Normale spenninger i rette staver og staver med svak krumning
Definisjon av skjærkrefter
La en rett stang være belastet med krefter av vilkårlig retning, hvor det bare forutsettes at alle ligger i ett plan (kraftplan) som går gjennom stangens akse (linjen som forbinder tyngdepunktene til tverrsnittene).
Fig. 1
For å beregne spenningene som virker i et tverrsnitt n – n (fig. 1), må man kjenne kraften som overføres gjennom dette tverrsnittet fra den ene delen av staven til den andre. Den er åpenbart, både i størrelse og plassering, lik resultanten av alle kreftene som virker på den ene delen av staven. Denne resultantkraften deles opp i komponenter i et koordinatsystem der x-aksen sammenfaller med stavens akse, og z-aksen er linjen langs hvilken planet til tverrsnittet skjærer kraftplanet. Komponenten i retning av z-aksen kalles transversal kraft Q eller Qz og regnes for en enkel bjelke som positiv dersom den til venstre for snittet peker oppover, og til høyre nedover.
Når stangen er krum, har koordinataksene x og z i hvert snitt en annen retning, og det alltid slik at x-aksen er tangent til stangens akse. Hvis planet som stangens akse ligger i ikke sammenfaller med kraftplanet, eller hvis stangens akse er en romlig kurve, har resultantkraften til venstre for snittet også en tredje komponent, tverrkraften Qy. Med N, Qz og Qy er størrelse og retning til kraften som overføres gjennom snittet bestemt, men ikke dens angrepspunkt. For dette må også momentene om koordinataksene være kjent. Ved plan bøying er det tilstrekkelig at bøyemomentet M eller My er kjent. I det mest generelle tilfellet opptrer et nytt bøyemoment Mz og et moment om x-aksen, Mx.
De seks kreftene og momentene som er definert i den foregående fremstillingen, samles under fellesbetegnelsen «snittkrefter». Bestemmelsen av dem er en av de grunnleggende oppgavene i statikken for bygningskonstruksjoner.
Mellom den jevnt fordelte lasten p (dimensjon: kraft per lengdeenhet), skjærkraften Q og bøyemomentet M er det ved plan bøying en enkel sammenheng. Av likevektsbetingelsene for et stangelement (fig. 2) fås
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
derfor
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Fig. 2
Fordeling av normalspenninger
Hvis staven bare er belastet med en aksial kraft, opptrer det i tverrsnittet bare en jevnt fordelt normalspenning σ (strekt, hhv. trykket stav). Hvis det i tillegg opptrer et bøyemoment, må disse spenningene på en eller annen måte være ujevnt fordelt, slik at resultantkraften deres ikke lenger går gjennom tverrsnittets tyngdepunkt. For å bestemme denne fordelingen tar den tekniske bøyeteori ikke utgangspunkt i en streng løsning av grunnlikningene, men erstatter en del av disse likningene med en plausibel antakelse som i ett særlig enkelt tilfelle også er strengt oppfylt. Dette spesialtilfellet er bøying av en rett prismeformet stav uten virkning av tverrkrefter (fig. 3). Alle stavedeler som er tilstrekkelig langt fra endene, gjennomgår samme deformasjon, hvorav det umiddelbart følger at stavens akse går over i en sirkelbue og at alle plan i tverrsnittene, som opprinnelig var vinkelrette på stavens akse, forblir plane under deformasjonen, fordi hvert av dem er et symmetriplan for de tilstøtende delene av den deformerte staven. Det er naturlig å anta at tverrsnittene også forblir omtrent plane når bøyemomentet og stavens tverrsnitt ikke er konstante, men endrer seg gradvis langs staven. Denne antakelsen, som kalles Navier-hypotesen, ligger til grunn for bøyeteorien.
