Tegangan normal ing batang lurus lan batang kanthi lengkungan cilik
Dhèfinisi gaya-gaya irisan
Ayo wae balok lurus kabebanan gaya saka arah sembarang, sing mung dianggep kabeh mapan ing siji bidang (bidang gaya) sing ngliwati sumbu balok (garis sing nyambungake titik berat penampang lintang).
Gbr. 1
Supaya bisa ngetung tegangan sing tumindak ing sawijining penampang silang n – n (woro-woro 1), perlu dingerteni gaya sing lumantar penampang iki dipindhah saka siji bagean batang menyang bagean liyane. Jelas manawa miturut gedhé lan posisine, gaya iki padha karo resultan saka kabèh gaya sing nyerang siji bagean batang. Resultan iki diurai dadi komponen ing sistem koordinat sing sumbu x-é cocog karo sumbu batang, lan sumbu z minangka garis sing liwat kana bidang penampang silang motong bidang gaya. Komponen ing arah sumbu z diarani gaya transversal Q utawa Qz lan ing balok prasaja dianggep positif yen ing sisih kiwa penampang arahé munggah, lan ing sisih tengen mudhun.
Nalika balok iku mlengkung, sumbu koordinat x lan z ing saben penampang nduweni arah liya lan mesthi mangkono supaya sumbu x dadi garis sing ngetutake sumbu balok. Yen bidang sing dienggoni sumbu balok ora cocog karo bidang gaya, utawa yen sumbu balok iku kurva ruang, resultan gaya ing sisih kiwa penampang uga nduweni komponen katelu, yaiku gaya transversal Qy. Kanthi N, Qz lan Qy wis ditemtokake gedhene lan arah gaya sing ditransfer liwat penampang, nanging dudu posisine. Kanggo iki perlu uga dingerteni momente marang sumbu koordinat. Ing kasus pembengkokan datar cukup yen momen bengkok M utawa My wis dingerteni. Ing kasus paling umum katon siji momen bengkok maneh Mz lan momen ngubengi sumbu x, Mx.
Papat gaya lan momen sing ditetepaké ing panjelasan sadurungé digandhengaké kanthi jeneng bebarengan «gaya irisan». Penentuané iku salah siji tugas dhasar saka statika konstruksi bangunan.
Antara beban sing disebar terus-menerus p (dimensi: gaya per siji unit dawa), gaya transversal Q lan momen lentur M ana hubungan sederhana ing kasus lentur bidang. Yaiku, saka syarat keseimbangan sawijining unsur batang (sl. 2) dipikolehi
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
mulane
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Gbr. 2
Sebaran tegangan normal
Yen batang mung dibebani gaya aksial, ing penampang mung katon tegangan normal sing sumebar merata σ (batang ditarik, utawa didhesak). Yen saliyané kuwi uga ana momen bengkok, tegangan-tegangan iki kudu disebar ora merata kanthi cara tartamtu, supaya resultané ora maneh liwat titik berat penampang. Kanggo nemtokake panyebaran iki, teori teknis pembengkokan ora miwiti saka solusi ketat persamaan dasar, nanging ngganti bagean saka persamaan kasebut nganggo asumsi sing lumrah lan ing salah siji kasus sing banget prasaja uga kacukupan sacara ketat. Kasus khusus iki yaiku pembengkokan batang prismatis lurus tanpa pengaruh gaya transversal (gbr. 3). Kabèh unsur batang sing cukup adoh saka pucuk-pucuke ngalami deformasi sing padha, mula langsung kasimpulane yèn sumbu batang owah dadi busur bunder lan yèn kabèh bidang penampang silang sing wiwitané jejeg marang sumbu batang nalika deformasi tetep rata, amarga saben bidang iku dadi bidang simetri kanggo pérangan sing jejer saka batang sing wis deformasi. Lumrahe banjur muncul anggepan yèn penampang silang uga tetep meh rata sanadyan momen bengkok lan penampang silang batang ora tetep, nanging owah alon-alon sajrone dawa batang. Anggepan iki sing diarani hipotesis Navier dadi dhasar teori pembengkokan.
