직선 부재 및 완만하게 휜 부재의 정응력
단면력의 정의
정직한 봉에 임의 방향의 힘이 작용한다고 하자. 다만 그 모든 힘은 봉의 축(단면의 도심을 잇는 선)을 지나는 하나의 평면(힘의 평면) 안에 놓여 있다고만 가정한다.
그림. 1
어떤 횡단면 _n – n_에서 작용하는 응력을 계산하려면(그림 1), 이 단면을 통해 한 부분의 부재에서 다른 부분으로 전달되는 힘을 알아야 한다. 이 힘은 그 크기와 위치에서 볼 때, 한 부분의 부재에 작용하는 모든 힘의 합력과 같음이 분명하다. 이 합력은 좌표계의 성분으로 분해되는데, x-축은 부재의 축과 일치하고, z-축은 횡단면이 힘의 평면을 자르는 선을 이룬다. _z_축 방향의 성분은 횡력 Q 또는 _Qz_라고 하며, 단순보의 경우 단면의 왼쪽에서는 위쪽, 오른쪽에서는 아래쪽을 향하면 양(+)으로 본다.
봉이 곡선인 경우, 좌표축 _x_와 _z_는 각 단면에서 서로 다른 방향을 가지며, 항상 x-축이 봉의 축에 대한 접선이 되도록 한다. 봉의 축이 놓인 평면이 힘의 평면과 일치하지 않거나, 봉의 축이 공간곡선인 경우에는, 단면 왼쪽의 힘의 합력에 세 번째 성분인 횡력 _Qy_가 생긴다. N, Qz 및 _Qy_로 단면을 통해 전달되는 힘의 크기와 방향은 정해지지만, 그 위치는 정해지지 않는다. 이를 위해서는 좌표축에 대한 모멘트도 알아야 한다. 평면굽힘의 경우에는 굽힘모멘트 M 또는 _My_만 알면 충분하다. 가장 일반적인 경우에는 추가로 굽힘모멘트 _Mz_와 x-축에 대한 모멘트 _Mx_가 나타난다.
앞서 설명한 여섯 개의 힘과 모멘트는 총칭하여 “단면력”이라 한다. 이들의 결정은 구조역학의 기본 과제 중 하나이다.
연속적으로 분포된 하중 p (차원: 단위 길이당 힘), 전단력 Q 및 굽힘 모멘트 M 사이에는 평면 굽힘의 경우 단순한 관계가 있다. 즉, 막대의 한 요소의 평형 조건(그림 2)으로부터 다음이 얻어진다
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
그러므로
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
그림. 2
정응력의 분포
축봉에 축방향 힘만 작용하는 경우, 단면에는 균일하게 분포된 법선응력 _σ_만이 나타난다(인장봉, 또는 압축봉). 여기에 굽힘모멘트가 더해지면, 이 응력들은 어떤 방식으로든 불균등하게 분포해야 하며, 그 결과 합력은 더 이상 단면의 도심을 지나지 않게 된다. 이 분포를 정하기 위해 기술적인 굽힘이론은 기본 방정식의 엄밀한 해에 출발하지 않고, 그 일부를 타당한 가정으로 대체하는데, 이 가정은 특히 단순한 한 경우에는 동시에 엄밀하게도 성립한다. 이 특별한 경우는 횡력의 작용이 없는 직선 프리즘형 봉의 굽힘이다(그림 3). 봉의 양끝에서 충분히 떨어진 모든 부분은 같은 변형을 겪으며, 여기서 곧바로 봉의 축이 원호로 바뀌고, 원래 봉의 축에 수직이던 모든 단면 평면이 변형 후에도 평면으로 남는다는 결론이 따른다. 왜냐하면 그 각각은 변형된 봉의 인접 부분에 대한 대칭면이기 때문이다. 굽힘모멘트와 봉의 단면이 일정하지 않고 봉을 따라 점차 변하는 경우에도 단면이 대체로 평면으로 남는다는 가정은 자연스럽게 받아들여진다. Navier- 가설이라 불리는 이 가정이 굽힘이론의 기초를 이룬다.
