直桿與小曲率桿中的正應力
截面力的定義
設一根直桿受任意方向的力作用，只假定這些力都位於同一平面內（力平面），且該平面通過桿軸（連接各橫截面形心的線）。
圖 1
為了計算某一橫截面 n – n（圖 1）中所作用的應力，必須知道通過此截面由桿件一部分傳遞到另一部分的力。其大小與位置顯然等於作用於桿件某一部分之全部外力的合力。此合力分解為一個座標系中的分量，其中 x-軸與桿件軸線重合，而 z-軸則為橫截面平面切割力平面的那條線。沿 z 軸方向的分量稱為橫向力 Q 或 Qz，對於簡支梁而言，若截面左側方向向上、右側方向向下，則視為正。
當桿件是彎曲的時，坐標軸 x 與 z 在每一個截面中的方向都不同，而且始終使 x-軸切於桿軸。若桿軸所在平面與力平面不一致，或者桿軸為空間曲線，則截面左側的力合力還有第三個分量，即橫向力 Qy。由 N, Qz 與 Qy 可確定通過截面的力之大小與方向，但不能確定其作用位置。為此，還必須知道其相對於坐標軸的力矩。對於平面彎曲，只需知道彎矩 M 或 My。在最一般情況下，還會出現另一個彎矩 Mz 以及繞 x-軸的力矩 Mx。
前述所定義的六個力與力矩統稱為「截面內力」。其確定是建築結構靜力學的基本任務之一。
在均布荷載 p（量綱：單位長度上的力）、橫向力 Q 與彎矩 M 之間，在平面彎曲情況下存在簡單關係。也就是說，根據一根桿件元素的平衡條件（圖 2）可得
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
因此
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
圖2
法向應力分布
如果桿件僅受軸向力作用，則截面中只出現均勻分布的正應力 σ（受拉，或受壓桿件）。若同時還有彎矩作用，這些應力就必須以某種方式不均勻分布，使其合力不再通過截面的形心。為了確定這種分布，工程彎曲理論並不從基本方程的嚴格解出發，而是以一個合理假設取代其中一部分方程；在某一特別簡單的情況下，這一假設同時也嚴格成立。這個特殊情況是：無橫向力作用時的直棱柱桿純彎曲（圖 3）。桿件中距兩端足夠遠的所有元素承受相同變形，由此可直接得出桿軸變為圓弧，且所有原本垂直於桿軸的橫截面平面在變形後仍保持平面，因為每一個截面都是變形後桿件相鄰部分的對稱面。自然可以假設，當彎矩和桿件截面都不是常數，而是沿桿件逐漸變化時，橫截面也仍近似保持平面。這一稱為 Navier-假設的前提，是彎曲理論的基礎。
圖 3
正應力的大小
當梁的直線構件彎曲時，其一部分「纖維」，也就是平行於桿軸的材料線，會被拉長，而另一部分則被縮短（圖 4）。這兩部分之間是中性纖維 z=0，其長度在彎曲時不變。假設這些纖維在彎曲狀態下的曲率半徑為 ϱ，且位於 x-z 平面內。由圖 4 m可讀出
Δ dx/z = _dx/_ϱ
並由此計算距中性軸距離 z 處纖維的應變，其值為
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
因此根據 Hooke-定律，應力
σ _= Ez/_ϱ (2)
圖4
此應力與距離中性纖維的距離成正比。這一結果基於以下假設：變形前，桿件各纖維的長度相同，因此桿原本是直的，或者彎曲程度極小，以致可忽略曲率影響。中性層與截面平面相交的直線稱為中性軸。我們將其定為 y 軸（圖 5）。中性軸在截面中的位置，可由沿 x 軸方向的力平衡條件求得：若法向力 N=0（無法向力彎曲），則以截面法向應力表示的內力合力也必須等於零：
右側的積分是相對於 y-軸的面積靜矩。為使其等於零，該軸必須是其中一條重心軸。
引起變形的力矩 M 相對於截面平面中的 y 與 z 軸（圖 5）具有以下分量：
式（3）
其中 Iy, Iyz 為截面相對於所標示軸線的赤道慣性矩和離心慣性矩。
最重要的特例是當 Mz=0 時。此情況發生在 Iyz=0 時，即 y 和 z 為截面的主慣性軸時。這表示此處採用的彎曲平面與 x-z-平面重合，而彎矩 M=My 作用於其中，即與力平面重合。
圖 5
若將方程式（2）與（3）中的 _E/_ϱ 消去，則可得用於確定純彎曲時應力的公式（Iy=I）：
σ = M/I * z (4)
對於邊緣點 1 和 2 特別為：
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
量值 W1,2 = I/h1,2（量綱：長度的三次方）稱為截面模數。若水平形心軸同時也是截面的對稱軸，則 W1 = W2，因此邊緣應力在絕對值上相等。
彈性曲線
圖。 6
上述各式的重要性與胡克定律有關。這要求 σ << E，因此依據（2） h << ϱ。然而彎曲仍可大到使 ϱ 與桿長 l 同一數量級。對於建築工程中會遇到的彎曲桿，這種情況不會出現；通常 ϱ 都遠大於 l，因此撓度 w << l（圖 6）。此時近似成立：
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
並根據（3）：
w’’ = - M/EI.
