Naprężenia normalne w przypadku prostych prętów i prętów o małej krzywiźnie
Definicja sił przekrojowych
Niech prosty pręt będzie obciążony siłami o dowolnym kierunku, przy czym zakłada się jedynie, że wszystkie leżą w jednej płaszczyźnie (płaszczyzna sił) przechodzącej przez oś pręta (linia łącząca środki ciężkości przekrojów poprzecznych).
Rys. 1
Aby obliczyć naprężenia działające w pewnym przekroju poprzecznym n – n (rys. 1), trzeba znać siłę przenoszoną przez ten przekrój z jednej części pręta na drugą. Jest ona oczywiście równa co do wielkości i położenia wypadkowej wszystkich sił działających na jedną część pręta. Tę wypadkową rozkłada się na składowe w układzie współrzędnych, którego oś x pokrywa się z osią pręta, a oś z jest linią, wzdłuż której płaszczyzna przekroju poprzecznego przecina płaszczyznę sił. Składowa w kierunku osi z nazywa się siłą poprzeczną Q lub Qz i dla belki swobodnie podpartej uważa się ją za dodatnią, jeśli po lewej stronie przekroju ma zwrot ku górze, a po prawej ku dołowi.
Gdy pręt jest zakrzywiony, osie współrzędnych x i z mają w każdym przekroju inny kierunek, i to zawsze tak, że oś x jest styczna do osi pręta. Jeżeli płaszczyzna, w której leży oś pręta, nie pokrywa się z płaszczyzną sił, albo jeśli oś pręta jest krzywą przestrzenną, wypadkowa sił na lewo od przekroju ma również trzecią składową, siłę poprzeczną Qy. Z N, Qz i Qy określone są wielkość i kierunek siły przenoszonej przez przekrój, lecz nie jej położenie. Do tego konieczne jest także poznanie jej momentów względem osi współrzędnych. W przypadku zginania płaskiego wystarczy znać moment zginający M lub My. W najbardziej ogólnym przypadku pojawia się jeszcze jeden moment zginający Mz oraz moment względem osi x, Mx.
Sześć sił i momentów zdefiniowanych w poprzednim omówieniu objęto wspólną nazwą „siły przekrojowe”. Ich określenie jest jednym z podstawowych zadań statyki konstrukcji budowlanych.
Między ciągle rozłożonym obciążeniem p (wymiar: siła na jednostkę długości), siłą poprzeczną Q i momentem zginającym M istnieje w przypadku zginania płaskiego prosty związek. Mianowicie z warunku równowagi jednego elementu pręta (rys. 2) otrzymuje się
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
dlatego
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Rys. 2
Rozkład naprężeń normalnych
Jeżeli pręt jest obciążony wyłącznie siłą osiową, w przekroju występuje tylko równomiernie rozłożone naprężenie normalne σ (pręt rozciągany, wzgl. ściskany). Jeżeli ponadto występuje moment zginający, naprężenia te muszą być w pewien sposób nierównomiernie rozłożone, tak aby ich wypadkowa nie przechodziła już przez środek ciężkości przekroju. Aby określić ten rozkład, techniczna teoria zginania nie wychodzi od ścisłego rozwiązania równań podstawowych, lecz zastępuje część tych równań prawdopodobnym założeniem, które w jednym szczególnie prostym przypadku jest zarazem spełnione ściśle. Tym szczególnym przypadkiem jest zginanie prostego pryzmatycznego pręta bez działania sił poprzecznych (rys. 3). Wszystkie elementy pręta dostatecznie oddalone od jego końców doznają jednakowego odkształcenia, z czego bezpośrednio wynika, że oś pręta przechodzi w łuk kołowy oraz że wszystkie płaszczyzny przekrojów poprzecznych, które pierwotnie były prostopadłe do osi pręta, pozostają przy odkształceniu płaskie, ponieważ każda z nich jest płaszczyzną symetrii dla sąsiednich części odkształconego pręta. Naturalnie nasuwa się przypuszczenie, że przekroje poprzeczne pozostają w przybliżeniu płaskie także wtedy, gdy moment zginający i przekrój pręta nie są stałe, lecz zmieniają się stopniowo wzdłuż pręta. To założenie, zwane hipotezą Naviera, leży u podstaw teorii zginania.
