Normal nga mga tensyon sa mga tul-id nga mga bar ug mga bar nga gamay ang kurba
Depinisyon sa mga puwersa sa seksiyon
Hunahunaa nga ang usa ka tul-id nga bar gibug-atan sa mga puwersa nga walay piho nga direksyon, nga ang bugtong gipangagpas mao nga tanan kini anaa sa usa ka eroplano (plane sa mga puwersa) nga moagi sa aksis sa bar (linya nga nagdugtong sa mga sentro sa masa sa mga cross section).
Si Sl.1
Aron makwenta ang mga tensyon nga molihok sa usa ka cross-section n – n (sl. 1), kinahanglan mahibaloan ang pwersa nga pinaagi niini kining cross-section ang nagbalhin gikan sa usa ka bahin sa baras ngadto sa lain. Klaro nga sa gidak-on ug posisyon kini pareho sa resultant sa tanang pwersa nga naglihok sa usa ka bahin sa baras. Kining resultant gibahin sa mga komponent sa coordinate system nga ang x-axis nagtugma sa axis sa baras, ug ang z-axis mao ang linya diin ang eroplano sa cross-section nagputol sa eroplano sa pwersa. Ang komponent sa direksyon sa axis z gitawag nga transbersal nga pwersa Q o Qz ug sa yano nga balok giisip nga positibo kung sa wala sa seksyon kini adunay direksyon pataas, ug sa tuo paubos.
Kung kurbado ang bar, ang mga coordinate axis nga x ug z adunay laing direksyon sa matag cross section, ug kanunay nga ang x-axis mao ang tangente sa aksis sa bar. Kung ang eroplano nga gilangkuban sa aksis sa bar dili motakdo sa eroplano sa mga puwersa, o kung ang aksis sa bar usa ka luna nga kurba, ang resultant sa mga puwersa sa wala sa cross section adunay ikatulong component usab, ang transverse nga puwersa Qy. Uban sa N, Qz ug Qy matino ang gidak-on ug direksyon sa puwersa nga gibalhin tabok sa cross section, apan dili ang posisyon niini. Aron kini mahibaloan, kinahanglan usab mahibaloan ang mga momento niini may kalabotan sa mga coordinate axis. Sa kaso sa patag nga pagbaluktot, igo na nga mahibaloan ang bending moment M o My. Sa labing kinatibuk-ang kaso, mopakita pa ang usa ka bending moment Mz ug ang moment palibot sa x-axis, Mx.
Ang unom ka pwersa ug mga mominto nga gihubit sa miaging pagpasabot giapil ilalom sa komon nga ngalan nga “mga puwersa sa seksiyon”. Ang ilang pagtino usa sa mga batakang buluhaton sa estatikas sa mga istruktura sa pagtukod.
Taliwala sa padayon nga giapod-apod nga karga p (dimensiyon: pwersa kada yunit sa gitas-on), sa transbersal nga puwersa Q ug sa bending moment M adunay yano nga relasyon sa kaso sa patag nga pagbaluktot. Sa tinuod, gikan sa kondisyon sa balanse sa usa ka elemento sa bar (sl. 2) makuha ang
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
busa
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Fig. 2
Apod-apod sa mga normal nga tensiyon
Kung ang bar gibug-atan lamang sa aksiyal nga puwersa, sa seksiyon motungha lamang ang parehas nga gipang-apod-apod nga normal nga tensiyon σ (gituy-od, o gipugos nga bar). Kung adunay usab momen sa pagpaling, kini nga mga tensiyon kinahanglan sa usa ka paagi nga mahimong dili parehas ang pagkapahimutang, aron ang ilang resultant dili na moagi sa sentro sa grabidad sa seksiyon. Aron matino kini nga pagkahan-ay, ang teknikal nga teorya sa pagpaling dili magsugod sa estriktong solusyon sa mga sukaranang equation, kondili mopuli sa usa ka bahin niining mga equation og usa ka makatarunganong pangagpas nga sa usa ka labi ka yano nga kaso pareho usab nga estriktong natuman. Kini nga espesyal nga kaso mao ang pagpaling sa tul-id nga prismatic nga bar nga walay aksiyon sa transbersal nga mga puwersa (sl. 3). Ang tanang bahin sa bar nga igo nang layo sa mga tumoy niini makasinati sa parehas nga deformasyon, ug gikan niini diretso nga mosunod nga ang axis sa bar mahimong usa ka lingin nga arko ug nga ang tanang eroplano sa mga cross-section nga una nga patindog sa axis sa bar sa panahon sa deformasyon nagpabiling patag, kay ang matag usa niini mao ang eroplano sa simetriya sa kasikbit nga mga bahin sa deformadong bar. Natural nga motungha ang pangagpas nga ang mga cross-section nagpabiling hapit patag bisan kon ang momen sa pagpaling ug ang cross-section sa bar dili permanente, kondili hinay-hinay nga nag-usab subay sa bar. Kini nga pangagpas nga gitawag og Navier-ova hipoteza mao ang sukaranan sa teorya sa pagpaling.
