Normale spanningen by rjochte stangen en stangen mei in lytse kromming
Definysje fan de snijkrêften
Lit in rjochte stêf belêste wurde mei krêften fan willekeurige rjochting, dêr’t allinnich fan oannommen wurdt dat se allegear yn ien flak lizze (krêftflak) dat troch de as fan de stêf giet (de line dy’t de swiertepunten fan de trochsneden ferbynt).
Ofb. 1
Om de spanningen te berekkenjen dy’t wurkje yn in bepaalde dwarssnede n – n (ôfb. 1), moat de krêft bekend wêze dy’t fia dizze snede fan it iene diel fan de stêf nei it oare oerdroegen wurdt. Dy is dúdlik wat grutte en posysje oanbelanget gelyk oan de resultante fan alle krêften dy’t op ien diel fan de stêf wurkje. Dizze resultante wurdt splitst yn komponinten yn in koördinatesysteem waans x-as gearfalt mei de as fan de stêf, en waans z-as de line is dêr’t it flak fan de dwarssnede it krêftflak snijt. De komponint yn de rjochting fan de z-as hjit de transversale krêft Q of Qz en wurdt by in ienfâldige balk as posityf beskôge as se links fan de snede omheech rjochtet, en rjochts fan de snede omleech.
As de stêf krom is, hawwe de koördinaatasen x en z yn elke trochsnede in oare rjochting, en wol altyd sa dat de x-as in tangint is oan de as fan de stêf. As it flak wêryn de as fan de stêf leit net gearfalt mei it flak fan de krêften, of as de as fan de stêf in romtlike kromme is, hat de resultearjende krêft lofts fan de trochsnede ek in tredde komponint, de transversale krêft Qy. Mei N, Qz en Qy binne de grutte en de rjochting fan de krêft dy’t oer de trochsnede oerbrocht wurdt fêstlein, mar net har posysje. Dêrfoar moatte ek de mominten dêrta om de koördinaatasen hinne bekend wêze. Yn it gefal fan flakke bûging is it genôch dat it bûgingsmomint M of My bekend is. Yn it meast algemiene gefal ferskynt noch in bûgingsmomint Mz en it momint om de x-as, Mx.
De seis krêften en mominten dy’t yn it foarôfgeande oerlis definiearre binne, wurde ûnder de mienskiplike beneaming „trochsneedkrêften“ ûnderbrocht. Har fêststelling is ien fan de basisopjeften fan de statika fan boukonstruksjes.
Tusken de kontinu ferdielde belasting p (diminsje: krêft per ienheid lingte), de transversale krêft Q en it bûgmomint M bestiet yn it gefal fan platte bûging in ienfâldige relaasje. Nammentlik, út de betingsten fan lykwicht fan in elemint fan de stêf (afb. 2) wurdt krigen
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
dêrom
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Ofb. 2
Ferdieling fan de normale spanningen
As in stêf allinnich troch in axiale krêft belêste wurdt, ûntstiet yn de trochsneed allinnich in unifoarm ferdielde normale spanning σ (treaune, resp. drukte stêf). As dêrby ek in bûgmomint optreedt, moatte dizze spanningen op ien of oare wize ûnlykmjittich ferdield wêze, sadat harren resultant net mear troch it swiertepunt fan de trochsneed giet. Om dizze ferdieling te bepalen giet de technyske bûgteory net út fan in krekte oplossing fan de fergelikingen fan de basis, mar ferfangt in diel fan dizze fergelikingen troch in plausibele oanname dy’t yn ien benammen ienfâldich gefal tagelyk ek krekt foldien is. Dit bysûndere gefal is it bûgen fan in rjochte prismatyske stêf sûnder ynfloed fan transversale krêften (ôfb. 3). Alle ûnderdielen fan de stêf dy’t genôch fier fan syn úteinen ôf lizze, ûndergeane deselde ferfoarming, dêr’t streekrjocht út folget dat de as fan de stêf feroaret yn in sirkelbôge en dat alle flakken fan de trochsneed, dy’t oarspronklik loodrjocht op de as fan de stêf stiene, by de ferfoarming flak bliuwe, omdat elk fan harren in symmetryflak is foar oanbuorjende dielen fan de ferfoarme stêf. Fansels leit de oanname foar de hân dat de trochsneden ek sawat flak bliuwe as it bûgmomint en de trochsneed fan de stêf net konstant binne, mar lâns de stêf stadichoan feroarje. Dizze oanname, de Navier-hypoteze neamd, leit oan de basis fan de bûgteory.