Rys. 3
Wielkość naprężeń normalnych
Gdy zgina się prosty element belki, jedna część jego „włókien”, tj. linii materialnych równoległych do osi pręta, wydłuża się, podczas gdy druga część ulega skróceniu (rys. 4). Pomiędzy tymi dwiema częściami leżą włókna neutralne z=0, których długość podczas zginania nie zmienia się. Niech promień krzywizny tych włókien w stanie zgiętym wynosi ϱ i niech leży on w płaszczyźnie x-z. Z rys. 4 może się odczytać
Δ dx/z = _dx/_ϱ
i stąd obliczyć wydłużenie włókien w odległości z od osi neutralnej, które wynosi
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
a na podstawie prawa Hooke-a naprężenie
σ _= Ez/_ϱ (2)
Rys. 4
To naprężenie jest proporcjonalne do odległości od włókien obojętnych. Taki wynik wiąże się z założeniem, że przed odkształceniem wszystkie włókna elementu pręta miały jednakową długość, tak że pręt był pierwotnie prosty, albo przynajmniej miał tak małą krzywiznę, iż wpływ krzywizny można pominąć. Prosta, wzdłuż której przecinają się warstwa obojętna i płaszczyzna przekroju, nazywa się osią obojętną. Przyjmujemy ją za oś y (rys. 5). Położenie osi obojętnej w przekroju poprzecznym otrzymuje się z warunku równowagi sił w kierunku osi x: jeśli siła normalna N=0 (zginanie bez siły normalnej), to również wypadkowa sił wewnętrznych wyrażona przez naprężenia normalne w przekroju musi być równa zeru:
Całka po prawej stronie jest momentem statycznym pola względem osi y. Aby był on równy zeru, oś ta musi być jedną z osi przechodzących przez środek ciężkości.
Moment M, który powoduje odkształcenie, ma względem osi y i z w płaszczyźnie przekroju (rys. 5) składowe:
Równ. (3)
przy czym Iy, Iyz są momentem bezwładności przekroju względem wskazanych osi, odpowiednio ekwatorialnym i odśrodkowym.
Najważniejszy jest szczególny przypadek, gdy Mz=0. Przypadek ten występuje wtedy, gdy Iyz=0, tj. gdy y i z są głównymi osiami bezwładności przekroju. Oznacza to, że przyjęta tutaj płaszczyzna zginania pokrywa się z x-z-płaszczyzną, w której działa moment zginający M=My, tj. z płaszczyzną sił.
Rys. 5
Jeżeli z równań (2) i (3) wyeliminuje się _E/_ϱ, otrzymuje się wzór do wyznaczania naprężeń przy czystym zginaniu (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
dla punktów brzegowych 1 i 2 szczególnie jest:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Wielkości W1,2 = I/h1,2 (wymiar: długość do sześcianu) nazywa się momentami wytrzymałości. Jeżeli pozioma oś ciężkości jest zarazem osią symetrii przekroju, wówczas W1 = W2, więc naprężenia brzegowe są równe co do wartości bezwzględnej.
Linia sprężysta
Rys. 6
Znaczenie przedstawionych wyżej wzorów wiąże się z prawem Hooke’a. Wymaga ono, aby σ << E, a więc według (2) h << ϱ. Ugięcie może jednak być tak duże, że ϱ będzie tego samego rzędu wielkości co długość pręta l. W przypadku prętów zginanych, które wchodzą w grę w budownictwie, taki przypadek nie występuje; zawsze ϱ jest znacznie większe od l, a zatem ugięcie w << l (rys. 6). Wtedy w przybliżeniu obowiązuje:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
i na podstawie (3):
w’’ = - M/EI.
To równanie i warunek równowagi (1b) tworzą układ równań różniczkowych pręta zginanego. Można je po eliminacji sprowadzić do jednego równania czwartego rzędu:
wIV = + p/EI
lub, w przypadku gdy moment bezwładności jest zmienny:
(EIw’’)’’ = +p.
Przez całkowanie można z nich wyznaczyć kształt linii sprężystej, gdy dane jest obciążenie p=p(x) i gdy dla każdego przypadku pręta znane są dwa warunki brzegowe. Spośród nich co najmniej dwa muszą dotyczyć odkształcenia. Szczegóły zob. w artykule Statyka konstrukcji budowlanych.
Jądro przekroju
Jeśli oś neutralna przecina przekrój poprzeczny, dzieli go ona na strefę rozciągania i strefę ściskania. W przypadku materiałów o małej wytrzymałości na rozciąganie nasuwa się pytanie, gdzie powinna działać siła ściskająca, jeśli w przekroju poprzecznym nie może nigdzie wystąpić rozciąganie. Położenie punktu przyłożenia siły jest wówczas ograniczone do obszaru, który nazywa się rdzeniem przekroju. Granica rdzenia jest oczywiście miejscem geometrycznym punktów, których osie neutralne są styczne do obwodu przekroju poprzecznego. Tym samym podano również jego konstrukcję.
