साधे वाकणे आणि सामान्य बलासह वाकणे

सरळ दांड्यांमधील आणि कमी वक्र असलेल्या दांड्यांमधील सामान्य ताण

छेदीय बलांची व्याख्या

सरळ दांडा मनमानी दिशेच्या बलांनी भारित केलेला आहे, ज्याबाबत एवढीच कल्पना केली आहे की ती सर्व एकाच समतलात (बलांचा समतल) आहेत, जो दांड्याच्या अक्षातून (अनुप्रस्थ छेदांच्या गुरुत्वकेंद्रांना जोडणारी रेषा) जातो.

क्र.1

कोणत्याही आडव्या छेद n – n (आकृ. 1) मध्ये कार्य करणारे ताण गणण्यासाठी, त्या छेदातून दांड्याच्या एका भागातून दुसऱ्या भागात हस्तांतरित होणारे बल माहीत असणे आवश्यक आहे. आकार आणि स्थान यांच्या दृष्टीने ते स्पष्टपणे दांड्यावर कार्य करणाऱ्या सर्व बलांच्या परिणामी बलाइतकेच असते. हे परिणामी बल अशा निर्देशांक प्रणालीतील घटकांमध्ये विभाजित केले जाते, ज्यात x-अक्ष दांड्याच्या अक्षाशी जुळतो आणि z-अक्ष तो रेषा दर्शवितो जिच्या अनुषंगाने आडव्या छेदाचे समतल बलांच्या समतलाला छेदते. z अक्षाच्या दिशेतील घटकाला आडवे बल Q किंवा Qz म्हणतात आणि साध्या बीममध्ये ते सकारात्मक मानले जाते, जर छेदाच्या डावीकडे त्याची दिशा वरच्या दिशेने आणि उजवीकडे खालच्या दिशेने असेल.

वाकडा दांडा असताना, समन्वय अक्ष x आणि z प्रत्येक छेदात वेगळी दिशा धारण करतात आणि ती नेहमी अशी की x-अक्ष हा दांड्याच्या अक्षास स्पर्शरेषा असतो. जर दांड्याचा अक्ष ज्या समतलात आहे तो बलांच्या समतलाशी जुळत नसेल, किंवा दांड्याचा अक्ष अवकाशीय वक्र असेल, तर छेदाच्या डावीकडील बलांचा परिणामी प्रभाव तिसरा घटकही धारण करतो, म्हणजे अनुप्रस्थ बल Qy. N, Qz आणि Qy यांवरून छेदामधून जाणाऱ्या बलाचा परिमाण आणि दिशा ठरते, पण त्याची स्थिती नाही. यासाठी समन्वय अक्षांच्या संदर्भातील त्याचे क्षणही माहित असणे आवश्यक आहे. सपाट वाकणाच्या बाबतीत फक्त वाकण क्षण M किंवा My माहित असला तरी पुरेसे आहे. सर्वसाधारण परिस्थितीत आणखी एक वाकण क्षण Mz आणि x-अक्षाभोवतीचा क्षण, Mx, दिसून येतो.

मागील विवेचनात परिभाषित केलेले सहा बल आणि क्षण एकत्रितपणे “छेदीय बल” या नावाने ओळखले जातात. त्यांचे निर्धारण हे इमारत संरचनांच्या स्थैतिकीतील मूलभूत कामांपैकी एक आहे.

सतत वितरित भार p (परिमाण: लांबीच्या एककावर बल), आडवा बल Q आणि वाकण क्षण M यांच्यात समतल वाकणाच्या प्रसंगी एक साधा संबंध असतो. म्हणजेच, एका काठीच्या घटकाच्या समतोलाच्या अटीतून (आकृ. 2) मिळते

dQ + p dx = 0,

dM = Q dx;

म्हणून

Q = dM/dx, 

p = - dQ/dx = - d2M/dx2.        (1a, b)

