Bending basajan tur gaya bending normal

Tegangan normal dina nyata rod jeung rod kalawan kurva slight

Harti gaya geser

Hayu rod lempeng dieusian ku gaya arah sawenang, nu ngan dianggap bohong dina hiji pesawat (gaya pesawat) nu ngaliwatan sumbu rod (garis nyambungkeun centroids tina cross sections).

Sl. 1

Dina raraga keur ngitung stresses akting dina bagian cross n - n (Gbr. 1), perlu uninga gaya anu dikirimkeun ti hiji bagian tina rod ka sejen ngaliwatan bagian ieu. Ieu écés sarua dina gedena jeung posisi ka resultant sadaya gaya nu nimpah hiji bagian tina iteuk. hasilna ieu decomposed kana komponén dina sistem koordinat nu x- sumbu coincides jeung sumbu iteuk, a z- sumbu garis sapanjang mana pesawat cross-sectional intersects pesawat gaya. Komponén dina arah sumbu z disebut gaya transversal Q propinsi Q_z sarta dina kasus beam basajan, eta dianggap positif lamun arah ka kénca ti bagian ka luhur, jeung ka katuhu nyaeta ka handap.

Nalika rod melengkung, koordinat sumbu x i z aranjeunna gaduh arah anu béda dina unggal cross-section sareng éta salawasna x- sumbu tangent kana sumbu rod. Lamun pesawat nu sumbu rod perenahna teu coincide jeung pesawat gaya, atawa lamun sumbu rod mangrupa kurva spasial, resultan gaya ka kénca simpang boga komponén katilu, gaya transversal. Q_y. sa N, Q_z i Q_y gedena jeung arah gaya dikirimkeun sakuliah bagian ditangtukeun, tapi teu posisi na. Jang ngalampahkeun ieu, anjeun kudu nyaho moments na dina hubungan sumbu koordinat. Dina kasus bending datar, éta cukup uninga momen bending M propinsi M_y. Dina kasus paling umum, momen bending sejen muncul M_z sarta moment ngeunaan x- as, M_x.

Genep gaya sareng momen anu ditetepkeun dina presentasi sateuacana kalebet dina nami umum "gaya simpang". Tekadna mangrupikeun salah sahiji tugas dasar tina statika struktur wangunan.

Antara beban dibeulah kontinyu p (dimensi: gaya per unit panjang), gaya transversal Q jeung momen bending M aya hubungan basajan dina kasus bending datar. Nyaéta, tina kaayaan kasatimbangan hiji unsur rod (Gbr. 2) eta dicandak

dQ + p dx = 0,

dM = q dx;

kituna

Q = dM/dx, 

p = – dQ/dx = - d²M/dx². (1a, b)

Sl. 2

 

Distribusi tegangan normal

Lamun rod dimuat ngan ku gaya axial, ngan hiji stress normal sebaran seragam mucunghul dina bagian σ (tighten atawa pencét rod). Lamun momen bending mucunghul salian, stresses ieu kudu kumaha bae jadi disebarkeun unevenly, ambéh hasilna maranéhanana euweuh ngaliwatan puseur gravitasi bagian. Dina raraga nangtukeun susunan ieu, téori téknis bending teu dimimitian ti solusi ketat tina persamaan dasar, tapi ngagantikeun hiji bagian tina persamaan ieu ku asumsi masuk akal nu ogé mastikeun kaeusi dina hiji kasus utamana basajan. hal husus Ieu bending lempeng tina rod prismatic tanpa aksi gaya transverse (Gbr. 3). Kabéh elemen rod anu cukup jauh ti tungtung na ngalaman deformasi sarua, ti mana éta langsung kieu yén sumbu rod robah jadi busur sirkular sarta yén sakabéh planes tina cross-bagian anu asalna jejeg ka sumbu rod salila deformasi tetep datar, sabab unggal sahijina mangrupakeun pesawat simétri pikeun bagian padeukeut tina rod cacad. Ieu lumrah mun nganggap yén cross-bagian tetep kira datar sanajan momen bending jeung cross-bagian tina rod henteu konstan, tapi laun robah sapanjang rod. asumsi ieu disebut Navier- hipotesa ieu underlies téori bending.

