Нормальні напруження у прямих стержнях і стержнях із малою кривиною
Визначення перерізних сил
Нехай прямий стрижень навантажений силами довільного напряму, про які лише припускається, що всі вони лежать в одній площині (площина сил), яка проходить через вісь стрижня (лінія, що з’єднує центри ваги поперечних перерізів).
Мал. 1
Щоб обчислити напруження, що діють у деякому поперечному перерізі n – n (рис. 1), необхідно знати силу, яка через цей переріз передається з однієї частини стрижня на іншу. Вона за величиною і положенням очевидно дорівнює рівнодійній усіх сил, що діють на одну частину стрижня. Цю рівнодійну розкладають на складові в системі координат, у якій x-вісь збігається з віссю стрижня, а z-вісь — лінія, уздовж якої площина поперечного перерізу перетинає площину сил. Складова в напрямку осі z називається поперечною силою Q або Qz і для простої балки вважається додатною, якщо ліворуч від перерізу має напрям угору, а праворуч — донизу.
Коли стрижень криволінійний, координатні осі x і z у кожному перерізі мають інший напрям, і завжди так, що x-вісь є дотичною до осі стрижня. Якщо площина, в якій лежить вісь стрижня, не збігається з площиною сил, або якщо вісь стрижня є просторовою кривою, рівнодійна сил ліворуч від перерізу має також третю складову — поперечну силу Qy. За N, Qz і Qy визначено величину та напрям сили, що передається через переріз, але не її положення. Для цього потрібно, щоб були відомі також її моменти відносно координатних осей. У разі плоского згину достатньо, щоб був відомий момент згину M або My. У найзагальнішому випадку з’являється ще один момент згину Mz і момент навколо x-осі, Mx.
Шість сил і моментів, визначених у попередньому викладі, об’єднують спільною назвою «перерізні сили». Їх визначення є одним з основних завдань статики будівельних конструкцій.
Між безперервно розподіленим навантаженням p (розмірність: сила на одиницю довжини), поперечною силою Q та моментом згину M у разі плоского згину існує простий зв’язок. А саме, з умови рівноваги одного елемента стержня (рис. 2) одержують
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
отже
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Мал. 2
Розподіл нормальних напружень
Якщо стрижень навантажено лише осьовою силою, у перерізі виникає лише рівномірно розподілене нормальне напруження σ (розтягнутий, відповідно стиснутий стрижень). Якщо при цьому ще й діє момент згину, ці напруження мають бути певним чином нерівномірно розподілені так, щоб їхня рівнодійна вже не проходила через центр ваги перерізу. Щоб визначити цей розподіл, технічна теорія згину не виходить із строгого розв’язання основних рівнянь, а замінює одну частину цих рівнянь правдоподібним припущенням, яке в одному особливо простому випадку водночас є й строго виконуваним. Цей спеціальний випадок — згин прямого призматичного стрижня без дії поперечних сил (рис. 3). Усі елементи стрижня, достатньо віддалені від його кінців, зазнають однакової деформації, звідки безпосередньо випливає, що вісь стрижня переходить у коловий дуговий відрізок і що всі площини поперечних перерізів, які спочатку були перпендикулярні до осі стрижня, під час деформації залишаються плоскими, оскільки кожна з них є площиною симетрії для суміжних частин деформованого стрижня. Природно напрошується припущення, що поперечні перерізи залишаються приблизно плоскими і тоді, коли момент згину та поперечний переріз стрижня не є сталими, а поступово змінюються вздовж стрижня. Це припущення, що називається гіпотезою Нав’є, лежить в основі теорії згину.
Мал. 3
Величина нормальних напружень
Коли згинають прямий елемент балки, одна частина його «волокон», тобто матеріальних ліній, паралельних осі стрижня, видовжується, тоді як інша частина скорочується (рис. 4). Між цими двома частинами лежать нейтральні волокна z=0, довжина яких під час згинання не змінюється. Нехай радіус кривизни цих волокон у зігнутому стані ϱ і нехай він лежить у площині x-z. З рис. 4 m можна прочитати
Δ dx/z = _dx/_ϱ
і звідси обчислити деформацію волокон на відстані z від нейтральної осі, яка становить
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
а на основі закону Hooke-а напруження
σ _= Ez/_ϱ (2)
Мал. 4
Це напруження пропорційне відстані від нейтральних волокон. Такий результат пов’язаний із припущенням, що до деформації всі волокна елемента стрижня були однакової довжини, тож стрижень спочатку був прямим або принаймні мав таку малу кривину, що вплив кривини можна знехтувати. Пряма, вздовж якої перетинаються нейтральний шар і площина перерізу, називається нейтральною віссю. Її приймаємо за y-вісь (рис. 5). Положення нейтральної осі в поперечному перерізі визначається з умови рівноваги сил у напрямку x-осі: якщо нормальна сила N=0 (згин без нормальної сили), тоді й рівнодійна внутрішніх сил, виражена через нормальні напруження в перерізі, має дорівнювати нулю:
Інтеграл у правій частині є статичним моментом площі відносно y-осі. Щоб він дорівнював нулю, ця вісь має бути однією з центральних осей.
