සෘජු දණ්ඩ සහ සුළු වක්රතාව ඇති දණ්ඩවල සාමාන්ය ආතති
කප්පාදු බලයන්ගේ අර්ථ දැක්වීම
සෘජු දණ්ඩක් අත්තනෝමතික දිශාවන්ගෙන් බලවලට ලක්ව ඇතැයි ගනිමු; ඒ ගැන එකම උපකල්පනය වන්නේ සියල්ලම එක තලයක (බල තලය) පිහිටන බවය, එය දණ්ඩයේ අක්ෂය හරහා යයි (පාරශීර්ෂ කොටස්වල ද්රව්යකේන්ද්ර සම්බන්ධ කරන රේඛාව).
රූ. 1
කවර හරස් කොටසක n – n (රූ. 1) ක්රියා කරන ආතන ගණනය කිරීමට, එම හරස් කොටස හරහා ශාක්යයක එක් කොටසකින් අනෙක් කොටසට සම්ප්රේෂණය වන බලය දැන සිටීම අවශ්ය වේ. එය ස්පෂ්ටයෙන්ම ප්රමාණයෙන් හා ස්ථානයෙන් ශාක්යයේ එක් කොටසකට ක්රියා කරන සියලු බලයන්ගේ ප්රතිඵලයට සමාන වේ. මෙම ප්රතිඵලය සම්බන්ධීකරණ පද්ධතියක කොටස් වලට බෙදේ; එහි x-අක්ෂය ශාක්යයේ අක්ෂය සමඟ සමාන වන අතර z-අක්ෂය යනු හරස් කොටස තලය බලතල තලය කපන රේඛාවයි. z අක්ෂයේ දිශාවේ සංඝටකය තිරස් නොවන බලය Q හෝ Qz ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, සරල ගර්ඩරයකදී කොටස වමට තිබියදී එය ඉහළටත්, දකුණට තිබියදී පහළටත් යොමු වේ නම් ධන ලෙස සැලකේ.
දණ්ඩය වක්ර වූ විට, සම්බන්ධාංක අක්ෂ x සහ z සෑම කොටසකම වෙනස් දිශාවක් ගන්නා අතර එය සෑම විටම x-අක්ෂය දණ්ඩයේ අක්ෂයට ස්පර්ශක වන පරිදි වේ. දණ්ඩයේ අක්ෂය ඇති තලය බල තලය සමඟ නොගැළපේ නම්, හෝ දණ්ඩයේ අක්ෂය අවකාශීය වක්රයක් නම්, කොටසේ වම පැත්තේ බල ප්රතිඵලයට තුන්වන සංඝටකයක්ද, හරස් බලය Qy, ඇතුළත් වේ. N, Qz සහ Qy මඟින් කොටස හරහා සම්ප්රේෂණය වන බලයේ ප්රමාණය සහ දිශාව තීරණය වේ, නමුත් එහි ස්ථානය නොවේ. මේ සඳහා සම්බන්ධාංක අක්ෂවලට අදාළ එහි මොහොත්ද දැන සිටිය යුතුය. තල වංගු කිරීමේදී වංගු මොහොත M හෝ My දැන සිටීම ප්රමාණවත්ය. වඩාත් සාමාන්ය අවස්ථාවේ තවත් වංගු මොහොතක් Mz සහ x-අක්ෂය වටා මොහොත Mx මතුවේ.
පෙර විස්තරයේ අර්ථ දක්වා ඇති බල හය හා මොහොත් සාමූහිකව “කැපීම් බල” යන නාමයෙන් හැඳින්වේ. ඒවා තීරණය කිරීම ගොඩනැගිලි ව්යුහයන්ගේ ස්ථිති විද්යාවේ මූලික කාර්යයන්ගෙන් එකකි.
