Contraintes normales dans les barres droites et les barres faiblement courbes
Définition des efforts tranchants
Soit une barre droite soumise à des forces de direction arbitraire, pour lesquelles on suppose seulement qu’elles se trouvent toutes dans un même plan (plan des forces) passant par l’axe de la barre (ligne joignant les centres de gravité des sections transversales).
Fig. 1
Pour calculer les contraintes agissant dans une section transversale n – n (fig. 1), il faut connaître l’effort qui, à travers cette section, est transmis d’une partie de la barre à l’autre. Il est manifestement égal, par sa grandeur et sa position, à la résultante de toutes les forces agissant sur une partie de la barre. Cette résultante est décomposée en composantes dans un système de coordonnées dont l’axe x coïncide avec l’axe de la barre, et dont l’axe z est la ligne suivant laquelle le plan de la section transversale coupe le plan des forces. La composante dans la direction de l’axe z s’appelle force transversale Q ou Qz et, pour une poutre simple, elle est considérée comme positive si, à gauche de la section, elle est dirigée vers le haut et, à droite, vers le bas.
Lorsque la barre est courbe, les axes de coordonnées x et z ont, dans chaque section, une autre direction, toujours de sorte que l’axe x soit tangent à l’axe de la barre. Si le plan dans lequel se trouve l’axe de la barre ne coïncide pas avec le plan des forces, ou si l’axe de la barre est une courbe spatiale, la résultante des forces à gauche de la section possède aussi une troisième composante, la force transversale Qy. Avec N, Qz et Qy, la grandeur et la direction de la force transmise à travers la section sont déterminées, mais non sa position. Pour cela, il faut également connaître ses moments par rapport aux axes de coordonnées. Dans le cas de la flexion plane, il suffit de connaître le moment de flexion M ou My. Dans le cas le plus général, apparaît encore un moment de flexion Mz et un moment autour de l’axe x, Mx.
Les six forces et moments définis dans l’exposé précédent sont regroupés sous le nom commun de « efforts tranchants ». Leur détermination est l’une des tâches fondamentales de la statique des structures de construction.
Entre la charge répartie continue p (dimension : force par unité de longueur), l’effort tranchant Q et le moment fléchissant M, il existe dans le cas de la flexion plane une relation simple. En effet, à partir des conditions d’équilibre d’un élément de barre (fig. 2), on obtient
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
donc
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Fig. 2
Répartition des contraintes normales
Si une barre est sollicitée uniquement par une force axiale, il n’apparaît dans la section qu’une contrainte normale uniformément répartie σ (barre tendue, resp. comprimée). Si, en plus, un moment de flexion apparaît, ces contraintes doivent être réparties de manière inégale d’une façon ou d’une autre, de sorte que leur résultante ne passe plus par le centre de gravité de la section. Pour déterminer cette répartition, la théorie technique de la flexion ne part pas d’une solution rigoureuse des équations fondamentales, mais remplace une partie de ces équations par une hypothèse plausible qui, dans un cas particulièrement simple, est en même temps rigoureusement vérifiée. Ce cas particulier est la flexion d’une barre prismatique droite sans action d’efforts transversaux (fig. 3). Tous les éléments de la barre suffisamment éloignés de ses extrémités subissent la même déformation, d’où il résulte directement que l’axe de la barre se transforme en arc de cercle et que tous les plans des sections transversales, initialement perpendiculaires à l’axe de la barre, restent plans lors de la déformation, car chacun d’eux est un plan de symétrie pour les parties voisines de la barre déformée. Il est naturel d’admettre que les sections transversales restent approximativement planes même lorsque le moment de flexion et la section transversale de la barre ne sont pas constants, mais varient progressivement le long de la barre. Cette hypothèse, appelée hypothèse de Navier, est à la base de la théorie de la flexion.
