সরল বাঁকন এবং স্বাভাবিক বলসহ বাঁকন

সোজা দণ্ড এবং সামান্য বক্র দণ্ডের সাধারণ চাপ

সেকশনাল বলের সংজ্ঞা

ধরা যাক, একটি সোজা দণ্ডকে ইচ্ছামতো দিকের বল দ্বারা লোড করা হয়েছে, যেগুলির সম্পর্কে কেবল এতটুকুই ধরে নেওয়া হয় যে সবগুলো একই সমতলে (বলসমূহের সমতল) অবস্থিত, যা দণ্ডের অক্ষের মধ্য দিয়ে যায় (যে রেখা অনুপ্রস্থ ছেদগুলোর কেন্দ্রবিন্দুগুলোকে সংযোগ করে)।

ক্রম1

কোনো একটি আনুভূমিক ক্রস-সেকশন n – n (চিত্র 1)-এ কার্যকর চাপ নির্ণয় করতে হলে, এই ক্রস-সেকশনের মাধ্যমে দণ্ডের এক অংশ থেকে অন্য অংশে যে বল সঞ্চারিত হয় তা জানা প্রয়োজন। এর মান ও অবস্থান নিঃসন্দেহে দণ্ডের এক অংশে ক্রিয়াশীল সব বলের ফলকের সমান। এই ফলককে এমন একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় উপাংশে বিভক্ত করা হয়, যার x-অক্ষ দণ্ডের অক্ষের সঙ্গে মিলে যায়, আর z-অক্ষ হলো সেই রেখা বরাবর, যেখানে ক্রস-সেকশনের সমতল বলের সমতলকে ছেদ করে। z অক্ষের দিকে উপাংশকে তির্যক বল Q বা Qz বলা হয় এবং সাধারণ বিমের ক্ষেত্রে এটিকে ধনাত্মক ধরা হয় যদি সেকশনের বামে এর দিক উপরের দিকে এবং ডানে নিচের দিকে হয়।

যখন দণ্ডটি বক্র হয়, তখন স্থানাঙ্ক অক্ষসমূহ x এবং z প্রতিটি ছেদে ভিন্ন দিক ধারণ করে, এবং সবসময় এমনভাবে যে x-অক্ষটি দণ্ডের অক্ষরেখার স্পর্শক। যদি দণ্ডের অক্ষ যে সমতলে অবস্থিত, তা বলের সমতলের সঙ্গে না মেলে, অথবা দণ্ডের অক্ষ যদি স্থানীয় বক্ররেখা হয়, তবে ছেদের বাম পাশে বলের ফলবলের একটি তৃতীয় উপাংশও থাকে, অর্থাৎ পার্শ্বীয় বল Qy। N, Qz এবং Qy দ্বারা ছেদটির মাধ্যমে সঞ্চারিত বলের মান ও দিক নির্ধারিত হয়, কিন্তু তার অবস্থান নয়। এর জন্য স্থানাঙ্ক অক্ষগুলোর সাপেক্ষে তার মুহূর্তও জানা থাকতে হবে। সমতল বেঁকে যাওয়ার ক্ষেত্রে বাঁকন মুহূর্ত M অথবা My জানা থাকলেই যথেষ্ট। সর্বাধিক সাধারণ ক্ষেত্রে আরও একটি বাঁকন মুহূর্ত Mz এবং x-অক্ষের চারপাশে মুহূর্ত, Mx, উপস্থিত হয়।

পূর্বের আলোচনায় সংজ্ঞায়িত ছয়টি বল ও মুহূর্তকে সম্মিলিতভাবে “ছেদীয় বল” বলা হয়। এগুলো নির্ধারণ করা নির্মাণ কাঠামোর স্থিতিবিদ্যার অন্যতম মৌলিক কাজ।

একটানা বিতরণকৃত লোড p (মাত্রা: একক দৈর্ঘ্যপ্রতি বল), আড়াআড়ি বল Q এবং বক্রণ মুহূর্ত M -এর মধ্যে সমতল বক্রণের ক্ষেত্রে একটি সরল সম্পর্ক রয়েছে। যথা, একটি দণ্ড উপাদানের সমতাবস্থার শর্ত থেকে (চিত্র 2) পাওয়া যায়

dQ + p dx = 0,

dM = Q dx;