क्र.2

सामान्य ताणांचे वितरण

जर दांडा केवळ अक्षीय बलाने भारित असेल, तर छेदात फक्त समान रीतीने वितरित सामान्य ताण σ दिसतो (ताणलेला, किंवा दाबलेला दांडा). यासोबत जर वाकण्याचा क्षणही निर्माण झाला, तर हे ताण काही ना काही प्रकारे असमान रीतीने वितरित झाले पाहिजेत, जेणेकरून त्यांचा परिणामी बलछेदाचा गुरुत्वकेंद्रातून पुढे जाईनासे होईल. हा वितरण ठरविण्यासाठी तांत्रिक वाकण सिद्धांत मूलभूत समीकरणांच्या कठोर निराकरणापासून सुरुवात करत नाही, तर या समीकरणांच्या एका भागाऐवजी एक तर्कसंगत गृहितक स्वीकारतो, जे एका विशेषतः सोप्या प्रसंगी तितकेच कठोरपणे पूर्ण होते. हा विशेष प्रसंग म्हणजे आडव्या बलांच्या प्रभावाशिवाय सरळ प्रिझमाकृती दांड्याचे वाकणे (आ. 3). दांड्याचे सर्व घटक, जे त्याच्या टोकांपासून पुरेसे दूर आहेत, तेच विकृती अनुभवतात; यावरून थेट असे निष्पन्न होते की दांड्याचा अक्ष वर्तुळाकार कमानीत रूपांतरित होतो आणि विकृतीपूर्वी दांड्याच्या अक्षाला लंब असलेल्या सर्व छेदपातळ्या विकृतीदरम्यान समतलच राहतात, कारण त्यांपैकी प्रत्येक ही विकृत दांड्याच्या शेजारील भागांसाठी सममितीची पातळी असते. वाकण्याचा क्षण आणि दांड्याचा छेद स्थिर नसून, दांड्याच्या लांबीवर हळूहळू बदलत असतानाही छेद साधारणपणे समतलच राहतात, असा गृहितक स्वाभाविकपणे स्वीकारला जातो. हे गृहितक, ज्याला Navier-चे गृहितक म्हणतात, वाकण सिद्धांताचा पाया आहे.

क्र.3

सामान्य ताणांचे परिमाण

जेव्हा बीमचा सरळ घटक वाकवला जातो, तेव्हा त्याच्या “तंतूंपैकी” एक भाग, म्हणजे दांड्याच्या अक्षास समांतर असलेल्या पदार्थरेषा, ताणला जातो, तर दुसरा भाग आकुंचन पावतो (आकृ. 4). या दोन भागांमध्ये z=0 ही तटस्थ तंतू असतात, ज्यांची लांबी वाकण्याच्या वेळी बदलत नाही. या तंतूंच्या वाकलेल्या अवस्थेतील वक्रतेची त्रिज्या ϱ असो आणि ती x-z पातळीत असो. आकृ. 4 m वरून वाचता येते

Δ dx/z = _dx/_ϱ

आणि त्यावरून तटस्थ अक्षापासून z अंतरावर असलेली तंतूंची गणिती विकृती, जी इतकी आहे

ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ

म्हणून Hooke-च्या नियमानुसार ताण

σ _= Ez/_ϱ   (2)

क्र.4

हा ताण तटस्थ तंतूंपासूनच्या अंतराच्या प्रमाणात असतो. असा निष्कर्ष या गृहितकाशी संबंधित आहे की विकृतीपूर्वी काठीच्या घटकातील सर्व तंतू समान लांबीचे होते, त्यामुळे काठी मूळतः सरळ होती, किंवा किमान इतकी कमी वक्र होती की तिचा प्रभाव दुर्लक्षित करता येईल. ज्या सरळ रेषेवर तटस्थ थर आणि छेद पातळी एकमेकांना छेदतात तिला तटस्थ अक्ष म्हणतात. आपण तो y-अक्ष मानतो (आकृ. 5). छेदाच्या आडव्या विभागात तटस्थ अक्षाचे स्थान x-अक्षाच्या दिशेतील बलांच्या समतोलाच्या अटीतून मिळते: जर सामान्य बल N=0 (सामान्य बलाशिवाय वाकणे) असेल, तर छेदातील सामान्य ताणांद्वारे व्यक्त केलेल्या अंतर्गत बलांची परिणतही शून्य असली पाहिजे:

उजव्या बाजूचे समाकलन म्हणजे y-अक्षाबाबत पृष्ठभागाचा स्थिर क्षण आहे. तो शून्य असण्यासाठी, हा अक्ष केंद्राक्षांपैकी एक असला पाहिजे.

विकृती निर्माण करणाऱ्या M मोमेंटचे, छेदाच्या पातळीत y आणि z अक्षांच्या संदर्भात (आकृ. 5) घटक आहेत:

समी. (3)

जिथे Iy, Iyz हे दर्शविलेल्या अक्षांबाबत छेदाचे समतल आणि अपकेंद्री जडत्व क्षण आहेत.