Fig. 3
Størrelsen på normalspenningene
Når et rett bjelkeelement bøyes, strekkes en del av dets «fibre», dvs. materielle linjer parallelt med stangens akse, mens den andre delen forkortes (fig. 4). Mellom disse to delene ligger de nøytrale fibrene z=0, hvis lengde ikke endres under bøyning. La krumningsradiusen til disse fibrene i bøyd tilstand være ϱ, og la den ligge i x-z-planet. Av fig. 4 m kan man lese
Δ dx/z = _dx/_ϱ
og derfra beregnet tøyningen i fiberne i avstanden z fra nøytralaksen, som er
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
og etter Hookes-lov er spenningen
σ _= Ez/_ϱ (2)
Fig. 4
Denne spenningen er proporsjonal med avstanden fra de nøytrale fibrene. Et slikt resultat er knyttet til antakelsen om at alle fibrene i stangelementet før deformasjonen hadde samme lengde, slik at stangen opprinnelig var rett, eller i det minste hadde en så liten krumning at krumningens innflytelse kan neglisjeres. Den rette linjen der det nøytrale laget og snittplanet skjærer hverandre kalles nøytralaksen. Vi legger den til grunn som y-akse (fig. 5). Nøytralaksens plassering i tverrsnittet fås av likevektsbetingelsen for krefter i retning x-aksen: hvis normalkraften N=0 (bøyning uten normalkraft), må også resultantene av de indre kreftene uttrykt ved normalspenningene i snittet være lik null:
Integralet på høyre side er det statiske momentet av arealet med hensyn til y-aksen. For at det skal være lik null, må denne aksen være en av tyngdeaksene.
Momentet M som forårsaker deformasjon har, i forhold til aksene y og z i snittplanet (fig. 5), komponentene:
Lign. (3)
der Iy, Iyz er de ekvatoriale og sentrifugale treghetsmomentene for tverrsnittet i forhold til de angitte aksene.
Det viktigste er det spesielle tilfellet når Mz=0. Dette tilfellet inntreffer når Iyz=0, dvs. når y og z er hovedakser for tverrsnittets treghetsmoment. Det betyr at bøyeplanet som her er lagt til grunn, sammenfaller med x-z-planet, med planet der bøyemomentet M=My virker, dvs. med kraftplanet.
Fig. 5
Hvis _E/_ϱ elimineres fra ligningene (2) og (3), fås uttrykket for bestemmelse av spenningen ved ren bøyning (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
for randpunktene 1 og 2 gjelder spesielt:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Størrelsene W1,2 = I/h1,2 (dimensjon: lengde i tredje) kalles motstandsmomenter. Hvis den horisontale tyngdepunktaksen samtidig er symmetriaksen for tverrsnittet, da er W1 = W2, og randspenningene er derfor like i absolutt verdi.
Elastisk linje
Fig. 6
Betydningen av de ovennevnte mønstrene er knyttet til Hookes lov. Dette krever at σ << E, altså ifølge (2) h << ϱ. Bøyningen kan imidlertid være så stor at ϱ er av samme størrelsesorden som stanglengden l. For bøyde stenger som er aktuelle i byggteknikken, inntreffer ikke dette tilfellet; ϱ er alltid betydelig større enn l, og følgelig er nedbøyningen w << l (fig. 6). Da gjelder tilnærmet:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
og på grunnlag av (3):
w’’ = - M/EI.
Denne ligningen og likevektsbetingelsen (1b) utgjør et system av differensialligninger for en bøyd stav. Ved eliminering kan de reduseres til én ligning av fjerde orden:
wIV = + p/EI
eller, i tilfelle treghetsmomentet er variabelt:
(EIw’’)’’ = +p.
Ved integrasjon av disse kan man finne formen på den elastiske linjen når lasten p=p(x) er gitt og to randbetingelser er kjent for hver stav. Av disse må minst to gjelde deformasjonen. For detaljer se artikkelen Statikk for byggkonstruksjoner.
Tverrsnittskjerne
Hvis nøytralaksen skjærer tverrsnittet, deler den dette i en strekkone og en trykksone. For materialer med lav strekkfasthet oppstår spørsmålet hvor trykkraften bør angripe, dersom det ikke noe sted i tverrsnittet skal forekomme strekk. Kraftens angrepspunkt begrenses da til et område som kalles tverrsnittets kjerne. Kjernens grense er åpenbart geometrisk sted for punktene hvis nøytralakser tangerer tverrsnittet langs omkretsen. Dermed er også konstruksjonen av den gitt.