Fig. 3
Valeur des contraintes normales
Lorsque l’élément droit d’une poutre se courbe, une partie de ses « fibres », c’est-à-dire des lignes matérielles parallèles à l’axe de la barre, s’allonge, tandis que l’autre partie se raccourcit (fig. 4). Entre ces deux parties se trouvent les fibres neutres z=0, dont la longueur ne change pas lors de la flexion. Supposons que le rayon de courbure de ces fibres à l’état fléchi soit ϱ et qu’il se trouve dans le plan x-z. D’après la fig. 4 mon peut lire
Δ dx/z = _dx/_ϱ
et en déduire la dilatation des fibres à la distance z de l’axe neutre, qui est égale à
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
et, sur la base de la loi de Hooke, la contrainte
σ _= Ez/_ϱ (2)
Fig. 4
Cette contrainte est proportionnelle à la distance par rapport aux fibres neutres. Un tel résultat est lié à l’hypothèse qu’avant la déformation toutes les fibres de l’élément de barre avaient la même longueur, de sorte que la barre était initialement droite, ou du moins courbée à un point tel que l’effet de la courbure peut être négligé. La droite suivant laquelle se coupent la fibre neutre et le plan de la section s’appelle l’axe neutre. Nous l’adoptons comme axe y (fig. 5). La position de l’axe neutre dans la section transversale est obtenue à partir de la condition d’équilibre des forces dans la direction de l’axe x : si la force normale N=0 (flexion sans force normale), alors la résultante des forces internes exprimée au moyen des contraintes normales dans la section doit également être nulle :
L’intégrale du côté droit est le moment statique de la surface par rapport à l’axe y. Pour qu’elle soit égale à zéro, cet axe doit être l’un des axes passant par le centre de gravité.
Le moment M qui provoque la déformation a, par rapport aux axes y et z dans le plan de la section (fig. 5), les composantes :
Éq. (3)
où Iy, Iyz sont le moment d’inertie équatorial et le moment d’inertie centrifuge de la section par rapport aux axes indiqués.
Le cas particulier le plus important est lorsque Mz=0. Ce cas se présente lorsque Iyz=0, c’est-à-dire lorsque y et z sont les axes principaux d’inertie de la section. Cela signifie que le plan de flexion adopté ici coïncide avec le plan x-z, avec le plan dans lequel agit le moment fléchissant M=My, c’est-à-dire avec le plan des forces.
Fig. 5
Si l’on élimine _E/_ϱ des équations (2) et (3), on obtient la forme permettant de déterminer la contrainte en flexion pure (Iy=I) :
σ = M/I * z (4)
pour les points de bord 1 et 2 en particulier :
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Les grandeurs W1,2 = I/h1,2 (dimension : longueur au cube) sont appelées moments de résistance. Si l’axe de gravité horizontal est en même temps l’axe de symétrie de la section, alors W1 = W2, et les contraintes aux rives sont donc égales en valeur absolue.
Ligne élastique
Fig. 6
L’importance des expressions ci-dessus est liée à la loi de Hooke. Cela exige que σ << E, donc selon (2) h << ϱ. La flexion peut toutefois être telle que ϱ soit du même ordre de grandeur que la longueur de la barre l. Pour les barres fléchies entrant en considération dans la construction, ce cas ne se produit pas ; ϱ est toujours nettement supérieur à l et, par conséquent, la flèche w << l (fig. 6). Dans ce cas, on a approximativement :
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
et sur la base de (3):
w’’ = - M/EI.
Cette équation et la condition d’équilibre (1b) constituent le système d’équations différentielles de la barre fléchie. Par élimination, elles peuvent être réduites à une seule équation du quatrième ordre :
wIV = + p/EI
ou, dans le cas où le moment d’inertie est variable :
(EIw’’)’’ = +p.
On peut, par intégration, en déduire la forme de la ligne élastique lorsque la charge est donnée par p=p(x) et que, pour chaque cas de barre, deux conditions limites sont connues. Parmi celles-ci, au moins deux doivent se rapporter à la déformation. Pour plus de détails, voir l’article Statique des structures de bâtiment.
Noyau de section
Si l’axe neutre coupe la section transversale, il la divise en une zone de traction et une zone de compression. Pour les matériaux présentant une faible résistance à la traction, se pose la question de savoir où la force de compression doit agir si, dans la section transversale, aucune traction ne doit apparaître nulle part. La position du point d’application de la force est alors limitée à une région appelée noyau de la section. La limite du noyau est manifestement le lieu géométrique des points dont les axes neutres sont tangents au contour de la section transversale. La construction de celui-ci en est ainsi également donnée.