सर्वात महत्त्वाचा विशेष प्रसंग म्हणजे जेव्हा Mz=0. हा प्रसंग तेव्हा येतो जेव्हा Iyz=0, म्हणजेच y आणि z हे विभागाचे मुख्य जडत्व-अक्ष असतात. याचा अर्थ असा की येथे गृहीत धरलेली x-z-समतलाशी जुळणारी वाकण समतल तीच आहे ज्यात वाकण क्षण M=My कार्य करतो, म्हणजेच बलांची समतल.

क्र.5

जर समीकरणे (2) आणि (3) मधून _E/_ϱ काढून टाकले, तर समतल वाकणातील ताण ठरविण्यासाठीचे रूप मिळते (Iy=I):

σ = M/I * z   (4)

काठाच्या बिंदू 1 आणि 2 साठी विशेषतः:

σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2.   (5)

मूल्ये W1,2 = I/h1,2 (परिमाण: लांबीचा घन) यांना प्रतिरोधक मोमेंट्स म्हणतात. जर आडवी गुरुत्वकेंद्र अक्ष हीच छेदाची सममिती अक्ष असेल, तर W1 = W2, आणि त्यामुळे कडांवरील ताणांचे निरपेक्ष मूल्य समान असते.

लवचिक रेषा

चित्र. 6

वर उल्लेखिलेल्या नमुन्यांचे महत्त्व हुकच्या नियमाशी संबंधित आहे. यासाठी σ << E असणे आवश्यक आहे, म्हणजेच (2) नुसार h << ϱ. तरीही वाकणे इतके असू शकते की ϱ ही लांबी दांडीच्या l इतक्याच क्रममानाची ठरेल. बांधकामात विचारात येणाऱ्या वाकलेल्या दांड्यांमध्ये ही परिस्थिती उद्भवत नाही; नेहमी ϱ हे l पेक्षा खूप मोठे असते आणि त्यामुळे वाकण्याची मात्रा w << l (आकृ. 6). तेव्हा साधारणपणे लागू होते:

1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’

आणि (3 ) वरून:

w’’ = - M/EI.

हे समीकरण आणि समतोल अट (1b) वाकलेल्या दांड्याच्या अवकल समीकरणांची एक प्रणाली बनवतात. त्यांचे विलोपन करून एका चौथ्या क्रमाच्या समीकरणात रूपांतर करता येते:

wIV = + p/EI

किंवा, जर जडत्वाचा क्षण बदलता असेल:

(EIw’’)’’ = +p.

त्यांच्यापासून समाकलन करून लवचिक रेषेचा आकार मिळविता येतो, जेव्हा भार p=p(x) दिलेला असतो आणि प्रत्येक प्रकारच्या दांड्यासाठी दोन सीमाशर्ती ज्ञात असतात. यांपैकी किमान दोन विकृतीशी संबंधित असल्या पाहिजेत. सविस्तर माहितीसाठी इमारत संरचनांची स्थैतिकी हा लेख पहा.

छेदाचे केंद्रकीय भाग

जर तटस्थ अक्षाने छेदित क्षेत्रफळ छेदले, तर तो ते ताण क्षेत्र आणि दाब क्षेत्र अशा दोन भागांत विभागतो. कमी ताण सामर्थ्य असलेल्या पदार्थांसाठी दाब बल कुठे लागू करावे, हा प्रश्न निर्माण होतो, जर छेदात कुठेही ताण येऊ नये. अशा वेळी बलाचा आघातबिंदू छेदाचे केंद्रक म्हणून ओळखल्या जाणाऱ्या क्षेत्रापुरता मर्यादित राहतो. केंद्रकाची सीमा म्हणजे स्पष्टपणे त्या बिंदूंचे भूमितीय स्थान, ज्यांच्या तटस्थ अक्षांनी छेदाच्या परिघाला स्पर्श केला आहे. याचबरोबर त्याची रचनाही निश्चित होते.