Odległość granicy jądra od środka ciężkości, zmierzoną w dowolnym kierunku, oznaczymy indeksem k odpowiadającym temu kierunkowi. Dla głównych osi bezwładności zgodnie z równaniem
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
wyrażenia są następujące:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
Dla przekroju kołowego o promieniu r odległość rdzenia wynosi k = r/4, a dla pierścienia kołowego (promienie: zewnętrzny R, wewnętrzny r) k = (R2 + r2) / 4R.
Dla prostokąta (rys. 7) ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. A zatem przy obciążeniu przekroju prostokątnego w jednej z płaszczyzn symetrii (ale tylko wtedy) wystarczy, aby wypadkowa działała w środkowej jednej trzeciej wysokości lub szerokości przekroju poprzecznego, tak aby naprężenia w przekroju miały ten sam znak.
Rys. 7
Zginanie w zakresie plastycznym
Gdy w skrajnych włóknach zginanego pręta osiągnięto granicę plastyczności, jego nośność nie jest jeszcze wyczerpana, ponieważ podczas gdy zewnętrzne włókna ulegają plastycznemu odkształceniu przy stałym naprężeniu, w częściach położonych bliżej osi obojętnej, gdzie granica plastyczności nie została jeszcze osiągnięta, naprężenie wzrasta, a tym samym zwiększa się również moment zginający, jaki przekrój może przenieść.
Jeżeli znany jest dokładny przebieg wykresu naprężeń i odkształceń, proces dla przekrojów podwójnie symetrycznych (o wysokości h) można łatwo śledzić obliczeniowo w ten sposób, że przy założeniu, iż przekroje pozostają płaskie, z wykresu naprężeń i odkształceń wyznacza się rozkład naprężeń σ od zginania odpowiadający przyjętemu odkształceniu skrajnych włókien ε__r, a stąd przez całkowanie wyznacza się moment zginający. Jeśli przeprowadzi się to dla różnych ε__r, a z drugiej strony obliczy odpowiadającą temu krzywiznę linii ugięcia w’’ = 2 ε__r / h, otrzymuje się szereg punktów, przez które można poprowadzić linię dającą zależność między momentem zginającym a krzywizną M = M(w’’); zależność ta nie jest już liniowa, a gdy jest znana, możliwe jest wyznaczenie przez całkowanie graficzne linii ugięcia odpowiadającej danemu rozkładowi momentów. Jeżeli przekrój jest niesymetryczny, obliczenia stają się bardziej złożone, ponieważ dla każdego ε__r trzeba jeszcze wyznaczyć położenie osi obojętnej.
Śl. 8
Obliczenia w pewnym stopniu upraszczają się, jeśli oprócz symetrii przekroju przyjmie się również uproszczony związek między naprężeniami a odkształceniami według rys. 8. Wtedy naprężenia od zginania po przekroczeniu granicy plastyczności mają rozkład pokazany na rys. 9, a moment zginający wynosi:
a więc krzywiznę linii ugięcia otrzymuje się, gdy równanie (2) zastosuje się do części przekroju, której naprężenia w obszarze sprężystym w’’ = σf / Ez’. Jeżeli dla każdego przyjętego z’ znany jest kształt przekroju, całki można obliczyć. Np. dla najprostszego przypadku prostokątnego przekroju poprzecznego o szerokości b i wysokości h jest
Jeżeli tutaj z’ wyrazi się za pomocą w’’, otrzymuje się
W przypadku przekrojów dwuteowych i im podobnych przebieg krzywej M-w’’ w zakresie plastycznym jest jeszcze bardziej spłaszczony i moment, przy którym następuje płynięcie, jest wtedy praktycznie równy największemu momentowi zginającemu, jaki przekrój w ogóle może przenieść. Dlatego znaczenie zginania plastycznego w budownictwie nie polega na zwiększeniu momentu zginającego, który przekrój może przenieść, lecz na tym, że duża lokalna deformacja występująca na granicy płynięcia może prowadzić do korzystnej zmiany rozkładu sił w układach statycznie niewyznaczalnych.
