સરળ વાંકડાપણું અને સામાન્ય બળ સાથેનું વાંકડાપણું

સીધા દંડો અને નાની વક્રતા ધરાવતા દંડોમાં સામાન્ય તાણો

અનુચ્છેદીય બળોની વ્યાખ્યા

માની લો કે સીધો દંડ મનસ્વી દિશાના બળોથી લોડ થયેલો છે, જેમાં એકમાત્ર ધારણા એ છે કે બધા બળો એક જ સમતલમાં (બળોનો સમતલ) સ્થિત છે, જે દંડની ધરીમાંથી પસાર થાય છે (પારછેદોના ભારકેન્દ્રોને જોડતી રેખા).

ક્ર.1

કોઈપણ આડછેદ n – n (આકૃતિ 1) માં કાર્યરત તણાવો ગણવા માટે, આ આડછેદ દ્વારા દંડના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં સંક્રમિત થતું બળ જાણવું આવશ્યક છે. તે તેના કદ અને સ્થાન પ્રમાણે સ્પષ્ટ રીતે દંડના એક ભાગ પર લાગતી તમામ બળોની પરિણામબળ જેટલું હોય છે. આ પરિણામબળને એવા કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ઘટકોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જેમાં x-અક્ષ દંડની અક્ષ સાથે મેળ ખાય છે અને z-અક્ષ એ રેખા છે જ્યાં આડછેદની સમતલ બળોની સમતલને કાપે છે. z અક્ષની દિશામાંનો ઘટક અનુપ્રસ્થ બળ Q અથવા Qz કહેવાય છે અને સરળ બીમ માટે તે સકારાત્મક ગણાય છે જો આડછેદની ડાબી બાજુ ઉપર તરફ અને જમણી બાજુ નીચે તરફ દિશિત હોય.

જ્યારે દંડ વક્ર હોય છે, ત્યારે સંયુક્ત ધરીઓ x અને z દરેક ક્રોસ-સેક્શનમાં અલગ દિશા ધરાવે છે અને હંમેશા એવી રીતે કે x-ધરી દંડની ધરીને સ્પર્શરેખા હોય છે. જો દંડની ધરી જે સમતલમાં સ્થિત છે તે બળોના સમતલ સાથે મેળ ખાતી ન હોય, અથવા જો દંડની ધરી અવકાશીય વક્ર હોય, તો ક્રોસ-સેક્શનની ડાબી બાજુના બળોના પરિણામીમાં ત્રીજો ઘટક, આડું બળ Qy, પણ હોય છે. N, Qz અને Qy સાથે ક્રોસ-સેક્શન મારફતે સંચાલિત થનારા બળનું પરિમાણ અને દિશા નક્કી થાય છે, પરંતુ તેની સ્થિતિ નહીં. આ માટે તેના ક્ષણો સંયુક્ત ધરીઓ અંગે પણ જાણવું જરૂરી છે. સમતલ વાળવા માટે વાંકું ક્ષણ M અથવા My જાણવું પૂરતું છે. સૌથી સામાન્ય સ્થિતિમાં એક વધુ વાંકું ક્ષણ Mz અને x-ધરી અંગેનું ક્ષણ, Mx, પ્રગટ થાય છે.

પાછલા વર્ણનમાં વ્યાખ્યાયિત છ બળો અને ક્ષણોને સંયુક્ત નામ “કટાવ બળો” હેઠળ સમાવિષ્ટ કરવામાં આવ્યા છે. તેમનું નિર્ધારણ ઇમારતી રચનાઓના સ્થિતિવિજ્ઞાનના મૂળભૂત કાર્યોમાંનું એક છે.

સતત વિતરિત ભાર p (પરિમાણ: પ્રતિયુનિટ લંબાઈ દીઠ બળ), અનુપ્રસ્થ બળો Q અને વળાંક ક્ષણ M વચ્ચે સમતળ વાળના કિસ્સામાં એક સરળ સંબંધ હોય છે. એટલે કે, એક દંડ તત્વના સંતુલન શરતોથી (આંક. 2) મેળવીએ છીએ

dQ + p dx = 0,

dM = Q dx;

તેથી

Q = dM/dx, 

p = - dQ/dx = - d2M/dx2.        (1a, b)