केंद्रकाच्या सीमारेषेचे गुरुत्वकेंद्रापासूनचे अंतर, कोणत्याही दिशेत मोजलेले, त्या दिशेशी संबंधित k या निर्देशांकाने दर्शवू. जडत्वाच्या मुख्य अक्षांसाठी, समीकरणानुसार

σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z  (6)

संज्ञा पुढीलप्रमाणे आहेत:

ky = i2z / ey,      kz = i2y / ez.   (7)

व्यास r असलेल्या वर्तुळाकार छेदासाठी केंद्रकाचे अंतर k = r/4 आहे, आणि वर्तुळाकार वलयासाठी (व्यास: बाह्य R, अंतर्गत r) k = (R2 + r2) / 4R आहे.

आयतासाठी (आकृ. 7) ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. म्हणून, सममितीच्या एका पातळीत आयताकृती छेदावर भार लागू केल्यास (पण फक्त तेव्हाच) परिणामी बल छेदाच्या उंचीच्या किंवा रुंदीच्या मधल्या तृतीयांशात लागू होणे पुरेसे आहे, ज्यामुळे छेदातील ताणांचा चिन्ह समान राहतो.

क्र.7

प्लास्टिक क्षेत्रातील वाकणे

वाकलेल्या दांड्याच्या कडील तंतूंमध्ये यील्ड मर्यादा गाठली गेली तरी त्याची वहनक्षमता त्यामुळे अद्याप संपत नाही, कारण बाह्य तंतू स्थिर ताणाखाली प्लास्टिक स्वरूपात विकृत होत असताना, न्यूट्रल अक्षाच्या अधिक जवळ असलेल्या भागांत, जिथे यील्ड मर्यादा अद्याप गाठलेली नाही, ताण वाढतो; त्यामुळे छेद स्वीकारू शकणारा वाकण क्षणही वाढतो.

जर ताण व विकृती आकृतीचा नेमका प्रवाह ज्ञात असेल, तर दुहेरी सममित छेदांसाठी (उंची h) प्रक्रिया गणितीदृष्ट्या सहज अनुसरता येते, अशा प्रकारे की छेद समतल राहतात या गृहीतकाखाली, ताण व विकृती आकृतीतून वाकण्यामुळे निर्माण होणाऱ्या ताणांचे वितरण σ ठरवले जाते, जे टोकाच्या तंतूंच्या स्वीकारलेल्या विकृती ε__r शी सुसंगत असते, आणि त्यावरून समाकलन करून वाकण क्षण ठरवला जातो. हे विविध ε__r साठी केले आणि दुसऱ्या बाजूने संबंधित विचलन रेषेची वक्रता w’’ = 2 ε__r / h मोजली, तर अनेक बिंदू मिळतात ज्यांतून अशी रेषा काढता येते की जी वाकण क्षण आणि वक्रता यांतील संबंध देते M = M(w’’); हा संबंध आता रेखीय राहत नाही, आणि तो ज्ञात झाल्यावर, दिलेल्या क्षण-वाटपाशी सुसंगत विचलन रेषा आलेखीय समाकलनाने ठरवता येते. छेद असममित असेल, तर गणना अधिक गुंतागुंतीची होते, कारण प्रत्येक ε__r साठी तटस्थ अक्षाचे स्थानही ठरवावे लागते.

क्र. 8

छेदाची सममिती यांशिवाय ताण आणि विकृती यांतील साधे नातेही आकृ. 8 नुसार गृहीत धरल्यास गणना काही प्रमाणात सुलभ होते. तेव्हा यील्ड मर्यादा ओलांडल्यानंतर वाकण्यामुळे निर्माण होणाऱ्या ताणांचे वितरण आकृ. 9 मध्ये दाखवल्याप्रमाणे असते आणि वाकणारा क्षण असा आहे:

म्हणून वाकण रेषेची वक्रता तेव्हा मिळते जेव्हा समीकरण (2) छेदाच्या त्या भागावर लागू केले जाते ज्यातील ताण लवचिक क्षेत्रात आहेत w’’ = σf / Ez’. जर प्रत्येक स्वीकारलेल्या z’ साठी छेदाचा आकार ज्ञात असेल, तर समाकलने काढता येतात. उदा., b रुंदी आणि h उंची असलेल्या आयताकृती आडव्या छेदाच्या सर्वात सोप्या प्रकरणात हे आहे