Rys. 9
Można to wyjaśnić na przykładzie belki ciągłej nad dwoma przęsłami. Niech belka (rys. 10) ma przęsła o jednakowej długości, stały przekrój i niech będzie obciążona równomiernie rozłożonym obciążeniem. Wówczas przed osiągnięciem granicy plastyczności moment nad podporą MB = _pl_2/8. Jeżeli obciążenie p zwiększy się tak bardzo, że moment w przekroju podporowym osiągnie wartość Mf, przy której następuje uplastycznienie, to przy dalszym zwiększaniu obciążenia w tym miejscu wzrośnie również krzywizna bez zauważalnego przyrostu momentu. Powstaje tzw. przegub plastyczny, tj. belka pod obciążeniem dodatkowym zachowuje się tak, jakby nad środkową podporą znajdował się przegub. Obciążenie można zwiększać dalej, aż do momentu, gdy również w miejscu największego momentu w przęśle rozpocznie się uplastycznienie. Dalsze zwiększanie momentu zginającego nie jest już możliwe i nośność belki zostaje wyczerpana. Obciążenie, przy którym występuje ten stan, nazywa się obciążeniem granicznym.
Rys. 10
Ogólnie można oczekiwać, że w układzie n razy statycznie niewyznaczalnym musi pojawić się (n+1) przegubów plastycznych, zanim układ stanie się przesuwny i tym samym osiągnie granicę nośności. Zasada ta ma jednak wyjątki w obie strony. Jak pokazuje podany przykład, na granicy nośności mogą jednocześnie powstać dwa nowe przeguby plastyczne (w obu przęsłach), tak że do tej pory jeszcze nieruchomy układ nagle przechodzi w układ o dwóch stopniach swobody. Z drugiej strony możliwe jest, że nawet przy mniej niż (n+1) przegubach plastycznych nośność zostanie lokalnie wyczerpana, np. gdy w belce ciągłej ustąpi tylko jedno przęsło. Rys. 11 pokazuje, jak może się to zdarzyć w układzie statycznie dwukrotnie niewyznaczalnym z n=2 przegubami plastycznymi. Jeżeli po prawej stronie belki dołączy się jeszcze czwarte przęsło, belka staje się trzykrotnie statycznie niewyznaczalna, więc wystarczy (n-1) przegubów plastycznych, aby samo lewe przęsło doprowadzić do granicy nośności.
Rys. 11
Naprężenia ścinające przy zginaniu
Elementarne obliczenie
Rys. 12
Naprężenia normalne σ, tj. naprężenia, które w rzeczywistości występują wskutek zginania, nie są jedynymi naprężeniami w zginanym pręcie, lecz obok nich występują także naprężenia tnące wskutek działania siły poprzecznej. Z uwagi na to, że podstawową cechą technicznej teorii zginania jest pomijanie odkształceń wywołanych naprężeniami tnącymi, można je wyznaczyć jedynie z warunku równowagi. Aby go sformułować, element belki dx przecina się, jak pokazano na rys. 12, płaszczyzną poziomą na dwie części, a następnie zapisuje się warunek równowagi poziomych sił działających na dolną część. Po lewej stronie są to siły wewnętrzne wyrażone naprężeniami σ od zginania, które należy scałkować od z’ = z do z’ = h2
Po prawej stronie działają te same naprężenia, lecz zwiększone o różniczkę zgodnie z odpowiednim momentem zginającym M + dM. Różnica między siłami po obu stronach elementu musi pozostawać w równowadze z siłą wynikającą z naprężeń ścinających τ działających w poziomej powierzchni przekroju t dx:
Tutaj całka przedstawia statyczny moment części przekroju poprzecznego wydzielonej poziomą płaszczyzną poprzeczną względem osi ciężkości przekroju. Oznacza się go przez S. Z dM/dx = Q z warunku równowagi otrzymuje się:
τ = QS/It. (8)
Jest to, zgodnie z zasadą sprzężenia naprężeń ścinających, równocześnie wartość pionowego naprężenia ścinającego działającego w płaszczyźnie przekroju poprzecznego, które wraz z S i t jest funkcją z.
Rys. 13
Rys. 13.1
Równanie (8) daje wiarygodne wyniki dla wszystkich przekrojów cienkościennych, jeśli płaszczyzna przekroju nie jest ustawiona równolegle do osi neutralnej, lecz w kierunku grubości ściany. Zatem profil I przecina się poprzecznie przez środnik i poprzecznie przez półki, uzyskując rozkład naprężeń przedstawiony na rys. 13.1. W przypadku przekroju pierścieniowego (rys. 13) naprężenia ścinające są rozłożone symetrycznie względem średnicy pionowej i po lewej i prawej stronie na linii neutralnej osiągają maksimum
τ = Q / πrt.