Ôfb. 3
De grutte fan de normale spanningen
As in rjochte balkelemint bûgd wurdt, rekket in part fan syn “fezels”, dat is materiaal linen parallel oan de as fan de stêf, op spanning, wylst in oar part ynkoartet (ôfb. 4). Tusken dizze beide dielen lizze de neutrale fezels z=0, wêrfan de lingte by it bûgen net feroaret. Litte de krommeradius fan dizze fezels yn bûgde tastân ϱ wêze en lit dy yn it x-z flak lizze. Ut ôfb. 4 m kin lêzen wurde
Δ dx/z = _dx/_ϱ
en dêrút de berekkene deformaasje fan de fezels op in ôfstân z fan de neutrale as, dy’t is
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
en op grûn fan Hooke-syn wet de spanning
σ _= Ez/_ϱ (2)
Fig. 4
Dizze spanning is evenredich mei de ôfstân fan de neutrale triedden. Sa’n resultaat is ferbûn mei de oanname dat foar de deformaasje alle triedden fan it balkelemint like lang wiene, sadat de balke oarspronklik rjocht wie, of teminsten sa’n lytse kromming hie dat de ynfloed fan de kromming negearre wurde kin. De line dêr’t de neutrale laach en it flak fan de trochsneed inoar snije hjit de neutrale as. Dy nimme wy oan as de y-as (sl. 5). De posysje fan de neutrale as yn de trochsneed wurdt krigen út de betingst fan krêfte-lykwicht yn de rjochting fan de x-as: as de normalkrêft N=0 (bûgen sûnder normalkrêft), dan moat ek de resultearjende ynterne krêften útdrukt troch normaalspanningen yn de trochsneed gelyk wêze oan nul:
It yntegraal oan de rjochterkant is it statysk momint fan it oerflak yn ferhâlding ta de y-as. Om dat gelyk oan nul te wêzen, moat dizze as ien fan de swiertepuntassen wêze.
It momint M dat de deformaasje feroarsaket, hat yn ferhâlding ta de assen y en z yn it flak fan de snede (ôfb. 5) de folgjende komponinten:
Ferlik. (3)
wêrby’t Iy, Iyz de ekwatoriale en sintrifugale traachheidsmominten fan de doorsnede binne mei respektivelik de oantsjutte assen.
It wichtichste is it spesjale gefal as Mz=0. Dit gefal docht him foar as Iyz=0, dat wol sizze as de y- en z-asjes de haadtraachassen fan de doorsnede binne. Dat betsjut dat it hjir oannommen bûgflak mei it x-z-flak gearfalt mei it flak wêryn it bûgmomint M=My wurket, dat wol sizze mei it krêftflak.
Afb. 5
As út de fergelikingen (2) en (3) _E/_ϱ eliminearre wurdt, wurdt de foarmel krigen foar it bepalen fan de spanning by rjochte bûging (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
foar de rânepunten 1 en 2 jildt benammen:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
De grutten W1,2 = I/h1,2 (ôfmjitting: lingte ta de tredde macht) wurde wjerstânsmominten neamd. As de horizontale swiertepuntas tagelyk de symmetry-as fan de trochsneed is, dan is W1 = W2, sadat de rânspanningen yn absolute wearde gelyk binne.