তাই

Q = dM/dx, 

p = - dQ/dx = - d2M/dx2.        (1a, b)

ক্রম2

স্বাভাবিক চাপের বণ্টন

যদি দণ্ডের উপর কেবল অক্ষীয় বল প্রয়োগ হয়, তবে ছেদে কেবল সমভাবে বণ্টিত স্বাভাবিক চাপ σ দেখা দেয় (টানটান, অর্থাৎ চাপপ্রাপ্ত দণ্ড)। এর সঙ্গে যদি বেন্ডিং মোমেন্টও উপস্থিত হয়, তবে এই চাপগুলোকে কোনো না কোনোভাবে অসমভাবে বণ্টিত হতে হবে, যাতে তাদের ফলবল আর ছেদের ভরকেন্দ্র দিয়ে না যায়। এই বণ্টন নির্ধারণের জন্য প্রযুক্তিগত বাঁকন তত্ত্ব মৌলিক সমীকরণগুলোর কঠোর সমাধান থেকে শুরু করে না, বরং এই সমীকরণগুলোর একটি অংশকে একটি যুক্তিসংগত অনুমান দিয়ে প্রতিস্থাপন করে, যা এক বিশেষভাবে সরল ক্ষেত্রে একই সঙ্গে কঠোরভাবেও পূরণ হয়। এই বিশেষ ক্ষেত্রটি হলো কোনো ট্রান্সভার্সাল বলের প্রভাব ছাড়া সোজা প্রিজমাকৃতি দণ্ডের বাঁকন (চিত্র 3). দণ্ডের যেসব উপাদান তার প্রান্তদ্বয় থেকে যথেষ্ট দূরে অবস্থিত, তারা একই বিকৃতি ভোগ করে; সেখান থেকে সরাসরি অনুসৃত হয় যে দণ্ডের অক্ষ একটি বৃত্তীয় চাপরেখায় পরিণত হয় এবং যে সব তল, যা প্রাথমিকভাবে দণ্ডের অক্ষের লম্ব ছিল, সেগুলো বিকৃতির সময় সমতলই থাকে, কারণ প্রতিটি তলই বিকৃত দণ্ডের পার্শ্ববর্তী অংশগুলোর জন্য সমতা-তল। স্বাভাবিকভাবেই অনুমান করা যায় যে বেন্ডিং মোমেন্ট এবং দণ্ডের ছেদ অপরিবর্তিত না থাকলেও, বরং দণ্ড বরাবর ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হলেও, ছেদগুলো প্রায় সমতলই থাকে। এই অনুমান, যা Navier-এর হাইপোথিসিস নামে পরিচিত, বাঁকন তত্ত্বের ভিত্তি।

ক্রম3

স্বাভাবিক চাপের মান

যখন একটি সরল বিম উপাদান বাঁকানো হয়, তার “তন্তু”গুলোর একটি অংশ, অর্থাৎ দণ্ডের অক্ষের সমান্তরাল বস্তুগত রেখাগুলো, দীর্ঘ হয়, আর অন্য অংশটি ছোট হয় (চিত্র 4). এই দুই অংশের মধ্যে নিরপেক্ষ তন্তু z=0 অবস্থান করে, য deren দৈর্ঘ্য বাঁকানোর সময় পরিবর্তিত হয় না। ধরা যাক, বাঁকানো অবস্থায় এই তন্তুগুলোর বক্রতার ব্যাসার্ধ ϱ এবং তা x-z সমতলে অবস্থান করে। চিত্র 4 m থেকে পড়া যায়

Δ dx/z = _dx/_ϱ

এবং সেখান থেকে নির্ণীত নিরপেক্ষ অক্ষ থেকে z দূরত্বে অবস্থিত তন্তুর বিকৃতি, যা হয়

ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ

এবং তাই Hooke-এর সূত্রের ভিত্তিতে চাপ

σ _= Ez/_ϱ   (2)