Si Sl.3
Kadako sa mga normal nga tensiyon
Kung ang tul-id nga elemento sa sagbayan maliko, ang usa ka bahin sa iyang mga “fibers”, mao ang mga materyal nga linya nga paralel sa axis sa baras, molugway, samtang ang laing bahin maminus (sl. 4). Taliwala niining duha ka bahin nahimutang ang mga neyutral nga fibers z=0, nga ang ilang gitas-on sa panahon sa pagliko dili mausab. Himoa nga ang radyus sa pagkurbada sa maong mga fibers sa likong kahimtang ϱ ug nga kini anaa sa x-z nga eroplano. Gikan sa sl. 4 m mahimong mabasa
Δ dx/z = _dx/_ϱ
ug gikan niini ang kalkulado nga pag-inat sa mga lanot sa gilay-on nga z gikan sa neutral nga aksis, nga mao ang
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
ug busa pinasukad sa Hooke-sulod sa balaod ang tensiyon
σ _= Ez/_ϱ (2)
Si Sl.4
Kini nga tensiyon proporsyonal sa gilay-on gikan sa neutral nga mga hibla. Ang ingon nga resulta nakabase sa pagtuo nga sa wala pa ang depermasyon ang tanang hibla sa bar element pareho og gitas-on, busa ang bar orihinal nga tul-id, o bisan adunay gamay ra kaayong kurbada aron ang epekto sa kurbada mahimong pasagdan. Ang linya diin nagtagbo ang neutral nga sapaw ug ang plano sa seksyon gitawag nga neutral axis. Gidawat nato kini isip y-axis (fig. 5). Ang posisyon sa neutral axis sa transverse section makuha gikan sa kondisyon sa balanse sa mga puwersa sa direksyon sa x-axis: kon ang normal nga puwersa N=0 (bending nga walay normal nga puwersa), nan ang resultant sa internal nga puwersa nga gipahayag pinaagi sa normal nga mga stress sa seksyon kinahanglan usab nga mahimong sero:
Ang integral sa tuo nga bahin mao ang statikong moment sa area may kalabotan sa y-axis. Aron kini mahimong sero, kinahanglan kini nga axis usa sa mga centroidal axes.
Ang moment M nga maoy hinungdan sa deformasyon adunay mga component, may kalabotan sa mga axis y ug z sa eroplano sa seksiyon (sl. 5):
Ekw. (3)
diin ang Iy, Iyz mao ang ekwatoryal ug sentripugal nga moment sa inersya sa seksiyon kalabot sa gimarkahang mga eje.
Ang labing importante mao ang espesyal nga kaso kung Mz=0. Kini nga kaso mahitabo kung Iyz=0, mao nga ang y ug z mao ang pangunang mga axis sa inertia sa cross-section. Kini nagpasabot nga ang eroplano sa pagbaluktot nga dinhi gikuha isip kaangay sa x-z-plane mopareha sa eroplano diin molihok ang bending moment M=My, mao nga sa eroplano sa mga pwersa.
Si Sl.5
Kon gikan sa mga equation (2) ug (3) tangtangon ang _E/_ϱ, makuha ang porma sa pagtino sa mga tensyon sa hapsay nga pagyukbo (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
alang sa mga punta sa kilid 1 ug 2 ilabi na kay:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Ang mga kadak-an nga W1,2 = I/h1,2 (dimensyon: gitas-on ngadto sa ikatulo) gitawag nga mga resistant moment. Kung ang horizontal nga tepid nga agianan mao usab ang axis sa simetriya sa cross-section, nan W1 = W2, busa ang mga edge nga tensyon parehas sa absolute nga bili.