ક્ર.2

સામાન્ય તણાવનું વિતરણ

જો દંડ પર માત્ર અક્ષીય બળ લાગતું હોય, તો કટાવમાં માત્ર સમરૂપ રીતે વિતરણ થયેલ સામાન્ય તાણ σ (તાણમાં રહેલો, અથવા દબાણમાં રહેલો દંડ) દેખાય છે. જો તેની સાથે વળાંક ક્ષણ પણ દેખાય, તો આ તાણો કોઈ રીતે અસમાન રીતે વિતરિત થવા જોઈએ, જેથી તેમનો પરિણામી હવે કટાવના દ્રવ્યકેન્દ્રમાંથી પસાર ન થાય. આ વિતરણ નક્કી કરવા માટે, તકનીકી વળાંક સિદ્ધાંત મૂળ સમીકરણોના કડક ઉકેલથી શરૂઆત કરતો નથી, પરંતુ આ સમીકરણોના એક ભાગને એવી સંભાવ્ય ધારણાથી બદલે છે, જે એક ખાસ સરળ કિસ્સામાં એકસાથે કડક રીતે પણ પૂર્ણ થાય છે. આ વિશિષ્ટ કિસ્સો એટલે ત્રાંસરી બળોના પ્રભાવ વિના સીધી પ્રિઝ્માત્મક દંડનું વળાંક (આકૃતિ 3). દંડના એવા બધા ઘટકો, જે તેના છેડાંથી પૂરતા દૂર હોય, સમાન વિકાર અનુભવે છે, જ્યાંથી સીધું જ અનુસરે છે કે દંડની ધરી વર્તુળાકાર વક્રરેખામાં ફેરવાય છે અને દંડની આડકટની બધી સમતલો, જે શરૂઆતમાં દંડની ધરીને લંબ હતી, વિકાર દરમિયાન સમતલ જ રહે છે, કારણ કે તેમાંની દરેક વિકૃત દંડના આસપાસના ભાગો માટે સમમિતિની સમતલ છે. સ્વાભાવિક રીતે એ ધારણા ઊભી થાય છે કે જ્યારે વળાંક ક્ષણ અને દંડનો આડકટ પણ સ્થિર ન હોય, પરંતુ દંડની લંબાઈ સાથે ધીમે ધીમે બદલાતાં હોય, ત્યારે પણ આડકટો લગભગ સમતલ જ રહે. આ ધારણાને Navier-ની અનુમાનધારણા કહેવામાં આવે છે અને તે વળાંક સિદ્ધાંતનો આધાર છે.

ક્ર.3

સામાન્ય તાણોની માત્રા

જ્યારે બીમનો સીધો તત્વ વળે છે, ત્યારે તેના “તંતુઓ”નો એક ભાગ, એટલે કે દંડાની ધરીને સમાનાંતર પદાર્થ રેખાઓ, ખેંચાય છે, જ્યારે બીજો ભાગ સંકોચાય છે (આકૃતિ 4). આ બે ભાગો વચ્ચે z=0 પર નિષ્પક્ષ તંતુઓ આવે છે, જેમની લંબાઈ વળાંક વખતે બદલાતી નથી. વળેલા અવસ્થામાં આ તંતુઓનો વક્રતા અર્ધવ્યાસ ϱ માનીએ અને તે x-z સમતલમાં આવેલો હોય. આકૃતિ 4 m પરથી વાંચી શકાય છે

Δ dx/z = _dx/_ϱ

અને ત્યાંથી તટસ્થ અક્ષથી z અંતરે આવેલા તંતુઓની ગણિતીય વિકૃતિ, જે બરાબર છે

ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ

અને તેથી Hooke-ના નિયમના આધારે તાણ

σ _= Ez/_ϱ   (2)

ક્ર.4

આ તણાવ તટસ્થ તંતુઓથી અંતર પર અનુપાતમાં છે. આવું પરિણામ એ અનુમાન સાથે જોડાયેલું છે કે વિકૃતિ પહેલાં દંડના તત્વના બધા તંતુઓ સમાન લંબાઈના હતા, તેથી દંડ મૂળરૂપે સીધો હતો, અથવા ઓછામાં ઓછું એટલી નાની વક્રતા ધરાવતો હતો કે વક્રતાના પ્રભાવને અવગણાવી શકાય. જે સીધી રેખા પર તટસ્થ સ્તર અને ક્રોસ-સેક્શનના સમતલ છેદાય છે તેને તટસ્થ અક્ષ કહેવામાં આવે છે. અમે તેને y-અક્ષ તરીકે સ્વીકારીએ છીએ (આકૃતિ 5). ક્રોસ-સેક્શનમાં તટસ્થ અક્ષનું સ્થાન x-અક્ષની દિશામાં બળોના સંતુલનના શરતથી મળે છે: જો સામાન્ય બળ N=0 (સામાન્ય બળ વિના વાળવું) હોય, તો તો ક્રોસ-સેક્શનમાં સામાન્ય તણાવ દ્વારા વ્યક્ત આંતરિક બળોનું પરિણામી પણ શૂન્ય બરાબર હોવું જોઈએ:

જમણી બાજુ上的 ઇન્ટિગ્રલ y-અક્ષ અંગેનું ક્ષેત્રફળનું સ્થિતિક ક્ષણ છે. તે શૂન્ય બરાબર હોવા માટે, આ અક્ષ ભારકેન્દ્રીય અક્ષોમાંથી એક હોવો જોઈએ.

M ક્ષણ, જે વિકૃતિ ઉત્પન્ન કરે છે, વિભાજન સમતલમાં y અને z અક્ષોની બાબતમાં નીચેના ઘટકો ધરાવે છે (આકૃતિ 5):

સમી. (3)

જ્યાં Iy, Iyz દર્શાવેલા અક્ષોની સાપેક્ષ છેદના સમવર્તી અને કેન્દ્રત્યાગી જડતા ક્ષણો છે.

સૌથી મહત્વનો વિશેષ કિસ્સો ત્યારે છે જ્યારે Mz=0. આ કિસ્સો ત્યારે આવે છે જ્યારે Iyz=0, એટલે કે જ્યારે y અને z વિભાગની મુખ્ય જડત્વ ધુરાઓ હોય. આનો અર્થ એ છે કે અહીં સ્વીકારેલી વક્રતા સમતળ x-z-સમતળ સાથે મળે છે, જેમાં વળાંક ક્ષણ M=My કાર્ય કરે છે, એટલે કે બળોની સમતળ સાથે.

ક્ર.5

જો સમીકરણો (2) અને (3) માંથી _E/_ϱ દૂર કરવામાં આવે, તો સમતલ વળાંક (Iy=I) વખતે તાણ નક્કી કરવાનો સ્વરૂપ મળે છે:

σ = M/I * z   (4)

કિનારી બિંદુઓ 1 અને 2 માટે ખાસ કરીને:

σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2.   (5)

માપો W1,2 = I/h1,2 (પરિમાણ: લંબાઈની ત્રીજી ઘાત) ને પ્રતિરોધક મોમેન્ટ્સ કહેવામાં આવે છે. જો આડી ગુરુત્વાકર્ષણ ધરી સાથે સાથે કાપના સમમિતિ ધરી પણ હોય, તો W1 = W2, તેથી કિનારીય તાણો પરમ મૂલ્યે સમાન હોય છે.

સ્થિતિસ્થાપક રેખા

ફિગ. 6

ઉપર જણાવેલા સ્વરૂપોની મહત્તા Hooke-ના નિયમ સાથે સંબંધિત છે. આ માટે આવશ્યક છે કે σ << E, એટલે (2) મુજબ h << ϱ. તેમ છતાં વળાંક એટલો હોઈ શકે કે ϱ દંડની લંબાઈ l જેટલો જ ક્રમ ધરાવે. બાંધકામમાં ઉપયોગી વળાયેલા દંડોમાં આ સ્થિતિ ઊભી થતી નથી; હંમેશા ϱ l કરતા ઘણું વધારે હોય છે અને તેથી વળાવ w << l (આકૃતિ 6). ત્યારે અંદાજે માન્ય છે:

1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’

અને ( 3 ) ના આધારે:

w’’ = - M/EI.

આ સમીકરણ અને સંતુલન શરત (1b) વાંકાયેલા દંડની ડિફરેનશિયલ સમીકરણોની એક પ્રણાલી બનાવે છે. વિલોપન દ્વારા તેમને ચોથી ક્રમની એક સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે:

wIV = + p/EI

અથવા, જો ઇનર્શિયાનો ક્ષણ બદલાતો હોય તો:

(EIw’’)’’ = +p.

તેમમાંથી સંકલન દ્વારા ઇલાસ્ટિક રેખાનો આકાર મેળવી શકાય છે જ્યારે ભાર p=p(x) આપેલ હોય અને દરેક દંડ માટે બે સીમાંત શરતો જાણીતી હોય. इनमेंથી ઓછામાં ઓછી બે વિકૃતિને લગતી હોવી જોઈએ. વિગત માટે લેખ સ્ટેટિકા ઑફ બિલ્ડિંગ સ્ટ્રક્ચર્સ જુઓ.