ক্রম4

এই চাপটি নিরপেক্ষ তন্তু থেকে দূরত্বের সমানুপাতিক। এমন ফলাফলটি এই অনুমানের সঙ্গে সম্পর্কিত যে বিকৃতির আগে দণ্ড উপাদানের সব তন্তুর দৈর্ঘ্য সমান ছিল, ফলে দণ্ডটি প্রথমে সোজা ছিল, অথবা অন্তত এমন ছোট বক্রতা ছিল যে বক্রতার প্রভাব উপেক্ষা করা যায়। যে রেখা বরাবর নিরপেক্ষ স্তর ও ছেদতলের সমতল একে অপরকে কাটে, তাকে নিরপেক্ষ অক্ষ বলা হয়। এটিকে আমরা y-অক্ষ হিসেবে গ্রহণ করি (চিত্র 5). প্রস্থচ্ছেদে নিরপেক্ষ অক্ষের অবস্থান x-অক্ষের দিকের বলসমতার শর্ত থেকে নির্ধারিত হয়: যদি স্বাভাবিক বল N=0 (স্বাভাবিক বল ছাড়া বাঁকন) হয়, তবে ছেদে স্বাভাবিক চাপের মাধ্যমে প্রকাশিত অভ্যন্তরীণ বলের রেজাল্ট্যান্টও শূন্যের সমান হতে হবে:

ডান দিকের ইন্টেগ্রালটি y-অক্ষের সাপেক্ষে ক্ষেত্রফলের স্থির মুহূর্ত। এটি শূন্য হওয়ার জন্য, এই অক্ষটি ভরকেন্দ্রীয় অক্ষগুলোর একটি হতে হবে।

রূপান্তর ঘটানো moment M-এর y ও z অক্ষের সাপেক্ষে, অনুচ্ছেদের তলে (চিত্র 5) উপাংশগুলি হলো:

সমীকরণ (3)

যেখানে Iy, Iyz হল নির্ধারিত অক্ষের প্রতি ক্রস-সেকশনের নিরক্ষীয় ও কেন্দ্রাতিগ জড়তার ভ্রামক।

সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ হলো বিশেষ ক্ষেত্রে যখন Mz=0। এই ক্ষেত্রে Iyz=0 হলে তা ঘটে, অর্থাৎ যখন y এবং z হলো ক্রস-সেকশনের প্রধান জড়তাক্ষ। এর অর্থ হলো এখানে গৃহীত বক্রতার সমতলটি x-z-সমতলের সঙ্গে মিলে যায়, যেখানে বক্রণ মুহূর্ত M=My কাজ করে, অর্থাৎ বলের সমতলের সঙ্গে।

ক্রম5

যদি সমীকরণ (2) এবং (3) থেকে _E/_ϱ বাদ দেওয়া হয়, তবে সমান বাঁকনে চাপ নির্ণয়ের সূত্র পাওয়া যায় (Iy=I):

σ = M/I * z   (4)

প্রান্তিক বিন্দু 1 এবং 2-এর জন্য বিশেষভাবে প্রযোজ্য:

σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2.   (5)

রাশি W1,2 = I/h1,2 (মাত্রা: দৈর্ঘ্য ঘন) কে প্রতিরোধ মুহূর্ত বলা হয়। যদি অনুভূমিক কেন্দ্রীয় অক্ষটি একই সঙ্গে প্রস্থচ্ছেদের সমমিতি অক্ষ হয়, তবে W1 = W2, ফলে প্রান্তীয় চাপগুলি পরম মানে সমান হয়।

ইলাস্টিক রেখা

চিত্র। 6

উপরের এই রূপগুলোর গুরুত্ব হুকের সূত্রের সঙ্গে সম্পর্কিত। এর জন্য প্রয়োজন যে σ << E, অর্থাৎ (2) অনুসারে h << ϱ. তবে বাঁক এতটুকু হতে পারে যে ϱ দণ্ডের দৈর্ঘ্য l-এর সমপর্যায়ের মাত্রার হয়। নির্মাণকাজে বিবেচ্য বাঁকানো দণ্ডগুলিতে এ অবস্থা দেখা যায় না; ϱ সব সময় l-এর তুলনায় অনেক বড় থাকে এবং সুতরাং নামন w << l (চিত্র 6)। তখন আনুমানিকভাবে প্রযোজ্য:

1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’

এবং (3)-এর ভিত্তিতে:

w’’ = - M/EI.

