijainti.
Kuva 8
Laskenta yksinkertaistuu jossain määrin, jos poikkileikkauksen symmetrian lisäksi oletetaan myös yksinkertaistettu yhteys jännitysten ja venymien välillä kuvan 8 mukaisesti. Tällöin myötörajan ylittymisen jälkeiset taivutusjännitykset ovat kuvan 9 mukaisessa jakautumisessa ja taivutusmomentti on:
ja taipumakäyrän kaarevuus saadaan, kun yhtälö (2) sovelletaan poikkileikkauksen osaan, jonka jännitykset ovat elastisella alueella w’’ = σf / Ez’. Jos poikkileikkauksen muoto on tunnettu jokaiselle valitulle z’:lle, integraalit voidaan laskea. Esimerkiksi yksinkertaisimmassa tapauksessa suorakulmaisen poikkileikkauksen, jonka leveys on b ja korkeus h, on
Jos tässä z’ ilmaistaan _w’’:_n avulla, saadaan
I-poikkileikkauksissa ja niitä vastaavissa plastisella alueella M-w’’-käyrän kulku on vieläkin loivempi, ja myötöhetken momentti on silloin käytännössä sama kuin suurin taivutusmomentti, jonka poikkileikkaus yleensä voi kestää. Siksi plastisen taivutuksen merkitys rakentamisessa ei ole siinä, että se kasvattaisi poikkileikkauksen kestävää taivutusmomenttia, vaan siinä, että myötörajalla syntyvä suuri paikallinen muodonmuutos voi johtaa edulliseen voimien uudelleenjakautumiseen staattisesti määräämättömissä järjestelmissä.
Kuva 9
Tämä voidaan selittää jatkuvan, kahden jännevälin yli kulkevan kannattimen esimerkillä. Olkoon kannattimella (kuva 10) yhtä pitkät jännevälit, vakio poikkileikkaus ja olkoon se kuormitettu tasaisesti jakautuneella kuormalla. Tällöin ennen myötörajan saavuttamista tukikohdan momentti on MB = _pl_2/8. Jos kuormaa p suurennetaan niin paljon, että tukipoikkileikkauksen momentti saavuttaa arvon Mf, jolla myötö alkaa, kuormituksen edelleen kasvaessa kyseisessä kohdassa kasvaa myös kaarevuus ilman huomattavaa momentin lisäystä. Syntyy niin sanottu plastinen nivel, eli kannatin käyttäytyy lisäkuormituksessa ikään kuin keskituen kohdalla olisi nivel. Kuormitusta voidaan kasvattaa edelleen, kunnes myös jänteen suurimman momentin kohdassa alkaa myötö. Taivutusmomentin lisääminen ei ole enää mahdollista ja kannattimen kantokyky on käytetty loppuun. Kuormaa, jolla tämä tila syntyy, kutsutaan murtokuormaksi.
Kuva. 10
Yleisesti voidaan odottaa, että yhdessä n kertaa staattisesti määräämättömässä järjestelmässä on synnyttävä (n+1) plastista niveltä ennen kuin järjestelmä muuttuu liikkuvaksi ja saavuttaa näin kantokykynsä rajan. Tällä säännöllä on kuitenkin poikkeuksia molempiin suuntiin. Kuten esitetty esimerkki osoittaa, kantokyvyn rajalla voi syntyä samanaikaisesti kaksi uutta plastista niveltä (molemmissa kentissä), jolloin siihen asti vielä liikkumaton järjestelmä muuttuu yhtäkkiä järjestelmäksi, jolla on kaksi vapausastetta. Toisaalta on mahdollista, että kantokyky tulee paikallisesti loppuun jo alle (n+1) plastisen nivelen avulla, esimerkiksi kun jatkuvassa palkissa pettää vain yksi kenttä. Kuva 11 osoittaa, miten näin voi tapahtua yhdessä staattisesti kahdesti määräämättömässä järjestelmässä, jossa n=2 plastista niveltä. Jos palkin oikealle puolelle lisätään vielä neljäs kenttä, palkista tulee staattisesti kolmesti määräämätön, joten riittää (n-1) plastista niveltä, jotta vain vasen kenttä saatetaan kantokyvyn rajalle.