जर येथे z’ हे w’’, च्या साहाय्याने व्यक्त केले, तर मिळते

I-छेद आणि त्यांच्यासारख्या छेदांमध्ये, प्लास्टिक क्षेत्रातील M-w’’ वक्राचा प्रवाह अधिक सपाट असतो आणि ज्या क्षणी प्रवाहीकरण सुरू होते तो वाकण्याचा क्षण प्रत्यक्षात त्या छेदाने सहन करू शकणाऱ्या सर्वाधिक वाकणाऱ्या क्षणाइतकाच असतो. त्यामुळे बांधकामात प्लास्टिक वाकण्याचे महत्त्व छेद किती जास्त वाकण्याचा क्षण वाहून नेऊ शकतो यात नसून, प्रवाहीकरणाच्या मर्यादेवर निर्माण होणारी मोठी स्थानिक विकृती स्थिर-अनिर्धारित प्रणालींमध्ये बलांच्या वितरणात अनुकूल बदल घडवू शकते, यात आहे.

क्र.9

हे दोन क्षेत्रांवरील सातत्यपूर्ण आधारकांद्वारे समजावून सांगता येते. धरू या की आधारक (आकृ. 10) याची क्षेत्रे समान लांबीची, छेद स्थिर आहे आणि तो समान वितरित भाराने लोड केलेला आहे. तेव्हा यील्ड मर्यादा गाठण्यापूर्वी आधारावरील वाकी क्षण MB = _pl_2/8 असतो. जर भार p इतका वाढविला की आधारछेदातील क्षण Mf या मूल्यापर्यंत पोहोचेल, ज्यावर यील्डिंग सुरू होते, तर पुढील भारवाढीबरोबर त्या ठिकाणी क्षणात लक्षणीय वाढ न होता वक्रता वाढत जाते. तथाकथित प्लास्टिक सांधा तयार होतो, म्हणजेच पूरक भाराखाली आधारक असे वागतो जणू मध्यवर्ती आधारावर सांधा आहे. ज्या ठिकाणी क्षेत्रातील सर्वाधिक क्षण आहे तेथेही यील्डिंग सुरू होईपर्यंत भार पुढे वाढविता येतो. त्यानंतर वाकी क्षण वाढविणे शक्य राहत नाही आणि आधारकाची वहनक्षमता संपुष्टात येते. या अवस्थेतील भाराला मर्यादित भार म्हणतात.

चित्र. 10

साधारणपणे असे अपेक्षित करता येते की n वेळा स्थिर-अनिर्णीत प्रणालीमध्ये प्रणाली हालचालक्षम होऊन तिच्या वहनक्षमतेच्या मर्यादेला पोहोचण्यापूर्वी (n+1) प्लास्टिक सांधे निर्माण व्हावे लागतील. तथापि, या नियमाला दोन्ही दिशांनी अपवाद आहेत. दिलेले उदाहरण दाखवते तसे, वहनक्षमतेच्या मर्येवर एकाच वेळी दोन नवे प्लास्टिक सांधे (दोन्ही क्षेत्रांत) निर्माण होऊ शकतात, त्यामुळे तोपर्यंत अचल असलेली प्रणाली अचानक दोन स्वातंत्र्य-अंशांच्या प्रणालीत रूपांतरित होते. दुसरीकडे, (n+1) पेक्षा कमी प्लास्टिक सांध्यांसहही वहनक्षमता स्थानिकरीत्या संपुष्टात येऊ शकते, उदा. सतत तुळईमध्ये फक्त एकच क्षेत्र निकामी झाले तर. आकृ. 11 दर्शवते की हे n=2 प्लास्टिक सांध्यांसह स्थिर-द्विगुण-अनिर्णीत प्रणालीमध्ये कसे घडू शकते. जर तुळईच्या उजव्या बाजूस चौथे क्षेत्रही जोडले, तर तुळई तिपटीने स्थिर-अनिर्णीत होते, आणि केवळ डावे क्षेत्र वहनक्षमतेच्या मर्येपर्यंत नेण्यासाठी (n-1) प्लास्टिक सांधे पुरेसे ठरतात.