Момент M, який спричиняє деформацію, має щодо осей y і z у площині перерізу (рис. 5) складові:
Рівн. (3)
при цьому Iy, Iyz — екваторіальний і відцентровий моменти інерції перерізу відносно позначених осей.
Найважливішим є спеціальний випадок, коли Mz=0. Цей випадок настає, коли Iyz=0, тобто коли y і z є головними осями інерції перерізу. Це означає, що площина згину, прийнята тут як x-z-площина, збігається з площиною, у якій діє момент згину M=My, тобто з площиною сил.
Мал. 5
Якщо з рівнянь (2) і (3) елімінувати _E/_ϱ, отримують формулу для визначення напруження при чистому згині (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
для крайніх точок 1 і 2 окремо:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Величини W1,2 = I/h1,2 (розмірність: довжина в третій степені) називаються опірними моментами. Якщо горизонтальна ось центру ваги одночасно є віссю симетрії перерізу, тоді W1 = W2, тому крайні напруження за абсолютною величиною рівні.
Пружна лінія
Мал. 6
Значення наведених вище залежностей пов’язане із законом Гука. Це вимагає, щоб σ << E, отже, згідно з (2) h << ϱ. Проте вигин може бути таким, щоб ϱ мав той самий порядок величини, що й довжина стержня l. Для зігнутих стержнів, які розглядаються в будівництві, такий випадок не виникає; завжди ϱ значно більше за l, а отже прогин w << l (рис. 6). Тоді приблизно справедливо:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
і на основі (3):
w’’ = - M/EI.
Це рівняння і умова рівноваги (1b) утворюють систему диференціальних рівнянь зігнутої балки. У результаті виключення їх можна звести до одного рівняння четвертого порядку:
wIV = + p/EI
або, у випадку, якщо момент інерції змінний:
(EIw’’)’’ = +p.
Інтегруванням із них можна знайти форму пружної лінії, коли задано навантаження p=p(x) і коли для кожного випадку стрижня відомі дві граничні умови. З них принаймні дві мають стосуватися деформації. Докладніше див. статтю Статика будівельних конструкцій.
Ядро перерізу
Якщо нейтральна вісь перетинає поперечний переріз, вона ділить його на зону розтягу і зону тиску. Для матеріалів із малою міцністю на розтяг постає питання, де повинна діяти сила тиску, якщо в поперечному перерізі ніде не повинно виникати розтягу. Положення точки прикладання сили тоді обмежене областю, яка називається ядром перерізу. Межа ядра є, очевидно, геометричним місцем точок, чиї нейтральні осі дотикаються до поперечного перерізу по обводу. Цим водночас подано і його побудову.
Відстань межі ядра від центра ваги, виміряну в будь-якому напрямку, позначимо k з індексом, що відповідає цьому напряму. Для головних осей інерції за рівнянням
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
терміни такі:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Для круглого поперечного перерізу радіуса r відстань до ядра становить k = r/4, а для кільця (радіуси: зовнішній R, внутрішній r) k = (R2 + r2) / 4R.
Для прямокутника (рис. 7) маємо ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Отже, при навантаженні прямокутного перерізу в одній із площин симетрії (але лише тоді) досить, щоб рівнодійна прикладалась у середній третині висоти або ширини поперечного перерізу, і напруження в перерізі мали б однаковий знак.
Мал. 7
Згинання в пластичній області
Коли в крайніх волокнах зігнутого стержня досягнуто межі текучості, його несівна здатність ще не вичерпана, оскільки, поки зовнішні волокна пластично деформуються за сталого напруження, у частинах, що лежать ближче до нейтральної осі, де межі текучості ще не досягнуто, напруження зростає, а отже збільшується й згинальний момент, який може сприйняти переріз.
Якщо відомий точний хід діаграми напружень і деформацій, процес для двосиметричних перерізів (висоти h) можна легко розрахунково простежити так, що, за умови, що перерізи залишаються плоскими, з діаграми напружень і деформацій визначають розподіл напружень σ внаслідок згину, який відповідає деякій прийнятій дилатації крайніх волокон ε__r, а звідси інтегруванням визначають згинальний момент. Якщо це виконати для різних ε__r і з іншого боку обчислити відповідну кривину лінії прогину w’’ = 2 ε__r / h, отримують низку точок, через які можна провести лінію, що задає зв’язок між згинальним моментом і кривиною M = M(w’’); цей зв’язок уже не є лінійним, а коли він відомий, можна графічним інтегруванням визначити лінію прогину, що відповідає даному розподілу моментів. Якщо переріз несиметричний, розрахунок стає складнішим, оскільки для кожного ε__r треба ще визначити і положення нейтральної осі.