그림. 3
정상응력의 크기
보의 직선 요소를 굽히면, 그 섬유, 즉 막대 축과 평행한 물질선의 일부는 늘어나고 다른 일부는 짧아진다(그림 4). 이 두 부분 사이에는 굽힘 시 길이가 변하지 않는 중립섬유 z=0가 놓여 있다. 이 섬유들의 굽은 상태에서의 곡률 반지름을 _ϱ_라 하고, 그것이 x-z 평면에 놓여 있다고 하자. 그림 4 m에서 읽을 수 있다
Δ dx/z = _dx/_ϱ
그리고 그로부터 중립축에서 거리 z에 있는 섬유의 계산된 변형률은, 다음과 같다
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
그러므로 Hooke-의 법칙에 따라 응력
σ _= Ez/_ϱ (2)
그림. 4
이 응력은 중립섬유로부터의 거리와 비례한다. 이러한 결과는 변형 전에는 막대 요소의 모든 섬유가 같은 길이였다는 가정, 즉 막대가 원래 곧았거나 적어도 곡률의 영향을 무시할 수 있을 정도로 매우 작은 곡률을 가졌다는 가정과 관련된다. 중립층과 단면 평면이 만나는 직선을 중립축이라고 한다. 이를 y-축으로 정한다(도 5). 단면에서 중립축의 위치는 x-축 방향의 힘 평형 조건으로 구한다. 즉, 축력이 N=0(축력이 없는 휨)인 경우에는 단면의 정상응력으로 나타낸 내부력의 합력도 0이어야 한다:
오른쪽의 적분은 y-축에 대한 면적의 정적 모멘트이다. 이것이 0과 같으려면, 이 축은 도심축 중 하나여야 한다.
변형을 일으키는 모멘트 M은 단면 평면에서 y축과 z축에 대하여 다음과 같은 성분을 갖는다(그림 5):
식. (3)
여기서 _Iy, Iyz_는 표시된 축에 대한 단면의 적도 모멘트와 원심 모멘트이다.
가장 중요한 특수한 경우는 Mz=0일 때이다. 이 경우는 Iyz=0일 때, 즉 _y_와 _z_가 단면의 주 관성축일 때 발생한다. 이는 여기서 채택한 x-z 평면과 일치하는 굽힘 평면이 굽힘 모멘트 _M=My_가 작용하는 평면, 즉 힘의 평면과 일치함을 의미한다.
그림. 5
방정식 (2)과 (3)에서 _E/__ϱ_를 소거하면, 평면 굽힘에서의 응력을 구하는 식이 얻어진다 (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
1 및 2의 경계점에 대해서는 특히 다음과 같다:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
크기 W1,2 = I/h1,2 (차원: 길이의 세제곱)는 저항 모멘트라 한다. 수평 무게중심축이 동시에 단면의 대칭축인 경우에는 W1 = _W2_가 되어, 가장자리 응력의 절대값은 서로 같아진다.
탄성선
그림. 6
앞서 언급한 식들의 중요성은 훅의 법칙과 관련된다. 이는 σ << _E_를 요구하므로, 식(2)에 따라 h << _ϱ_가 된다. 그러나 굽힘은 _ϱ_가 막대 길이 _l_과 같은 차수일 정도까지는 허용된다. 건설 분야에서 고려되는 굽은 막대에서는 이러한 경우가 발생하지 않으며, 항상 _ϱ_가 l보다 훨씬 크고 따라서 처짐 w << _l_이다(그림 6). 그러면 대략 다음이 성립한다:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
그리고 (3):
w’’ = - M/EI.
이 방정식과 평형 조건(1b)은 휜 막대의 미분방정식계가 된다. 이들은 소거를 통해 4차 방정식 하나로 환원할 수 있다:
wIV = + p/EI
또는, 관성모멘트가 가변인 경우:
(EIw’’)’’ = +p.
이들로부터 적분을 통해 하중이 p=p(x)로 주어지고 각 부재 경우에 대해 두 개의 경계 조건이 알려져 있을 때 탄성선을 구할 수 있다. 이들 중 적어도 두 개는 변형에 관한 것이어야 한다. 자세한 내용은 건축구조 정역학 문서를 보라.
