STRUCHTAR NA SCRÍOBA NORMÁLTA I GCÁS báir dhíreacha agus báir le cuas bheag
Sainmhíniú ar na fórsaí gearrtha
Glacaimid go bhfuil barra díreach luchtaithe le fórsaí de threoir ar bith, agus is é an t-aon ghlacadh atá ann ná go luíonn siad uile i bplána amháin (plána na bhfórsaí) a théann trí ais an bharra (an líne a nascann lártheifid na dtrasghearrthacha).
Fíor 1
Chun na strusanna a fheidhmíonn in aon trasghearradh n – n (fig. 1) a ríomh, is gá an fórsa a bheith ar eolas a tharchuirtear tríd an trasghearradh seo ó chuid amháin den bharra go dtí an chuid eile. Is léir, de réir mhéid agus shuímh, gurb ionann é agus an toradh uilechumtha ar na fórsaí go léir a ionsaíonn cuid amháin den bharra. Déantar an toradh seo a bhriseadh ina chomhpháirteanna i gcóras comhordanáidí a bhfuil a ais x ag teacht le hais an bharra, agus a ais z mar an líne feadh a ngearrann eitleán an trasghearrtha eitleán na bhfórsaí. Tugtar fórsa trasnánach Q nó Qz ar an gcomhpháirt i dtreo ais z, agus i gcás bíoma shimplí meastar go bhfuil sí dearfach má bhíonn treo aníos aici ar chlé den trasghearradh, agus anuas ar dheis.
Nuair a bhíonn an barra cuartha, bíonn na haiseanna comhordanáidí x agus z i dtreo eile i ngach trasghearradh, agus i gcónaí sa chaoi is go bhfuil an t-ais x ina tadhlaí d’ais an bharra. Mura n-oireann an plána ina luíonn ais an bharra don phlána fórsaí, nó má tá ais an bharra ina cuar spásúil, bíonn tríú comhpháirt ag an réalt fórsaí ar chlé den trasghearradh, an fórsa trasnánach Qy. Le N, Qz agus Qy déantar méid agus treo an fhórsa a tharchuirtear tríd an trasghearradh a chinneadh, ach ní a shuíomh. Chun sin is gá go mbeadh a mhóimintí i leith na n-aiseanna comhordanáidí ar eolas freisin. I gcás lúbadh cothrom is leor go mbeadh an mhóimint lúbtha M nó My ar eolas. Sa chás is ginearálta, tagann móimint lúbtha eile Mz agus móimint timpeall an ais x, Mx chun cinn.
Cuimsítear na sé fhórsa agus na móimintí a sainmhíníodh sa phlé roimhe seo faoin ainm coiteann „fórsaí trasghearrtha“. Tá a gcinneadh ar cheann de na príomhthascanna i staitic na struchtúr tógála.
Idir an t-ualach leanúnach p (toise: fórsa in aghaidh an aonaid faid), na fórsaí trasnacha Q agus an mhóimint lúbtha M tá gaol simplí ann i gcás lúbadh comhréidh. Go deimhin, ó choinníoll chothromaíochta eilimint de bharra (fíor 2) faightear
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
mar sin
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Fíor. 2
Dáileadh na strusanna gnáthúla
Má bhíonn an tslat faoi ualach aiseach amháin, bíonn an strus normálach a dháiltear go cothrom σ le feiceáil sa trasghearradh (slat faoi tharraingt, nó slat faoi bhrú). Má tharlaíonn móimint lúbtha ina theannta sin, caithfear na struis seo a dháileadh ar bhealach éigin go neamhchothrom, ionas nach dtéann a gcomhthoradh tríd a thuilleadh trí lár domhantarraingthe an trasghearrtha. Chun an dáileadh seo a chinneadh, ní thosaíonn teoiric theicniúil an lúbtha ó réiteach dian na mbonnechothromóidí, ach cuirtear cuid de na cothromóidí sin in ionad le toimhde inchreidte, a chomhlíontar go dian ag an am céanna i gcás ar leith thar a bheith simplí. Is é an cás speisialta sin lúbadh slat phriosmataigh dhíreach gan gníomhú fórsaí trasnacha (fig. 3). Bíonn an dífhoirmiú céanna ar gach eilimint den tslat atá sách fada óna foircinn, agus is léir uaidh sin go n-éiríonn ais na slaite ina chuar ciorclach agus go bhfanann gach plána de na trasghearrthacha, a bhí ingearach ar dtús le hais na slaite, cothrom le linn an dífhoirmithe, ós rud é gur plána siméadrachta í gach ceann acu do na codanna comharsanacha den tslat dhífhoirmithe. Tagann an toimhde nádúrtha chun cinn go bhfanann na trasghearrthacha beagnach cothrom fiú nuair nach mbíonn móimint an lúbtha ná trasghearradh na slaite seasmhach, ach nuair a athraíonn siad de réir a chéile feadh na slaite. Tá an toimhde seo, ar a nglaotar hipitéis Navier-, mar bhunús le teoiric an lúbtha.