這個方程式和平衡條件（1b）構成了彎曲桿的微分方程組。經消去後，可化為一個四階方程式：
wIV = + p/EI
或者，在慣性矩可變的情況下：
(EIw’’)’’ = +p.
對此可透過積分，在已知荷載 p=p(x) 且對每一種桿件已知兩個邊界條件時，求得彈性線的形狀。其中至少兩個必須與變形有關。詳情參見條目 建築結構靜力學。
截面核心
如果中性軸切割橫截面，它會將其分成拉伸區與壓縮區。對於抗拉強度較低的材料，就會出現一個問題：若橫截面內任何位置都不允許出現拉伸，壓力作用力應施加於何處。此時，作用點的位置被限制在一個稱為 截面核心 的區域內。核心的邊界顯然是這些點的幾何軌跡，其對應的中性軸與橫截面周邊相切。這也同時給出了其構造方法。
核心邊界至形心的距離，沿任意方向量測時，以對應該方向的 k 指數表示。對於主慣性軸，依據方程
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
術語如下：
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
對於半徑為 r 的圓形截面，核心距離為 k = r/4；而對於圓環（外半徑 R、內半徑 r），核心距離為 k = (R2 + r2) / 4R。
對於矩形（圖 7），ky = 1/6 b，kz = 1/6 h。因此，當矩形截面在其中一個對稱平面內受載時（且僅在此情況下），只要合力作用線落在截面高度或寬度的中間三分之一內，截面中的應力便具有相同符號。
圖 7
塑性區中的彎曲
當彎曲桿邊緣纖維達到屈服極限時，其承載能力並未因此耗盡，因為外側纖維在恆定應力下發生塑性變形時，較接近中性軸、尚未達到屈服極限的部位，其應力會增加，因此截面所能承受的彎矩也隨之增加。
如果已知應力與變形圖的準確走向，則對於雙對稱截面（高度 h）而言，可如此輕易地以計算方式追蹤：在假設各截面保持平面的前提下，從應力與變形圖中求得對應於某一採用的端纖維伸長量 ε__r 的彎曲應力分布 σ，並由此積分求得彎矩。若對不同的 ε__r 這樣進行，另一方面計算對應的撓曲線曲率 w’’ = 2 ε__r / h，即可得到一系列點，並可通過這些點畫出一條表示彎矩與曲率關係的曲線 M = M(w’’)；此關係不再是線性的，而一旦已知，便可透過圖解積分求得與給定彎矩分布相對應的撓曲線。若截面不對稱，計算會更為複雜，因為對每一個 ε__r 還必須確定中性軸的位置。
圖 8
如果除了截面對稱性之外，再依圖 8 假定應力與應變之間的簡化關係，計算可在一定程度上簡化。此時，超過屈服極限後的彎曲應力分布如圖 9 所示，而彎矩為：
因此，當將方程 (2) 套用於截面中應力處於彈性區域的部分時，便可得到撓曲線的曲率 w’’ = σf / Ez’。若每一個所採用的 z’ 的截面形狀已知，則積分即可計算。例如，對於寬度 b、高度 h 的最簡單矩形截面，其情況為
若此處以 w’’ 表示 z’，則得到
對於 I 形截面及類似截面，在塑性區域中 M-w’’ 曲線的走向更為平緩，而產生屈服時的彎矩實際上已等於該截面所能承受的最大彎矩。因此，塑性彎曲在建築中的重要性不在於提高截面可承受的彎矩，而在於屈服極限處出現的大局部變形能導致靜不定系統中內力分佈的有利改變。
圖9
這可以用跨越兩跨的連續梁來說明。設梁（圖 10）具有等跨長、恆定截面，並承受均布荷載。則在達到屈服極限之前，支座上方的彎矩 MB = _pl_2/8。若將荷載 p 增加到使支座截面中的彎矩達到發生屈服的值 Mf，則在進一步增加荷載時，該處的曲率會增加，而彎矩幾乎不再明顯增加。此時形成所謂的 塑性鉸，亦即梁在附加荷載作用下的行為如同中間支座上方存在一個鉸接。荷載可繼續增加，直到跨中最大彎矩處也開始屈服。此後彎矩已無法再增加，梁的承載力即告耗盡。使此狀態出現的荷載稱為極限荷載。
圖。 10