Kuva 11
Leikkausjännitykset taivutuksessa
Elementaarinen laskenta
Kuva. 12
Normaalijännitykset σ, eli itse asiassa taivutuksesta johtuvat jännitykset, eivät ole ainoat jännitykset taivutetussa sauvassa, vaan niiden lisäksi esiintyy myös leikkausjännityksiä poikittaisvoiman vaikutuksesta. Koska taivutuksen teknisen teorian peruspiirre on se, että leikkausjännityksistä aiheutuvat muodonmuutokset laiminlyödään, nämä voidaan määrittää vain tasapainoehtojen perusteella. Tämän laatimiseksi palkin elementti dx leikataan, kuten kuvassa 12 on esitetty, vaakatasolla kahteen osaan, ja asetetaan tasapainoehto alempaan osaan kohdistuville vaakasuorille voimille. Vasemmalla puolella nämä ovat sisäiset voimat, joita kuvaavat taivutuksesta johtuvat jännitykset σ, joiden integrointi on tehtävä välillä z’ = z ja z’ = h2
Oikealla puolella vaikuttavat samat jännitykset, mutta differentiaalilla suurennettuina vastaavan taivutusmomentin M + dM mukaisesti. Voimien ero elementin molemmilla puolilla on oltava tasapainossa horizontalisessa poikkipinta-alassa t dx vaikuttavien leikkausjännitysten τ aiheuttaman voiman kanssa:
Tässä integraali esittää vaakasuoralla poikittaistasolla erotetun poikkileikkausosan staattista momenttia suhteessa poikkileikkauksen painopisteakseliin. Se merkitään S:llä. Ehdosta dM/dx = Q saadaan tasapainoehdoista:
τ = QS/It. (8)
Se on leikkausjännitysten konjugaattisuutta koskevan periaatteen mukaan samalla myös pystysuuntaisen leikkausjännityksen arvo, joka vaikuttaa poikkileikkauksen pinnassa ja joka on yhdessä S:n ja t:n kanssa z:n funktio.
Kuva. 13
Kuva 13.1
Yhtälö (8) antaa luotettavia tietoja kaikille ohutseinäisille poikkileikkauksille, jos leikkaustaso asetetaan ei neutraaliakselin suuntaisesti vaan seinämän paksuuden suuntaan. Näin I-profiili leikataan poikittain uuman yli ja poikittain laipan yli, jolloin saadaan kuvassa 13.1 esitetty jännitysjakauma. Renkamaisessa poikkileikkauksessa (kuva 13) leikkausjännitykset jakautuvat symmetrisesti pystysuoran halkaisijan suhteen ja saavuttavat maksimin vasemmalla ja oikealla neutraaliviivalla
τ = Q / πrt.
Jos poikkileikkaus leikataan korkeimmasta tai matalimmasta kohdasta, leikkausjännitysten jakauma ei muutu; jos se kuitenkin leikataan vaakasuuntaisen halkaisijan oikeasta päästä (kuva 14), leikkausjännitys kyseisessä kohdassa on nolla, kun taas sen arvo kaksinkertaistuu saman halkaisijan vasemmassa päässä.
Kuv. 14
Täydet poikkileikkaukset
Täytepoikkileikkauksissa, joiden muoto on mielivaltainen, leikkausjännitysten ongelma liittyy läheisesti vääntöön. Alkeisyhtälö (8) ei siinä tapauksessa enää ole luotettava. Ympyräpoikkileikkaukselle, jonka säde on r, yhtälö (8) antaa
τ = 4Q / 3__πr2
keskimääräisenä leikkausjännityksen arvona neutraaliakselia pitkin, ja tarkka arvo on vain muutaman prosentin suurempi.