Elastyske line
Fig. 6
It belang fan de hjirboppe neamde foarmen is ferbûn mei de wet fan Hooke. Dat freget dat σ << E, dus neffens (2) h << ϱ. Bûging mei lykwols sa grut wêze dat ϱ fan deselde oarder fan grutte is as de lingte fan de stêf l. By bûgde stêven dy’t yn de boukundige praktyk yn oanmerking komme, komt dit gefal net foar; altyd is ϱ folle grutter as l en dêrom is de trochbûging w << l (ôfbylding 6). Dan jildt by benadering:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
en op basis fan (3):
w’’ = - M/EI.
Dizze ferliking en de evenwichtsfoarskriuwing (1b) foarmje it systeem fan differinsjaalferlikingen fan de bûgde stêf. Troch eliminaasje kinne se werombrocht wurde ta ien fjirde-oarder ferliking:
wIV = + p/EI
of, yn it gefal dat it traachheidsmomint fariabel is:
(EIw’’)’’ = +p.
Ut harren kin troch yntegraasje de foarm fan de elastyske line fûn wurde as de lading p=p(x) jûn is en as foar elke stêf twa grinste条件 bekend binne. Fan dizze moatte op syn minst twa op de ferfoarming slaan. Foar details sjoch it artikel Statika fan boukonstruksjes.
Kearn fan de snede
As de neutrale as de trochsneed snijt, dielt er dy yn in trekzone en in drukzone. By materialen mei in lege treksterkte ûntstiet de fraach wêr’t de drukkkrêft ynwurkje moat, as yn de trochsneed op gjin inkeld plak trek ûntstean mei. De posysje fan it oanfalspunt fan de krêft is dan beheind ta it gebiet dat de kearn fan de trochsneed hjit. De grins fan de kearn is dúdlik it plak fan punten, wêrfan’t de neutrale assen de trochsneed lâns de omtrek oanreitsje. Dêrmei is tagelyk ek de konstruksje derfan jûn.
De ôfstân fan de kearngrins ta it swiertepunt, metten yn hokker rjochting ek, sille wy oantsjutte mei de k-yndeks dy’t by dy rjochting heart. Foar de haadasen fan inertie neffens de fergeliking
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
de termen binne as folget:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Foar in rûne dwerstrochsneed mei radius r is de kearnôfstân k = r/4, en foar in rûne ring (radius: bûtenste R, binnenste r) k = (R2 + r2) / 4R.
Foar in rjochthoek (ôfb. 7) is ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Dus, by belêsting fan in rjochthoekige doorsnede yn ien fan de symmetryflakken (mar allinnich dan) is it genôch dat de resultearjende krêft yn it middelste tredde fan de hichte of breedte fan de doorsnede oangrypt, sadat de spanningen yn de doorsnede itselde teken hawwe.
Fig. 7
Bûgen yn it plastyske gebiet
As yn de bûtenste fezels fan de bûgde stêf de rekgrins berikt is, is syn draachfermogen dêrmei noch net útput, om’t wylst de bûtenste fezels by konstante spanning plastysk ferfoarmje, yn de dielen dy’t tichter by de neutrale as lizze, dêr’t de rekgrins noch net berikt is, de spanning tanimt, en dêrmei ek it bûgmomint dat de trochsneed opnimme kin.
As de krekte ferrin fan it spannings- en deformaasjediagram bekend is, kin it proses foar dûbeld symmetryske dwerssneden (hichte h) maklik rekkenkundich folge wurde troch, ûnder de oannimme dat de sneden flak bliuwe, út it spannings- en deformaasjediagram de spanningsferdieling σ troch bûging te bepalen dy’t oerienkomt mei in oannommen ferlinging fan de bûtenste fezels ε__r en dêrút troch yntegraasje it bûgmomint te bepalen. As dit útfierd wurdt foar ferskillende ε__r en oan de oare kant de byhearrende kromming fan de trochbuigingsline w’’ = 2 ε__r / h berekkene wurdt, ûntstiet in rige punten dêr’t trochhinne in line lutsen wurde kin dy’t de ferbining jout tusken bûgmomint en kromming M = M(w’’); dizze ferbining is dan net mear lineêr, en as dy bekend is kin troch grafyske yntegraasje de trochbuigingsline bepaald wurde dy’t by de jûne momintferdieling past. As de dwerssnede unsymmetrysk is, wurdt de berekkening yngewikkelder, om’t foar elke ε__r ek de posysje fan de neutrale as bepaald wurde moat.