এই সমীকরণ এবং সাম্যাবস্থার শর্ত (1b) বাঁকানো দণ্ডের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সিস্টেম গঠন করে। এগুলো অপসারণের মাধ্যমে চতুর্থ-ক্রমের একটি সমীকরণে নামিয়ে আনা যায়:

wIV = + p/EI

অথবা, জড়তার ভ্রামক পরিবর্তনশীল হলে:

(EIw’’)’’ = +p.

সেখান থেকে সমাকলনের মাধ্যমে ইলাস্টিক রেখার আকার নির্ণয় করা যায়, যখন লোড p=p(x) দেওয়া থাকে এবং প্রতিটি দণ্ডের ক্ষেত্রে দুটি সীমানা শর্ত জানা থাকে। এদের মধ্যে অন্তত দুটি বিকৃতির সঙ্গে সম্পর্কিত হতে হবে। বিস্তারিত জানতে ভবন কাঠামোর স্থিতিবিদ্যা প্রবন্ধটি দেখুন।

অনুচ্ছেদের কেন্দ্র

যদি নিরপেক্ষ অক্ষ অনুচ্ছেদকে ছেদ করে, তবে এটি টান অঞ্চলে এবং চাপ অঞ্চলে ভাগ হয়ে যায়। কম টান-শক্তিসম্পন্ন উপকরণের ক্ষেত্রে প্রশ্ন ওঠে, চাপবল কোথায় প্রয়োগ করা উচিত, যদি অনুচ্ছেদের কোথাও টান না হতে পারে। তখন বলের প্রয়োগবিন্দুর অবস্থান অনুচ্ছেদের কেন্দ্রীয় কোর নামে পরিচিত অঞ্চলে সীমাবদ্ধ থাকে। কোরের সীমানা স্পষ্টতই এমন বিন্দুগুলোর জ্যামিতিক স্থান, য deren নিরপেক্ষ অক্ষ অনুচ্ছেদকে পরিধি বরাবর স্পর্শ করে। এর মাধ্যমেই এর নির্মাণ-পদ্ধতিও নির্ধারিত হয়।

যে কোনো দিক বরাবর মাপা নিরেট অংশের সীমানা ও কেন্দ্রের দূরত্বকে আমরা সেই দিকের সঙ্গে সংশ্লিষ্ট k সূচক দিয়ে প্রকাশ করব। প্রধান জড়তা অক্ষের জন্য, সমীকরণ অনুযায়ী

σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z  (6)

পদেরূপগুলি নিম্নরূপ:

ky = i2z / ey,      kz = i2y / ez.   (7)

ব্যাসার্ধ r-সহ বৃত্তাকার আনুভূমিক কাটের জন্য কেন্দ্রক-দূরত্ব k = r/4, এবং বৃত্তাকার রিং-এর জন্য (ব্যাসার্ধ: বাহ্যিক R, অভ্যন্তরীণ r) k = (R2 + r2) / 4R.

আয়তক্ষেত্রের জন্য (চিত্র 7) ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. অর্থাৎ, আয়তাকার ক্রস-সেকশনের কোনো একটি সমমিতি-সমতলে লোড প্রয়োগ করলে (কেবল তখনই) ক্রস-সেকশনের উচ্চতা বা প্রস্থের মধ্যবর্তী তৃতীয়াংশে ফলবলটি ক্রিয়া করলেই যথেষ্ট, যাতে ক্রস-সেকশনে সৃষ্ট চাপগুলোর চিহ্ন একই হয়।