વિભાગનું ન્યુક્લિયસ

જો તટસ્થ અક્ષ આડછેદને કાપે, તો તે તેને ખેંચાણ ઝોન અને દબાણ ઝોનમાં વહેંચે છે. ઓછા ખેંચાણ-દૃઢતાવાળા પદાર્થોમાં પ્રશ્ન ઊભો થાય છે કે દબાણબળ ક્યાં લાગવું જોઈએ, જો આડછેદમાં ક્યાંય પણ ખેંચાણ થવું ન જોઈએ. તેથી બળના લાગવાની બિંદુની સ્થિતિ એ વિસ્તારમાં સીમિત થાય છે, જેને આડછેદનું મૂળકોર કહેવામાં આવે છે. મૂળકોરની સીમા સ્પષ્ટપણે એવા બિંદુઓનું સ્થાનીક સમૂહ છે, જેના તટસ્થ અક્ષો આડછેદને સમગ્ર પરિઘે સ્પર્શે છે. આથી તેની રચનાનું નિર્ધારણ પણ મળે છે.

કોઈપણ દિશામાં માપવામાં આવેલ, કેન્દ્રબિંદુથી કોરની સીમાનું અંતર, તે દિશાને અનુરૂપ k સૂચકાંકથી દર્શાવશું. મુખ્ય જડતા અક્ષો માટે સમીકરણ અનુસાર

σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z  (6)

અભિવ્યક્તિઓ નીચે મુજબ છે:

ky = i2z / ey,      kz = i2y / ez.   (7)

વ્યાસ r ધરાવતાં વર્તુળાકાર આડો કાટ માટે કેન્દ્રકનું અંતર k = r/4 છે, અને વર્તુળાકાર વલય માટે (વ્યાસ: બાહ્ય R, આંતરિક r) k = (R2 + r2) / 4R છે.

આયત માટે (આકૃતિ 7) ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. તેથી, સમમિતિના કોઈ એક સમતલમાં આયતાકાર છેદ પર ભારણ લાગુ પડે ત્યારે (પણ માત્ર ત્યારે) એટલું પૂરતું છે કે રિઝલ્ટન્ટ છેદના ઊંચાઈ અથવા પહોળાઈની મધ્ય તૃતીયાંશમાં કાર્ય કરે, જેથી છેદમાંના તાણો એકસરખા ચિહ્નના રહે.

ક્ર.7

પ્લાસ્ટિક ક્ષેત્રમાં વળાંક

વળાંકાયેલા દંડના ધારવાળા તંતુઓમાં યીલ્ડ મર્યાદા પહોંચી ગયા પછી પણ તેની વહન ક્ષમતા હજી પૂર્ણ થતી નથી, કારણ કે જ્યારે બહારના તંતુઓ સ્થિર તાણ હેઠળ પ્લાસ્ટિક રૂપે વિકૃત થાય છે, ત્યારે તટસ્થ ધરીને વધુ નજીક આવેલા ભાગોમાં, જ્યાં યીલ્ડ મર્યાદા હજી પહોંચી નથી, ત્યાં તાણ વધે છે, અને તેથી પ્રસ્થન દ્વારા ગ્રહણ કરી શકાયતો વળાંક ક્ષણ પણ વધે છે.

જો તાણ અને વિકૃતિ આલેખનો ચોક્કસ પ્રવાહ જાણીતો હોય, તો દ્વિ-સમમિત વિભાગો (ઊંચાઈ h) માટે પ્રક્રિયાને ગણિતીય રીતે સરળતાથી આ રીતે અનુસરવામાં આવી શકે છે કે, વિભાગો સમતલ રહે છે એવી ધારણા હેઠળ, તાણ અને વિકૃતિ આલેખમાંથી વળાંકથી થતો તાણ વિતરણ σ નક્કી કરવામાં આવે, જે અંતિમ રેશાઓની સ્વીકૃત દિરઘતા ε__r ને અનુરૂપ હોય, અને ત્યાંથી સમાકલન કરીને વાંક ક્ષણ નક્કી કરવામાં આવે. જો આને વિવિધ ε__r માટે કરવામાં આવે અને બીજી બાજુ અનુરૂપ વળાંક રેખાની વક્રતા ગણવામાં આવે w’’ = 2 ε__r / h, તો એવા બિંદુઓની શ્રેણી મળે છે, જેમાંથી એક રેખા પસાર કરી શકાય છે, જે વાંક ક્ષણ અને વક્રતા વચ્ચેનું સંબંધ આપે છે M = M(w’’); આ સંબંધ હવે રેખીય રહ્યો નથી, અને જ્યારે તે જાણીતો હોય, ત્યારે ગ્રાફિક સમાકલન દ્વારા આપેલ ક્ષણ વિતરણને અનુરૂપ વળાંક રેખા નક્કી કરી શકાય છે. જો વિભાગ અસમમિત હોય, તો ગણતરી વધુ જટિલ બને છે, એટલા માટે કે દરેક ε__r માટે તટસ્થ અક્ષની સ્થિતિ પણ નક્કી કરવી પડે છે.