단면의 핵심
중립축이 단면을 절단하면, 단면은 인장 구역과 압축 구역으로 나뉜다. 인장강도가 작은 재료에서는 단면 어느 곳에서도 인장이 생겨서는 안 되므로, 압축력이 어디에 작용해야 하는지가 문제된다. 이때 힘의 작용점 위치는 _단면핵_이라 불리는 영역으로 제한된다. 핵의 경계는 명백히, 그 중립축이 단면의 둘레를 따라 접하는 점들의 자취이다. 이것으로 그 구성도 동시에 주어진다.
어떤 방향으로 측정하든 핵 경계가 무게중심으로부터 떨어진 거리를 그 방향에 해당하는 지수 _k_로 표시하겠다. 관성의 주축에 대해서는 식에 따라
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
용어는 다음과 같다:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
원형 단면에서 반지름 r일 때 핵심 거리 _k = r/4_이며, 원형 고리(반지름: 외부 R, 내부 r)의 경우 _k = (R2 + r2) / 4R_이다.
직사각형(그림 7)의 경우 ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. 따라서 직사각형 단면이 대칭면의 어느 한 평면에서 하중을 받을 때(그리고 그때에만) 합력이 단면 높이 또는 너비의 중앙 1/3 구간에 작용하기만 하면, 단면의 응력이 같은 부호를 갖게 된다.
그림. 7
소성 영역에서의 굽힘
굽힘된 막대의 가장자리 섬유에서 항복 한계에 도달하더라도, 그 지지력은 아직 소진되지 않는다. 외측 섬유가 일정한 응력 상태에서 소성 변형을 일으키는 동안, 중립축에 더 가까운 부분에서는 아직 항복 한계에 도달하지 않았으므로 응력이 증가하며, 이에 따라 단면이 받을 수 있는 굽힘 모멘트도 증가한다.
응력과 변형 다이어그램의 정확한 진행이 알려져 있으면, 이 과정은 양대칭 단면(높이 h)에 대해 다음과 같이 쉽게 계산으로 추적할 수 있습니다. 즉, 단면이 평면을 유지한다는 가정하에 응력과 변형 다이어그램에서 어느 채택된 끝섬유 변형률 _ε__r_에 대응하는 굽힘에 의한 응력 분포 _σ_를 구하고, 이를 적분하여 굽힘모멘트를 산정합니다. 이를 서로 다른 _ε__r_에 대해 수행하고, 한편으로는 처짐선의 곡률 w’’ = 2 ε__r _/ h_를 계산하면, 여러 점을 얻게 되며 그 점들을 지나는 선을 통해 굽힘모멘트와 곡률 사이의 관계 M = M(w’’)를 얻을 수 있습니다. 이 관계는 더 이상 선형이 아니며, 그것이 알려지면 그래픽 적분을 통해 주어진 모멘트 분포에 대응하는 처짐선을 구할 수 있습니다. 단면이 비대칭이면, 각 _ε__r_마다 중립축의 위치도 추가로 결정해야 하므로 계산이 더 복잡해집니다.
그림 8
단면의 대칭성 외에 그림 8에 따른 응력과 변형률의 단순화된 관계까지 가정하면 계산은 어느 정도 단순해진다. 그러면 항복 한계를 초과한 뒤의 굽힘 응력은 그림 9과 같은 분포를 가지며, 굽힘 모멘트는 다음과 같다:
따라서 처짐 곡선의 곡률은 방정식 (2)을 탄성 영역의 응력이 w’’ = _σf / Ez’_인 단면 부분에 적용함으로써 얻어진다. 각 채택된 _z’_에 대해 단면의 형상이 알려져 있으면 적분을 계산할 수 있다. 예를 들어, 폭 _b_와 높이 _h_를 갖는 가장 단순한 직사각형 단면의 경우에는
여기서 _z’_를 _w’’_로 나타내면
I형 단면과 그와 유사한 단면에서는 소성 구간에서 M-w’’ 곡선의 경로가 더 평탄해지며, 이때 항복이 시작되는 모멘트는 단면이 견딜 수 있는 최대 굽힘모멘트와 사실상 같아진다. 따라서 건축공학에서 소성 굽힘의 의의는 단면이 견딜 수 있는 굽힘모멘트를 증가시키는 데 있는 것이 아니라, 항복 한계에서 발생하는 큰 국부 변형이 정정불능 시스템에서 힘의 분포를 유리하게 변화시킬 수 있다는 데 있다.