Gbr. 3
Gedhene tegangan normal
Nalika unsur balok sing lurus ditekuk, sawatara saka “seraté”, yaiku garis-garis materi sing sejajar karo sumbu batang, ketarik, déné pérangan liyané nyepet (gambar 4). Ing antarané loro pérangan iki ana serat netral z=0, sing dawané ora owah nalika ditekuk. Ayo radius lengkungan serat iki nalika ing kahanan ditekuk ϱ lan ana ing bidang x-z. Saka gambar 4 m bisa diwaca
Δ dx/z = _dx/_ϱ
lan saka kono ngitung dilatasi serat ing jarak z saka sumbu netral, sing nilaine
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
mula adhedhasar hukum Hooke-e tegangan
σ _= Ez/_ϱ (2)
Gbr. 4
Tegangan iki sebanding karo jarak saka serat netral. Asil kaya mangkono gegandhengan karo asumsi yen sadurunge deformasi kabeh serat unsur batang nduwèni dawa sing padha, saéngga batang wiwitané lurus, utawa paling ora nduwèni lengkungan sing cilik banget nganti pengaruh lengkungan bisa diabaikan. Garis sing dadi perpotongan antarane lapisan netral lan bidang penampang diarani sumbu netral. Iki kita anggep minangka sumbu y (sl. 5). Posisi sumbu netral ing penampang silang dipikolehi saka kahanan keseimbangan gaya ing arah sumbu x: yen gaya normal N=0 (lentur tanpa gaya normal), mula resultan gaya internal sing diwedharake liwat tegangan normal ing penampang uga kudu padha karo nol:
Integral ing sisih tengen yaiku momen statis area marang sumbu y. Supaya dadi padha karo nol, sumbu iki kudu dadi salah siji saka sumbu pusat bobot.
Momen M sing nyebabake deformasi nduwèni komponen tumrap sumbu y lan z ing bidang penampang (woro-woro 5):
Pers. (3)
ing ngendi Iy, Iyz iku momen inersia ekuatorial lan sentrifugal saka penampang gegayutan marang sumbu sing ditandhani.
Sing paling penting yaiku kasus khusus nalika Mz=0. Kasus iki kelakon nalika Iyz=0, yaiku nalika sumbu y lan z dadi sumbu inersia utama saka penampang. Iki tegesé bidang lentur sing kéné dijupuk minangka bidang x-z\ padha karo bidang ing ngendi momen lentur M=My makarya, yaiku karo bidang gaya.
Gbr. 5
Yen saka persamaan (2) lan (3) _E/_ϱ diilangi, bakal dipikolehi pola kanggo nemtokake tegangan nalika pembengkokan rata (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
kanggo titik pinggir 1 lan 2 khususé yaiku:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Ukuran W1,2 = I/h1,2 (dimensi: dawa pangkat telu) diarani momen tahan. Yen sumbu gravitasi horisontal uga dadi sumbu simetri penampang, mula W1 = W2, saéngga tegangan pinggir padha saka segi nilai absolut.
Garis elastis
Gbr. 6
Pentingé pola-pola ing ndhuwur ana gandhengane karo hukum Hooke. Iki mbutuhake manawa σ << E, dadi miturut (2) h << ϱ. Nanging mbengkong isih bisa nganti ϱ nduweni urutan gedhene padha karo dawane batang l. Ing batang bengkong sing kalebu ing bidang bangunan, kahanan iki ora kedadeyan; ϱ tansah luwih gedhe tinimbang l lan mula lendutan w << l (gambar 6). Ing kahanan iki kira-kira berlaku:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
lan adhedhasar (3):
w’’ = - M/EI.
Persamaan iki lan syarat keseimbangan (1b) mbentuk sistem persamaan diferensial saka batang sing mbengkong. Kanthi eliminasi, sistem iki bisa diredhuksi dadi siji persamaan orde papat:
wIV = + p/EI
utawa, ing kasus manawa momen inersia owah-owahan:
(EIw’’)’’ = +p.
Saka persamaan kasebut, liwat integrasi bisa ditemokake wujud garis elastis nalika beban sing diwenehake p=p(x) lan nalika kanggo saben kasus batang wis dingerteni loro syarat wates. Saka iki paling ora loro kudu nyangkut deformasi. Kanggo rinci, deleng artikel Statika konstruksi bangunan.