Fíor 3
Méid na strusanna normálta
Nuair a lúbtar ball díreach den bhíoma, síneann cuid dá “shnáithíní”, is é sin, línte ábhartha atá comhthreomhar le hais an bharra, agus giorraíonn an chuid eile (fig. 4). Idir an dá chuid seo tá na snáithíní neodracha z=0, nach n-athraíonn a bhfad le linn lúbtha. Glacaimis go bhfuil ga cuaire na snáithíní seo sa riocht lúbtha ϱ agus go bhfuil sé suite sa phlána x-z. Is féidir a léamh as fig. 4 može se read
Δ dx/z = _dx/_ϱ
agus an síneadh snáithíní ar an achar z ón ais neodrach a ríomhadh as sin, a bhfuil sé cothrom le
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
agus mar sin, bunaithe ar dhlí Hooke-a, is é an strus
σ _= Ez/_ϱ (2)
Fíor. 4
Tá an strus seo comhréireach leis an achar ón neodráin. Tá toradh mar sin bunaithe ar an toimhde go raibh gach snáithín den ghné den tslat ar comhfhad roimh an dífhoirmiú, ionas go raibh an tslat ar dtús díreach, nó ar a laghad le cuaire chomh beag sin gur féidir tionchar na cuaire a neamhaird. Tugtar an ais neodrach ar an líne ar a dtrasnaíonn an ciseal neodrach agus an t-eitleán trasghearrtha a chéile. Glacaimid léi mar an y-ais (fíor 5). Faightear suíomh na haise neodraí sa trasghearradh ó choinníoll chothromaíocht na bhfórsaí i dtreo an x-ais: má tá an fórsa normálta N=0 (lúbadh gan fórsa normálta), ansin caithfidh an toradh ar na fórsaí inmheánacha a chuirtear in iúl trí na struis normálta sa trasghearradh a bheith cothrom le nialas freisin:
Is é an t-integral ar an taobh deas móimint statach an achair maidir leis an ais y. Chun go mbeadh sé cothrom le nialas, caithfidh an ais seo a bheith ar cheann de na haiseanna domhantarraingthe.
Tá na comhpháirteanna seo a leanas ag an moment M a chuireann an dífhoirmiú faoi deara maidir leis na haiseanna y agus z in eitleán an trasghearrtha (fig. 5):
Coth. (3)
ina bhfuil Iy, Iyz ina móiminteam táimhe eicvatairéil agus lártheifeacha den trasghearradh i leith na n-aiseanna marcáilte.
Is é an cás speisialta is tábhachtaí nuair atá Mz=0. Tarlaíonn an cás seo nuair atá Iyz=0, is é sin nuair is iad na haiseanna y agus z príomhaiseanna táimhe an trasghearrtha. Ciallaíonn sé sin go gcomhfhreagraíonn an plána lúbtha a ghlactar anseo leis an bplána x-z\ leis an bplána ina ngníomhaíonn an móimint lúbtha M=My, is é sin leis an bplána fórsaí.
Fíor 5
Má dhéantar _E/_ϱ a dhíchur ó na cothromóidí (2) agus (3), faightear an patrún chun an strus a chinneadh i lúbadh díreach (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
do na pointí imeallacha 1 agus 2 go háirithe:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Tugtar móimintí friotaíochta ar na méideanna W1,2 = I/h1,2 (toise: fad chuig an tríú cumhacht). Má bhíonn ais lárnach chothrománach ina ais siméadrachta an trasghearrtha freisin, ansin W1 = W2, agus mar sin tá na strusanna imeallacha cothrom ó thaobh luacha absalóidigh de.
