Normaalpinged sirgete varraste ja väikese kõverusega varraste puhul
Lõikjõudude definitsioon
Olgu sirge varras koormatud suvalise suunaga jõududega, mille kohta eeldatakse üksnes seda, et need kõik asuvad ühes tasandis (jõudude tasand), mis läbib varda telge (punkt, mis ühendab ristlõigete raskuskeskmeid).
Joon. 1
Selleks et arvutada pinged, mis mõjuvad mingis ristlõikes n – n (joon. 1), tuleb teada jõudu, mis selle ristlõike kaudu kandub ühelt vardalõigult teisele. See on oma suuruselt ja asukohalt ilmselgelt võrdne kõigi jõudude resultantjõuga, mis mõjustavad üht vardalõiku. See resultant jaotatakse komponentideks koordinaatsüsteemis, mille x-telg langeb kokku varda teljega ja z-telg on joon, mille pidi ristlõike tasand lõikab jõudude tasandit. z telje suunalist komponenti nimetatakse põikjõuks Q või Qz ning lihtsõrestiku puhul loetakse see positiivseks, kui lõikest vasakul on suund ülespoole ja paremal allapoole.
Kui varras on kõver, on koordinaattelgedel x ja z igas ristlõikes erinev suund ning nii, et x-telg on alati varda telje puutuja. Kui tasand, milles varda telg asub, ei lange kokku jõudude tasandiga või kui varda telg on ruumiline kõver, on ristlõikest vasakul asuvate jõudude resultantil ka kolmas komponent, ristjõud Qy. Koos N, Qz ja Qy on määratud jõu suurus ja suund, mis kandub üle ristlõike kaudu, kuid mitte selle asukoht. Selleks peavad olema teada ka selle momendid koordinaattelgede suhtes. Tasapainutamise korral piisab, kui on teada paindemoment M või My. Kõige üldisemal juhul tekib veel üks paindemoment Mz ja moment ümber x-telje, Mx.
Kuus eelnevas käsitluses määratletud jõudu ja momenti on koondatud ühise nimetuse alla „lõikjõud“. Nende määramine on ehituskonstruktsioonide staatika üks põhikohustusi.
Pidevalt jaotatud koormuse p (mõõtühik: jõud pikkusühiku kohta), ristjõu Q ja painutusmomendi M vahel on tasapinnalise painutamise korral lihtne seos. Nimelt saadakse ühe vardaelemendi tasakaalutingimusest (joon. 2)
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
seetõttu
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Joon. 2
Normaalpingete jaotus
Kui varras on koormatud ainult aksiaalse jõuga, esineb ristlõikes ainult ühtlaselt jaotunud normaalpinge σ (tõmmatud või vastavalt surutud varras). Kui lisaks sellele esineb paindemoment, peavad need pinged mingil viisil olema ebaühtlaselt jaotunud, nii et nende resultant ei läbiks enam ristlõike raskuskeset. Selle jaotuse määramiseks ei lähtuta tehnilises paindeteoorias algeksvõrrandite rangest lahendusest, vaid asendatakse osa neist võrranditest usutava eeldusega, mis ühes eriti lihtsas juhul on ühtlasi rangelt täidetud. See erijuht on sirge prismatilise varda paindumine ilma ristjõudude mõjuta (joon. 3). Kõik varda elemendid, mis asuvad tema otstest piisavalt kaugel, läbivad sama deformatsiooni, millest vahetult järeldub, et varda telg muutub ringkaareks ning kõik ristlõike tasandid, mis olid algselt varda teljega risti, jäävad deformatsioonil tasasteks, sest igaüks neist on sümmeetriatasand deformeerunud varda naaberosade jaoks. Loomulikult tekib oletus, et ristlõiked jäävad ligikaudu tasasteks ka siis, kui paindemoment ja varda ristlõige ei ole püsivad, vaid muutuvad varda pikkuses järk-järgult. See eeldus, mida nimetatakse Navier-i hüpoteesiks, on paindeteooria aluseks.