Avstanden fra kjernens grense til tyngdepunktet, målt i hvilken som helst retning, betegner vi med k og en indeks som svarer til den aktuelle retningen. For hovedakslene for treghet gjelder etter ligningen
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
uttrykkene er som følger:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
For et sirkulært tverrsnitt med radius r er kjernavstanden k = r/4, og for en sirkulær ring (radier: ytre R, indre r) k = (R2 + r2) / 4R.
For rektangelet (fig. 7) er ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Ved belastning av et rektangulært tverrsnitt i ett av symmetriplanene (men bare da) er det altså tilstrekkelig at resultantens angrepspunkt ligger i den midterste tredelen av tverrsnittets høyde eller bredde, for at spenningene i tverrsnittet skal ha samme fortegn.
Fig. 7
Bøyning i det plastiske området
Når flytegrensen er nådd i ytterfibrene i en bøyd stang, er bæreevnen ennå ikke uttømt, for mens de ytre fibrene deformeres plastisk ved konstant spenning, øker spenningen i de delene som ligger nærmere den nøytrale aksen, hvor flytegrensen ennå ikke er nådd, og dermed øker også bøyningsmomentet som tverrsnittet kan oppta.
Hvis det nøyaktige forløpet av spennings- og tøyningsdiagrammet er kjent, kan prosessen for dobbelt symmetriske tverrsnitt (høyde h) enkelt følges beregningsmessig ved at spenningsfordelingen σ som følge av bøyning, og som svarer til en valgt tøyning i ytterfibrene ε__r, bestemmes ut fra spennings- og tøyningsdiagrammet, og bøyningsmomentet deretter bestemmes ved integrasjon. Hvis dette utføres for ulike ε__r og den tilhørende krummingen av nedbøyningslinjen w’’ = 2 ε__r / h beregnes på den andre siden, fås en rekke punkter som det kan trekkes en linje gjennom som gir sammenhengen mellom bøyningsmoment og krumming M = M(w’’); denne sammenhengen er ikke lenger lineær, og når den er kjent, er det mulig ved grafisk integrasjon å bestemme nedbøyningslinjen som svarer til den gitte momentfordelingen. Hvis tverrsnittet er usymmetrisk, blir beregningen mer komplisert, fordi man for hver ε__r også må bestemme plasseringen av den nøytrale aksen.
Fig. 8
Beregningen forenkles i en viss grad hvis man, i tillegg til symmetrien i tverrsnittet, også forutsetter en forenklet sammenheng mellom spenninger og tøyninger i henhold til fig. 8. Da har spenningene ved bøyning, etter at flytegrensen er overskredet, den fordelingen som er vist i fig. 9, og bøyemomentet er:
og krumningen til nedbøyningslinjen fremkommer når ligningen (2) anvendes på den delen av tverrsnittet hvis spenninger i det elastiske området er w’’ = σf / Ez’. Dersom tverrsnittets form er kjent for hver valgt z’, kan integralene beregnes. For den enkleste tilfellet av et rektangulært tverrsnitt med bredde b og høyde h er
Dersom z’ her uttrykkes ved hjelp av w’’, fås
Ved I-profiler og lignende er forløpet til M-w’’-kurven i det plastiske området enda mer flat, og momentet der flyting inntrer, er da praktisk talt lik det største bøyemomentet tverrsnittet i det hele tatt kan tåle. Derfor ligger betydningen av plastisk bøying i byggevirksomhet ikke i å øke bøyemomentet tverrsnittet kan bære, men i at den store lokale deformasjonen som oppstår ved flytegrensen, kan føre til en gunstig omfordeling av kreftene i statisk ubestemte systemer.