නිරතුරුව බෙදා හරින ලද බර p (මානය: ඒකක දිගකට බලය), තිරස් බල Q සහ නැමීම් මොහොත M අතර සරල සම්බන්ධයක් තල නැමීමේ අවස්ථාවේ පවතී. එනම්, කඳයක එක් මූලද්රව්යයක සමතුලිතතා කොන්දේසිවලින් (රූපය 2) ලැබෙන්නේ
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
එබැවින්
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
රූපය 2
සාමාන්ය ආතන ව්යාප්තිය
දණ්ඩය අක්ෂීය බලයකින් පමණක් බරපත් කළ විට, ඛණ්ඩයේදී සමානව ව්යාප්ත වූ සාමාන්ය ආතතිය σ පමණක් පෙනේ (ආතතිත, හෝ සම්පීඩිත දණ්ඩය). මේ සමඟ වංගු මොහොතක් ද ඇති වුවහොත්, මෙම ආතතීන් යම් ආකාරයකින් අසමාන ලෙස ව්යාප්ත විය යුතු අතර, එවිට ඒවාගේ ප්රතිඵලය තවදුරටත් ඛණ්ඩයේ ගුරුත්වමධ්යය හරහා නොයයි. මෙම ව්යාප්තිය නිර්ණය කිරීම සඳහා, තාක්ෂණික වංගු න්යාය මූලික සමීකරණවල දැඩි විසඳුමෙන් ආරම්භ නොකරයි, එහෙත් එම සමීකරණවල කොටසක් එක විශ්වසනීය උපකල්පනයකින් ප්රතිස්ථාපනය කරයි; එය එක් විශේෂයෙන් සරල අවස්ථාවකදී එකවරම දැඩි ලෙසද සපුරාලී ඇත. මෙම විශේෂ අවස්ථාව වන්නේ තිරස් බල ක්රියා නොකරන සෘජු ප්රිස්මීය දණ්ඩයක වංගුවීමයි (රූපය 3). එහි අග්රවලින් ප්රමාණවත් දුරකින් ඇති දණ්ඩයේ සියලු අංග එකම විකෘතියක් විඳදරාගනී; එබැවින් දණ්ඩයේ අක්ෂය වෘත්තාකාර චාපයකට මාරු වන බවත්, මුලදී දණ්ඩයේ අක්ෂයට ලම්බව තිබූ තිරස් ඛණ්ඩ සියලු තල විකෘති වීමේදීද සමාතලව පවතින බවත් සෘජුවම निष්කර්ෂිත වේ, මන්ද ඒවායෙන් එක් එක් තලය විකෘති වූ දණ්ඩයේ අසල්වැසි කොටස් සඳහා සමමිතියෙහි තලයකි. වංගු මොහොත සහ දණ්ඩයේ තිරස් ඛණ්ඩය ස්ථිර නොවී, දණ්ඩය දිගේ ක්රමයෙන් වෙනස් වුවද, තිරස් ඛණ්ඩ සමානව තලව පවතින බව උපකල්පනය කිරීම ස්වභාවිකය. Navier-ගේ උපකල්පනය ලෙස හැඳින්වෙන මෙම උපකල්පනය වංගු න්යායේ පදනම වේ.
රූ. 3
සාමාන්ය ආතීන්හි ප්රමාණය
කොටුවේ සෘජු කදක මූලද්රව්යය වංගු වන විට, එහි “තන්තූ” යැයි කියන කොටසක්, එනම් දණ්ඩයේ අක්ෂයට සමාන්තර ද්රව්ය රේඛා, දිගටීරෙයි; අනෙක් කොටස කෙටි වේ (පි. 4). මෙම කොටස් දෙක අතර වංගු කිරීමේදී දිග වෙනස් නොවන නියුට්රල් තන්තූ z=0 පිහිටයි. වංගු වූ තත්ත්වයේ මෙම තන්තූවල වක්රතා අර්ධව්යසය ϱ ලෙස ගනිමු, එය x-z තලයේ පිහිටා ඇතැයි ද සලකමු. පි. 4 m වෙතින් කියවිය හැක්කේ
Δ dx/z = _dx/_ϱ
හා එතැන් සිට නියුට්රල් අක්ෂයෙන් z දුරක ඇති තන්තූවල දිග්විස්තාරණය ගණනය කළ හැකි අතර, එය
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
එබැවින් Hooke-ගේ නියමය අනුව ආතතිය
σ _= Ez/_ϱ (2)
රූ. 4
මෙම ආතතිය මධ්යම තන්තුවලින් ඇති දුරට සමානුපාතික වේ. එවැනි ප්රතිඵලයක් ගොඩනැගී ඇත්තේ විකෘති වීමට පෙර දණ්ඩාංගයේ සියලු තන්තුවල දිග සමාන වූ බවට ඇති උපකල්පනය මතය; එබැවින් දණ්ඩය මුලින්ම සෘජුව තිබුණි, නැතහොත් වක්රතාවයේ බලපෑම නොසලකා හැරිය හැකි තරම් කුඩා වක්රතාවයක් තිබුණි. මධ්යම ස්තරය සහ හරස්කඩ තලය හමුවන සෘජු රේඛාව මධ්ය අක්ෂය ලෙස හැඳින්වේ. අපි එය y-අක්ෂය ලෙස සලකමු (sl. 5). හරස්කඩයේ මධ්ය අක්ෂයේ පිහිටීම x-අක්ෂය දිශාවේ බල සමතුලිතතා කොන්දේසියෙන් ලබාගනී: සාමාන්ය බලය N=0 නම් (සාමාන්ය බලයකින් තොරව වක්රවීම), එවිට හරස්කඩේ සාමාන්ය ආතති මඟින් ප්රකාශිත අභ්යන්තර බලවල ප්රතිඵලයද ශූන්ය විය යුතුය:
දකුණු පැත්තේ ඉන්ටෙග්රලය y-අක්ෂයට සාපේක්ෂ පෘෂ්ඨයේ ස්ථිතික මොහොතයි. එය ශූන්යයට සමාන වීමට නම්, මෙම අක්ෂය ස්කන්ධ මධ්ය අක්ෂවලින් එකක් විය යුතුය.