Joon. 3
Normaalpingete suurus
Kui tala sirge element paindub, venib osa selle „kiududest“, s.t. varda teljega paralleelsetest materjalijoontest, samal ajal kui teine osa lüheneb (joon. 4). Nende kahe osa vahel asuvad neutraalsed kiud z=0, mille pikkus paindumisel ei muutu. Olgu nende kiudude kõverusraadius painutatud olekus ϱ ja olgu see x-z tasandis. Jooniselt 4 m võib lugeda
Δ dx/z = _dx/_ϱ
ja sellest arvutatud kiu deformatsioon kaugusel z neutraalteljest, mis on
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
nii saadakse Hooke-i seaduse alusel pinge
σ _= Ez/_ϱ (2)
Joon. 4
See pinge on võrdeline kaugusega neutraalsetest kiududest. Selline tulemus põhineb eeldusel, et enne deformatsiooni olid kõik vardaelemendi kiud võrdse pikkusega, nii et varras oli algselt sirge või vähemalt nii väikese kõverusega, et kõveruse mõju võib tähelepanuta jätta. Sirget, millel lõikuvad neutraalne kiht ja ristlõike tasand, nimetatakse neutraalteljeks. Me võtame selle y-teljeks (joon. 5). Neutraaltelje asukoht ristlõikes saadakse jõudude tasakaalu tingimusest x-telje suunas: kui normaaljõud N=0 (paindumine ilma normaaljõuta), siis peab ka sisemiste jõudude resultant, mis on väljendatud ristlõikes normaalpingete kaudu, olema võrdne nulliga:
Parempoolne integraal on pindala staatiline moment y-telje suhtes. Selleks, et see oleks võrdne nulliga, peab see telg olema üks raskuskesktelgedest.
Mõjuv moment M, mis põhjustab deformatsiooni, omab ristlõike tasandis telgede y ja z suhtes komponente (joon. 5):
Võrr. (3)
kusjuures Iy, Iyz on ristlõike ekvaatoriaalne ja tsentrifugaalne inertsimoment määratud telgede suhtes.
Kõige olulisem on erijuht, kui Mz=0. See juhtum esineb siis, kui Iyz=0, s.t. kui y ja z on ristlõike peainertsiteljed. See tähendab, et siin võetud painutustasand koos x-z-tasandiga langeb kokku tasandiga, milles mõjub painutusmoment M=My, s.t. jõudude tasandiga.
Joon. 5
Kui võrranditest (2) ja (3) elimineerida _E/_ϱ, saadakse valem ühtlase painde pingete määramiseks (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
servapunktide 1 ja 2 puhul on eriti:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Suurusi W1,2 = I/h1,2 (mõõde: pikkus kolmandas astmes) nimetatakse vastupanumomentideks. Kui horisontaalne raskuskesktelg on ühtlasi ristlõike sümmeetriatelg, siis W1 = W2, ning servapinged on absoluutväärtuselt võrdsed.
Elastsusjoon
Joon. 6
Eespool toodud seoste tähtsus on seotud Hooke’i seadusega. See nõuab, et σ << E, seega vastavalt (2) h << ϱ. Painutamine võib siiski olla nii suur, et ϱ on sama suurusjärku kui varda pikkus l. Ehitussektoris arvestatavatel kõveratel varrastel seda juhtumit ei esine; alati on ϱ märksa suurem kui l ja seega läbipaine w << l (joon. 6). Siis kehtib ligikaudu:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
ja selle põhjal (3):
w’’ = - M/EI.
See võrrand ja tasakaalutingimus (1b) moodustavad painutatud varda diferentsiaalvõrrandite süsteemi. Eliminatsiooni teel saab need taandada üheks neljanda järgu võrrandiks:
wIV = + p/EI
või, kui inertsimoment on muutuv:
(EIw’’)’’ = +p.
Nende abil saab integreerimise teel leida elastse joone kuju, kui on antud koormus p=p(x) ja kui iga varrasjuhtumi jaoks on teada kaks piiritingimust. Nendest peavad vähemalt kaks puudutama deformatsiooni. Täpsemalt vt artiklit Ehituskonstruktsioonide staatika.
Ristlõike tuum
Kui neutraalne telg lõikab ristlõike, jagab ta selle tõmbetsooniks ja survetsooniks. Väikese tõmbetugevusega materjalide puhul tekib küsimus, kuhu peab survejõud mõjuma, kui ristlõikes ei tohi kusagil tekkida tõmmet. Jõu rakenduspunkti asukoht on siis piiratud alaga, mida nimetatakse ristlõike tuumikuks. Tuumiku piir on ilmselgelt punktide geomeetriline koht, mille neutraalsed teljed tangivad ristlõiget ümbermõõdu ulatuses. Sellega on ühtlasi antud ka selle konstruktsioon.