An líne leaisteach
Fíor. 6
Tá tábhacht na samhlacha thuasluaite ceangailte le dlí Hooke. Éilíonn sé seo go bhfuil σ << E, mar sin de réir (2) h << ϱ. Féadfaidh an lúbadh a bheith chomh mór sin, áfach, go mbeidh ϱ ar an ord céanna le fad na slaite l. I gcás slata lúbtha a thagann i gceist sa tógáil ní tharlaíonn an cás seo; bíonn ϱ i gcónaí i bhfad níos mó ná l agus dá réir sin an t-íoslaghdú w << l (fig. 6). Ansin tá sé garbhbhailí:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
agus ar bhonn (3):
w’’ = - M/EI.
Is córas cothromóidí difreálacha an tslait lúbtha í an chothromóid seo agus an coinníoll cothromaíochta (1b). Trí dhíchur, is féidir iad a laghdú go cothromóid amháin den cheathrú hord:
wIV = + p/EI
nó, i gcás go bhfuil an chasmhóimint táimhe inathraithe:
(EIw’’)’’ = +p.
Ón gcuid sin is féidir, trí chomhtháthú, cruth na líne leaisteacha a fháil nuair atá an t-ualach tugtha p=p(x) agus nuair is eol dhá choinníoll teorann do gach cás slata. Caithfidh ar a laghad dhá cheann díobh seo tagairt do dhífhoirmiú. Le haghaidh sonraí féach an t-alt Stataic struchtúr tógála.
Croí an trasghearrtha
Má ghearrann an ais neodrach trasghearradh, roinneann sí ina chrios teannais agus ina chrios brú é. I gcás ábhar a bhfuil neart teanntachta íseal acu, tagann an cheist chun cinn cá háit ar cheart don fhórsa brú gníomhú, má tá cosc ar theannas áit ar bith sa trasghearradh. Bíonn suíomh an phointe gnímh fórsa teoranta ansin don limistéar a dtugtar croí an trasghearrtha air. Is léir gurb é teorainn an chroí locus na bpointí a mbaineann a n-aiseanna neodracha leis an trasghearradh ar a imlíne. Tugtar an tógáil dó leis seo freisin.
Glaoimid an fad ón teorainn leis an gcroí go dtí an lárchroí, arna thomhas in aon treo, leis an k faoin innéacs a fhreagraíonn don treo sin. I gcás na n-ais phríomha táimhe de réir na cothromóide
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
is iad na téarmaí seo a leanas:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Maidir le trasghearradh ciorclach ga r, is é an fad go dtí an croí k = r/4, agus maidir le fáinne ciorclach (gaí: seachtrach R, inmheánach r) k = (R2 + r2) / 4R.
I gcás dronuilleog (fig. 7) is ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Mar sin, nuair a chuirtear ualach ar thrasghearradh dronuilleogach i gceann de na plánaí siméadrachta (ach ansin amháin) is leor go ngníomhóidh an toradh sa tríú cuid lárnach den airde nó den leithead den trasghearradh, ionas go mbeidh an comhartha céanna ar na strusanna sa trasghearradh.
Fíor. 7
Lúbadh sa réimse plaisteach
Nuair a bhíonn an teorainn toraidh bainte amach i snáithíní imeallacha na slaite lúbtha, ní bhíonn a hacmhainn iompartha ídithe fós dá réir sin, mar, fad a bhíonn na snáithíní seachtracha ag dífhoirmiú go plaisteach faoi strus tairiseach, sna codanna atá níos gaire don ais neodrach, i gcás nach bhfuil an teorainn toraidh bainte amach fós, méadaíonn an strus, agus mar sin méadaíonn an móimint lúbtha is féidir leis an trasghearradh a iompar.