그림. 9
이는 두 경간을 가진 연속보의 예로 설명할 수 있다. 보(그림 10)가 동일한 길이의 경간과 일정한 단면을 가지며, 등분포 하중을 받고 있다고 하자. 그러면 항복 한계에 도달하기 전의 지점부 모멘트는 MB = _pl_2/8이다. 하중 _p_를 증가시켜 지점 단면의 모멘트가 항복이 시작되는 값 _Mf_에 도달하면, 그 지점에서는 모멘트의 뚜렷한 증가 없이 곡률만 더 커지게 된다. 이른바 _소성 힌지_가 형성되며, 즉 추가 하중 아래에서 보는 중간 지점 위에 힌지가 존재하는 것처럼 거동한다. 하중은 경간 내 최대 모멘트 위치에서도 항복이 시작될 때까지 더 증가시킬 수 있다. 더 이상의 휨모멘트 증가는 불가능하며 보의 지지력은 소진된다. 이 상태가 나타나는 하중을 한계하중이라고 한다.
그림. 10
일반적으로 _n_차 정정불정인 시스템에서는 시스템이 이동 가능해져 궁극적으로 지지 한계에 도달하기 전에 (n+1)개의 소성힌지가 나타나야 한다고 볼 수 있다. 그러나 이 규칙에는 양쪽 방향 모두 예외가 있다. 앞서 든 예에서 보듯이, 지지 한계에서 동시에 두 개의 새로운 소성힌지(두 경간 모두에)가 생길 수 있으며, 그 결과 지금까지는 비이동적이던 시스템이 갑자기 2자유도 시스템으로 바뀐다. 다른 한편으로는 (n+1)개보다 적은 소성힌지로도 국부적으로 내력이 소진될 수 있는데, 예를 들어 연속보에서 단지 한 경간만 파괴되는 경우가 그렇다. 그림 11는 n=2개의 소성힌지를 가진 2차 정정불정 시스템에서 이것이 어떻게 일어날 수 있는지를 보여준다. 만약 보의 오른쪽에 네 번째 경간을 추가하면 보는 3차 정정불정이 되므로, (n-1)개의 소성힌지만으로도 왼쪽 경간만 지지 한계에 이르게 할 수 있다.
그림. 11
휨 시 전단응력
기초 계산
그림. 12
정응력 σ, 즉 실제로 굽힘에 의해 발생하는 응력만이 휜 막대에 존재하는 것이 아니라, 횡력이 작용함으로써 전단응력도 함께 나타난다. 기술적 굽힘 이론의 기본 특징은 전단응력에 의한 변형을 무시한다는 점이므로, 이 응력은 평형 조건으로만 구할 수 있다. 이를 세우기 위해 보 요소 _dx_를 그림 12에서와 같이 수평면으로 두 부분으로 나누고, 아래 부분에 작용하는 수평 힘의 평형 조건을 설정한다. 왼쪽에는 굽힘에 의한 응력 _σ_로 표현되는 내부 힘이 있으며, 이를 _z’ = z_에서 _z’ = h2_까지 적분해야 한다
오른쪽에서는 같은 응력이 작용하지만, 해당 굽힘모멘트 _M + dM_에 따라 미분만큼 증가한다. 요소의 양쪽에 작용하는 힘의 차이는 수평 단면적 _t dx_에 작용하는 전단응력 τ에 의한 힘과 평형을 이루어야 한다:
여기서 적분은 수평 횡단면에 의해 분리된 단면 일부의 정적모멘트를 단면의 도심축에 대해 나타낸다. 이는 _S_로 표시한다. 평형 조건 _dM/dx = Q_로부터 다음을 얻는다:
τ = QS/It. (8)
이는 전단응력의 공액성에 관한 정리에 따라, 단면의 표면에 작용하는 수직 전단응력의 크기이기도 하며, S 및 _t_와 함께 _z_의 함수이다.
그림. 13
도. 13.1
방정식(8)은 절단면을 중립축과 평행하게 두지 않고 벽 두께 방향으로 두는 경우, 모든 얇은 벽 단면에서 신뢰할 수 있는 값을 제공한다. 따라서 I형 단면은 웨브를 가로질러, 그리고 플랜지를 가로질러 절단되며, 그 결과 그림 13.1에 나타난 응력 분포가 얻어진다. 환형 단면(그림 13)에서는 전단응력이 수직 지름에 대하여 대칭적으로 분포하고, 중립선의 좌우에서 최대값에 도달한다
τ = Q / πrt.