Elasta nga linya
Fig. 6
Ang kahinungdanon sa mga pormulang gihisgutan sa ibabaw konektado sa balaod ni Hooke. Kini nagkinahanglan nga σ << E, busa sumala sa (2) h << ϱ. Apan ang pagyukbo mahimo gihapon nga moabot nga ang ϱ pareho na sa gilay-on sa bakos nga l. Sa mga yukbo nga bakos nga may kalabotan sa inhenyeriyang pang-konstruksyon, kini nga kahimtang dili motungha; kanunay ang ϱ mas dako kaayo kaysa l ug busa ang pagyukbo w << l (fig. 6). Unya hapit magamit ang:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
ug base sa (3):
w’’ = - M/EI.
Kini nga ekwasyon ug ang kondisyon sa balanse (1b) naglangkob sa sistema sa mga diferensyal nga ekwasyon sa liko nga baras. Pinaagi sa eliminasyon, mahimo kining moubos ngadto sa usa ka ekwasyon sa ika-upat nga ang-ang:
wIV = + p/EI
o, sa kaso nga ang moment sa inersiya mausab:
(EIw’’)’’ = +p.
Pinaagi sa integrasyon gikan niini mahimong makaplagan ang porma sa elasta nga linya kon gihatag ang karga p=p(x) ug kon para sa matag kaso sa baras nahibaloan ang duha ka kondisyon sa utlanan. Sa mga niini, labing menos duha kinahanglan nga may kalabotan sa deformasyon. Alang sa mga detalye tan-awa ang artikulo Statika građevinskih konstrukcija.
Kaugatan sa seksiyon
Kon ang neutral nga axis motabok sa cross section, mabahin kini ngadto sa tension zone ug pressure zone. Sa mga materyales nga ubos ang tensile strength, motungha ang pangutana kon asa ibutang ang puwersa sa pagpit-os, kon sa cross section walay dapit nga dapat mahitabo ang tension. Ang posisyon sa punto sa pag-atake sa puwersa mao unya limitado sa usa ka rehiyon nga gitawag og core of the section. Ang utlanan sa core klaro nga mao ang geometric locus sa mga punto, nga ang ilang neutral nga mga axis motang-tang sa cross section sa palibot niini. Pinaagi niini nahatag usab ang iyang konstruksiyon.
Ang gilay-on sa utlanan sa nucleus gikan sa sentro sa grabidad, nga gisukod sa bisan unsang direksyon, ilhon nato gamit ang k nga indeks nga motumbas sa maong direksyon. Alang sa pangunang mga eje sa inersya sumala sa ekwasyon
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
ang mga pahayag mao ang mosunod:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Alang sa lingin nga cross section nga adunay radius r, ang distansya sa nucleus mao ang k = r/4, ug alang sa lingin nga singsing (mga radius: gawas nga R, sulod nga r) k = (R2 + r2) / 4R.
Alang sa rektanggulo (sl. 7) mao ang ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Busa, sa pag-igo sa karga sa usa ka rektanggulong seksiyon sa usa sa mga eroplano sa simetriya (apan sa maong kahimtang lamang) igo na nga ang resultant moabut sa tunga nga ikatulo sa kataas o sa gilapdon sa cross section, aron ang mga tensiyon sa seksiyon adunay parehas nga timaan.
Si Sl.7
Pagkaliko sa plastikong bahin
Sa diha nga naabot na ang utlanan sa pagtunaw sa mga panggawas nga hibla sa nabawug nga baras, ang kapasidad niini sa pagdala sa karga dili pa mahurot, kay samtang ang mga panggawas nga hibla nag-antos sa plastikong deformasyon ubos sa kanunay nga tensiyon, sa mga bahin nga mas duol sa neutral nga axis, diin ang utlanan sa pagtunaw wala pa maabot, mosaka ang tensiyon, ug tungod niini mosaka usab ang bending moment nga mahimo masuhop sa seksiyon.