Jeżeli przekrój został przecięty w najwyższym lub najniższym miejscu, rozkład naprężeń ścinających nie zmienia się; jeżeli jednak został przecięty na prawym końcu poziomej średnicy (rys. 14), naprężenie ścinające w tym miejscu jest równe zeru, natomiast jego wartość podwaja się na lewym końcu tej samej średnicy.
Rys. 14
Przekroje pełne
W przypadku pełnych przekrojów o dowolnym kształcie problem naprężeń stycznych jest ściśle związany z problematyką skręcania. Równanie elementarne (8) w tym przypadku nie jest już wiarygodne. Dla przekroju kołowego o promieniu r równanie (8) daje
τ = 4Q / 3__πr2
jako średnią wartość naprężenia stycznego wzdłuż osi obojętnej, a wartość dokładna jest tylko o kilka procent większa.
Oś ścinania
Jeżeli dla przekroju U obliczy się naprężenia ścinające w sposób opisany powyżej, otrzymuje się rozkład naprężeń pokazany na rys. 15. Wypadkowa odpowiadających im sił wewnętrznych jest siłą poprzeczną Q. Z rysunku można zobaczyć jej położenie względem przekroju, a więc że nie przechodzi ona ani przez środek ciężkości przekroju, ani nie leży w płaszczyźnie środnika. Jeżeli siła poprzeczna obliczona na podstawie sił zewnętrznych nie ma położenia przedstawionego na rys. 15, to belka jest obciążona nie tylko na zginanie, lecz także na skręcanie.
Jeżeli dla tego samego przekroju poprzecznego wyznaczy się wypadkową odpowiadającą naprężeniom ścinającym dla pewnego obciążenia poziomego, otrzymuje się linię działania poziomej siły poprzecznej. W przecięciu tych dwóch linii działania znajduje się punkt charakterystyczny dla danego przekroju poprzecznego, który nazywa się środkiem ścinania M. W belce nie występują naprężenia wskutek skręcania, gdy środki ścinania wszystkich przekrojów poprzecznych leżą na jednej prostej, a wszystkie obciążenia prostopadłe do osi pręta przechodzą przez tę prostą. W przeciwnym razie moment każdego obciążenia względem prostej łączącej środki ścinania powoduje skręcanie.
Rys. 15
Wpływ siły poprzecznej na zginanie
Techniczna teoria zginania opiera się na pomijaniu odkształceń wywołanych naprężeniami stycznymi. W związku z tym można ją rzeczywiście stosować do smukłych prętów, dla których takie pominięcie jest uzasadnione i gdzie siła poprzeczna nie ma odczuwalnego wpływu na zginanie.
Doświadczenie wykazało jednak, że techniczną teorię zginania można z pewnym powodzeniem stosować także do krótkich, wysokich belek, dla których w istocie w ogóle nie była ona przeznaczona. Wówczas pojawia się potrzeba, aby wpływ odkształcenia spowodowanego naprężeniami ścinającymi, który w tej teorii jest pominięty, uwzględnić przynajmniej w przybliżeniu, wtórnie.
Podobnie jak naprężenia ścinające τ wywołane siłami poprzecznymi oraz odpowiadające im poślizgi γ_’ =_ τ_/G_ są rozłożone nierównomiernie po przekroju. Dlatego wprowadza się ich wartość średnią γ, którą wyznacza się tak, aby siła poprzeczna przy tej średniej wartości odkształcenia wykonywała na elemencie belki dx pracę odkształcenia równą tej, która powstałaby przez zintegrowanie prac naprężeń ścinających na poszczególnych elementach objętościowych tworzących rozpatrywany element belki:
skąd jest
Całkę można obliczyć, gdy znany jest rozkład naprężeń ścinających po przekroju. Ponieważ wszystkie naprężenia ścinające są proporcjonalne do Q/F, więc jej wartość jest proporcjonalna do Q2/F2 * F, a przyjmując, że wynosi ona κ__Q2/F, otrzymuje się
γ = κ__Q / GF.
Stała κ nazywana jest współczynnikiem rozkładu naprężeń ścinających. Dla przekrojów prostokątnych κ=1,2.
Rys. 16
Gdy znany jest współczynnik κ, a więc i średni poślizg γ, można obliczyć dodatkowe ugięcie wQ, powstałe pod wpływem sił poprzecznych, które należy dodać do ugięć w: ponieważ według rys. 16 jest
więc z powodu Q = dM/dx:
przy czym stała całkowania otrzymywana jest z jednego warunku brzegowego.