Má tá cúrsa cruinn na ndíagram struis agus dífhoirmithe ar eolas, is féidir an próiseas do thrasghearrthacha siméadracha dúbailte (airde h) a leanúint go ríomhchomhréireach go héasca ar an mbealach seo: faoi ghlacadh go bhfanann na trasghearrthacha cothrom, déantar an dáileadh struis σ de dheasca lúbtha a chinneadh ón díagram struis agus dífhoirmithe a fhreagraíonn do dhilatação roghnaithe éigin den tsnáithín deiridh ε__r, agus as sin, trí chomhtháthú, déantar an nóiméad lúbtha a chinneadh. Má dhéantar é seo do luachanna éagsúla ε__r agus, ar an lámh eile, má ríomhtar ga cuartha na líne diallta w’’ = 2 ε__r / h dá réir, faightear sraith pointí trína bhféadfar líne a tharraingt a thugann an gaol idir an nóiméad lúbtha agus an chuaire M = M(w’’); níl an gaol seo líneach a thuilleadh, agus nuair atá sé ar eolas is féidir, trí chomhtháthú grafach, an líne diallta a fhreagraíonn do dháileadh áirithe nóiméad a chinneadh. Má tá an trasghearradh neamhshiméadrach, bíonn an ríomh níos casta, sa mhéid is gur gá, do gach ε__r, suíomh na haise neodraí a chinneadh freisin.
Fíor. 8
Éascaítear an ríomh go pointe áirithe má ghlactar, sa bhreis ar shiméadracht an trasghearrtha, le gaol simplithe idir strusanna agus dífhoirmíochtaí de réir fig. 8. Ansin tá dáileadh ag na strusanna mar gheall ar lúbadh, tar éis an pointe teagmhais a shárú, mar a léirítear i bhfíor 9 agus is é an nóiméad lúbtha:
agus faightear lúbthacht na líne sraonaidh nuair a chuirtear cothromóid (2) i bhfeidhm ar chuid den trasghearradh a bhfuil a strusanna sa réimse leaisteach w’’ = σf / Ez’. Má tá cruth an trasghearrtha ar eolas do gach z’ a ghlactar, is féidir na hiontagrail a ríomh. Mar shampla, i gcás is simplí an trasghearrtha dronuilleogaigh le leithead b agus airde h is ea
Má chuirtear z’ in iúl anseo trí w’’, faightear
I gcás trasghearrthacha I agus cinn cosúil leo, tá cúrsa na cuair M-w’’ sa réimse plaisteach níos cothroime fós, agus tá an nóiméad ag a dtarlaíonn sreabhadh beagnach cothrom leis an nóiméad lúbtha is mó is féidir leis an trasghearradh a sheasamh ar chor ar bith. Dá bhrí sin, ní bhaineann tábhacht an lúbtha phlaistigh sa tógáil le méadú ar an nóiméad lúbtha is féidir leis an trasghearradh a iompar, ach leis an bhfíric gur féidir leis an dífhoirmiú mór logánta a tharlaíonn ag teorainn an tsreafa athrú fabhrach a dhéanamh ar dháileadh na bhfórsaí i gcórais statach-neamhchinntithe.
Fig. 9
Is féidir é seo a mhíniú ar shampla an iompróra leanúnaigh thar dhá réimse. De bhrí go bhfuil réimsí ar comhfhad, trasghearradh tairiseach agus go bhfuil sé luchtaithe le hualach dáileáilte go cothrom (féach an figiúr 10). Ansin, sula sroichtear teorainn an tsreafa, is é an nóiméad os cionn na tacaíochta MB = _pl_2/8. Má mhéadaítear an t-ualach p chomh mór sin go sroicheann an nóiméad sa trasghearradh tacaíochta an luach Mf ag a dtosaíonn an sreabhadh, ansin le méadú breise ar an ualach ag an áit sin méadóidh an chuaracht freisin gan méadú suntasach ar an nóiméad. Cruthaítear an comhpháirt phlaisteach mar a thugtar air, is é sin, iompraíonn an t-iompróir faoi ualach breise amhail is dá mbeadh comhpháirt os cionn na tacaíochta lárnaí ann. Is féidir an t-ualach a mhéadú tuilleadh go dtí go dtosaíonn an sreabhadh freisin ag an áit ina bhfuil an nóiméad is mó sa réimse. Ní féidir an nóiméad lúbtha a mhéadú a thuilleadh agus tá acmhainn iompair an iompróra ídithe. Tugtar an t-ualach teorann ar an ualach faoina dtarlaíonn an staid seo.