Sl. 3

Gedéna tekanan normal

Nalika unsur beam nyata ngagulung, hiji bagian tina "serat" na, i.e. tina garis bahan sajajar jeung sumbu rod, stretched, sedengkeun bagian séjén disingget (gbr. 4). Di antara dua bagian ieu aya serat nétral z= 0, anu panjangna henteu robih nalika ngagulung. Hayu radius kelengkungan serat ieu dina kaayaan bengkok ϱ sareng ngantepkeun anjeunna ngagolér x-z datar. Ti Gbr. 4 tiasa dibaca

Δ dx/z = dx/ϱ

sarta ti dinya ngitung dilatation tina serat dina jarak z tina sumbu nétral, nu jumlahna

ε = Δ dx/dx = z/ϱ

jadi dumasar kana Hooketegangan hukum ieu

σ = Enya/ϱ (2)

Sl. 4

Tegangan ieu sabanding jeung jarak ti serat nétral. Hasilna sapertos aya hubunganana sareng anggapan yén sateuacan deformasi sadayana serat unsur rod panjangna sami, ku kituna batangna asalna lempeng, atanapi sahenteuna kalayan curvature leutik sahingga pangaruh curvature tiasa diabaikan. . Garis sapanjang mana lapisan nétral jeung pesawat bagéan motong disebut sumbu nétral. Urang ngadopsi nya pikeun y- sumbu (gbr. 5). Posisi sumbu nétral dina cross-bagian dicandak tina kaayaan kasaimbangan gaya dina arah x-shafts: lamun éta gaya normal N=0 (ngabengkokkeun tanpa gaya normal), mangka resultan gaya internal, ditembongkeun ngaliwatan stresses normal dina bagian, ogé kudu sarua jeung nol:

The integral dina sisi katuhu nyaéta momen statik beungeut jeung hormat ka y- sumbu. Pikeun éta sarua jeung nol, sumbu ieu kudu salah sahiji sumbu gravitasi.

Momen M anu ngabalukarkeun deformasi ngabogaan, dina hubungan sumbu tina yizu cross-bagian pesawat (Gbr. 5), komponén handap:

Hiji. (3)

dimana aranjeunna I_y, ABDI_yz momen katulistiwa sarta centrifugal of inersia sahiji bagian dina hubungan sumbu dituduhkeun.

Anu paling penting nyaéta kasus khusus nalika M_z=0. Kasus ieu lumangsung nalika I_yz= 0, nyaéta nalika aranjeunna y i z sumbu utama inersia bagian. Ieu ngandung harti yén pesawat bending diadopsi dieu kalawan xz-pesawat coincides jeung pesawat nu momen bending tindakan M=M_y, nyaéta ti pesawat gaya.

Sl. 5

Lamun tina persamaan (2) jeung (3) dileungitkeun E/ϱ, bentuk dicandak pikeun nangtukeun tegangan dina bending datar (I_y=I):

σ = M/I * z (4)

pikeun titik tepi 1 sareng 2 khususna nyaéta:

σ₁ = M/I * h₁ = M/W₁, σ₂ = – M/I * jam₂ = – S/W₂. (5)

Ukuran W_1,2 = Abdi/h_1,2 (dimensi: panjangna ka katilu) disebut momen nolak. Lamun sumbu horizontal gravitasi oge sumbu simétri tina bagian, teras éta W₁ = W₂, jadi tegangan ujungna sarua dina gedena mutlak.

Garis elastis

Sl. 6

Pentingna pola di luhur aya hubunganana sareng hukum Hooke. Merlukeun yén éta téh σ << E, jadi nurutkeun (2) h << ϱ. Sanajan kitu, bending kudu jadi loba éta ϱ tina urutan sarua gedena salaku panjang rod l. Kalawan rod ngagulung nu datang kana tinimbangan dina konstruksi, hal ieu teu lumangsung; éta salawasna ϱ nyata leuwih gede ti li kituna deflection w << l (gbr. 6). Lajeng kirang langkung:

1/ ϱ = – d²jeung dx² = -w''

sarta dumasar kana (3):

w'' = – M/EI.

Persamaan ieu sareng kaayaan kasatimbangan (1b) ngabentuk sistem persamaan diferensial tina rod ngagulung. Ku éliminasi, aranjeunna tiasa diréduksi jadi hiji persamaan tina orde kaopat:

w^IV = + p/EI

atawa, bisi momen inersia variabel:

(EIw'')'' = +p.

Ti aranjeunna, bentuk garis elastis tiasa dipendakan ku integrasi nalika beban p = p (x) dirumuskeun sareng nalika dua kaayaan wates dipikanyaho pikeun tiap kasus rod. Tina ieu, sahenteuna dua kedah aya hubunganana sareng deformasi. Pikeun detil tingali artikel Statika struktur wangunan.

bagian inti

Lamun sumbu nétral motong cross-bagian, éta ngabagi kana zona tegangan jeung zona komprési. Dina kasus bahan kalawan kakuatan tensile low, patarosan timbul ngeunaan dimana gaya compressive kudu narajang, lamun tegangan teu kudu lumangsung di mana waé dina cross-bagian. Lokasi titik serangan pasukan ieu lajeng dugi ka wewengkon disebut bagian inti. Wates inti mangrupa locus geometric atra titik, nu sumbu nétral tangent cross-bagian sabudeureun kuriling éta. Ieu ogé masihan konstruksi na.