විකෘතිය ඇති කරන M මොහොතට, හරස් කොටස තලයේ y සහ z අක්ෂයන් සම්බන්ධයෙන් (රූ. 5) සංඝටක ඇතිවේ:
සමී. (3)
මෙහිදී Iy, Iyz යනු සලකුණු කර ඇති අක්ෂයන්ට අදාලව අංශයේ සමකෝණීය හා කේන්ද්රාපගමන අවස්ථිති මොහොතයන්ය.
වඩාත් වැදගත් වන්නේ Mz=0 වන විශේෂ අවස්ථාවයි. මෙම අවස්ථාව ඇතිවන්නේ Iyz=0 වන විට, එනම් y සහ z යනු අංශයේ ප්රධාන අජඩ්යතා අක්ෂ වන විටය. මෙයින් අදහස් වන්නේ මෙහිදී භාවිත කර ඇති x-z-තලයට සම්බන්ධ නැමීමේ තලය, නැමීමේ මොහොත M=My ක්රියාකරන තලයට, එනම් බලයන්ගේ තලයට, සමපාත වන බවයි.
රූ. 5
සමීකරණ (2) සහ (3) වලින් _E/_ϱ ඉවත් කළහොත්, සෘජු වක්රණයේ ආතතිය තීරණය කිරීම සඳහා ආකෘතිය ලැබේ (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
ආන්තික ලක්ෂ්ය 1 සහ 2 සඳහා විශේෂයෙන්:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
W1,2 = I/h1,2 (මාන: දිගෙහි ඝනිය) යන ප්රමාණ ප්රතිරෝධ මොමෙන්ට් ලෙස හැඳින්වේ. තිරස් ගුරුත්වාකර්ෂණ අක්ෂයම හරස්කඩේ සමමිතියේ අක්ෂය ද වේ නම්, W1 = W2 වන අතර, එවිට අන්තිම ආතති නිරපේක්ෂ අගයෙන් සමාන වේ.
ආතන රේඛාව
රූපය. 6
ඉහත දක්වා ඇති ආකෘතිවල වැදගත්කම Hooke නියමයට සම්බන්ධය. මෙයට σ << E විය යුතුය, එනම් (2) අනුව h << ϱ. එහෙත් වංගුව ϱ දණ්ඩයේ දිග l සම ප්රමාණයේ වීමට තරම් ද විය හැක. ඉදිකිරීම් කාර්යයන්ට අදාළ වංගු වූ දණ්ඩවල මෙවැනි තත්ත්වයක් පැනනොගනී; සැමවිටම ϱ l ට වඩා සැලකිය යුතු ලෙස වැඩි වන අතර, ඒ අනුව වක්රණය w << l (පි. 6). එවිට ආසන්න වශයෙන් වලංගු වන්නේ:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
සහ (3) අනුව:
w’’ = - M/EI.
මෙම සමීකරණය සහ සමතුලිතතා කොන්දේසිය (1b) වක්ර දණ්ඩයක අවකල සමීකරණ පද්ධතියක් සාදයි. ඒවා ඉවත් කිරීමෙන් එය අංශ 4ක එක් සමීකරණයකට සරල කළ හැකිය:
wIV = + p/EI
හෝ, අනුක්රමණ සෞඛ්යය වෙනස් වන අවස්ථාවේදී:
(EIw’’)’’ = +p.