Сл. 8
Розрахунок певною мірою спрощується, якщо, крім симетрії перерізу, припустити також спрощений зв’язок між напруженнями і деформаціями згідно з рис. 8. Тоді напруження від згинання після перевищення межі текучості мають розподіл, показаний на рис. 9, і згинальний момент дорівнює:
а кривина лінії прогину одержується, коли рівняння (2) застосовується до частини перерізу, напруження в якій в пружній області w’’ = σf / Ez’. Якщо для кожного прийнятого z’ відомо форму перерізу, інтеграли можна обчислити. Напр., для найпростішого випадку прямокутного поперечного перерізу шириною b і висотою h є
Якщо тут z’ виразити через w’’, одержується
У I-перерізах і подібних до них перебіг кривої M-w’’ в пластичній області ще більше пологий, і момент, за якого настає текучість, тоді практично дорівнює найбільшому згинальному моменту, який переріз узагалі може витримати. Тому значення пластичного згину в будівництві полягає не в збільшенні згинального моменту, який може нести переріз, а в тому, що велика локальна деформація, яка виникає на межі текучості, може призвести до сприятливої зміни розподілу сил у статично невизначених системах.
Мал. 9
Це можна пояснити на прикладі нерозрізної балки через два прольоти. Нехай балка (рис. 10) має прольоти однакової довжини, сталий переріз і навантажена рівномірно розподіленим навантаженням. Тоді до досягнення межі текучості момент над опорою MB = _pl_2/8. Якщо навантаження p настільки збільшити, що момент у опорному перерізі досягне значення Mf, за якого настає текучість, то при подальшому збільшенні навантаження в цьому місці зростатиме й кривина без помітного приросту моменту. Утворюється так званий пластичний шарнір, тобто балка під додатковим навантаженням поводиться так, ніби над середньою опорою є шарнір. Навантаження можна далі збільшувати доти, доки й у місці найбільшого моменту в прольоті не почнеться текучість. Подальше збільшення моменту згину вже неможливе, і несуча здатність балки вичерпана. Навантаження, за якого настає цей стан, називається граничним навантаженням.
Мал. 10
Загалом можна очікувати, що в системі, статично невизначеній n разів, повинні виникнути (n+1) пластичних шарнірів, перш ніж система стане рухомою і тим самим досягне своєї межі несучої здатності. Однак це правило має винятки в обидва боки. Як показує наведений приклад, на межі несучої здатності одночасно можуть виникнути два нові пластичні шарніри (в обох прольотах), так що система, яка доти ще була нерухомою, раптово переходить у систему з двома ступенями свободи. З іншого боку, можливо, що й за меншої кількості ніж (n+1) пластичних шарнірів несучу здатність буде локально вичерпано, наприклад, коли у нерозрізній балці поступається лише один проліт. Рис. 11 показує, як це може статися для системи, статично двічі невизначеної, з n=2 пластичними шарнірами. Якщо з правого боку балки додати ще й четвертий проліт, балка стає статично тричі невизначеною, тож достатньо (n-1) пластичних шарнірів, щоб лише лівий проліт довести до межі несучої здатності.
Мал. 11
Зсувні напруження при згині
Елементарний розрахунок
Мал. 12
Нормальні напруження σ, тобто напруження, які фактично виникають унаслідок згину, не є єдиними напруженнями в зігнутій балці, а поряд із ними виникають і зсувні напруження внаслідок дії поперечної сили. З огляду на те, що основною характеристикою технічної теорії згину є те, що деформації внаслідок зсувних напружень нехтуються, їх можна визначити лише з умов рівноваги. Щоб це сформулювати, елемент балки dx розрізають, як показано на рис. 12, горизонтальною площиною на дві частини, і ставлять умову рівноваги горизонтальних сил, що діють на нижню частину. З лівого боку це внутрішні сили, виражені напруженнями σ внаслідок згину, для яких треба інтегрувати від z’ = z до z’ = h2
Праворуч діють ті самі напруження, але збільшені на диференціал відповідно до відповідного моменту згину M + dM. Різниця між силами по обидва боки елемента має перебувати в рівновазі із силою від зсувних напружень τ, що діють у горизонтальній площині перерізу t dx:
Тут інтеграл являє собою статичний момент частини поперечного перерізу, відокремленої горизонтальною поперечною площиною, відносно центральної осі перерізу. Він позначається S. Із dM/dx = Q з умови рівноваги отримують:
τ = QS/It. (8)
Це, згідно з положенням про спряженість зсувних напружень, водночас є величиною вертикального зсувного напруження, що діє в площині поперечного перерізу і яке разом з S та t є функцією від z.