Jarak wates inti ti puseur gravitasi, diukur dina sagala arah, bakal dilambangkeun ku k indéks pakait jeung arah éta. Pikeun sumbu utama inersia nurutkeun Persamaan

σ = N/F + M_z/I_z y + M_y/I_y jeung (6)

éksprési nyaéta kieu:

k_y = abdi²_z / e_y, k_z = abdi²_y / e_z. (7)

Pikeun cross-bagian sirkular radius r, jarak inti nyaéta k = r/4, sarta pikeun cingcin sirkular (jari-jari: luar R, internal r) k = (R² +r²) / 4R.

Pikeun sagi opat (gbr. 7) éta k_y = 1/6 b, k_z = 1/6 jam. Ku alatan éta, nalika ngamuat hiji cross-bagian rectangular dina salah sahiji planes simetri (tapi ngan lajeng), éta cukup yén hasilna narajang dina katilu tengah jangkungna atawa rubak cross-bagian, ku kituna stresses dina cross-bagian boga tanda sarua.

Sl. 7

Bending di wewengkon plastik

Nalika titik ngahasilkeun ngahontal dina serat ujung rod ngagulung, kapasitas bearing na teu acan exhausted, sabab bari serat luar plastically cacad dina stress konstan, dina bagian nu tempatna ngadeukeutan ka sumbu nétral, dimana ngahasilkeun. titik teu acan kahontal, stress naek, sahingga ngaronjatkeun momen bending nu bagian bisa nyandak.

Upami jalan pasti tina setrés sareng diagram deformasi dipikanyaho, prosésna dilaksanakeun pikeun sababaraha bagian simetris (jangkungna). h) bisa gampang diturutan sacara komputasi ku cara kitu, dina anggapan yén bagian melintang tetep datar, sebaran tegangan ditangtukeun tina diagram tegangan-galur. σ alatan bending nu pakait jeung sababaraha dilatation diadopsi tina serat tungtung ε_r sarta ti dinya, ku ngahijikeun, nangtukeun momen bending. Lamun ieu dilaksanakeun pikeun béda ε_r sarta di sisi séjén, kurva pakait tina garis bending diitung w'' = 2 ε_r / jam, runtuyan titik diala ngaliwatan nu bisa digambar garis nu mere hubungan antara momen bending jeung curvature. M = M(w''); hubungan ieu geus euweuh linier, sarta lamun geus dipikawanoh, kasebut nyaéta dimungkinkeun pikeun nangtukeun garis deflection pakait jeung sebaran dibikeun moments ku integrasi grafis. Lamun simpang téh asimétri, itungan jadi leuwih pajeulit, saprak pikeun tiap ε_r manéhna ogé kudu nangtukeun posisi sumbu nétral.

Sl. 8

Itungan ieu disederhanakeun ka extent tangtu lamun, sajaba simétri tina bagian, sambungan saderhana antara stress jeung ékspansi dianggap nurutkeun Gbr. 8. Lajeng stresses alatan bending sanggeus ngaleuwihan titik ngahasilkeun boga susunan ditémbongkeun dina Gbr. 9 sarta momen bending nyaéta:

jadi kurva garis bending dimeunangkeun nalika persamaan (2) diterapkeun kana bagian bagian anu teganganna aya di wewengkon elastis. w'' = σ_f /Éh'. Lamun bentuk bagian dipikawanoh pikeun tiap diadopsi kalawan integral bisa diitung. Salaku conto pikeun kasus pangbasajanna rectangular lebar cross-bagian b jeung jangkungna h je

Lamun di dieu kalawan nganyatakeun ngagunakeun w'', diala ku

Dina I-bagian jeung nu sarupa, ngalir M-w'' kurva di wewengkon palastik téh malah leuwih datar, sarta momen di mana ngahasilkeun téh lajeng praktis sarua jeung momen bending greatest yén cross-bagian bisa nanggung sacara umum. Ku alatan éta, pentingna bending palastik dina konstruksi teu diwangun dina ngaronjatkeun momen bending nu bagian bisa mawa, tapi dina kanyataan yén deformasi lokal badag anu lumangsung dina titik ngahasilkeun bisa ngakibatkeun parobahan nguntungkeun dina sebaran gaya dina. sistem statically indeterminate.