ඒවායෙන් සමාකරණය කිරීමෙන්, p=p(x) බර දී ඇති අතර සෑම දණ්ඩ අවස්ථාවකටම සීමා කොන්දේසි දෙකක් දන්නා විට, ඉලාස්ටික් රේඛාවේ ආකාරය සොයාගත හැක. ඒවාවලින් අවම වශයෙන් දෙකක් විකෘතියට සම්බන්ධ විය යුතුය. විස්තර සඳහා ගොඩනැගිලි ව්යුහවල ස්ථිතිවිද්යාව ලිපිය බලන්න.
කොටසේ හෘදය
නියුට්රල් අක්ෂය තීර්ය්ක කප්පාදුව කපා හරින විට, එය ඇදීමේ ප්රදේශය සහ පීඩන ප්රදේශය ලෙස දෙකකට බෙදයි. ඇදීමට අඩු ශක්තියක් ඇති ද්රව්යවලදී, තීර්ය්ක කප්පාදුවේ කිසිඳු තැනක ඇදීමක් නොවිය යුතු නම්, පීඩන බලය ක්රියා කළ යුතු තැන කුමක්ද යන ප්රශ්නය මතු වේ. එවිට බලයේ ක්රියා ලක්ෂ්යයේ පිහිටීම කප්පාදු හරයේ ලෙස හැඳින්වෙන ප්රදේශයට සීමා වේ. හරයේ සීමාව යනු පැහැදිලිවම, ඒවායේ නියුට්රල් අක්ෂ තීර්ය්ක කප්පාදුව පරිධිය sepanjang ස්පර්ශ කරන ලක්ෂ්යයන්ගේ ජ්යාමිතික ස්ථානයයි. මෙයින් එහි ගොඩනැගීමද දක්වා ඇත.
හරයේ සීමාව තීව්රබලයේ කේන්ද්රයේ සිට කිසිඳු දිශාවකින් මනින ලද දුර k ලෙස, එම දිශාවට අදාළ දර්ශකයෙන් සලකමු. ප්රධාන ජඩතා අක්ෂ සඳහා සමීකරණයට අනුව
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
නිබන්ධන පහත පරිදි වේ:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
රේඩියස් r ඇති වෘත්තාකාර හරස් කඩය සඳහා මධ්යක දුර k = r/4 වන අතර, වෘත්තාකාර වළල්ලක් සඳහා (රේඩියස්: බාහිර R, අභ්යන්තර r) k = (R2 + r2) / 4R වේ.
සෘජුකෝණාස්රය සඳහා (රූ. 7) ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. එබැවින්, සමමිතික තලවලින් එකක සෘජුකෝණාස්රාකාර අංශයට බරක් යෙදූ විට (ඒ අවස්ථාවේ පමණක්) ප්රතිඵල බලය හරස් අංශයේ උස හෝ පළලෙහි මැද තෙවැනි කොටසට පහර දීම ප්රමාණවත්ය; එවිට අංශයේ ආතති එකම ලකුණ ඇතිවේ.
රූ. 7
ප්ලාස්ටික් ප්රදේශයේ නැමීම
වක්ර කරන ලද දණ්ඩයේ අන්ත තන්තු වල ප්රවාහන සීමාවට ළඟා වූ විටද, එහි භාර දරාගැනීම ඒ මඟින් තවමත් අවසන් වී නැත, මන්ද බාහිර තන්තු නියත ආතනයකදී ප්ලාස්ටික් ලෙස විකෘති වන අතර, ප්රවාහන සීමාව තවමත් ළඟා වී නැති නියුට්රල් අක්ෂයට ආසන්න කොටස්වල ආතනය වැඩි වන හෙයින්, අංශයට ගත හැකි වක්රණ මොමෙන්තුවද ඒ අනුව වැඩි වේ.