Leikkauskeskus
Jos U-poikkileikkaukselle lasketaan leikkausjännitykset edellä kuvatulla tavalla, saadaan kuvassa 15 esitetty jännitysjakauma. Vastaavien sisäisten voimien resultantti on poikittaisvoima Q. Kuvasta voidaan nähdä sen sijainti suhteessa poikkileikkaukseen, siis että se ei kulje poikkileikkauksen painopisteen kautta eikä sijaitse kyljen tasossa. Jos ulkoisten voimien perusteella laskettu poikittaisvoima ei ole kuvassa 15 esitetyn kaltainen, palkki ei ole kuormitettu pelkästään taivutukselle vaan myös väännölle.
Jos samalle poikkileikkaukselle määritetään jonkin vaakakuormituksen leikkausjännityksiä vastaava resultanttivoima, saadaan vaakasuoran poikittaisvoiman vaikutuslinja. Näiden kahden vaikutuslinjan leikkauskohdassa sijaitsee kyseiselle poikkileikkaukselle ominainen piste, jota kutsutaan leikkauskeskukseksi M. Palkissa ei esiinny vääntöjännityksiä, kun kaikkien poikkileikkausten leikkauskeskukset sijaitsevat samalla suoralla ja kaikki sauvan akselin kohtisuorat kuormat kulkevat tuon suoran kautta. Muussa tapauksessa kunkin kuorman momentti suhteessa leikkauskeskuksia yhdistävään suoraan merkitsee vääntöleikkausta.
Kuva. 15
Poikittaisvoiman vaikutus taivutukseen
Taivutuksen tekninen teoria perustuu leikkausjännitysten aiheuttamien muodonmuutosten laiminlyöntiin. Sitä voidaan siksi todellisuudessa soveltaa hoikkien sauvojen tapauksessa, joissa tämä laiminlyönti on perusteltu ja joissa poikittaisvoimalla ei ole tuntuvaa vaikutusta taivutukseen.
Kokemus on kuitenkin osoittanut, että teknistä taivutusteoriaa voidaan tietyllä menestyksellä soveltaa myös lyhyisiin, korkeisiin tukirakenteisiin, joille sitä ei varsinaisesti ole tarkoitettu. Tällöin ilmenee tarve ottaa ainakin likimääräisesti jälkikäteen huomioon leikkausjännitysten aiheuttaman muodonmuutoksen vaikutus, joka tässä teoriassa on jätetty huomiotta.
Samoin kuin poikittaisvoimien aiheuttamat leikkausjännitykset τ ja niitä vastaavat liukumat γ_’ =_ τ_/G_ jakautuvat epätasaisesti poikkileikkauksessa. Siksi otetaan käyttöön niiden keskiarvo γ, joka määritetään siten, että poikittaisvoima tämän keskimääräisen muodonmuutoksen arvon vallitessa tekee palkin alkion dx suhteen muodonmuutostyön, joka on yhtä suuri kuin se, joka saataisiin integroimalla leikkausjännitysten työt niitä muodostavien yksittäisten tilavuuselementtien yli, joista tarkasteltava palkin alkio koostuu:
mistä se on
Integraali voidaan laskea, kun poikkileikkauksen leikkausjännitysten jakautuminen tunnetaan. Koska kaikki leikkausjännitykset ovat verrannollisia Q/F:ään, sen arvo on verrannollinen Q2/F2 * F:ään, ja kun asetetaan, että se on κ__Q2/F, saadaan
γ = κ__Q / GF.
Vakiota κ kutsutaan leikkausjännitysten jakautumiskertoimeksi. Suorakulmaisille poikkileikkauksille κ=1,2.
Kuva. 16
Kun kerroin κ, ja siten keskiliukuminen γ on tunnettu, voidaan laskea lisätaipuma wQ, joka syntyy poikittaisvoimien vaikutuksesta ja joka on lisättävä taipumiin w: sillä kuvan 16 mukaan on
ja koska Q = dM/dx:
jolloin integrointivakio saadaan yhdestä reunaehdosta.