Ôfb. 8
De berekkening wurdt yn bepaalde mjitte ferienfâldige as neist de symmetry fan de doorsnede ek in ferienfâldige ferbining tusken spanningen en rekken neffens ôfbylding 8 oannommen wurdt. Dan hawwe de spanningen troch bûging nei it oerskriemen fan de streamgrins de opstelling werjûn op ôfbylding 9 en it bûgmomint is:
en sa wurdt de kromming fan de trochbûgingsline krigen as ferliking (2) tapast wurdt op it diel fan de trochsneed waans spanningen yn it elastyske gebiet w’’ = σf / Ez’. As de foarm fan de trochsneed foar elke oannommen z’ bekend is, kinne de yntegralen berekkene wurde. Bygelyks, foar it ienfâldichste gefal fan in rjochthoekige trochsneed mei breedte b en hichte h is
As hjir z’ útdrukt wurdt mei help fan w’’, krijt men
By I-profyls en dêrmei ferlykbere profyls is it ferrin fan de M-w’’-kurve yn it plastyske gebiet noch flakker, en it momint wêrby’t it streamen ynset is dan praktysk gelyk oan it grutste bûgmomint dat it profyl yn it algemien drage kin. Dêrom bestiet it belang fan plastysk bûgen yn de bou net út it fergrutsjen fan it bûgmomint dat it profyl drage kin, mar út it feit dat de grutte lokale deformaasje dy’t by de streamgrins ûntstiet ta in geunstige feroaring fan de krêftferdieling by statysk ûnbepaalde systemen liede kin.
Ofb. 9
Dit kin útlein wurde oan de hân fan it foarbyld fan in trochgeande drager oer twa fjilden. Stel dat de drager (ofb. 10) fjilden fan gelikense lingte hat, in konstante trochsneed en belêste is mei in lykferparte lading. Dan jildt foar it berikken fan de streamgrins it momint boppe de stipe MB = _pl_2/8. As de lading p sa bot ferhege wurdt dat it momint yn de stipe-trochsneed de wearde Mf berikt wêrby’t stream ûntstiet, sil by fierdere ferheging fan de lading dêr op dat plak ek de kromming tanimme sûnder dúdlike tafoeging fan momint. Sa ûntstiet de saneamde plastyske skarnier, dat wol sizze: de drager gedraacht him ûnder ekstra lading sa as wie der boppe de middelste stipe in skarnier. De lading kin fierder ferhege wurde oant ek op it plak fan it grutste momint yn it fjild stream ûntstiet. Fierdere ferheging fan it bûgmomint is dan net mear mooglik en it draachfermogen fan de drager is útput. De lêst by hokker dizze tastân optreedt hjit de grinslading.
Fig. 10
Yn it algemien kin ferwachte wurde dat yn in n kear statysk ûnbepaalde konstruksje (n+1) plastyske skarnieren ûntstean moatte foardat it systeem beweechlik wurdt en dêrmei syn draachgrins berikt. Dizze regel hat lykwols yn beide rjochtingen útsûnderings. Sa’t it neamde foarbyld sjen lit, kinne by de draachgrins tagelyk twa nije plastyske skarnieren ûntstean (yn beide fjilden), sadat it oant dan ta noch net-beweeglike systeem ynienen oergiet yn in systeem mei twa frijheidsgraden. Oan de oare kant is it mooglik dat de draachkapasiteit ek mei minder as (n+1) plastyske skarnieren lokaal útput rekket, bygelyks as by in trochgeande drager mar ien fjild beswykt. Fig. 11 lit sjen hoe’t dat barre kin by in statysk twaris ûnbepaald systeem mei n=2 plastyske skarnieren. As oan de rjochterkant fan de drager ek noch in fjirde fjild tafoege wurdt, wurdt de drager trijeris statysk ûnbepaald, sadat (n-1) plastyske skarnieren genôch binne om inkeld it lofter fjild oant de draachgrins te bringen.