ආතති සහ විකෘති රූපසටහනේ නිශ්චිත ප්රවාහය දන්නේ නම්, දෙගුණ සමමිතික හරස්කඩ (උස h) සඳහා ක්රියාවලිය පහසුවෙන් ගණනයෙන් පසුපස හඹා යා හැක, එහිදී, හරස්කඩ සෘජු ලෙස පවතින බව උපකල්පනය කරමින්, ආතති සහ විකෘති රූපසටහනෙන් වංගනය නිසා ඇතිවන ආතති විභජනය σ එන්ඩ් ෆයිබර්වල තෝරාගත් විස්තාරණය ε__r ට ගැලපෙන ආකාරයට තීරණය කර ඒවායින් ඒකාග්ර කිරීමෙන් වංගන මොහොත තීරණය කරයි. මෙය විවිධ ε__r සඳහා සිදු කර අනෙක් අතට համապատասխան විකල්පන රේඛාවේ වක්රතාව w’’ = 2 ε__r / h ගණනය කළහොත්, වංගන මොහොත සහ වක්රතාව අතර සම්බන්ධය ලබා දෙන රේඛාවක් හරහා ගත හැකි ලක්ෂ්ය මාලාවක් ලැබේ M = M(w’’); මෙම සම්බන්ධය තවදුරටත් රේඛීය නොවේ, එය දන්නා විට දී ඇති මොහොත විභජනයට ගැළපෙන විකල්පන රේඛාව ග්රාෆික ඒකාග්රණයෙන් තීරණය කළ හැක. හරස්කඩ අසමමිතික නම්, ගණනය තවත් සංකීර්ණ වේ, මන්ද සෑම ε__r සඳහාම නියුට්රල් අක්ෂයේ පිහිටීමද තවදුරටත් තීරණය කළ යුතුය.
රූ. 8
ආකෘතියේ සමමිතියට අමතරව, රූපය 8 අනුව ආතති හා විකෘති අතර සරල කළ සම්බන්ධයක් ද උපකල්පනය කළහොත් ගණනය යම් ප්රමාණයකට සරල වේ. එවිට, යීල්ඩ් සීමාව ඉක්මවා ගිය පසු වංගනය නිසා ඇති ආතති රූපය රූපය 9 හි දැක්වූ ආකාරයෙන් පවතින අතර, වංගන මොහොත වනුයේ:
එවිට වක්රණ රේඛාවේ වක්රතාව ලැබෙන්නේ සමීකරණය (2) අංශයේ එම කොටසට යොදාගත් විටය, එහි ආතන ප්රත්යස්ථ ප්රදේශයේ w’’ = σf / Ez’ වේ. සෑම ගත් z’ සඳහාම අංශයේ ආකෘතිය දන්නා නම්, අනුකලනයන් ගණනය කළ හැක. උදාහරණයක් ලෙස, පළල b හා උස h ඇති සරලම සතරැස් තිරස් අංශය සඳහා නම්
මෙහි z’ යන්න w’’ මඟින් ප්රකාශ කළහොත්, ලැබෙන්නේ
I-ප්රතිස්ථාන සහ ඒවාට සමාන දේවල් වලදී, ප්ලාස්ටික් ප්රදේශයේ M-w’’ වක්රයේ ප්රවණතාව තවදුරටත් සමාන්යයෙන් සමතල වේ, සහ එවිට යීලඩ් වීම සිදුවන මොහොතේ මොමේන්ට් එක ප්රතිස්ථානයට දරාගත හැකි උපරිම නැමීමේ මොමේන්ට් එකට practically සමානය. ඒ හේතුවෙන් ඉංජිනේරු ඉදිකිරීම්වල ප්ලාස්ටික් නැමීමේ වැදගත්කම ප්රතිස්ථානයට දරාගත හැකි නැමීමේ මොමේන්ට් වැඩි කිරීමේදී නොව, යීලඩ් සීමාවේදී ඇතිවන විශාල දේශීය විකෘතිය හේතුවෙන් ස්ථිතිකව නියම නොකළ පද්ධතිවල බල බෙදාහැරීම වාසිදායක ලෙස වෙනස් විය හැකි බැවිනි.
රූ. 9
මෙය අර්ථ දැක්විය හැක්කේ දිගු දෙකක් හරහා ඇති අඛණ්ඩ බීම් එකක උදාහරණයෙන්ය. බීම් (රූ. 10) සමාන දිග ඇති දිගු, ස්ථිර හරස්කඩක් ඇති එකක් ලෙස ගනිමු, සහ ඒ මත සමානව බෙදා හැරුණු බර යොදන ලදී කියා ගනිමු. එවිට ප්ලාස්ටික් සීමාවට ළඟාවීමට පෙර ආධාරය මත ඇති මොහොත MB = _pl_2/8 වේ. p බර ඒ තරම් වැඩි කරන්නේ නම් ආධාරක හරස්කඩයේ මොහොත Mf අගයට ළඟාවී, එහිදී ප්ලාස්ටික් වීම ආරම්භ වේ, එම ස්ථානයේ මොහොතේ සැලකිය යුතු වැඩිවීමක් නොමැතිව වක්රතාවද වැඩි වේ. එසේ නම් වූ ප්ලාස්ටික් සන්ධිය හට ගනියි, එනම් අතිරේක බර යටතේ බීම් මධ්ය ආධාරය මත සන්ධියක් ඇති බව පෙනෙන ලෙස හැසිරේ. විභව මොහොත වැඩිම වන දිගු මධ්යයේත් ප්ලාස්ටික් වීම ආරම්භ වන තෙක් බර තවදුරටත් වැඩි කළ හැක. වක්ර මොහොත තව වැඩි කිරීම තවදුරටත් කළ නොහැකි වන අතර බීම්යේ දරන හැකියාව අවසන් වේ. මෙම තත්ත්වය ඇතිවන බර සීමා බර ලෙස හැඳින්වේ.