Jäseme keskme piiri kaugust raskuskeskmest, mõõdetuna ükskõik millises suunas, tähistame indeksiga k, mis vastab sellele suunale. Peamiste inertsitelgede puhul vastavalt võrrandile
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
mõisted on järgmised:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Ringikujulise ristlõike korral, mille raadius on r, on südamiku kaugus k = r/4, ning ringrõnga korral (raadiused: välimine R, sisemine r) k = (R2 + r2) / 4R.
Ristküliku puhul (joon. 7) on ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Seega piisab ristkülikukujulise ristlõike koormamisel ühes sümmeetriatasanditest (kuid ainult siis), et resultant langeks ristlõike kõrguse või laiuse keskmisse kolmandikku, ning pingete märk ristlõikes oleks ühesugune.
Joon. 7
Painutamine plastilises piirkonnas
Kui painutatud varda servakiududes on voolavuspiir saavutatud, ei ole selle kandevõime veel ammendunud, sest samal ajal kui väliskiud deformeeruvad plastiliselt püsiva pingega, suureneb nende osade pingeseisund, mis asuvad neutraalteljele lähemal ja kus voolavuspiir ei ole veel saavutatud, ning seeläbi suureneb ka ristlõike poolt talutav painutusmoment.
Kui pinge- ja deformatsioonidiagrammi täpne käik on teada, saab protsessi kahekordselt sümmeetriliste ristlõigete (kõrgusega h) puhul hõlpsasti arvutuslikult jälgida nii, et eeldusel, et ristlõiked jäävad tasapinnaliseks, määratakse pinge- ja deformatsioonidiagrammist paindepingete jaotus σ, mis vastab mingile omaks võetud servakiudude pikenemisele ε__r, ning sellest integreerimise teel paindemoment. Kui seda tehakse erinevate ε__r väärtuste puhul ja seejärel arvutatakse vastav läbipaindekõveruse w’’ = 2 ε__r / h, saadakse punktide jada, mille kaudu saab tõmmata joone, mis annab seose paindemomendi ja kõveruse vahel M = M(w’’); see seos ei ole enam lineaarne ning kui see on teada, on võimalik graafilise integreerimise teel määrata antud momendijaotusele vastav läbipaindeliin. Kui ristlõige on asümmeetriline, muutub arvutus keerukamaks, sest iga ε__r puhul tuleb määrata ka neutraaltelje asukoht.
Joon. 8
Arvutus lihtsustub mõnevõrra, kui ristlõike sümmeetriale lisaks eeldada ka lihtsustatud seost pingete ja deformatsiooonide vahel vastavalt joon. 8. Siis on painutuspingete jaotus pärast voolavuspiiri ületamist kujutatud joon. 9 ja painutusmoment on:
ja paindjoone kõverus saadakse siis, kui võrrand (2) rakendatakse ristlõike osale, mille pinged elastses piirkonnas on w’’ = σf / Ez’. Kui ristlõike kuju on iga valitud z’ korral teada, saab integraalid välja arvutada. Näiteks lihtsaima juhtumi korral on ristkülikukujulise ristlõike, mille laius on b ja kõrgus h, puhul
Kui siin z’ avaldada w’’ kaudu, saadakse
I-profiilide ja nendega sarnaste puhul on M-w’’ kõvera kulg plastilises piirkonnas veelgi lamedam ning moment, mille juures algab voolamine, on siis praktiliselt võrdne suurima painutusmomendiga, mida profiil üldse suudab kanda. Seetõttu ei seisne plastilise paindumise tähtsus ehituses mitte selles, et suureneb painutusmoment, mida profiil võib kanda, vaid selles, et voolamispiiril tekkiv suur lokaalne deformatsioon võib viia jõudude jaotuse soodsale muutumisele staatiliselt määramatutes süsteemides.