क्र.11

वाकण्यातील कर्तन ताण

एलेमेंटरी गणना

चित्र. 12

सामान्य ताण σ, म्हणजे प्रत्यक्षात वाकण्यामुळे निर्माण होणारे ताण हे वाकलेल्या दांड्यातील एकमेव ताण नाहीत; त्यांच्या बरोबर आडव्या बलाच्या परिणामामुळे कातरण ताणही निर्माण होतात. तांत्रिक वाकण्याच्या सिद्धांताचे मुख्य वैशिष्ट्य असे की कातरण ताणांमुळे होणारे विकृतीकरण दुर्लक्षित केले जाते, म्हणून हे ताण केवळ समतोलाच्या अटींतूनच निश्चित करता येतात. ही अट मांडण्यासाठी, बीमचा घटक dx आकृ. 12 मध्ये दर्शवल्याप्रमाणे आडव्या पातळीने दोन भागांत कापला जातो, आणि खालच्या भागावर कार्य करणाऱ्या आडव्या बलांसाठी समतोलाची अट मांडली जाते. डाव्या बाजूला हे वाकण्यामुळे σ ताणांनी व्यक्त होणारे अंतर्गत बल आहेत, ज्यांचे समाकलन z’ = z पासून z’ = h2 पर्यंत करणे आवश्यक आहे

उजव्या बाजूसही तेच ताण कार्य करतात, मात्र संबंधित वाकणाऱ्या क्षणानुसार M + dM इतक्या फरकाने वाढलेले. घटकाच्या दोन्ही बाजूंवरील बलांतील फरक हा आडव्या छेदपृष्ठभाग t dx मध्ये कार्य करणाऱ्या कर्तन ताणांमुळे τ निर्माण होणाऱ्या बलाशी समतोलात असला पाहिजे:

येथे समाकलन हा आडव्या छेद समतलाने वेगळ्या केलेल्या छेदाच्या क्षेत्रभागाचा, छेदाच्या गुरुत्वकेंद्र अक्षाच्या संदर्भातील स्थिर क्षण दर्शवतो. याला S ने दर्शवले जाते. dM/dx = Q या समतोलाच्या अटीवरून मिळते:

τ = QS/It.  (8)

स्मीयर ताणांच्या संयोगित्वाच्या तत्त्वानुसार हे एकाच वेळी उभ्या कर्तन ताणाचे मूल्य आहे, जे छेदाच्या पृष्ठभागात कार्य करते आणि जे S आणि t सोबत z चे फलन आहे.

चित्र. 13

आकृ. 13.1

समीकरण (8) सर्व पातळ भिंतीच्या छेदांसाठी विश्वसनीय माहिती देते, जर छेदन पातळी तटस्थ अक्षाला समांतर न ठेवता भिंतीच्या जाडीच्या दिशेने ठेवली असेल. म्हणून I-प्रोफाइलचे आडवे छेदन जाळीमधून आणि फ्लॅंजमधून केले जाते, ज्यामुळे आकृ. 13.1 मध्ये दाखविलेली ताणवाटणी प्राप्त होते. वलयाकार छेदामध्ये (आकृ. 13) कर्तन ताण उभ्या व्यासाच्या संदर्भात सममितरीत्या वितरित होतात आणि तटस्थ रेषेच्या डावीकडे व उजवीकडे कमाल मूल्य गाठतात

τ = Q / πrt.

जर छेदाला सर्वात वरच्या किंवा सर्वात खालच्या ठिकाणी कापले असेल, तर कर्तन ताणांचे वितरण बदलत नाही; तथापि, जर तो आडव्या व्यासाच्या उजव्या टोकाशी कापला असेल (आकृ. 14), तर त्या ठिकाणी कर्तन ताण शून्य असतो, तर त्याच व्यासाच्या डाव्या टोकावर त्याचे मूल्य दुप्पट होते.

आ. 14

घन छेद

कोणत्याही आकाराच्या घन छेदांमध्ये कर्तन ताणांचा प्रश्न हा टॉर्शनच्या समस्येशी निकटपणे संबंधित असतो. त्या बाबतीत मूलभूत समीकरण (8) आता विश्वासार्ह राहात नाही. त्रिज्या r असलेल्या वर्तुळाकार छेदासाठी समीकरण (8) देते

τ = 4Q / 3__πr2

तटस्थ अक्षावर कातरणी ताणाची सरासरी किंमत म्हणून, आणि अचूक किंमत फक्त काही टक्क्यांनी अधिक असते.

कर्तनाचे केंद्र

जर U-छेदासाठी वर वर्णन केल्याप्रमाणे कर्तन ताणांची गणना केली, तर आकृ. 15 मध्ये दाखवलेले ताण वितरण मिळते. संबंधित अंतर्गत बलांचा परिणामी बल म्हणजे आडवा बल Q. आकृतीवरून त्याचे छेदाच्या संदर्भातील स्थान दिसते, म्हणजे तो ना छेदाच्या गुरुत्वमध्यातून जातो, ना वेबच्या पातळीत असतो. जर बाह्य बलांवर आधारित गणना केलेल्या आडव्या बलाचे स्थान आकृ. 15 मध्ये दाखवल्याप्रमाणे नसेल, तर दांडा केवळ वाकण्यानेच नव्हे तर मरोडानेही भारित होतो.