රූපය. 10
සාමාන්යයෙන්, n වතාවක් ස්ථිතික අනිශ්චිත වූ පද්ධතියකදී, පද්ධතිය චලනය විය හැකි බවට පත්වෙමින් එමඟින් එහි දරණ සීමාවට ළඟා වීමට පෙර (n+1) ප්ලාස්ටික් සන්ධි පැන නැගිය යුතු බව අපේක්ෂා කළ හැක. කෙසේවෙතත්, මෙම නියමයට දෙසින්ම ව්යතිරේක පවතී. සඳහන් උදාහරණය පෙන්වන පරිදි, දරණ සීමාවේදී එකවර නව ප්ලාස්ටික් සන්ධි දෙකක් (පළාත් දෙකෙහිම) පැන නැගිය හැකි අතර, එතෙක් තවමත් අචල වූ පද්ධතිය එකවරම නිදහස්තා අංශ දෙකක් ඇති පද්ධතියක් බවට පත්වේ. අනෙක් අතට, (n+1) ප්ලාස්ටික් සන්ධිවලට අඩුවෙන් තිබියදීත් දරණ හැකියාව දේශීයව අවසන් විය හැක, උදාහරණයක් ලෙස අඛණ්ඩ ආධාරකයක එක් පළාතක් පමණක් අසමත් වන විට. රූ. 11 මඟින් n=2 ප්ලාස්ටික් සන්ධි ඇති ස්ථිතික දෙවරක් අනිශ්චිත පද්ධතියක මෙය සිදුවිය හැකි ආකාරය පෙන්වයි. ආධාරකයේ දකුණු පැත්තට හතරවන පළාතක්ද එක් කළහොත්, ආධාරකය ස්ථිතික තුන්වරක් අනිශ්චිත වේ; එවිට වම් පළාත පමණක් දරණ සීමාවට ගෙන යාමට (n-1) ප්ලාස්ටික් සන්ධි ප්රමාණවත් වේ.
රූ. 11
වංගනයේ කතන ආතති
මූලික ගණනය
රූපය. 12
සාමාන්ය ආතති σ, එනම් වංගුව හේතුවෙන් සැබවින්ම ඇතිවන ආතති වක්ර දණ්ඩයේ පවතින එකම ආතති නොව, ඒ සමඟම තිරස්බලයේ ක්රියාව හේතුවෙන් කපන ආතතිද පවතී. කපන ආතති හේතුවෙන් ඇති වක්රණ අඩංගු නොකරන බැවින් වංගු කිරීමේ තාක්ෂණික සිද්ධාන්තයේ මූලික ලක්ෂණය වන්නේ, මේවා සමතුලිතතා කොන්දේසියෙන් පමණක් නියම කළ හැකි වීමයි. මෙය සකස් කිරීමට, රූ. 12 හි දැක්වෙන පරිදි ගේඩ්යංගය dx තිරස් තලයකින් කොටස් දෙකකට කපා, පහළ කොටසට ක්රියා කරන තිරස් බලවල සමතුලිතතා කොන්දේසිය සකස් කරයි. වම් පැත්තේ ඒවා වන්නේ වංගුව හේතුවෙන් σ ආතති ලෙස ප්රකාශ වන අභ්යන්තර බලයන්ය, ඒ සඳහා z’ = z සිට z’ = h2 දක්වා ඒකාකරණය කළ යුතුය
දකුණු පැත්තෙහි එකම ආතති ක්රියා කරයි, නමුත් අදාළ වංගු මොහොත M + dM අනුව ප්රස්ථාරිකයෙන් වැඩි කර ඇත. මූලද්රව්යයේ දෙපැත්තේ බලවල වෙනස, තිරස් අංශීය පෘෂ්ඨය t dx තුළ ක්රියා කරන කප්පාදු ආතති τ නිසා ඇති බලය සමඟ සමතුලිත විය යුතුය:
මෙහි සමකය යනු තිරස් තීර්ය තලයකින් වෙන් කළ තීර්ය අංශක කොටසක, අංශකයේ ගුරුත්ව අක්ෂයට සාපේක්ෂ ස්ථිතික මොහොතයයි. එය S ලෙස සළකුණු කරයි. dM/dx = Q යන සමබරතා කොන්දේසියෙන් ලබාගන්නේ:
τ = QS/It. (8)
ඒක කප්පාදු ආතතිවල සංයුජතාව පිළිබඳ මූලධර්මය අනුව, එය හරස් අංශයේ පෘෂ්ඨයේ ක්රියා කරන සිරස් කප්පාදු ආතතියේ අගයද වේ; එය S හා t සමඟින් z හි කාර්යයකි.