Fig. 11
Skuifspanningen by bûging
Elemintêre berekkening
Fig. 12
De normale spanningen σ, dat wol sizze de spanningen dy’t feitlik ûntsteane troch bûging, binne net de iennichste spanningen yn de bûgde stêf; neist harren ûntsteane ek skuorspanningen troch it wurkjen fan de transversale krêft. Sjoen it feit dat it basiskenmerk fan de technyske bûgingslear is dat ferfoarmingen troch skuorspanningen negearre wurde, kinne dizze allinne út de evenwichtsbetingsten bepaald wurde. Om dy op te stellen, wurdt it balkelemint dx lykas yn sl. 12 oanjûn mei in horizontaal flak yn twa dielen snien, en dan wurdt de evenwichtsbetingst fan de horizontale krêften op it ûnderste diel opsteld. Oan de lofterkant binne dat de ynterne krêften útdrukt troch de spanningen σ troch bûging, dêr’t yntegrearre wurde moat fan z’ = z oant z’ = h2
Oan de rjochterkant wurkje deselde spanningen, mar ferhege mei it differinsjaal neffens it oerienkommende bûgmomint M + dM. It ferskil tusken de krêften oan beide kanten fan it elemint moat yn lykwicht wêze mei de krêft troch de skuorspanningen τ dy’t wurkje yn it horizontale flak fan de snede t dx:
Hjir stelt de yntegraal it statyske momint foar fan it diel fan de trochsneed dat troch it horizontale trochsneedflak ôfskaat is, mei respekt foar de swiertepuntas fan de trochsneed. It wurdt oantsjut mei S. Ut dM/dx = Q en út it lykwichtsbetinksel kriget men:
τ = QS/It. (8)
Dat is neffens it prinsipe fan de konjugearring fan skearspanningen tagelyk de grutte fan de fertikale skearspanning dy’t yn it oerflak fan de trochsneed wurket en dy’t, tegearre mei S en t, in funksje fan z is.
Fig. 13
Ofb. 13.1
De fergeliking (8) jout betroubere gegevens by alle tinwandige trochsneedfoarmen as it trochsneedflak net parallel oan de neutrale as, mar yn de rjochting fan de wanddikte leit. Dêrom wurdt in I-profyl dwers troch it liif en dwers troch de flens snien, wêrmei’t de spanningsferdieling ûntstiet dy’t yn fig. 13.1 werjûn is. By de ringfoarmige trochsneed (fig. 13) binne de skuorspanningen symmetriesk ferdield mei respekt foar de fertikale diameter en berikke se links en rjochts op de neutrale line it maksimum
τ = Q / πrt.
As de trochsneed op it heechste of leechste punt trochsnien is, feroaret de ferdieling fan de skuorspanningen net; lykwols, as er trochsnien is oan it rjochterein fan de horizontale diameter (ôfb. 14), is de skuorspanning op dat plak gelyk oan nul, wylst har wearde ferdûbelet oan it loftein fan deselde diameter.
Ôfb. 14
Folle trochsneden
By folsleine trochsneed fan willekeurige foarm is it probleem fan de skuorspanningen nau ferbûn mei de problematyk fan torsje. De elemintêre fergeliking (8) is yn dat gefal net mear betrouber. Foar in sirkelfoarmige trochsneed mei straal r jout fergeliking (8)
τ = 4Q / 3__πr2
as gemiddelde wearde fan de skuorspanning lâns de neutrale as, wylst de krekte wearde mar in pear prosint heger is.