ક્ર. 8

જો પ્રોફાઇલના સમમિતિ ઉપરાંત તાણ અને વિકૃતિ વચ્ચેનું સરળ સંબંધ પણ આકૃતિ 8 મુજબ માનવામાં આવે, તો ગણતરી થોડે અંશે સરળ બને છે. ત્યારે યીલ્ડ સીમા પાર કર્યા પછી વાળવાથી ઉત્પન્ન થતા તાણોનું વિતરણ આકૃતિ 9 માં દર્શાવ્યા મુજબ હોય છે અને વાળવાનો ક્ષણ છે:

અને તેથી વળાંક રેખાની વક્રતા ત્યારે મળે છે જ્યારે સમીકરણ (2) પ્રસ્થના તે ભાગ પર લાગુ કરવામાં આવે જેના તાણો સ્થિતિસ્થાપક ક્ષેત્રમાં w’’ = σf / Ez’ છે. જો પ્રસ્થનો આકાર દરેક સ્વીકારેલા z’ માટે જાણીતો હોય તો સમાકલનો ગણવામાં આવી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સૌથી સરળ આયાતાકાર આડછેદની પહોળાઈ b અને ઊંચાઈ h માટે છે

જો અહીં z’ ને w’’, દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે, તો મળે છે

I-પ્રોફાઇલ અને તેના સમાનમાં, પ્લાસ્ટિક વિસ્તારમાં M-w’’ વક્રનું વર્તન વધુ સમતળ હોય છે અને ત્યારે યિલ્ડિંગ જે ક્ષણે શરૂ થાય છે તે મોમેન્ટ વ્યવહારમાં તે સૌથી મોટા વળાંક મોમેન્ટ જેટલો જ હોય છે જે પ્રોફાઇલ સામાન્ય રીતે સહન કરી શકે. તેથી, નિર્માણ ક્ષેત્રમાં પ્લાસ્ટિક વળાંકનું મહત્ત્વ પ્રોફાઇલ કેટલો વળાંક મોમેન્ટ વહન કરી શકે છે તે વધારવામાં નથી, પરંતુ તેમાં છે કે યિલ્ડ મર્યાદા પર થતી મોટી સ્થાનિક વિકૃતિ સ્થિર અણનિર્ધારિત સિસ્ટમોમાં બળોના વિતરણમાં અનુકૂળ ફેરફાર લાવી શકે છે.

ક્ર.9

આને બે સ્પાનવાળા સતત સપોર્ટેડ બીમના ઉદાહરણથી સમજાવી શકાય છે. માનીએ કે બીમ (આકૃતિ 10) ના સ્પાનોની લંબાઈ સમાન છે, તેનું અનુચ્છેદ સ્થિર છે અને તે સમાન રીતે વિતરિત ભારથી લદાયેલ છે. ત્યારે યીલ્ડની મર્યાદા સુધી પહોંચતા પહેલાં સપોર્ટ ઉપરનો મોમેન્ટ MB = _pl_2/8 હોય છે. જો ભાર p એટલો વધારવામાં આવે કે સપોર્ટ અનુચ્છેદમાંનો મોમેન્ટ Mf મૂલ્ય સુધી પહોંચે, જ્યાં યીલ્ડિંગ શરૂ થાય છે, તો ભાર વધુ વધારવાથી આ સ્થાને વક્રતા પણ નોંધપાત્ર મોમેન્ટ વધાર્યા વિના વધશે. કહેવાતો પ્લાસ્ટિક હિંજ બને છે, એટલે કે વધારાના ભાર હેઠળ બીમ એવું વર્તે છે જાણે મધ્ય સપોર્ટ ઉપર હિંજ હોય. ભારને આગળ વધારતા રહેવા શકાય છે જ્યાં સુધી સ્પાનમાં મહત્તમ મોમેન્ટના સ્થાને પણ યીલ્ડિંગ શરૂ ન થાય. વળાંક મોમેન્ટમાં વધુ વધારો હવે શક્ય નથી અને બીમની ભારવહન ક્ષમતા સમાપ્ત થઈ જાય છે. જે ભાર હેઠળ આ સ્થિતિ આવે તેને અંતિમ ભાર કહેવામાં આવે છે.