단면을 가장 높은 곳 또는 가장 낮은 곳에서 절단하면 전단응력의 분포는 변하지 않는다. 그러나 오른쪽 끝의 수평 지름에서 절단하면(도. 14) 그 지점의 전단응력은 0이 되며, 같은 지름의 왼쪽 끝에서는 그 값이 두 배가 된다.
그림 14
실단면
임의 형상의 실체 단면에서 전단응력 문제는 비틀림 문제와 밀접하게 관련된다. 이 경우 기본 방정식 (8)은 더 이상 신뢰할 수 없다. 반지름 _r_의 원형 단면에 대해서는 방정식 (8)이 다음을 준다
τ = 4Q / 3__πr2
중립축을 따라 작용하는 전단응력의 평균값으로 보며, 정확한 값은 겨우 몇 퍼센트 더 크다.
전단 중심
U-단면에 대해 위에서 설명한 방식으로 전단응력을 산정하면, 그림 15에 나타낸 응력 분포를 얻는다. 이에 대응하는 내부력의 합력은 횡력 _Q_이다. 그림에서 단면에 대한 그 위치를 볼 수 있으며, 즉 단면의 도심을 지나지도 않고, 복부 평면 위에 놓이지도 않는다. 외력에 기초하여 산정한 횡력이 그림 15에 표시된 위치를 갖지 않으면, 보에는 휨만이 아니라 비틀림도 작용한다.
같은 단면에 대해 어떤 수평 하중에 대응하는 전단응력의 합력을 구하면, 수평 횡력의 작용선이 얻어진다. 이 두 작용선의 교점에는 해당 단면에 대한 특성점이 있으며, 이를 _전단 중심 M._이라 한다. 모든 단면의 전단 중심이 한 직선상에 놓이고, 막대의 축에 수직인 모든 하중이 그 직선을 지나면 보에는 비틀림에 의한 응력이 나타나지 않는다. 그렇지 않으면 각 하중의 그 직선에 대한 모멘트가 전단 중심을 잇는 선에 대한 비틀림 전단을 이룬다.
그림. 15
횡력이 굽힘에 미치는 영향
기술적 굽힘 이론은 전단응력에 의한 변형을 무시하는 데 기초한다. 따라서 이 이론은 이러한 무시가 타당하고 횡력이 굽힘에 뚜렷한 영향을 미치지 않는, 가늘고 긴 봉재에 실제로 적용될 수 있다.
그러나 경험에 따르면 기술적 휨 이론은 본래 적용 대상이 전혀 아닌 짧고 높은 보에도 어느 정도 성공적으로 적용할 수 있다. 이때 이 이론에서 무시된 전단응력에 의한 변형의 영향은 적어도 근사적으로라도 나중에 고려할 필요가 있다.
마찬가지로 횡방향 힘에 의한 전단응력 τ_와 이에 대응하는 미끄러짐 γ’ =_ τ_/G_도 단면에 걸쳐 불균일하게 분포한다. 따라서 그 평균값 _γ_를 도입하며, 이 값은 이 평균 변형에서 횡방향 힘이 보 요소 _dx_에 대해, 관찰된 보 요소를 이루는 개별 체적 요소들에서 전단응력이 수행하는 일들을 적분한 것과 같은 변형 일을 하도록 정해진다:
그로부터
적분은 단면의 전단응력 분포가 알려져 있을 때 계산할 수 있다. 모든 전단응력이 _Q/F_에 비례하므로, 그 값은 _Q2/F2 * F_에 비례하며, 이를 _κ__Q2/F_라고 두면 다음을 얻는다
γ = κ__Q / GF.
상수 _κ_를 전단응력 분포계수라고 한다. 직사각형 단면의 경우 κ=1,2.
그림. 16
계수 κ, 그리고 이에 따른 평균 미끄러짐 _γ_가 알려져 있으면, 횡력의 작용으로 생긴 추가 처짐 _wQ_를 계산할 수 있으며, 이는 처짐 _w_에 더해야 한다. 왜냐하면 도면 16에 따르면
따라서 Q = dM/dx 때문에:
이때 적분상수는 하나의 경계조건으로부터 구해진다.