රූ. 13
රූ. 13.1
සමීකරණය (8) සියලුම තුනී-බිත්ති අංශ සඳහා විශ්වාසදායක දත්ත ලබා දෙන්නේ, අංශක තලය නියුත්රල් අක්ෂයට සමාන්තරව නොව බිත්තියේ ඝනකම දිශාවට තැබූ විටය. ඒ අනුව I-ප්රොෆයිලය රිබ් හරහා තිරස්වද, ෆ්ලැන්ජ් හරහා තිරස්වද කපා ගන්නා අතර, ඒ මගින් රූ. 13.1 හි පෙන්වා ඇති ආතති ව්යාප්තිය ලැබේ. වළලු ආකාරයේ අංශයකදී (රූ. 13) කතන ආතති සිරස් විෂ්කම්භයට සාපේක්ෂව සමමිතිකව බෙදා ඇත, සහ වම හා දකුණ නියුත්රල් රේඛාවේදී උපරිම අගයට ළඟා වේ
τ = Q / πrt.
අංශය ඉහළම හෝ පහළම ස්ථානයේ කපා තිබේ නම්, කප්පාදු ආතනවල බෙදාහැරීම වෙනස් නොවේ; කෙසේවෙතත්, එය තිරස් විෂ්කම්භයේ දකුණු අගයේදී (රූ. 14) කපා තිබේ නම්, එම ස්ථානයේ කප්පාදු ආතනය ශූන්යයට සමාන වන අතර, එම විෂ්කම්භයේ වම් අගයේදී එහි අගය දෙගුණ වේ.
රූ. 14
පූර්ණ අංශ
ඕනෑම ආකාරයක ඝන අතුරුකඩ සඳහා, සෙවීමේ ආතති ගැටලුව වක්රණ (torsion) ගැටලුව සමඟ සමීපව සම්බන්ධ වේ. එබැවින් මූලික සමාකරණය (8) තවදුරටත් විශ්වාසදායක නොවේ. අරය r වන වෘත්තීය අතුරුකඩ සඳහා සමාකරණය (8) ලබා දෙන්නේ
τ = 4Q / 3__πr2
ස්නායු අක්ෂය לאורך ඇති කැපීමේ ආතතියේ මධ්ය අගය ලෙස, හා නිවැරදි අගය එයට වඩා ප්රතිශත කිහිපයකින් පමණක් වැඩිය.
කැපුම් මධ්යය
U-කප්පාදුව සඳහා ඉහත විස්තර කළ ආකාරයට කැපුම් ආතීන් ගණනය කරන්නේ නම්, sl. 15 හි පෙන්වා ඇති ආතීන් ව්යාප්තිය ලැබේ. අනුරූප අභ්යන්තර බලවල ප්රතිඵලය වනුයේ තිරස් බලය Q ය. රූපයෙන් එහි කප්පාදුවට සම්බන්ධ ස්ථානය දැකිය හැකි අතර, එය කප්පාදුවේ ගුරුත්ව මධ්යය හරහා නොයන බවත්, රිබ් පළලෙහි තලය තුළ නොතිබෙන බවත් පැහැදිලි වේ. බාහිර බල මත පදනම්ව ගණනය කරන ලද තිරස් බලයට sl. 15 හි පෙන්වා ඇති ස්ථානය නොමැති නම්, කර්මකය හැන්දුවීමට පමණක් නොව, මෝරනයටද ලක් වේ.