Sl. 9

Ieu tiasa dipedar dina conto sinar kontinyu dina dua widang. Hayu rojongan (gbr. 10) boga widang panjangna sarua, bagian konstanta sarta dieusian ku beban disebarkeun sarua. Lajeng, saméméh ngahontal titik ngahasilkeun, momen geus leuwih rojongan M_B = pl²/8. Lamun beban p ningkatkeun pisan yén momen dina bagian rojongan ngahontal nilai M_f di mana ngahasilkeun lumangsung, nalika beban ieu salajengna ngaronjat dina titik éta, curvature ogé bakal nambahan tanpa kanaékan appreciable di torsi. Nu disebut palastik gabungan, nyaéta balok behaves handapeun beban tambahan saolah-olah aya gabungan luhureun rojongan tengah. Beban tiasa langkung ningkat dugi, bahkan dina waktos anu paling hébat di lapangan, ngahasilkeun dimimitian. Kanaékan salajengna tina momen bending teu mungkin deui jeung kapasitas bearing of girder geus exhausted. Beban nu kaayaan ieu lumangsung disebut beban wates.

Sl. 10

Ieu umumna bisa diperkirakeun yén dina hiji n kali sistem statis indeterminate kudu muncul (n+1) tina sendi palastik saméméh sistem jadi movable sahingga ngahontal wates beban-bearing na. Aturan ieu, kumaha oge, gaduh pengecualian dina dua arah. Salaku conto di luhur nembongkeun, dua mendi plastik anyar (dina duanana widang) bisa muncul sakaligus dina wates kapasitas bearing, ku kituna sistem, masih immovable, dumadakan robah jadi sistem dua derajat kabebasan. Di sisi séjén, aya kamungkinan yén sanajan kirang ti (n+1) kapasitas bearing mendi palastik lokal exhausted, f.eks. lamun dina kasus rojongan kontinyu, ngan hiji widang masihan jalan. Sl. 11 nembongkeun kumaha ieu bisa lumangsung pikeun sistem statically doubly indeterminate kalawan n= 2 sambungan palastik. Lamun widang kaopat ditambahkeun kana sisi katuhu rojongan, rojongan jadi triple statis indeterminate, jadi cukup (n-1) sendi palastik pikeun mawa ukur widang kénca ka wates beban.

Sl. 11

 

Stresses geser nalika bending

Itungan dasar

Sl. 12

tegangan normal σ, nyaéta stresses nu sabenerna muncul alatan bending teu hijina stresses dina rod ngagulung, tapi stresses geser alatan aksi gaya transverse muncul salian aranjeunna. Nunjukkeun yén ciri dasar tina téori bending téknis nyaéta yén deformasi akibat tegangan geser teu diabaikan, ieu ngan ukur tiasa ditangtukeun tina kaayaan kasatimbangan. Pikeun masang ieu, unsur beam dx dipotong, sakumaha ditémbongkeun dina Gbr. 12 dituduhkeun, pesawat horizontal dina dua bagian, jadi kaayaan kasaimbangan diatur horisontal gaya nu nimpah dina bagian handap. Di sisi kénca aya gaya internal dinyatakeun salaku tegangan σ alatan bending, nu kudu terpadu ti z = z do z = h₂

Di sisi katuhu, tegangan anu sami dijalankeun, tapi ningkat ku diferensial luyu sareng momen bending anu saluyu. M + dM. Beda antara gaya dina dua sisi unsur kudu saimbang jeung gaya alatan tegangan geser τ akting dina aréa cross-sectional horizontal. t dx:

Di dieu integral ngagambarkeun momen statik tina bagian tina cross-bagian dipisahkeun ku pesawat transverse horizontal dina hubungan sumbu centroidal sahiji bagian. Hal ieu ditandaan ku S. sa dM/dx = Q tina kaayaan kasaimbangan kami meunang:

τ = QS/Ieu. (8)

Numutkeun posisi dina conjugate of stresses geser, éta sakaligus gedena tegangan geser nangtung di wewengkon cross-sectional jeung nu, babarengan jeung S i t, fungsi tina z.

Sl. 13

Sl. 13.1

Persamaan (8) nyadiakeun data dipercaya pikeun sakabéh bagian kalawan tembok ipis lamun bagian pesawat teu disimpen sajajar jeung sumbu nétral, tapi dina arah ketebalan témbok. Ku alatan éta, I-profil dipotong transversely sakuliah iga jeung transversely sakuliah flange nu, hasilna sebaran stress ditémbongkeun dina Gbr. 13.1. Dina kasus hiji bagian annular (Gbr. 13), nu stresses geser disebarkeun simetris dina hubungan diaméter nangtung sarta ngahontal maksimum dina kénca jeung katuhu tina garis nétral.