Kung nailhan ang tukmang dagan sa diagram sa stress ug deformasyon, ang proseso alang sa doble nga simetrikong mga seksiyon (taas h) mahimong sayon sundon sa pagkalkula pinaagi sa paagi nga, sa pagtuo nga ang mga seksiyon magpabiling patag, gikan sa diagram sa stress ug deformasyon matino ang pag-apod-apod sa stress σ tungod sa pagyukbo nga motugma sa usa ka gidawat nga paglapad sa mga katapusang lanot ε__r ug gikan niini pinaagi sa integrasyon matino ang moment sa pagyukbo. Kung buhaton kini alang sa nagkalain-laing ε__r ug sa laing bahin makwenta ang angay nga kurbadura sa linya sa deflection w’’ = 2 ε__r / h, makuha ang han-ay sa mga punto nga pinaagi niini mahimong idrowing ang usa ka linya nga naghatag sa relasyon tali sa moment sa pagyukbo ug sa kurbadura M = M(w’’); kini nga relasyon dili na linear, ug kon nailhan na kini, posible pinaagi sa graphic integration nga matino ang linya sa deflection nga motugma sa gihatag nga pag-apod-apod sa mga moment. Kon ang seksiyon dili simetriko, mas komplikado ang kalkulasyon, tungod kay alang sa matag ε__r kinahanglan pa matino ang posisyon sa neutral nga axis.
Si Sl. 8
Ang kalkulasyon sa pipila ka sukod mapapasayon kon dugang sa simetriya sa cross-section ipanghunahuna usab ang gipayano nga relasyon tali sa tensyon ug pag-elongate sumala sa hul. 8. Unya ang mga tensyon tungod sa pagpiko human malapas ang yield limit adunay pag-apod-apod nga gipakita sa hul. 9 ug ang mominto sa pagpiko mao ang:
ug busa ang kurbada sa linya sa deflection makuha kung ang equation (2) ipatuman sa bahin sa seksiyon nga ang mga stress niini anaa sa elastic range w’’ = σf / Ez’. Kung nailhan ang porma sa seksiyon alang sa matag gidawat nga z’, ang mga integral mahimong kwentahon. Pananglitan, sa pinakasayon nga kaso sa rektanggulong cross-section nga adunay gilapdon b ug kahitas-on h mao kini
Kon dinhi ipahayag ang z’ pinaagi sa w’’, makuha ang
Sa I-seksyon ug mga susama niini, ang dagan sa M-w’’ nga kurba sa plastik nga lugar mas patag pa, ug ang moment diin motungha ang pag-agas halos katumbas sa pinakadakong bending moment nga ang seksyon mahimong makasugakod. Busa ang kahulogan sa plastik nga pagyukbo sa konstruksyon dili naglangkob sa pagdugang sa bending moment nga masugatan sa seksyon, kondili sa kamatuoran nga ang dako nga lokal nga deformasyon nga motungha sa utlanan sa pag-agas mahimong motultol sa paborableng pagbag-o sa pag-apod-apod sa mga puwersa sa mga sistema nga statically indeterminate.
Si Sl.9
Mahimo kining ipasabut pinaagi sa pananglitan sa padayon nga gindala sa ibabaw sa duha ka bay. Ibutang nga ang gindala (sl. 10) adunay mga bay nga pareho og gitas-on, kanunay ang seksyon, ug gipas-an sa parehas nga giapod-apod nga karga. Unya, sa wala pa maabot ang utlanan sa pag-agas, ang momen sa ibabaw sa suporta MB = _pl_2/8. Kung ang karga p mapadako pag-ayo aron ang momen sa seksyon sa suporta makaabot sa kantidad Mf diin magsugod ang pag-agas, sa dugang nga pagdugang sa karga dinhi motaas usab ang kurbadura nga walay mamatikdan nga pagdagsang sa momen. Motungha ang gitawag nga plastik nga lutahan, mao nga ang gindala ilalom sa dugang nga karga molihok sama nga adunay lutahan ibabaw sa tunga nga suporta. Ang karga mahimong padayon pang mapadako hangtod sa pag-agas usab magsugod sa dapit sa pinakadakong momen sa bay. Dili na mahimo ang dugang nga pagtaas sa momen sa pagyukbo ug ang kapasidad sa pagdala sa gindala mahurot. Ang karga diin motungha kini nga kahimtang gitawag nga limit nga karga.