එකම අනුප්රස්ථ කට්ටලය සඳහා, කිසියම් තිරස් බරකට අදාළ කපන ආතතීන්ට සමාන ප්රතිඵලය නිර්ණය කළහොත්, තිරස් අනුක්රාන්තික බලයේ ක්රියා රේඛාව ලැබේ. මෙම ක්රියා රේඛා දෙක එකිනෙක කැපෙන ස්ථානයේ, දී ඇති අනුප්රස්ථ කට්ටලයට සුවිශේෂී ලක්ෂ්යයක් පිහිටයි; එය කපන මධ්යස්ථානය M ලෙස හැඳින්වේ. සියලුම අනුප්රස්ථ කට්ටලවල කපන මධ්යස්ථාන එක සෘජු රේඛාවක පිහිටා ඇති අතර, දණ්ඩයේ අක්ෂයට ලම්බ වූ සියලුම බර එම රේඛාව හරහා ගමන් කරන විට, සහායකයේ ටෝර්ෂණය නිසා ඇතිවන ආතතීන් පෙනී නොයයි. එසේ නොවූ විට, එක් එක් බරේ මොහොත, කපන මධ්යස්ථාන සම්බන්ධ කරන රේඛාවට සාපේක්ෂව, ටෝර්ෂනල් කපනය නිරූපණය කරයි.
රූපය 15
අනුලම්බ බලයේ වක්රණයට බලපෑම
තාක්ෂණික වංගනය පිළිබඳ න්යාය පදනම් වන්නේ කටුක ආතන හේතුවෙන් ඇතිවන විකෘති නොසලකා හැරීම මතය. එබැවින්, මෙම නොසලකා හැරීම යුක්තිසහගත වන සිහින් දණ්ඩයන්ට, සහ තිරස් බලය වංගනයට සැලකිය යුතු බලපෑමක් නොකරන අවස්ථාවලට, එය සැබවින්ම යෙදිය හැක.
කෙසේ වෙතත්, අත්දැකීම් මඟින් පෙන්වා ඇත්තේ තාක්ෂණික වක්රණ න්යාය කෙටි, උස ආධාරක සඳහාද යම් සාර්ථකත්වයකින් යොදා ගත හැකි බවයි, නමුත් ඒවා සඳහා එය ඇත්ත වශයෙන්මම අදහස් කර නැත. එවිට, මෙම න්යාය තුළ නොසලකා හරින ලද කැපුම් ආතති නිසා ඇතිවන විකෘති බලපෑම අවම වශයෙන් ආසන්න වශයෙන් හෝ පසුගාමීව සැලකිල්ලට ගැනීමේ අවශ්යතාවය පැන නගී.
ඒ ආකාරයෙන්ම, තිරස් නොවන බලයන් නිසා ඇතිවන කැපුම් ආතති τ සහ ඒවාට අනුරූප සර්වක γ_’ =_ τ_/G_ ද අසමාන ලෙස අංශය පුරා ව්යාප්තව ඇත. එබැවින් ඒවායේ මධ්යම අගය γ හඳුන්වා දෙනු ලබයි; මෙය තීරණය කරන්නේ එම මධ්යම විකෘති අගය යටතේ තිරස් නොවන බලය විසින් කම්බියේ අංගයක් වන dx මත සිදුකරන විකෘති කාර්යය, සලකා බැලූ කම්බි අංගය සෑදෙන තනි පරිමා අංගවල කැපුම් ආතති කාර්යයන් ඒකාබද්ධ කිරීමෙන් ලැබෙන කාර්යයට සමාන වන පරිදි ය:
එතැන් සිට
අනුකලනය ගණනය කළ හැක්කේ කපන ආතති ප්රමාණ බෙදාහැරීම හරස්කඩ පුරා දන්නා විටය. සියලු කපන ආතති Q/F ට සමානුපාතික බැවින්, එහි අගය Q2/F2 * F ට සමානුපාතික වන අතර, එය κ__Q2/F ලෙස තබා, ලැබෙන්නේ
γ = κ__Q / GF.
κ නියතය කප්පාදු ආතති බෙදාහැරීමේ ගුණාංකය ලෙස හැඳින්වේ. චතුරස්රාකාර අංශක සඳහා κ=1,2.
රූපය. 16
κ ගුණකය දන්නා විට, එබැවින් සාමාන්ය සරිකම γ ද දන්නා විට, තිරස් බලවලින් ඇතිවන අතිරේක වංගු වීම wQ ගණනය කළ හැක. එය w වංගු වීමවලට එකතු කළ යුතුය: මන්ද රූපය 16 අනුව එය
ඒ නිසා Q = dM/dx වන හේතුවෙන්:
එහිදී ඒකාකරණ නියතය සීමා කොන්දේසියකින් ලබා ගනී.