Skuorpunt
As foar it U-diel de skuorspanningen op de hjirboppe beskreaune wize berekkene wurde, wurdt de spanningsferdieling krigen lykas ôfbylde op fig. 15. De resultante fan de oerienkommende ynterne krêften is de transversale krêft Q. Ut de ôfbylding kin syn posysje yn relaasje ta it trochsneed sjoen wurde, dus dat er noch troch it swiertepunt fan it trochsneed giet, noch yn it flak fan it rib leit. As de transversale krêft dy’t op grûn fan eksterne krêften berekkene is de posysje net hat dy’t op fig. 15 toand wurdt, wurdt de drager net allinnich op bûging, mar ek op torsje belêste.
As foar deselde trochsneed de resultante bepaald wurdt dy’t oerienkomt mei de skuorspanningen foar in bepaalde horizontale belesting, dan krijt men de oanfalsline fan de horizontale transversale krêft. Yn it snijpunt fan dizze twa oanfalslinen leit it karakteristike punt foar de jûn trochsneed, dat it skuorsintrum M. neamd wurdt. Yn de drager komme gjin spanningen foar as gefolch fan torsje as de skuorsintra fan alle trochsneden op ien rjochte lizze, en alle lasten dy’t stietrjocht op de as fan de stêf steane troch dy rjochte geane. Oars is it momint fan elke lêst ten opsichte fan de rjochte dy’t de skuorsintra ferbynt en foarmet it torsjoneel skuorjen.
Fig. 15
Ynfloed fan de transversale krêft op it bûgen
De technyske bûgingsteory is basearre op it negearjen fan ferfoarmings troch skuorspanningen. Dêrom kin se yn ’e praktyk allinnich tapast wurde op slanke stêven, dêr’t dit negearjen ferantwurde is en dêr’t de transversale krêft gjin merkbere ynfloed op de bûging hat.
De ûnderfining hat lykwols sjen litten dat de technyske bûgingsteory mei in beskate súkses ek tapast wurde kin op koarte, hege dragers, dêr’t dy eins hielendal net foar bedoeld is. Dan ûntstiet de needsaak om de ynfloed fan de ferfoarming as gefolch fan skuorspanningen, dy’t yn dizze teory ferwaarleazge wurdt, op syn minst by benadering achterôf yn acht te nimmen.
Lykas de skuorspanningen τ as gefolch fan transversale krêften en de oerienkommende gliden γ_’ =_ τ_/G_ binne ek net unifoarm oer de doorsnede ferdield. Dêrom wurdt harren gemiddelde wearde γ ynfierd, dy’t sa fêststeld wurdt dat de transversale krêft by dizze gemiddelde ferfoarmingswearde op it balkelemint dx in ferfoarmingswurk útoefenet dat gelyk is oan dat wat ûntstean soe troch it yntegrearjen fan de wurken fan de skuorspanningen op de aparte folumeleminten dy’t it beskôge balkelemint foarmje:
wêrút blykt
De integraal kin berekkene wurde as de ferdieling fan de skuorspanningen oer it trochsneed bekend is. Omdat alle skuorspanningen evenredich binne mei Q/F, is syn wearde evenredich mei Q2/F2 * F, en troch te stellen dat dy κ__Q2/F is, wurdt krigen
γ = κ__Q / GF.
De konstante κ hjit de ferdielingskoëffisjint fan de skuorspanningen. Foar rjochthoekige trochsneedprofyl is κ=1,2.
Fig. 16
As de koëffisjint κ, en dêrmei ek de middelste gliding γ, bekend is, kin de tafoegde trochbuiging wQ, ûntstien troch de wurking fan transversale krêften, berekkene wurde, dy’t by de trochbuigingen w opteld wurde moat: om’t neffens ôfbylding 16 it is
en dêrom jildt troch Q = dM/dx:
wêrby’t de yntegraasjekonstante út ien grinsbetingst krigen wurdt.