Fíor. 10
Go ginearálta is féidir a bheith ag súil go mbeidh ar chóras atá n huaire neamhchinntithe go statach teacht chun cinn (n+1) alt plaisteacha sula n-éireoidh an córas inaistrithe agus go sroichfidh sé a theorainn iompair dá bhrí sin. Tá eisceachtaí sa riail seo, áfach, sa dá threo. Mar a léiríonn an sampla a luaitear, is féidir le dhá alt plaisteacha nua teacht chun cinn ag an am céanna ag teorainn na hiompair (sa dá réimse), ionas go n-aistreoidh córas a bhí dochorraithe go dtí sin go tobann go córas le dhá chéim saoirse. Ar an taobh eile, is féidir go mbeidh an acmhainn iompair ídithe go háitiúil fiú le níos lú ná (n+1) alt plaisteacha, mar shampla nuair a theipeann ar réimse amháin amháin i gcrann leanúnach. Taispeánann Fíor 11 conas is féidir leis sin tarlú i gcóras atá dúbailt neamhchinntithe go statach le n=2 alt plaisteacha. Má chuirtear ceathrú réimse leis ar thaobh dheis an chrainn, éiríonn an chrann trí chéad neamhchinntithe go statach, agus is leor ansin (n-1) alt plaisteacha chun an réimse clé amháin a thabhairt go teorainn na hiompair.
Fíor. 11
Strusanna lomtha le linn lúbtha
Ríomh bunúsach
Fíor. 12
Ní hiad na gnáth-struisí σ, is é sin le rá na struisí a tharlaíonn i ndáiríre mar gheall ar lúbadh, na struisí amháin sa tslat lúbtha; chomh maith leo sin, tagann struisí lomtha chun cinn faoi ghníomh an fhórsa thrasnaigh. Ós rud é gurb í príomhghné na teoirice theicniúla lúbtha ná go ndéantar faillí i ndíformálachtaí de bharr struisí lomtha, ní féidir iad seo a chinneadh ach as an gcoinníoll cothromaíochta. Chun é seo a leagan síos, gearrtar eilimint an ghiarsa dx ina dhá chuid le plána cothrománach, mar a léirítear i bhfíor 12, agus leagtar síos coinníoll cothromaíochta na bhfórsaí cothrománacha a ghníomhaíonn ar an gcuid íochtarach. Ar an taobh clé is iad sin na fórsaí inmheánacha arna gcur in iúl ag na struisí σ de bharr lúbtha, ar gá iad a chomhtháthú ó z’ = z go z’ = h2
Ar an taobh dheis gníomhaíonn na strusanna céanna, ach méadaithe de réir na difreála de réir an mhóimint lúbthachta chomhfhreagraigh M + dM. Caithfidh an difríocht idir na fórsaí ar dhá thaobh na heiliminte a bheith i gcothromaíocht leis an bhfórsa de bharr na strusanna lomadh τ a ghníomhaíonn sa dromchla trasghearrtha cothrománach t dx:
Anseo is ionann an t-integral agus móimint statach na coda den trasghearradh atá leithlisithe ag eitleán trasnánach cothrománach i leith ais thromchúiseach an trasghearrtha. Léirítear é le S. Ó dM/dx = Q de réir an choinníll cothromaíochta faightear:
τ = QS/It. (8)
Is í seo, de réir an phrionsabail ar chomhchongain na strusanna lomtha, méid an struis lomtha ingearaigh a ghníomhaíonn i ndromchla an trasghearrtha agus atá, in éineacht le S agus t, ina fheidhm de z.
Fíor. 13
Fig. 13.1
Tugann an chothromóid (8) sonraí iontaofa do gach trasghearradh balla tanaí má chuirtear an plána trasghearrtha ní i gcomhthreo leis an ais neodrach, ach i dtreo thiús an bhalla. Dá réir sin gearrtar próifíl I go trasna tríd an rib agus go trasna tríd an bhflanse, rud a thugann an dáileadh struis a thaispeántar i bhfíor 13.1. I gcás trasghearradh fáinneach (fíor 13), tá na strusanna lomtha eagraithe go siméadrach i leith an trastomhais ingearaigh agus sroicheann siad an t-uasmhéid ar chlé agus ar dheis ar an líne neodrach
τ = Q / πrt.