La distance de la limite du noyau au centre de gravité, mesurée dans n’importe quelle direction, sera désignée par k avec l’indice correspondant à cette direction. Pour les axes principaux d’inertie, d’après l’équation
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
les expressions sont les suivantes :
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Pour une section circulaire de rayon r, la distance du noyau est k = r/4, et pour un anneau circulaire (rayons : extérieur R, intérieur r) k = (R2 + r2) / 4R.
Pour le rectangle (fig. 7) on a ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Ainsi, lors du chargement d’une section rectangulaire dans l’un des plans de symétrie (mais seulement dans ce cas), il suffit que la résultante agisse dans le tiers médian de la hauteur ou de la largeur de la section, pour que les contraintes dans la section aient le même signe.
Fig. 7
Flexion dans le domaine plastique
Lorsque la limite d’élasticité est atteinte dans les fibres extrêmes d’une barre fléchie, sa capacité portante n’est pas encore épuisée, car tandis que les fibres extérieures se déforment plastiquement sous une contrainte constante, dans les zones plus proches de l’axe neutre, où la limite d’élasticité n’a pas encore été atteinte, la contrainte augmente, ce qui accroît aussi le moment fléchissant que la section peut reprendre.
Si l’évolution exacte des diagrammes de contraintes et de déformations est connue, le processus peut être facilement suivi par le calcul pour des sections doublement symétriques (hauteur h) de la manière suivante : en supposant que les sections restent planes, on détermine à partir des diagrammes de contraintes et de déformations la répartition des contraintes σ dues à la flexion correspondant à une dilatation adoptée des fibres extrêmes ε__r, puis l’on en déduit par intégration le moment de flexion. Si l’on procède ainsi pour différents ε__r et que l’on calcule d’autre part la courbure correspondante de la ligne de flèche w’’ = 2 ε__r / h, on obtient une série de points à travers lesquels on peut tracer une courbe donnant la relation entre le moment de flexion et la courbure M = M(w’’); cette relation n’est plus linéaire, et lorsqu’elle est connue il est possible de déterminer par intégration graphique la ligne de flèche correspondant à une répartition donnée des moments. Si la section est dissymétrique, le calcul devient plus complexe, en ce sens que pour chaque ε__r il faut encore déterminer la position de l’axe neutre.
Fig. 8
Le calcul se simplifie dans une certaine mesure si, en plus de la symétrie de la section, on suppose également une relation simplifiée entre les contraintes et les déformations selon la fig. 8. Alors, les contraintes dues à la flexion, après dépassement de la limite d’élasticité, ont la répartition représentée à la fig. 9 et le moment de flexion est :
on obtient ainsi la courbure de la ligne de flexion lorsque l’équation (2) est appliquée à la partie de la section dont les contraintes se trouvent dans le domaine élastique w’’ = σf / Ez’. Si la forme de la section est connue pour chaque z’ adopté, les intégrales peuvent être calculées. Par exemple, dans le cas le plus simple d’une section transversale rectangulaire de largeur b et de hauteur h, il est
Si l’on exprime ici z’ au moyen de w’’, on obtient
Dans le cas des profils en I et assimilés, l’évolution de la courbe M-w’’ dans la zone plastique est encore plus aplatie et le moment auquel se produit l’écoulement est alors pratiquement égal au moment fléchissant maximal que la section peut supporter. C’est pourquoi l’importance de la flexion plastique dans le bâtiment ne réside pas dans l’augmentation du moment fléchissant que la section peut porter, mais dans le fait que la grande déformation locale qui apparaît à la limite d’écoulement peut conduire à une modification favorable de la répartition des efforts dans les systèmes hyperstatiques.