Fig. 10
Sa kinatibuk-an, mahimong ipangandoy nga sa usa ka sistema nga n ka beses nga staticly indeterminate, kinahanglan motungha ang (n+1) ka plastic hinges sa dili pa mahimong movable ang sistema ug maabot niini ang iyang limitasyon sa kapasidad sa pagdala. Apan kini nga lagda adunay mga eksepsiyon sa duha ka paagi. Sama sa gipakita sa nahisgotang ehemplo, sa limitasyon sa kapasidad sa pagdala mahimong motungha sa samang higayon ang duha ka bag-ong plastic hinges (sa duha ka field), busa ang sistema nga hangtod niadto dili pa movable kalit nga mahimong sistema nga adunay duha ka degree of freedom. Sa pikas bahin, posible usab nga bisan pa sa mas ubos pa sa (n+1) ka plastic hinges, ang kapasidad sa pagdala mahimong maubos lokalmente, pananglitan kon sa usa ka continuous beam mapakyas lamang ang usa ka field. Ang Fig. 11 nagpakita kung giunsa kini mahitabo sa usa ka sistema nga statically doubly indeterminate nga adunay n=2 ka plastic hinge. Kon dugangan pa og ikaupat nga field sa tuo nga bahin sa beam, ang beam mahimong statically triply indeterminate, busa igo na ang (n-1) ka plastic hinges aron ang wala lamang nga field madala ngadto sa limitasyon sa kapasidad sa pagdala.
Si Sl.11
Mga shear stress sa pagpiko
Pangunang kalkulasyon
Fig. 12
Ang normal nga mga stress σ, sa ato pa ang mga stress nga tinuod nga motungha tungod sa pagpilo dili lamang ang mga stress sa liko nga baras; dugang kanila, motungha usab ang mga shear stress tungod sa aksyon sa transversal nga pwersa. Tungod kay ang nag-unang kinaiya sa teknikal nga teorya sa pagpilo mao ang pagpasagdan sa mga deformasyon tungod sa shear stress, kini mahimo lamang matino gikan sa kondisyon sa balanse. Aron kini mahibutang, ang elemento sa sagbayan nga dx putlon, sama sa gipakita sa sl. 12, pinaagi sa pinahigda nga patag ngadto sa duha ka bahin, ug ibutang ang kondisyon sa balanse sa pinahigda nga mga pwersa nga mosulod sa ubos nga bahin. Sa wala nga kilid mao ang sulod nga mga pwersa nga gipahayag pinaagi sa mga stress σ tungod sa pagpilo, nga kinahanglan i-integrate gikan sa z’ = z hangtod sa z’ = h2
Sa tuo nga bahin, molihok ang parehas nga mga tensiyon, apan gidugangan sa diferensiyal sumala sa katugbang nga bending moment M + dM. Ang kalainan sa mga puwersa sa duha ka kilid sa elemento kinahanglan nga balansehon sa puwersa tungod sa mga shear stress τ nga molihok sa horizontal nga seksiyonal nga lugar t dx:
Dinhi ang integral nagrepresentar sa static moment sa bahin sa cross section nga gilain sa usa ka horizontal nga cross plane may kalabotan sa sentral nga axis sa cross section. Kini gimarkahan sa S. Gikan sa dM/dx = Q subay sa kondisyon sa balanse makuha ang:
τ = QS/It. (8)
Kana, sumala sa prinsipyo sa pagkapareha sa mga shear nga tensiyon, dungan usab nga bili sa bertikal nga shear nga tensiyon nga molihok sa nawong sa cross section ug nga, uban sa S ug t, usa ka funkcíon sa z.
Fig. 13
Hulag. 13.1
Ang equation (8) naghatag og kasaligan nga datos sa tanang mga cross section nga adunay nipis nga mga bungbong kung ang eroplano sa seksyon dili ibutang nga parallel sa neutral nga axis, kondili sa direksyon sa gibag-on sa bongbong. Busa ang I-profile gihiwa tabok sa web ug tabok sa flange, diin makuha ang pag-apod-apod sa stress nga gipakita sa sl. 13.1. Sa ring-shaped nga seksyon (sl. 13) ang mga shear stress gipang-apod-apod nga simetriko may kalabotan sa bertikal nga diametro ug sa wala ug tuo sa neutral line moabot sa maximum
τ = Q / πrt.
Kung ang seksiyon putlon sa pinakataas o pinakailalom nga dapit, ang kahikayan sa mga shear stress dili mausab; apan, kung putlon kini sa tuo nga tumoy sa pinahigda nga diyametro (sl. 14), ang shear stress sa maong dapit katumbas sa zero, samtang ang bili niini modoble sa wala nga tumoy sa maong diyametro.
Hulagway 14
Puno nga mga seksyon
Sa mga solidong cross-section nga lain-lain ang porma, ang problema sa mga shear stress suod nga nalambigit sa isyu sa torsiyon. Ang elementar nga ekwasyon (8) niining kahimtanga dili na kasaligan. Alang sa lingin nga cross-section nga may radius r ang ekwasyon (8) naghatag og
τ = 4Q / 3__πr2
ingon sa mean nga bili sa shear stress ubay sa neutral nga aksis, ug ang tukmang bili mas taas lamang og pipila ka porsiyento.