Má ghearrtar an trasghearradh ag an bpointe is airde nó is ísle, ní athraíonn dáileadh na strusanna lomtha; áfach, má ghearrtar é ag foirceann deas an trastomhais chothrománaigh (fig. 14), bíonn an strus lomtha ag an bpointe sin cothrom le nialas, agus dúbailtíonn a luach ag foirceann clé an trastomhais chéanna.
Fíor 14
Trasghearrthacha iomlána
I gcás trasghearrthacha soladacha de chruth treallach tá fadhb na strusanna lomtha dlúthcheangailte le fadhb na torsainne. Níl an chothromóid bhunúsach (8) iontaofa a thuilleadh sa chás sin. I gcás trasghearrtha ciorclaigh le ga r tugann cothromóid (8)
τ = 4Q / 3__πr2
mar mheánluach an struis lomadh feadh an ais neodraigh, agus níl an luach cruinn ach cúpla faoin gcéad níos mó.
Lár lomtha
Má ríomhtar na strusanna lomtha do thrasghearradh U ar an mbealach a thuairiscítear thuas, faightear dáileadh struis a thaispeántar i bhfig. 15. Is í an fhórsa thrasnach Q an toradh iomlán ar na fórsaí inmheánacha comhfhreagracha. Is féidir a suíomh i gcoibhneas leis an trasghearradh a fheiceáil ón bhfigiúr, mar sin ní théann sí trí lár na maise den trasghearradh ná ní luíonn sí i bplána na n-easnacha. Mura bhfuil an fhórsa thrasnach, a ríomhtar bunaithe ar na fórsaí seachtracha, sa suíomh a thaispeántar i bhfig. 15, níl an t-iompróir faoi ualach lúbtha amháin, ach faoi thorcsa freisin.
If, for the same cross-section, the resultant corresponding to shear stresses for some horizontal load is determined, the line of action of the horizontal transverse force is obtained. At the intersection of these two lines of action lies the characteristic point for the given cross-section, called the shear centre M. Stresses due to torsion do not occur in a beam when the shear centres of all cross-sections lie on one straight line, and all loads perpendicular to the axis of the bar pass through that line. Otherwise, the moment of each load with respect to the line joining the shear centres represents torsional shear.
Fíor. 15
Tionchar na fórsa trasnaí ar lúbadh
Tá teoiric theicniúil an lúbtha bunaithe ar neamhaird a dhéanamh de na dífhoirmíochtaí a eascraíonn as strusanna lomtha. Dá réir sin, is féidir í a chur i bhfeidhm i ndáiríre ar shlata chaola, ina bhfuil an neamhaird seo údaraithe agus nach mbíonn tionchar suntasach ag an bhfórsa trasnaí ar an lúbadh.
Experience has shown, however, that the technical theory of bending can, with a certain degree of success, also be applied to short, deep beams, for which it was in fact not intended at all. This makes it necessary to take the influence of deformation due to shear stresses, which is neglected in this theory, into account later, at least approximately.
Just as the shear stresses τ due to transverse forces and the corresponding slips γ_’ =_ τ_/G_ are distributed unevenly over the cross-section. For this reason, their mean value γ is introduced, determined so that the transverse force, at this mean value of deformation, performs on the beam element dx a deformation work equal to that which would be obtained by integrating the work of the shear stresses over the individual volume elements that make up the observed beam element:
cá as atá sé
Is féidir an t-iontegral a ríomh nuair a bhíonn dáileadh na strusanna lomtha thar an trasghearradh ar eolas. Ós rud é go bhfuil na strusanna lomtha uile comhréireach le Q/F, tá a luach comhréireach le Q2/F2 * F, agus mar sin, má ghlactar gur κ__Q2/F é, faightear
γ = κ__Q / GF.
Tugtar comhéifeacht dáileadh na struis lomtha ar an tairiseach κ. Do thrasghearrthacha dronuilleogacha is é κ=1,2.
Fíor. 16
Nuair a bhíonn an chomhéifeacht κ ar eolas, agus dá réir sin an meán-shleamhnú γ, is féidir an claonadh breise wQ a tharlaíonn de bharr fórsaí trasnacha a ríomh, agus ba chóir é a chur leis na claontaí w: mar, de réir fig. 16 is é
agus dá bhrí sin de réir Q = dM/dx:
where the integration constant is obtained from one boundary condition.