ক্রম7

প্লাস্টিক অঞ্চলে বক্রণ

বেঁকানো দণ্ডের প্রান্তীয় তন্তুতে যখন yield সীমা পৌঁছে যায়, তখনও তার বহনক্ষমতা শেষ হয়ে যায় না, কারণ বাইরের তন্তুগুলি ধ্রুব চাপের অধীনে প্লাস্টিক বিকৃতির মধ্য দিয়ে যেতে যেতে, নিরপেক্ষ অক্ষের কাছাকাছি অংশে, যেখানে yield সীমা এখনও অর্জিত হয়নি, সেখানে চাপ বৃদ্ধি পায়; ফলে অনুচ্ছেদটি যে bending moment গ্রহণ করতে পারে, সেটিও বৃদ্ধি পায়।

যদি চাপ ও বিকৃতি-চিত্রের সঠিক ধারা জানা থাকে, তবে দ্বিগুণ-সমমিতি বিশিষ্ট প্রস্থচ্ছেদগুলোর (উচ্চতা h) ক্ষেত্রে প্রক্রিয়াটি সহজেই গণনামূলকভাবে অনুসরণ করা যায়; অর্থাৎ, প্রস্থচ্ছেদ সমতল থাকে বলে ধরে নিয়ে চাপ ও বিকৃতি-চিত্র থেকে বক্রণের ফলে সৃষ্ট চাপের বণ্টন σ নির্ধারণ করা হয়, যা প্রান্তীয় তন্তুর কোনো গৃহীত প্রসারণ ε__r এর সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ, এবং সেখান থেকে সমাকলন করে বক্রণ মুহূর্ত নির্ধারণ করা হয়। এটি যদি বিভিন্ন ε__r এর জন্য করা হয় এবং অন্যদিকে বিচ্যুতি রেখার উপযুক্ত বক্রতা w’’ = 2 ε__r / h গণনা করা হয়, তবে কয়েকটি বিন্দু পাওয়া যায়, যেগুলোর মধ্য দিয়ে এমন একটি রেখা টানা যায় যা বক্রণ মুহূর্ত ও বক্রতার মধ্যে সম্পর্ক দেয় M = M(w’’); এই সম্পর্ক আর রৈখিক থাকে না, এবং তা জানা থাকলে গ্রাফিক্যাল সমাকলনের মাধ্যমে প্রদত্ত মুহূর্ত-বণ্টনের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ বিচ্যুতি রেখা নির্ধারণ করা সম্ভব। যদি প্রস্থচ্ছেদ অসাম্যিক হয়, তবে গণনা আরও জটিল হয়, কারণ প্রতিটি ε__r এর জন্য নিরপেক্ষ অক্ষের অবস্থানও নির্ধারণ করতে হয়।

ক্রম 8

ছেদের সমমিতির পাশাপাশি চিত্র 8 অনুযায়ী চাপ ও বিকৃতির মধ্যে সরলীকৃত সম্পর্কও ধরলে গণনা কিছুটা সহজ হয়। তখন ফলনসীমা অতিক্রম করার পর বক্রণের কারণে সৃষ্ট চাপের বণ্টন চিত্র 9-এ দেখানো মতো হয় এবং বক্রণ মুহূর্ত হলো:

এভাবে বক্রতার রেখার বক্রতা পাওয়া যায় যখন সমীকরণ (2) অনুচ্ছেদের সেই অংশে প্রয়োগ করা হয়, যার চাপ স্থিতিস্থাপক অঞ্চলে w’’ = σf / Ez’। প্রতিটি গৃহীত z’-এর জন্য যদি অনুচ্ছেদের আকার জানা থাকে, তবে ইন্টিগ্রালগুলো গণনা করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, প্রস্থ b এবং উচ্চতা h-বিশিষ্ট আয়তাকার আনুভূমিক অনুচ্ছেদের সবচেয়ে সরল ক্ষেত্রে, তা হলো