Fig. 9
Cela peut s’expliquer par l’exemple d’une poutre continue sur deux travées. Supposons que la poutre (fig. 10) ait des travées de même longueur, une section constante et qu’elle soit soumise à une charge uniformément répartie. Alors, avant d’atteindre la limite d’écoulement, le moment sur l’appui est MB = _pl_2/8. Si la charge p augmente au point que le moment dans la section d’appui atteigne la valeur Mf à laquelle l’écoulement se produit, une augmentation ultérieure de la charge en ce point entraîne également une augmentation de la courbure sans accroissement sensible du moment. Il se forme ce que l’on appelle une rotule plastique, c’est-à-dire que la poutre se comporte sous la charge supplémentaire comme s’il existait une rotule au droit de l’appui intermédiaire. La charge peut encore être augmentée jusqu’à ce qu’un écoulement commence également au point où le moment est maximal dans la travée. Une augmentation supplémentaire du moment fléchissant n’est alors plus possible et la capacité portante de la poutre est épuisée. La charge sous laquelle cet état se produit s’appelle la charge limite.
Fig. 10
En général, on peut s’attendre à ce que, dans un système n fois statiquement indéterminé, il faille l’apparition de (n+1) rotules plastiques avant que le système ne devienne mobile et atteigne ainsi sa limite de portance. Cette règle, toutefois, comporte des exceptions dans les deux sens. Comme le montre l’exemple cité, deux nouvelles rotules plastiques peuvent apparaître simultanément à la limite de portance (dans les deux travées), de sorte qu’un système encore immobile jusqu’alors passe brusquement à un système à deux degrés de liberté. D’autre part, il est possible qu’avec moins de (n+1) rotules plastiques, la portance soit localement épuisée, par exemple lorsqu’une seule travée d’une poutre continue cède. La fig. 11 montre comment cela peut se produire pour un système statiquement doublement indéterminé avec n=2 rotule plastique. Si l’on ajoute en outre une quatrième travée du côté droit de la poutre, la poutre devient triplement statiquement indéterminée, et (n-1) rotules plastiques suffisent pour amener la seule travée de gauche à la limite de portance.
Fig. 11
Contraintes de cisaillement en flexion
Calcul élémentaire
Fig. 12
Les contraintes normales σ, c’est-à-dire les contraintes qui apparaissent en réalité sous l’effet de la flexion, ne sont pas les seules contraintes dans la barre fléchie ; à côté d’elles apparaissent aussi des contraintes de cisaillement dues à l’action de la force transversale. Étant donné que la caractéristique fondamentale de la théorie technique de la flexion est que les déformations dues aux contraintes de cisaillement sont négligées, celles-ci ne peuvent être déterminées que par les conditions d’équilibre. Pour les établir, l’élément de poutre dx est coupé, comme indiqué sur la fig. 12, par un plan horizontal en deux parties, puis on pose la condition d’équilibre des forces horizontales agissant sur la partie inférieure. Du côté gauche, ce sont les forces internes exprimées par les contraintes σ dues à la flexion, qu’il faut intégrer de z’ = z à z’ = h2
Sur le côté droit agissent les mêmes contraintes, mais augmentées du différentiel conformément au moment de flexion correspondant M + dM. La différence entre les forces de part et d’autre de l’élément doit être en équilibre avec la force due aux contraintes de cisaillement τ agissant dans la surface de coupe horizontale t dx :
Ici, l’intégrale représente le moment statique de la partie de la section transversale isolée par un plan transversal horizontal, par rapport à l’axe barycentrique de la section. Elle est désignée par S. À partir de dM/dx = Q, et des conditions d’équilibre, on obtient :
τ = QS/It. (8)
C’est, selon le principe de conjugaison des contraintes de cisaillement, en même temps la valeur de la contrainte de cisaillement verticale agissant dans la surface de la section transversale et qui, avec S et t, est une fonction de z.
Fig. 13
Fig. 13.1
L’équation (8) fournit des données fiables pour toutes les sections à parois minces si le plan de coupe n’est pas placé parallèlement à l’axe neutre, mais dans la direction de l’épaisseur de la paroi. Par conséquent, le profil en I est coupé transversalement à travers l’âme et transversalement à travers les ailes, ce qui donne la répartition des contraintes représentée à la fig. 13.1. Dans le cas d’une section annulaire (fig. 13), les contraintes de cisaillement sont réparties symétriquement par rapport au diamètre vertical et atteignent un maximum à gauche et à droite sur la ligne neutre
τ = Q / πrt.