Inti penampang
Yen sumbu netral nyabrang penampang lintang, sumbu kuwi mbagi dadi zona tarik lan zona tekan. Ing bahan sing nduweni kekuwatan tarik cilik, timbul pitakonan ing ngendi gaya tekan kudu tumindak, yen ing penampang lintang ora kena ana tarik ing endi wae. Posisi titik tumindak gaya banjur diwatesi ing wilayah sing diarani inti penampang. Wates inti kuwi cetha minangka panggonan geometris titik-titik, sing sumbu netralé nyentuh penampang lintang ing sakubenge. Kanthi mangkono uga wis ditemtokake cara konstruksiné.
Jarak wates inti saka titik berat, sing diukur ing sembarang arah, bakal kita tandhani nganggo indeks k sing cocog karo arah mau. Kanggo sumbu-sumbu utama inersia miturut persamaan
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
istilah-istilah iki yaiku:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Kanggo penampang bunder kanthi radius r, jarak inti yaiku k = r/4, lan kanggo cincin bunder (radius: njaba R, njero r) k = (R2 + r2) / 4R.
Kanggo persegi panjang (gbr. 7) yaiku ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Dadi, nalika penampang persegi panjang dibebani ing salah siji bidang simetri (nanging mung nalika kuwi) cukup yen resultan nyerang ing sepertiga tengah saka dhuwur utawa jembar penampang, supaya tegangan ing penampang nduwèni tandha sing padha.
Gbr. 7
Bengkokan ing wilayah plastis
Nalika ing serat pinggir batang sing mlengkung wis tekan wates luluh, daya dukunge durung entek, amarga nalika serat njaba ngalami deformasi plastis ing tegangane tetep, ing bagean sing luwih cedhak marang sumbu netral, ing kana wates luluh durung tekan, tegangane mundhak, mula momèn lentur sing bisa ditampa penampang uga saya mundhak.
Yen alur sing tepat saka diagram tegangan lan deformasi dingerteni, proses kanggo penampang simetris ganda (dhuwuré h) bisa gampang dilacak kanthi itungan kanthi cara yen, kanthi anggapan manawa penampang tetep rata, saka diagram tegangan lan deformasi ditemtokake distribusi tegangan σ amarga pembengkokan sing cocog karo regangan ujung serat ε__r sing wis ditampa, lan saka kono kanthi integrasi ditemtokake momen bengkok. Yen iki ditindakake kanggo macem-macem ε__r lan ing sisih liya krivitas garis lendutan w’’ = 2 ε__r / h diitung, bakal dipikolehi séri titik sing bisa dilakokaké garis sing menehi hubungan antarane momen bengkok lan krivitas M = M(w’’); hubungan iki ora linear maneh, lan yen wis dingerteni, kanthi integrasi grafis bisa ditemtokake garis lendutan sing cocog karo sebaran momen tartamtu. Yen penampang ora simetris, perhitungane dadi luwih rumit, amarga kanggo saben ε__r isih kudu ditemtokake uga posisi sumbu netral.
Gbr. 8
Perhitungane dadi rada luwih prasaja yen, saliyane simetri penampang, uga dianggep hubungan sing disederhanakake antarane tegangan lan regangan miturut gambar 8. Ing kahanan iki, tegangan amarga lenturan sawise ngluwihi wates luluh nduwèni sebaran kaya sing dituduhake ing gambar 9 lan momèn lentur yaiku:
mula lengkungan garis lendutan dipikoleh nalika persamaan (2) ditrapaké marang bagéan penampang sing tegangane ana ing wilayah elastis w’’ = σf / Ez’. Yen wujud penampang wis dingertèni kanggo saben z’ sing diadopsi, integral bisa diitung. Contoné, kanggo kasus paling prasaja penampang lintang persegi panjang kanthi jembar b lan dhuwur h yaiku
Yèn ing kéné z’ diéksprésikaké nganggo w’’, mula dipikolehi
Ing penampang I lan sing padha, lakuné kurva M-w’’ ing wilayah plastis luwih landhep maneh lan momen nalika wiwit aliran plastis praktis padha karo momen lentur paling gedhé sing bisa ditahan penampang kasebut. Mula, tegesé lenturan plastis ing konstruksi ora dumunung ing nambah momen lentur sing bisa ditahan penampang, nanging ing kasunyatan yèn deformasi lokal gedhé sing muncul ing wates luluh bisa nuntun marang owah-owahan susunan gaya sing becik ing sistem statis ora tentu.