ફિગ. 10

સામાન્ય રીતે એવું અપેક્ષી શકાય છે કે n ગણી સ્થૈતિક અનિશ્ચિત પ્રણાલીમાં, પ્રણાલી ગતિશીલ બનતી પહેલાં અને તેથી તેની ભારવહન ક્ષમતાની મર્યાદાએ પહોંચતી પહેલાં (n+1) પ્લાસ્ટિક સાંધા ઊભા થવા જ પડશે. જોકે, આ નિયમની બંને દિશામાં અપવાદો છે. દર્શાવેલ ઉદાહરણ મુજબ, ભારવહન ક્ષમતાની મર્યાદાએ એક જ સમયે બે નવા પ્લાસ્ટિક સાંધા (બંને ક્ષેત્રોમાં) ઊભા થઈ શકે છે, જેથી ત્યાં સુધી અચળ રહેલી પ્રણાલી અચાનક બે સ્વતંત્રતાની અંશોવાળી પ્રણાલીમાં ફેરવાઈ જાય છે. બીજી બાજુ, (n+1) કરતા ઓછા પ્લાસ્ટિક સાંધાઓ સાથે પણ ભારવહન ક્ષમતા સ્થાનિક રીતે સમાપ્ત થઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે જ્યારે સતત બીમના ફક્ત એક જ ક્ષેત્રમાં નિષ્ફળતા આવે. આકૃતિ 11 બતાવે છે કે n=2 પ્લાસ્ટિક સાંધાવાળી એક સ્થૈતિક દ્વિઅનિશ્ચિત પ્રણાલીમાં આવું કેવી રીતે થઈ શકે. જો બીમની જમણી બાજુએ ચોથું ક્ષેત્ર પણ ઉમેરવામાં આવે, તો બીમ ત્રિગુણ સ્થૈતિક અનિશ્ચિત બને છે, તેથી ફક્ત ડાબા ક્ષેત્રને ભારવહન ક્ષમતાની મર્યાદાએ લાવવા માટે (n-1) પ્લાસ્ટિક સાંધા પૂરતા છે.

ક્ર.11

વાંકમાં કાપણી તણાવો

પ્રાથમિક ગણતરી

ફિગ. 12

સામાન્ય તાણો σ, એટલે કે વાંકડાપણાના કારણે વાસ્તવમાં દેખાતા તાણો, વાંકાયેલા દંડમાં એકમાત્ર તાણો નથી; તેમની સાથે અડક તાણો પણ ઉત્પન્ન થાય છે જે આડછેદીય બળની અસરથી થાય છે. કારણ કે વાંકડાપણાના તકનીકી સિદ્ધાંતની મૂળ વિશેષતા એ છે કે અડક તાણોથી થતી વિકૃતિઓને અવગણવામાં આવે છે, આ તાણોને માત્ર સંતુલન શરતોથી જ નક્કી કરી શકાય છે. આ શરત સ્થાપવા માટે, બીમનો તત્વ dx ને, જેમ આકૃતિ 12 માં બતાવ્યું છે, આડા સમતલથી બે ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે, અને નીચેના ભાગ પર ક્રિયા કરતી આડવી બળોની સંતુલન શરત સ્થાપવામાં આવે છે. ડાબી બાજુએ તે વાંકડાપણાથી ઉત્પન્ન થયેલા તાણો σ દ્વારા વ્યક્ત આંતરિક બળો છે, જે માટે z’ = z થી z’ = h2 સુધી સમાકલન કરવું જોઈએ

જમણી બાજુએ એ જ તણાવો કાર્ય કરે છે, પરંતુ અનુરૂપ વળાંક ક્ષણ M + dM મુજબ ડિફરેન્શિયલ જેટલા વધેલા. તત્વની બંને બાજુની બળોના તફાવતનું સંતુલન આડી ક્રોસ-સેકશનલ સપાટી t dx માં કાર્ય કરતા કાતીય તણાવો τ કારણે થતી બળ સાથે હોવું જોઈએ:

અહીં સમાકલન આડી પારશ્વતલ દ્વારા અલગ કરાયેલા પારશ્વ કાપના એક ભાગનો ભારકેન્દ્રીય અક્ષની દ્રષ્ટિએ સ્થૈતિક ક્ષણ દર્શાવે છે. તેને S દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. dM/dx = Q સાથે સમતોલનના શરત પરથી મળે છે:

τ = QS/It.  (8)

આ કાતર તાણોની સહસંબદ્ધતા અંગેના સિદ્ધાંત મુજબ, આ જ સમયે આડી કાતર તાણનું પરિમાણ છે, જે સમતલ કટાવ ક્ષેત્રમાં કાર્ય કરે છે અને જે S અને t સાથે z નું કાર્ય છે.

ફિગ. 13

આકૃતિ. 13.1

સમીકરણ (8) બધા પાતળી દીવાલવાળા ક્રોસ-સેક્શનો માટે વિશ્વસનીય માહિતી આપે છે, જો ક્રોસ-સેક્શન સપાટીને ન્યુટ્રલ અક્ષને સમાંતર નહીં, પરંતુ દીવાલની જાડાઈની દિશામાં રાખવામાં આવે. તેથી I-પ્રોફાઇલને રિબ પર આડું અને ફ્લેન્જ પર આડું કાપવામાં આવે છે, જેના પરિણામે આકૃતિ 13.1 માં દર્શાવેલો તાણ વિતરણ મળે છે. વલયાકાર ક્રોસ-સેક્શન (આકૃતિ 13)માં કાતી તાણો ઊભા વ્યાસની દૃષ્ટિએ સમમિત રીતે વિતરિત હોય છે અને ન્યુટ્રલ રેખા પર ડાબે અને જમણે મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે

τ = Q / πrt.

જો પ્રસ્થને સૌથી ઊંચી અથવા સૌથી નીચી જગ્યાએ કાપવામાં આવે, તો કાતર તાણનું વિતરણ બદલાતું નથી; જોકે, જો તેને આડા વ્યાસના જમણા છેડે (આકૃતિ 14) કાપવામાં આવે, તો તે સ્થાને કાતર તાણ શૂન્ય બને છે, જ્યારે એ જ વ્યાસના ડાબા છેડે તેનું મૂલ્ય દ્વિગુણું થાય છે.

આકૃતિ 14

પૂર્ણ પરછેદો

ઇચ્છિત આકારના ઘન ક્રોસ-સેક્શનોમાં કાતર તણાવની સમસ્યા ટોર્શનની સમસ્યા સાથે નજીકથી જોડાયેલી છે. મૂળભૂત સમીકરણ (8) એવી સ્થિતિમાં હવે વિશ્વસનીય નથી. વ્યાસાર્ધ r ધરાવતા વર્તુળાકાર ક્રોસ-સેક્શન માટે સમીકરણ (8) આપે છે

τ = 4Q / 3__πr2

તટસ્થ અક્ષ לאורך કાતર તણાવના સરેરાશ મૂલ્ય તરીકે, અને ચોક્કસ મૂલ્ય માત્ર થોડા ટકા જેટલું વધારે છે.

કાતર કેન્દ્ર

જો U-વિભાગ માટે ઉપર વર્ણવેલી પદ્ધતિ પ્રમાણે કાપીય તાણોની ગણતરી કરવામાં આવે, તો ચિત્ર 15 માં દર્શાવાયેલ તાણ વિતરણ મળે છે. અનુરૂપ આંતરિક બળોની પરિણામસ્વરૂપ ત્રાંસી શક્તિ Q છે. ચિત્ર પરથી તેના વિભાગની દ્રષ્ટિએ સ્થાનને જોઈ શકાય છે, એટલે કે તે ન તો વિભાગના ભારકેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે, ન તો રિબના સમતલમાં સ્થિત છે. જો બાહ્ય બળોના આધારે ગણાયેલી ત્રાંસી શક્તિનું સ્થાન ચિત્ર 15 માં દર્શાવ્યા મુજબ ન હોય, તો બીમ પર માત્ર વાંકડાણનો જ નહીં, પણ મરોડનો પણ ભાર પડે છે.