Sentro sa paggisi
Kon ang mga shear stress para sa U-seksiyon kuwentahon sa paagi nga gihulagway sa ibabaw, makuha ang pag-apod-apod sa tensiyon nga gipakita sa sl. 15. Ang resulta sa katugbang nga internal nga mga puwersa mao ang transbersal nga puwersa Q. Makuha sa hulagway ang posisyon niini kalabot sa seksiyon, busa makita nga dili kini moagi sa sentro sa grabidad sa seksiyon, ni mosandig sa eroplano sa rib. Kon ang transbersal nga puwersa nga gikuwenta base sa mga gawasnong puwersa wala sa posisyon nga gipakita sa sl. 15, ang sagbayan dili lamang gina-kargahan sa pagyukbo, kondili usab sa torsiyon.
Kon para sa mao gihapong cross-section matino ang resultant nga katumbas sa mga shear stress alang sa usa ka horizontal nga karga, makuha ang line of action sa horizontal transverse force. Sa pagtabok niining duha ka line of action nahimutang ang kinaiyahang punto para sa maong cross-section, nga gitawag nga sentro sa shear M. Sa suporta dili motungha ang mga tensiyon tungod sa torsyon kung ang mga sentro sa shear sa tanang cross-section anaa sa usa ka tul-id nga linya, ug ang tanang karga nga patindog sa axis sa bar moagi sa maong linya. Kung lahi niini, ang momento sa matag karga kalabot sa linya nga nagdugtong sa mga sentro sa shear mao ang nagrepresentar sa torsional shear.
Si Sl.15
Epekto sa transbersal nga puwersa sa pagyukbo
Ang teknikal nga teoriya sa pagyuko nagbase sa pagpasagdan sa mga deformasyon tungod sa mga shear stress. Busa, tinuod nga kini mapadapat sa mga nipis nga baras, diin ang maong pagpasagdan makatarunganon ug diin ang transbersal nga puwersa walay mamatikdan nga impluwensiya sa pagyuko.
Bisan pa niana gipakita sa kasinatian nga ang teknikal nga teoriya sa pagyukbo mahimong gamiton uban sa pipila ka kalampusan bisan sa mubo, taas nga mga suporta, nga alang niini sa tinuod dili man kini gitumong. Dinhi motungha ang panginahanglan nga ang epekto sa pagdeform tungod sa shear stress, nga gipasagdan sa maong teoriya, kuhaon, bisan sa duol-duol nga paagi, isip dugang nga konsiderasyon.
Sa samang paagi sa mga shear stress τ tungod sa mga transverse nga pwersa ug ang katugbang nga mga slip γ_’ =_ τ_/G_ gipang-apod-apod usab kini nga dili patas sa tabok sa seksiyon. Tungod niini gipaila ang ilang kasagaran nga bili γ, nga gitino aron ang transverse nga pwersa sa maong kasagaran nga bili sa paghubag mohimo sa deformation work sa elemento sa girder dx nga katumbas sa mahimo kung iintegrar ang mga trabaho sa shear stress sa tagsa-tagsa ka volumetric nga elemento nga naglangkob sa naobserbahang elemento sa girder:
gikan diin
Ang integral mahimong kwentahon kon nailhan ang pag-apod-apod sa shear stress tabok sa cross-section. Tungod kay ang tanang shear stress proporsyonal sa Q/F, ang bili niini proporsyonal sa Q2/F2 * F, busa ibutang nga kini κ__Q2/F, makuha ang
γ = κ__Q / GF.
Ang konstanteng κ gitawag og koepisyente sa pag-apod-apod sa mga smearing stress. Alang sa mga rectangular nga seksyon ang κ=1,2.
Fig. 16
Kung nailhan ang koep. κ, ug busa ang kasagaran nga pag-slide γ, mahimong kwentahon ang dugang nga pagyukbo wQ, nga mitungha tungod sa epekto sa transbersal nga mga puwersa, nga kinahanglan idugang sa mga pagyukbo w: kay sumala sa fig. 16 mao kini
kay tungod sa Q = dM/dx:
ingon nga ang integrasyon nga konstante makuha gikan sa usa ka kondisyon sa utlanan.