Joon. 9
Seda saab selgitada kahe avaga pideva tala näitel. Olgu talal (joon. 10) võrdse pikkusega avad, konstantne ristlõige ja olgu see koormatud ühtlase jaotusega koormusega. Siis on enne voolavuspiiri saavutamist toetusmomendiks MB = _pl_2/8. Kui koormust p suurendatakse nii palju, et toetusristlõike moment jõuab väärtuseni Mf, mille juures algab voolavus, siis koormuse edasisel suurenemisel suureneb selles kohas ka kõverus ilma märgatava momendi kasvuta. Tekib nn plastiline liigend, s.t. tala käitub täiendava koormuse all nii, nagu keskmise toe kohal oleks liigend. Koormust võib edasi suurendada seni, kuni ka ava suurima momendi kohas algab voolavus. Paindemomendi edasine suurendamine ei ole enam võimalik ja tala kandevõime on ammendunud. Koormus, mille juures see seisund tekib, nimetatakse piiskoormuseks.
Joon. 10
Üldiselt võib eeldada, et ühes n korda staatiliselt määramatus süsteemis peab enne süsteemi liikuvaks muutumist ja seega selle kandevõime piiri saavutamist tekkima (n+1) plastset liigendit. Sellel reeglil on aga mõlemas suunas erandeid. Nagu toodud näide näitab, võivad kandevõime piiril üheaegselt tekkida kaks uut plastset liigendit (mõlemas väljas), nii et seni veel liikumatu süsteem läheb korraga üle kahe vabadusastmega süsteemiks. Teisalt on võimalik, et ka vähem kui (n+1) plastse liigendi korral ammendub kandevõime lokaalselt, nt kui pidevkanduri puhul annab järele ainult üks väli. Joon. 11 näitab, kuidas see võib juhtuda staatiliselt kahekordselt määramatus süsteemis, millel n=2 plastset liigendit. Kui kanduri paremale poolele lisada veel neljas väli, muutub kandur kolmekordselt staatiliselt määramatuks, seega piisab (n-1) plastsest liigendist, et viia ainult vasak väli kandevõime piirini.
Joon. 11
Lõikepinged painutamisel
Elementaarne arvutus
Joon. 12
Normaalpinged σ, s.o pinged, mis tegelikult tekivad painutamisel, ei ole painutatud vardas ainsad pinged, vaid lisaks neile tekivad ka nihkepingeid ristjõu mõjul. Arvestades, et painutuse tehnilise teooria põhijooneks on see, et nihkepingetest tulenevad deformatsioonid jäetakse tähelepanuta, saab need määrata ainult tasakaalutingimusest. Selle seadmiseks lõigatakse tala element dx, nagu on näidatud joonisel 12, horisontaaltasandiga kaheks osaks ning kehtestatakse tasakaalutingimus alumisele osale mõjuvate horisontaalsete jõudude kohta. Vasakul poolel on need sisemised jõud, mida väljendavad painutusest tingitud pinged σ, mille puhul tuleb integreerida alates z’ = z kuni z’ = h2
Paremal poolel mõjuvad samad pinged, kuid vastava painutusmomendi M + dM järgi diferentsiaali võrra suurendatuna. Jõudude erinevus elemendi mõlemal küljel peab olema tasakaalus nihkepingete τ tõttu tekkiva jõuga, mis mõjub horisontaalses ristlõikepinnas t dx:
Siin kujutab integraal endast horisontaalse lõikepinna poolt eraldatud ristlõikeosa staatilist momenti lõike raskuskesktelje suhtes. Seda tähistatakse S-ga. Seosest dM/dx = Q tasakaalutingimusest saadakse:
τ = QS/It. (8)
See on nihkepingete konjugatsiooni käsitluse järgi ühtlasi vertikaalse nihkepinge suurus, mis toimib ristlõike pinnal ja mis on koos S ja t-ga funktsioon z-st.
Joon. 13
Joon. 13.1
Võrrand (8) annab usaldusväärseid andmeid kõigi õhukeseseinaliste ristlõigete puhul, kui lõiketasand ei asetata paralleelselt neutraalteljega, vaid seina paksuse suunas. Seega lõigatakse I-profiili ristisuunas läbi vöö ja ristisuunas läbi flantsi, mille tulemusel saadakse joonisel 13.1 kujutatud pingete jaotus. Rõngakujulise ristlõike puhul (joon. 13) on nihkepinged jaotunud sümmeetriliselt vertikaalse läbimõõdu suhtes ning vasakul ja paremal neutraalteljel saavutavad maksimumi
τ = Q / πrt.