Si la section est entaillée au point le plus haut ou le plus bas, la répartition des contraintes de cisaillement ne change pas ; en revanche, si elle est entaillée à l’extrémité droite du diamètre horizontal (fig. 14), la contrainte de cisaillement en ce point est nulle, tandis que sa valeur double à l’extrémité gauche de ce même diamètre.
Fig. 14
Sections pleines
Dans le cas de sections pleines de forme arbitraire, le problème des contraintes de cisaillement est étroitement lié à la question de la torsion. L’équation élémentaire (8) n’est alors plus fiable. Pour une section circulaire de rayon r, l’équation (8) donne
τ = 4Q / 3__πr2
comme valeur moyenne de la contrainte de cisaillement le long de l’axe neutre, et la valeur exacte n’est que de quelques pour cent plus élevée.
Centre de cisaillement
Si l’on calcule les contraintes de cisaillement pour une section en U de la manière décrite ci-dessus, on obtient la répartition des contraintes présentée à la fig. 15. La résultante des forces internes correspondantes est l’effort tranchant Q. La figure montre sa position par rapport à la section, c’est-à-dire qu’il ne passe ni par le centre de gravité de la section, ni ne se situe dans le plan de l’âme. Si l’effort tranchant calculé sur la base des forces externes n’a pas la position indiquée à la fig. 15, la poutre n’est pas sollicitée uniquement en flexion, mais aussi en torsion.
Si l’on détermine, pour la même section transversale, la résultante correspondant aux contraintes de cisaillement pour une certaine charge horizontale, on obtient la ligne d’action de l’effort tranchant horizontal. À l’intersection de ces deux lignes d’action se trouve le point caractéristique de la section transversale donnée, appelé centre de cisaillement M. Dans une poutre, il n’apparaît pas de contraintes dues à la torsion lorsque les centres de cisaillement de toutes les sections transversales se trouvent sur une même droite et que toutes les charges perpendiculaires à l’axe de la barre passent par cette droite. Dans le cas contraire, le moment de chaque charge par rapport à la droite reliant les centres de cisaillement représente le cisaillement de torsion.
Fig. 15
Influence de l’effort tranchant sur la flexion
La théorie technique de la flexion repose sur la négligence des déformations dues aux contraintes de cisaillement. Par conséquent, elle peut réellement s’appliquer aux barres élancées, pour lesquelles cette simplification est justifiée et où l’effort tranchant n’a pas d’influence sensible sur la flexion.
L’expérience a toutefois montré que la théorie technique de la flexion peut, avec un certain succès, être appliquée aussi à des poutres courtes et hautes, auxquelles elle n’est en réalité pas du tout destinée. Il apparaît alors nécessaire de tenir compte, au moins approximativement et a posteriori, de l’influence de la déformation due aux contraintes de cisaillement, négligée dans cette théorie.
De même que les contraintes de cisaillement τ dues aux forces transversales et les glissements correspondants γ_’ =_ τ_/G_ sont répartis de manière inégale sur la section. C’est pourquoi on introduit leur valeur moyenne γ, que l’on détermine de sorte que la force transversale, pour cette déformation moyenne, effectue sur l’élément de poutre dx un travail de déformation égal à celui que l’on obtiendrait en intégrant les travaux des contraintes de cisaillement sur les différents éléments de volume constituant l’élément de poutre considéré :
d’où il est
L’intégrale peut être calculée lorsque la répartition des contraintes de cisaillement sur la section est connue. Comme toutes les contraintes de cisaillement sont proportionnelles à Q/F, sa valeur est proportionnelle à Q2/F2 * F, donc en posant qu’elle est κ__Q2/F, on obtient
γ = κ__Q / GF.
La constante κ est appelée coefficient de répartition des contraintes de cisaillement. Pour les sections rectangulaires, κ=1,2.
Fig. 16
Lorsque le coefficient κ est connu, et donc aussi le glissement moyen γ, on peut calculer la flèche supplémentaire wQ, due à l’action des forces transversales, qui doit être ajoutée aux flèches w : car d’après la fig. 16 il est
donc en raison de Q = dM/dx :
la constante d’intégration étant obtenue à partir d’une condition aux limites.