जर त्याच छेदासाठी एखाद्या क्षैतिज भाराशी संबंधित कर्तन ताणांचा परिणामी बल ठरविला, तर क्षैतिज छेदबलाची आक्रमणरेषा मिळते. या दोन आक्रमणरेषांच्या छेदनबिंदूवर दिलेल्या छेदासाठी एक वैशिष्ट्यपूर्ण बिंदू असतो, ज्याला कर्तन केंद्र M म्हणतात. सर्व छेदांच्या कर्तन केंद्रे एकाच सरळ रेषेवर असतील आणि दंडाच्या अक्षाला लंब असलेली सर्व भारे त्या रेषेतून जात असतील, तर वाहकात वळणामुळे निर्माण होणारे ताण दिसून येत नाहीत. अन्यथा, प्रत्येक भाराचा त्या सरळ रेषेच्या संदर्भातील क्षण, जी कर्तन केंद्रांना जोडते, हा वळणात्मक कर्तन दर्शवितो.

क्र.15

आडव्या बलाचा वाकणावर परिणाम

वाकण्याच्या तांत्रिक सिद्धांताचा आधार कर्तन ताणांमुळे होणाऱ्या विकृतींकडे दुर्लक्ष करण्यावर आहे. म्हणून तो प्रत्यक्षात फक्त लांबट दांड्यांवर लागू होतो, जिथे हे दुर्लक्ष योग्य ठरते आणि जिथे अनुप्रस्थ बलाचा वाकण्यावर लक्षणीय परिणाम होत नाही.

अनुभवाने मात्र असे दाखविले आहे की तांत्रिक वाकण सिद्धांताचा काही प्रमाणात यशस्वीपणे उपयोग लहान, उंच वाहकांसाठीही करता येतो, ज्यांच्यासाठी तो प्रत्यक्षात मुळीच अभिप्रेत नाही. तेव्हा, या सिद्धांतात दुर्लक्षित केलेल्या कर्तन ताणांमुळे होणाऱ्या विकृतीच्या प्रभावाचा किमान अंदाजे, नंतर विचार करण्याची गरज भासते.

त्याचप्रमाणे, छेदक बलांमुळे निर्माण होणारे कर्तन ताण τ आणि त्यानुसार होणारी सरकणे γ_’ =_ τ_/G_ ही छेदावर असमान रीतीने वितरित झालेली असतात. म्हणून त्यांची मध्यम किंमत γ आणली जाते, जी अशी ठरविली जाते की या मध्यम विकृतीच्या किमतीवर छेदक बल घटक dx वर जो विकृती-कार्य करतो, तेच कार्य त्या दृश्य बीम घटकाचा बनविणाऱ्या स्वतंत्र आयतन घटकांवरील कर्तन ताणांच्या कार्यांचे समाकलन करून मिळणाऱ्या कार्याइतके असावे:

ज्यापासून

समाकलनाची गणना तेव्हा करता येते जेव्हा छेदावर कर्तन ताणांचे वितरण ज्ञात असेल. सर्व कर्तन ताण Q/F च्या प्रमाणात असल्याने, त्याचे मूल्य Q2/F2 * F च्या प्रमाणात असते, म्हणून ते κ__Q2/F आहे असे धरल्यास, मिळते

γ = κ__Q / GF.

स्थिरांक κ ला कर्तन ताण-वितरणाचा गुणांक म्हणतात. आयताकृती छेदांसाठी κ=1,2.

चित्र. 16

जेव्हा गुणांक κ, आणि त्यामुळे सरासरी घसरण γ ज्ञात असते, तेव्हा पार्श्व बलांच्या परिणामामुळे निर्माण झालेला अतिरिक्त वाकण wQ मोजता येतो, जो w वाकणांमध्ये जोडावा लागतो: कारण आकृती 16 नुसार असे आहे

म्हणून Q = dM/dx मुळे:

ज्यात समाकलन स्थिरांक एका सीमाशर्तीमधून मिळविला जातो.