τ = Q / πrt.

Lamun bagian dipotong dina titik pangluhurna atawa panghandapna, sebaran stresses geser teu robah; kumaha oge, lamun eta dipotong dina tungtung katuhu diaméter horizontal (Gbr. 14), tegangan geser dina titik nu sarua jeung nol, bari nilai na ganda dina tungtung kénca diaméterna sarua.

Sl. 14

bagian pinuh

Dina kasus bagian padet bentukna sawenang, masalah stresses geser raket patalina jeung masalah torsion. Dina hal éta, persamaan dasar (8) geus teu bisa dipercaya deui. Pikeun bagian sirkular radius r persamaan (8) méré

τ = 4Q / 3πr²

salaku nilai rata-rata tegangan geser sapanjang sumbu nétral, sarta nilai pasti ngan sababaraha persen luhur.

Puseur geser

Lamun stresses geser diitung keur U-bagian dina ragam ditétélakeun di luhur, sebaran stress ditémbongkeun dina Gbr. 15. Hasil tina gaya internal pakait nyaéta gaya transversal Q. Tina gambar anjeun tiasa ningali posisina dina hubunganana sareng bagian éta, supados henteu ngaliwat pusat gravitasi bagian éta, atanapi henteu aya dina pesawat iga. Lamun gaya transverse diitung dina dasar gaya éksternal teu boga posisi ditémbongkeun dina Gbr. 15, beam henteu ngan dimuat dina bending, tapi ogé di torsion.

Lamun pikeun cross-section sarua hasilna pakait jeung stresses geser pikeun beban horizontal ditangtukeun, garis serangan tina gaya transverse horizontal dicandak. Di simpang dua garis serangan ieu, aya titik karakteristik pikeun cross-section nu dibikeun, nu disebut. pusat geser M. Tekenan torsi teu muncul dina rojongan nalika puseur geser sadaya cross-bagian perenahna dina hiji garis lempeng, sarta sakabeh beban jejeg sumbu rod ngaliwatan éta garis lempeng. Upami teu kitu, momen unggal beban dina hubungan garis nu ngagabung puseur geser sarta ngagambarkeun geser torsional.

Sl. 15

Pangaruh gaya transversal dina bending

Téori rékayasa bending dumasar kana ngalalaworakeun deformasi alatan tegangan geser. Ku alatan éta, bener bisa dilarapkeun ka rod ramping, dimana ngalalaworakeun ieu diyakinkeun na dimana gaya transverse teu boga pangaruh appreciable on bending.

Sanajan kitu, pangalaman geus ditémbongkeun yén téori téknis bending bisa dilarapkeun kalawan sababaraha kasuksésan kana pondok, ngarojong jangkung, nu teu sabenerna dimaksudkeun pisan. Lajeng kedah tumut kana akun, sahenteuna kira, pangaruh deformasi alatan stresses geser, nu neglected dina téori ieu, dituduhkeun.

Kitu ogé tegangan geser τ alatan gaya transversal sarta pakait ngageser γ' = τ/G aranjeunna disebarkeun unevenly sakuliah bagian. Ku alatan éta, nilai mean maranéhanana diwanohkeun γ, anu ditangtukeun supados gaya transversal dina nilai rata-rata deformasi ieu dilaksanakeun dina unsur balok. dx Karya deformasi sarua jeung nu bakal dimeunangkeun ku ngahijikeun karya stresses geser dina elemen volume individu nu ngawangun unsur observasi tina balok:

ti mana eta

Integral bisa diitung lamun sebaran stresses geser per bagian dipikawanoh. Kusabab sakabeh stresses geser sabanding jeung Q/F, nyaeta, nilaina sabanding jeung Q₂/F² * F, jadi putting yén manéhna téh κQ²/F, dicandak

γ = κQ / GF.

A konstanta κ disebut koefisien. distribusi tegangan geser. Éta pikeun bagian rectangular κ= 1,2.

Sl. 16

Nalika koefisien dipikawanoh. k, sahingga hartina ngageser γ, defleksi tambahan bisa diitung w_Q, dijieun ku pangaruh gaya transverse, nu kudu ditambahkeun kana deflections w: sabab nurutkeun Gbr. Ieu 16

jadi sabab Q = dM/dx:

dimana konstanta integrasi dicandak tina hiji kaayaan wates.