Kui ristlõige on lõigatud kõige kõrgemast või kõige madalamast kohast, ei muutu nihkepingete jaotus; kui aga see on lõigatud horisontaalse läbimõõdu paremast otsast (joon. 14), on nihkepinge selles kohas võrdne nulliga, vasakus otsas aga kahekordistub selle väärtus.
Joon. 14
Täislõiked
Täispooride suvalise kujuga ristlõigete puhul on nihkepingete probleem tihedalt seotud väändega. Elementaarne võrrand (8) ei ole sel juhul enam usaldusväärne. Ringi ristlõike korral raadiusega r annab võrrand (8)
τ = 4Q / 3__πr2
kui keskmine nihkepinge väärtus neutraaltelje suunas, kuid täpne väärtus on vaid mõne protsendi võrra suurem.
Nihkekeskus
Kui U-profiili jaoks arvutatakse nihkepingeid eespool kirjeldatud viisil, saadakse joonisel 15 kujutatud pingejagunemine. Vastavate sisemiste jõudude resultant on põikjõud Q. Jooniselt on näha selle asend ristlõike suhtes, seega et see ei läbi ei ristlõike raskuskeset ega asu ka ribi tasapinnas. Kui välisjõudude põhjal arvutatud põikjõu asend ei ole selline, nagu on näidatud joonisel 15, siis tala ei ole koormatud ainult painutusele, vaid ka väändele.
Kui samale ristlõikele määratakse tulem, mis vastab nihkepingetele mingi horisontaalse koormuse korral, saadakse horisontaalse põikjõu mõjujoon. Nende kahe mõjujoone lõikepunktis asub antud ristlõike iseloomulik punkt, mida nimetatakse nihkekeskmeks M. Kanduris ei teki torsioonist tingitud pingeid, kui kõigi ristlõigete nihkekeskmed asuvad ühel sirgel ja kõik varda teljega risti mõjuvad koormused läbivad seda sirget. Vastasel juhul kujutab iga koormuse moment selle sirge suhtes, mis ühendab nihkekeskmeid, torsioonilist nihkumist.
Joon. 15
Ristsuunalise jõu mõju painutusele
Tehniline paindeteooria tugineb nihkepingetest tingitud deformatsioonide eiramisele. Seetõttu saab seda tegelikult rakendada saledate varraste puhul, kus see eiramine on põhjendatud ja kus põikjõul ei ole märgatavat mõju paindumisele.
Kogemus on siiski näidanud, et tehnilist paindeteooriat saab teatava eduga rakendada ka lühikeste, kõrgete kandurite puhul, mille jaoks see tegelikult üldse ei ole ette nähtud. Siis tekib vajadus arvestada nihkepingetest põhjustatud deformatsiooni mõju, mis selles teoorias on eiratud, vähemalt ligikaudselt tagantjärele.
Samuti nagu nihkepinge τ ristjõudude mõjul ja vastavad nihked γ_’ =_ τ_/G_ on ristlõikes ebaühtlaselt jaotunud. Seetõttu võetakse kasutusele nende keskmine väärtus γ, mis määratakse nii, et ristjõud teeb selle keskmise deformatsiooniväärtuse korral talajäsemel dx deformatsioonitööd sama palju, kui saaduks üksikute ruumielementide nihkepingete tööde integreerimisel, millest vaadeldav talaelement koosneb:
kust see on
Integraali saab arvutada siis, kui on teada nihkepingete jaotus ristlõikes. Kuna kõik nihkepinged on võrdelised Q/F-ga, siis on selle väärtus võrdeline Q2/F2 * F-ga ning seades, et see on κ__Q2/F, saadakse
γ = κ__Q / GF.
Konstanti κ nimetatakse nihkepingete jaotusteguriks. Ristkülikukujuliste ristlõigete puhul on κ=1,2.
Joon. 16
Kui tegur κ on teada ja seega ka keskmine libisemine γ, saab arvutada täiendava läbipainde wQ, mis tekib põikjõudude mõjul ja tuleb liita läbipainetele w: sest joonise 16 järgi on
ning seetõttu on, kuna Q = dM/dx:
kusjuures integreerimiskonstant saadakse ühest piiritingimusest.