Fig. 9
Dette kan forklares ved eksemplet med en kontinuerlig bjelke over to felt. La bjelken (fig. 10) ha felt med lik lengde, konstant tverrsnitt og være belastet med jevnt fordelt last. Da er momentet over opplegget før flytegrensen nås MB = _pl_2/8. Hvis lasten p økes så mye at momentet i oppleggstverrsnittet når verdien Mf der flyting inntrer, vil videre økning av lasten på dette stedet også øke krumningen uten merkbar momenttilvekst. Det dannes den såkalte plastiske hengselen, dvs. bjelken oppfører seg under tilleggsbelastning som om det fantes en hengsel over mellomopplageret. Belastningen kan økes videre helt til flyting begynner også ved stedet for det største momentet i feltet. Videre økning av bøyemomentet er da ikke lenger mulig, og bjelkens bæreevne er uttømt. Den lasten som dette tilstanden inntrer ved kalles grenselast.
Fig. 10
Generelt kan man forvente at det i et n-gange statisk ubestemt system må oppstå (n+1) plastiske ledd før systemet blir bevegelig og dermed når sin bæreevnegrense. Denne regelen har imidlertid unntak i begge retninger. Som det nevnte eksempelet viser, kan det ved bæreevnegrensen oppstå to nye plastiske ledd samtidig (i begge felt), slik at det hittil ubevegelige systemet plutselig går over til et system med to frihetsgrader. På den annen side er det mulig at bæreevnen blir lokalt uttømt også med færre enn (n+1) plastiske ledd, for eksempel når bare ett felt svikter i en kontinuerlig bjelke. Fig. 11 viser hvordan dette kan skje for et statisk to ganger ubestemt system med n=2 plastiske ledd. Hvis det på høyre side av bjelken også legges til et fjerde felt, blir bjelken tre ganger statisk ubestemt, og da er det tilstrekkelig med (n-1) plastiske ledd for å bringe bare det venstre feltet til bæreevnegrensen.
Fig. 11
Skjærspenninger ved bøying
Elementær beregning
Fig. 12
Normalspenningene σ, dvs. spenningene som faktisk oppstår ved bøying, er ikke de eneste spenningene i den bøyde staven, men i tillegg oppstår skjærspenninger som følge av den tverrgående kraften. Siden hovedkjennetegnet ved den tekniske bøyingsteorien er at deformasjoner som skyldes skjærspenninger neglisjeres, kan disse bare bestemmes ut fra likevektsbetingelsene. For å sette opp denne, deles bjelkeelementet dx, som vist på fig. 12, av et horisontalt plan i to deler, og likevektsbetingelsen for de horisontale kreftene som virker på den nedre delen settes opp. På venstre side er dette de indre kreftene uttrykt ved spenningene σ som følge av bøying, der man skal integrere fra z’ = z til z’ = h2
På høyre side virker de samme spenningene, men økt med differensialen i samsvar med det tilsvarende bøyemomentet M + dM. Differansen mellom kreftene på begge sider av elementet må være i likevekt med kraften som skyldes skjærspenningene τ som virker i det horisontale tverrsnittsarealet t dx:
Her representerer integralet det statiske momentet av delen av tverrsnittet som er avgrenset av et horisontalt tverrsnitt, med hensyn til tverrsnittets tyngdeakse. Det betegnes med S. Fra dM/dx = Q og likevektsbetingelsen får vi:
τ = QS/It. (8)
Det er ifølge setningen om konjugasjon av skjærspenninger samtidig verdien av den vertikale skjærspenningen som virker i tverrsnittets overflate og som sammen med S og t er en funksjon av z.
Fig. 13
Fig. 13.1
Ligningen (8) gir pålitelige data for alle tynne tverrsnitt dersom snittplanet ikke legges parallelt med nøytralaksen, men i retning av veggtykkelsen. Derfor skjæres I-profilen tverrveis gjennom livet og tverrveis gjennom flensen, noe som gir spenningsfordelingen vist på fig. 13.1. For ringtverrsnittet (fig. 13) er skjærspenningene fordelt symmetrisk i forhold til den vertikale diameteren og når maksimum til venstre og høyre for nøytralaksen
τ = Q / πrt.