જો એ જ અનુપ્રસ્થી માટે કોઈ આડાં ભારને અનુરૂપ કાતરી તણાવોની પરિણામી બળ નક્કી કરવામાં આવે, તો આડાં ટ્રાન્સવર્સ બળની ક્રિયા રેખા મળે છે. આ બે ક્રિયા રેખાઓના છેદબિંદુમાં આપેલ અનુપ્રસ્થી માટેનું લક્ષણાત્મક બિંદુ આવેલું હોય છે, જેને કાતરી કેન્દ્ર M કહે છે. જ્યારે બધા અનુપ્રસ્થીઓના કાતરી કેન્દ્રો એક જ સીધી રેખા પર હોય અને દંડાની ધરીને લંબ બધી લોડ્સ તે જ રેખામાંથી પસાર થાય, ત્યારે વાહકમાં મરોડના કારણે તણાવો ઉત્પન્ન થતા નથી. અન્યથા, દરેક લોડનો ક્ષણ કાતરી કેન્દ્રોને જોડતી સીધી રેખાના સંબંધમાં મરોડાત્મક કાતરણી દર્શાવે છે.

ક્ર.15

અનુલંબ બળનો વળાંક પર પ્રભાવ

વાંકાની તકનીકી સિદ્ધાંત કાતર તાણોથી થતી વિકૃતિઓને અવગણવા પર આધારિત છે. તેથી તેનો વાસ્તવમાં ઉપયોગ પાતળા દંડો પર જ થઈ શકે છે, જ્યાં આ અવગણના યોગ્ય હોય અને જ્યાં આડું બળ વાંકાપણ પર નોંધપાત્ર અસર ન કરતું હોય.

અનુભવે જોકે બતાવ્યું છે કે ટેકનિકલ વળાંક સિદ્ધાંતને કેટલીક સફળતાથી ટૂંકા, ઊંચા વાહકો પર પણ લાગુ કરી શકાય છે, જો કે તે મૂળરૂપે તેના માટે જ નિર્ધારિત નથી. ત્યારે કાતરી તણાવોના કારણે થતી વિકૃતિનો પ્રભાવ, જે આ સિદ્ધાંતમાં અવગણવામાં આવ્યો છે, ઓછામાં ઓછો અંદાજિત રીતે, બાદમાં ધ્યાનમાં લેવા જરૂરી બને છે.

જેમ ક્રોસબળોને કારણે થનારા કાતરી તણાવો τ અને તેનાથી સંબંધિત સરકણાં γ_’ =_ τ_/G_ પણ અનિયમિત રીતે છેદમાં વહેંચાયેલા હોય છે. તેથી તેમનું સરેરાશ મૂલ્ય γ દાખલ કરવામાં આવે છે, જે આ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે કે આ સરેરાશ વિકૃતિના મૂલ્ય પર ક્રોસબળ બીમના તત્વ dx પર એવો વિકૃતિ કાર્ય કરે, જે તેના સમાન હોય જે બીમના અવલોકિત તત્વને બનાવતા અલગ-अलग આયતન તત્ત્વોમાં કાતરી તણાવોના કાર્યોને સમાકલન કરીને પ્રાપ્ત થાત.

જ્યાંથી

સમાકલનની ગણતરી કરી શકાય છે જ્યારે કટમાં કાતરાણ તાણનું વિતરણ જાણીતું હોય. કારણ કે બધા કાતરાણ તાણો Q/F સાથે અનુપાતમાં છે, તેથી તેનું મૂલ્ય Q2/F2 * F સાથે અનુપાતમાં છે, અને તેને κ__Q2/F માનીને મળે છે

γ = κ__Q / GF.

સ્થિરાંક κ ને કાપણી તાણોના વિતરણ ગુણાંક કહેવામાં આવે છે. આયતાકાર ક્રોસ-સેક્શન માટે κ=1,2.

ફિગ. 16

જ્યારે ગુણાંક κ, અને તેથી સરેરાશ સરકણ γ, જાણીતું હોય, ત્યારે ટ્રાન્સવર્સલ બળોના પ્રભાવથી ઉત્પન્ન થતી પૂરક વળાંક wQ ની ગણતરી કરી શકાય છે, જેને w વળાંકોમાં ઉમેરવી જોઈએ: કારણ કે આકૃતિ 16 મુજબ તે છે

અને તેથી Q = dM/dx ને કારણે:

જ્યાં સંકલન અચળાંક એક સીમા-શરતમાંથી પ્રાપ્ત થાય છે.