Мал. 13
Рис. 13.1
Рівняння (8) дає надійні дані для всіх тонкостінних перерізів, якщо площину перерізу не розташовувати паралельно до нейтральної осі, а в напрямку товщини стінки. Отже, I-профіль розрізають поперек крізь стінку і поперек крізь полицю, унаслідок чого отримують розподіл напружень, показаний на рис. 13.1. Для кільцевого перерізу (рис. 13) зсувні напруження розподілені симетрично відносно вертикального діаметра і ліворуч та праворуч на нейтральній лінії досягають максимуму
τ = Q / πrt.
Якщо переріз розрізано в найвищому або найнижчому місці, розподіл дотичних напружень не змінюється; однак якщо його розрізано на правому кінці горизонтального діаметра (рис. 14), дотичне напруження в цій точці дорівнює нулю, тоді як на лівому кінці того самого діаметра його значення подвоюється.
Рис. 14
Суцільні перерізи
У разі суцільних перерізів довільної форми проблема дотичних напружень тісно пов’язана з проблематикою кручення. Елементарне рівняння (8) у такому разі вже не є надійним. Для круглого перерізу радіуса r рівняння (8) дає
τ = 4Q / 3__πr2
як середнє значення зсувного напруження вздовж нейтральної осі, а точне значення лише на кілька відсотків більше.
Центр зсуву
Якщо для U-перерізу розрахувати зсувні напруження способом, описаним вище, отримуємо розподіл напружень, показаний на рис. 15. Результанта відповідних внутрішніх сил є поперечною силою Q. Із рисунка видно її положення відносно перерізу, тобто що вона не проходить через центр ваги перерізу і не лежить у площині стінки. Якщо поперечна сила, обчислена на основі зовнішніх сил, не має положення, показаного на рис. 15, балка навантажена не лише на згин, а й на кручення.
Якщо для того самого поперечного перерізу визначити рівнодійну, що відповідає зсувним напруженням для певного горизонтального навантаження, отримуємо лінію дії горизонтальної поперечної сили. У перетині цих двох ліній дії міститься характерна точка для даного поперечного перерізу, яка називається центром зсуву M. У балці не виникають напруження внаслідок кручення, коли центри зсуву всіх поперечних перерізів лежать на одній прямій, а всі навантаження, перпендикулярні до осі стрижня, проходять через цю пряму. В іншому разі момент кожного навантаження відносно прямої, що з’єднує центри зсуву, і є крутильним зсувом.
Мал. 15
Вплив поперечної сили на згинання
Технічна теорія згину ґрунтується на нехтуванні деформаціями внаслідок дотичних напружень. Отже, вона справді може бути застосована до струнких стрижнів, для яких таке нехтування є виправданим і де поперечна сила не має відчутного впливу на згин.
Втім, досвід показав, що технічну теорію згину можна з певним успіхом застосовувати й до коротких, високих балок, для яких вона, власне, взагалі не призначена. Тоді виникає потреба врахувати, принаймні приблизно, вплив деформації внаслідок зсувних напружень, який у цій теорії знехтувано.
Так само, як і зсувні напруження τ внаслідок поперечних сил, відповідні зсуви γ_’ =_ τ_/G_ розподілені нерівномірно по перерізу. Тому вводять їхнє середнє значення γ, яке визначають так, щоб поперечна сила при цьому середньому значенні деформації виконувала на елементі балки dx роботу деформації, рівну тій, що дістали б інтегруванням робіт зсувних напружень на окремих об’ємних елементах, які становлять розглядуваний елемент балки:
звідки
Інтеграл можна обчислити, коли відомий розподіл дотичних напружень по перерізу. Оскільки всі дотичні напруження пропорційні Q/F, то його значення пропорційне Q2/F2 * F, а якщо прийняти, що воно дорівнює κ__Q2/F, одержуємо
γ = κ__Q / GF.
Стала κ називається коефіцієнтом розподілу зсувних напружень. Для прямокутних перерізів κ=1,2.
Мал. 16
Коли відомий коеф. κ, а отже й середнє ковзання γ, можна обчислити додатковий прогин wQ, спричинений дією поперечних сил, який слід додати до прогинів w: адже згідно з рис. 16 це
тому через Q = dM/dx:
при цьому інтеграційну сталу отримують з однієї граничної умови.