Gbr. 9
Iki bisa diterangake kanthi tuladha balok kontinu liwat rong bentang. Misal balok (sl. 10) nduweni bentang kanthi dawa sing padha, penampang konstan lan dibebani dening beban merata. Mula sadurunge tekan wates luluh, momen ing ndhuwur tumpuan MB = _pl_2/8. Yen beban p ditambah nganti momen ing penampang tumpuan tekan nilai Mf nalika luluh wiwit dumadi, nalika beban diterusake nambah ing papan kuwi kelengkungan uga bakal mundhak tanpa panambahan momen sing nyata. Kawangun sing diarani sambungan plastis, yaiku balok ing sangisoré beban tambahan tumindak kaya ana sendhi ing ndhuwur tumpuan tengah. Beban bisa terus ditambah nganti ing panggonan momen paling gedhe ing bentang uga wiwit luluh. Panambahan momen bengkok luwih ora bisa maneh lan daya dukung balok wis entek. Beban nalika kahanan iki muncul diarani beban wates.
Gbr. 10
Umumé bisa diarep-arep manawa ing sawijining sistem sing sacara statis ora tentu n kaping, kudu muncul (n+1) sendi plastis sadurunge sistem dadi bisa obah lan kanthi mangkono tekan wates daya dukunge. Nanging, aturan iki nduwèni pangecualian ing loro arah. Kaya sing dituduhake conto kasebut, ing wates daya dukung bisa muncul bebarengan rong sendi plastis anyar (ing loro bentang), saéngga sistem sing nganti wektu iku durung bisa obah dadakan malih dadi sistem kanthi rong drajat kebebasan. Ing sisih liya, bisa uga yen sanajan kanthi kurang saka (n+1) sendi plastis, daya dukung wis entek sacara lokal, umpamané nalika ing balok kontinu mung siji bentang sing gagal. Gbr. 11 nuduhake kepiye iki bisa kelakon ing sawijining sistem sing sacara statis dobel ora tentu kanthi n=2 sendi plastis. Yen ing sisih tengen balok ditambahaké uga bentang kapapat, balok dadi triple statis ora tentu, mula cukup (n-1) sendi plastis supaya mung bentang kiwa sing digawa nganti wates daya dukung.
Gbr. 11
Tegangan geser nalika mbengkong
Perhitungan dhasar
Gbr. 12
Tegangan normal σ, yaiku tegangan sing sejatine muncul amarga pembengkokan, dudu siji-sijine tegangan ing batang sing mbengkong, nanging saliyané iku uga muncul tegangan geser amarga pengaruh gaya transversal. Amarga ciri dhasar téori teknis pembengkokan yaiku deformasi amarga tegangan geser diabaikan, mula iki mung bisa ditemtokake saka syarat keseimbangan. Kanggo ngetokake iki, unsur balok dx dipotong, kaya sing dituduhake ing gbr. 12, dening bidang horisontal dadi loro bagean, banjur disetel syarat keseimbangan gaya horisontal sing tumindak marang bagean ngisor. Ing sisih kiwa iku gaya-gaya njero sing diwujudake dening tegangan σ amarga pembengkokan, sing kudu diintegralake saka z’ = z nganti z’ = h2
Ing sisih tengen tumindak tegangan sing padha, nanging ditambah diferensial miturut momen lentur sing cocog M + dM. Beda antarane gaya ing loro sisih elemen kudu imbang karo gaya amarga tegangan geser τ sing tumindak ing bidang penampang horisontal t dx:
Ing kéné integral makili momen statis saka bagean penampang sing dipisah déning bidang transversal horisontal marang sumbu pusat penampang. Iki dilambangaké karo S. Saka dM/dx = Q miturut kahanan keseimbangan dipikoleh:
τ = QS/It. (8)
Iki miturut asas konjugasi tegangan geser sekaligus dadi gedhéné tegangan geser vertikal sing tumindak ing lumahing penampang lintang lan sing, bebarengan karo S lan t, dadi fungsi saka z.
Gbr. 13
Gbr. 13.1
Persamaan (8) menehi data sing bisa dipercaya kanggo kabeh penampang tembok tipis yen bidang potongan ora dilebokake sejajar karo sumbu netral, nanging ing arah ketebalan tembok. Mula profil I dipotong melintang liwat web lan melintang liwat flange, saéngga dipikolehi distribusi tegangan sing dituduhake ing gbr. 13.1. Ing penampang cincin (gbr. 13) tegangan geser disusun simetris marang diameter vertikal lan ing kiwa lan tengen ing garis netral tekan maksimum
τ = Q / πrt.