一般而言，可以預期在一個 n 次靜不定系統中，必須先出現 (n+1) 個塑性鉸之後，系統才會變成可動，並因此達到其承載極限。然而，這條規則在兩個方向上都有例外。正如上述例子所示，在承載極限時可同時出現兩個新的塑性鉸（在兩個跨中），使得原本仍不可動的系統突然轉變為具有兩個自由度的系統。另一方面，也可能在少於 (n+1) 個塑性鉸時，承載能力便已在局部耗盡，例如連續梁僅有一個跨失效時。圖 11 顯示在一個靜不定兩次的系統中，具有 n=2_ 個塑性鉸時會如何發生。若在梁的右側再增加第四跨，則梁便成為三次靜不定，因此只需 (n-1) 個塑性鉸，就能使左側單一跨達到承載極限。
圖 11
彎曲時的剪應力
基礎計算
圖。 12
正應力 σ，也就是實際上因彎曲而出現的應力，並不是彎曲桿中的唯一應力；此外，還會因橫向力的作用而出現剪應力。鑑於技術彎曲理論的基本特徵在於忽略剪應力所引起的變形，這些應力只能根據平衡條件求得。為建立這一條件，如圖 12 所示，梁元素 dx 以一水平面切成兩部分，並對作用於下部分的 水平 力建立平衡條件。左側為由彎曲應力 σ 所表示的內力，應對其自 z’ = z 至 z’ = h2 積分
右側作用著相同的應力，但依照相應的彎矩 M + dM 增加了微分量。元件兩側的力之差必須與作用於水平截面 t dx 中剪應力 τ 所產生的力保持平衡：
這裡的積分代表由水平截面分離出的截面部分，對於截面重心軸的靜矩。它以 S 表示。由平衡條件 dM/dx = Q 可得：
τ = QS/It. (8)
依據剪應力共軛的觀點，這同時也是作用於橫截面表面的垂直剪應力大小，而它與 S 和 t 一起是 z 的函數。
圖13
圖 13.1
方程（8）對所有薄壁截面都能提供可靠數據，只要截切平面不是平行於中性軸，而是沿著壁厚方向設置。據此，I 型截面沿腹板與翼緣橫向切開，從而得到圖 13.1 所示的應力分布。對於環形截面（圖 13），剪應力沿垂直直徑對稱分布，並在中性線左側和右側達到最大值
τ = Q / πrt.
如果截面是在最高點或最低點切開，剪應力的分佈不變；然而，若在水平直徑右端切開（圖 14），則該處的剪應力為零，而在同一直徑左端其值則加倍。
圖 14
實心截面
對於任意形狀的實心截面，剪應力問題與扭轉問題密切相關。在此情況下，基本方程式 (8) 已不再可靠。對半徑為 r 的圓形截面，方程式 (8) 給出
τ = 4Q / 3__πr2
作為沿中性軸方向的剪應力平均值，而精確值只高出幾個百分點。
剪切中心
若依上述方法計算 U 形截面的剪應力，則得到如圖 15 所示的應力分布。相應內力的合力為橫向力 Q。由圖可見其相對於截面的位置，因此它既不通過截面形心，也不位於腹板平面內。若依外力計算出的橫向力並未處於圖 15 所示位置，則該構件不僅承受彎曲，也承受扭轉。
若對同一橫截面，針對某一水平荷載求得與剪應力相對應的合力，則可得到水平橫向力的作用線。這兩條作用線的交點處，存在該橫截面的特徵點，稱為 剪切中心 M. 當所有橫截面的剪切中心都位於同一直線上，且所有垂直於棒軸的荷載都通過該直線時，構件中不會出現扭轉所致的應力。否則，每個荷載相對於連接各剪切中心之直線的力矩，便構成扭轉剪應力。
圖 15
剪力對彎曲的影響
技術彎曲理論建立在忽略剪應力所致變形的基礎上。因此，它實際上只適用於細長桿件，因為在這類構件中，這種忽略是合理的，而且橫向力對彎曲沒有明顯影響。
然而經驗表明，技術彎曲理論在某些情況下也可以較為成功地應用於短而高的構件，而這些構件本來並非此理論所針對。此時便有必要至少近似地補充考慮剪應力所引起的變形影響，因為在該理論中這一影響被忽略了。
同樣地，由橫向力引起的剪應力 τ 及相應滑移 γ_’ =_ τ_/G_ 也不會均勻分布於截面。因此引入其平均值 γ，其確定方式為：在此平均變形值下，橫向力作用於梁元素 dx 時所做的變形功，應等於將構成該梁可觀察元素的各個體積微元上的剪應力功積分後所得到的功：
由此可知
當截面上的剪應力分布已知時，即可計算該積分。由於所有剪應力都與 Q/F 成正比，因此其值與 Q2/F2 * F 成正比，若設其為 κ__Q2/F，則可得
γ = κ__Q / GF.
常數 κ 稱為剪應力分布係數。對於矩形截面，κ=1,2。
圖16
當係數 κ 已知，因而平均滑移 γ 也已知時，可計算由橫向力作用所產生的附加撓度 wQ，並將其加到撓度 w 上：因為依圖 16 為
因此，根據 Q = dM/dx：
其中積分常數由一個邊界條件求得。