Hvis tverrsnittet er skåret ved det høyeste eller laveste punktet, endres fordelingen av skjærspenningene ikke; dersom det derimot er skåret ved høyre ende av den horisontale diameteren (fig. 14), er skjærspenningen på dette stedet lik null, mens verdien dobles ved venstre ende av den samme diameteren.
Fig. 14
Helprofiler
For massive tverrsnitt av vilkårlig form er problemet med skjærspenninger nært knyttet til torsjonsproblematikken. Elementærlikningen (8) er i så fall ikke lenger pålitelig. For et sirkulært tverrsnitt med radius r gir likningen (8)
τ = 4Q / 3__πr2
som middelverdien av skjærspenningen langs nøytralaksen, mens den nøyaktige verdien bare er noen få prosent høyere.
Skjærsentrum
Hvis skjærspenningene for U-tverrsnittet beregnes på den måten som er beskrevet ovenfor, får man spenningsfordelingen vist på fig. 15. Resultanten av de tilsvarende indre kreftene er tverrkraften Q. Av figuren kan man se dens posisjon i forhold til tverrsnittet, altså at den verken går gjennom tverrsnittets tyngdepunkt eller ligger i ribbens plan. Hvis tverrkraften beregnet på grunnlag av ytre krefter ikke har den posisjonen som er vist på fig. 15, er bæresystemet ikke bare belastet i bøyning, men også i torsjon.
Hvis resultanten som svarer til skjærspenningene for en bestemt horisontal last bestemmes for samme tverrsnitt, får man innvirkningslinjen for den horisontale tverrkraften. I skjæringspunktet mellom disse to innvirkningslinjene ligger karakteristisk punkt for det aktuelle tverrsnittet, som kalles skjæringssentrum M. I en bærer opptrer det ikke spenninger som følge av torsjon når skjæringssentrene for alle tverrsnitt ligger på én rett linje, og alle laster vinkelrett på stangens akse går gjennom denne linjen. Ellers utgjør momentet fra hver last i forhold til linjen som forbinder skjæringssentrene torsjonsskjær.
Fig. 15
Innvirkning av transversalkraft på bøyning
Den tekniske bøyningsteorien bygger på at deformasjoner som skyldes skjærspenninger neglisjeres. Derfor kan den i praksis bare anvendes på slanke staver, der denne forenklingen er berettiget og der tverrkraften ikke har merkbar innvirkning på bøyningen.
Erfaring har imidlertid vist at den tekniske bøyningsteorien med en viss suksess også kan anvendes på korte, høye bærere, som den egentlig ikke er ment for. Da blir det nødvendig å ta hensyn til virkningen av deformasjonen på grunn av skjærspenninger, som i denne teorien er forsømt, i det minste tilnærmet i etterkant.
På samme måte som skjærspenningene τ på grunn av tverrkrefter og de tilhørende glidningene γ_’ =_ τ_/G_ er de fordelt ujevnt over tverrsnittet. Derfor innføres deres middelverdi γ, som bestemmes slik at tverrkraften ved denne middelverdien av deformasjonen utfører et deformasjonsarbeid på bjelkeelementet dx som er likt det som ville oppstå ved å integrere arbeidet til skjærspenningene på de enkelte volumselementene som utgjør det betraktede bjelkeelementet:
hvor er det fra
Integralet kan beregnes når fordelingen av skjærspenningene over tverrsnittet er kjent. Siden alle skjærspenninger er proporsjonale med Q/F, er verdien proporsjonal med Q2/F2 * F, og ved å sette at den er κ__Q2/F, får man
γ = κ__Q / GF.
Konstanten κ kalles for fordelingskoeffisienten for skjærspenninger. For rektangulære tverrsnitt er κ=1,2.
Fig. 16
Når koeff. κ, og dermed middelglidningen γ, er kjent, kan den ekstra nedbøyningen wQ, som oppstår ved virkningen av tverrkrefter, beregnes og legges til nedbøyningene w: for ifølge fig. 16 er
og derfor på grunn av Q = dM/dx:
hvor integrasjonskonstanten bestemmes ut fra én randbetingelse.