Yen penampang dipotong ing panggonan paling dhuwur utawa paling ngisor, susunan tegangane geser ora owah; nanging yen dipotong ing pucuk tengen diameter horisontal (gbr. 14), tegangane geser ing papan kuwi padha karo nol, dene nilaine dadi kaping pindho ing pucuk kiwa diameter sing padha.
Gbr. 14
Penampang padhet
Ing penampang padhet kanthi wangun sembarang, masalah tegangan geser raket banget karo masalah torsi. Persamaan dhasar (8) ing kasus kuwi ora bisa dipercaya manèh. Kanggo penampang bunder kanthi radius r persamaan (8) menehi
τ = 4Q / 3__πr2
minangka nilai rata-rata tegangan geser sadawane sumbu netral, lan nilai sing tepat mung sawetara persen luwih gedhe.
Pusat geser
Yèn kanggo penampang U diitung tegangan geser kanthi cara sing dijlentrehaké ing ndhuwur, bakal éntuk sebaran tegangan sing digambaraké ing gbr. 15. Resultan saka gaya-gaya njero sing cocog yaiku gaya transversal Q. Saka gambar bisa dideleng posisiné ana hubungane karo penampang, dadi ora liwat pusat massa penampang, lan uga ora dumunung ing bidang rusuk. Yèn gaya transversal sing diitung adhedhasar gaya njaba ora nduwèni posisi sing dituduhaké ing gbr. 15, balok ora mung kena beban lentur, nanging uga torsi.
Yen kanggo penampang sing padha ditemtokake resultan sing cocog karo tegangan geser kanggo beban horisontal tartamtu, bakal dipikolehi garis tumindak gaya transversal horisontal. Ing perpotongan loro garis tumindak iki ana titik khas kanggo penampang kasebut, sing disebut pusat geser M. Ing balok ora muncul tegangan amarga torsi nalika pusat geser saka kabeh penampang dumunung ing siji garis lurus, lan kabeh beban sing jejeg marang sumbu batang liwat garis kasebut. Yen ora mangkono, momen saben beban marang garis sing nyambungake pusat-pusat geser iku nuduhake geser torsi.
Gbr. 15
Pengaruh gaya transversal marang lentur
Teori teknis babagan pambengkokan adhedhasar ora digatekaké deformasi amarga tegangan geser. Mula, teori iki sejatine bisa ditrapaké mung marang batang sing langsing, ing ngendi ora digatekaké iki pantes lan gaya transversal ora nduwèni pengaruh sing katon marang pambengkokan.
Nanging pengalaman wis nuduhaké manawa téori teknis babagan mlengkung bisa, kanthi sukses tartamtu, uga ditrapaké marang pambawa sing cendhak lan dhuwur, sing sakjané téori iki ora dimaksudaké. Mula katon kabutuhan supaya pengaruh deformasi amarga tegangan geser, sing ing téori iki diabaikan, dijupuk paling ora kanthi kira-kira minangka tambahan.
Kaya uga teges geser τ amarga gaya transversal lan geseran sing cocog γ_’ =_ τ_/G_ sumebar ora rata ing penampang. Mula dilebokaké nilai rata-ratané γ, sing ditemtokaké supaya gaya transversal ing regangan rata-rata iki nindakake karya deformasi ing elemen balok dx padha karo sing bakal dipikolehi kanthi ngintegralake karya-karya tegangan geser ing unsur-unsur volume siji-siji sing mbentuk elemen balok sing diamati:
saka ngendi iku
Integral bisa diwilang nalika susunan tegangan geser ing penampang wis dingerteni. Amarga kabeh tegangan geser proporsional karo Q/F, mula nilaine proporsional karo Q2/F2 * F, saéngga yen dilebokake yen iku κ__Q2/F, dipikolehi
γ = κ__Q / GF.
Konstanta κ diarani koefisien panyebaran tegangan geser. Kanggo penampang persegi panjang, κ=1,2.
Gbr. 16
Yèn koef. κ, wis dingerteni, lan kanthi mangkono selip rata-rata γ, bisa dietung lendutan tambahan wQ, sing muncul amarga tumindak gaya transversal, sing kudu ditambahake marang lendutan w: amarga miturut gambar. 16 yaiku
mula amarga Q = dM/dx:
ing ngendi konstanta integrasi dipikolehi saka siji syarat wates.