এখানে যদি z’ কে w’’-এর সাহায্যে প্রকাশ করা হয়, তবে পাওয়া যায়

I-সেকশন এবং এ ধরনের ক্ষেত্রে, প্লাস্টিক অঞ্চলে M-w’’ বক্ররেখার প্রবাহ আরও বেশি সমতল হয় এবং যে মোমেন্টে yielding ঘটে তা তখন কার্যত সেই সর্বোচ্চ বাঁক মোমেন্টের সমান, যা সেকশনটি মোটামুটি সহ্য করতে পারে। তাই নির্মাণকাজে প্লাস্টিক বাঁকনের গুরুত্ব সেকশন যে বাঁক মোমেন্ট বহন করতে পারে তা বাড়ানো নয়, বরং এই কারণে যে yielding সীমায় যে বড় স্থানীয় বিকৃতি ঘটে তা স্থির-অনির্ধারিত সিস্টেমে বলের বিন্যাসের অনুকূল পরিবর্তন ঘটাতে পারে।

ক্রম9

এটি দুই স্প্যানবিশিষ্ট ধারাবাহিক বিমের উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করা যায়। ধরা যাক বিমটি (চিত্র 10) সমান দৈর্ঘ্যের স্প্যান, ধ্রুব ক্রস-সেকশন এবং সমবণ্টিত লোডে লোডিত। তখন ফলনসীমায় পৌঁছানোর আগে সহায়কের উপর মুহূর্ত MB = _pl_2/8। যদি লোড p এতটাই বাড়ানো হয় যে সহায়ক অংশে মুহূর্ত Mf মানে পৌঁছে যায়, যেখানে ফলন শুরু হয়, তবে লোড আরও বাড়ালে ঐ স্থানে মুহূর্তের উল্লেখযোগ্য বৃদ্ধি ছাড়াই বক্রতা বাড়বে। তথাকথিত প্লাস্টিক হিঞ্জ সৃষ্টি হয়, অর্থাৎ অতিরিক্ত লোডের অধীনে বিমটি এমন আচরণ করে যেন মধ্যবর্তী সহায়কের উপর একটি হিঞ্জ আছে। লোড আরও বাড়ানো যেতে পারে যতক্ষণ না স্প্যানের সর্বাধিক মুহূর্তের স্থানেও ফলন শুরু হয়। তখন বাঁকানো মুহূর্তের আর বৃদ্ধি সম্ভব নয় এবং বিমের বহনক্ষমতা শেষ হয়ে যায়। যে লোডে এই অবস্থা ঘটে তাকে সীমান্ত লোড বলা হয়।

চিত্র। 10

সাধারণভাবে আশা করা যায় যে একটি n বার স্থিতিবিদ্যাগতভাবে অনির্ধারিত সিস্টেমে, সিস্টেমটি চলনযোগ্য হয়ে তার বহনক্ষমতার সীমায় পৌঁছানোর আগে (n+1)টি প্লাস্টিক জয়েন্টের সৃষ্টি হতে হবে। তবে এই নিয়মের উভয় দিকেই ব্যতিক্রম আছে। উল্লিখিত উদাহরণটি যেমন দেখায়, বহনক্ষমতার সীমায় একই সঙ্গে দুটি নতুন প্লাস্টিক জয়েন্ট (উভয় ক্ষেত্রেই) সৃষ্টি হতে পারে, ফলে তখনও অচল থাকা সিস্টেমটি হঠাৎ দুই ডিগ্রি স্বাধীনতাসম্পন্ন সিস্টেমে পরিণত হয়। অন্যদিকে, (n+1)টির কম প্লাস্টিক জয়েন্ট থাকলেও বহনক্ষমতা স্থানীয়ভাবে নিঃশেষ হতে পারে, যেমন ধারাবাহিক বিমের ক্ষেত্রে কেবল একটি ক্ষেত্র নষ্ট হলে। চিত্র 11 দেখায় কীভাবে এটি n=2 প্লাস্টিক জয়েন্টযুক্ত একটি স্থিতিবিদ্যাগতভাবে দ্বিগুণ অনির্ধারিত সিস্টেমে ঘটতে পারে। যদি বিমের ডান পাশে আরেকটি চতুর্থ ক্ষেত্র যোগ করা হয়, তবে বিমটি ত্রিগুণ স্থিতিবিদ্যাগত অনির্ধারিত হয়ে যায়, এবং তখন শুধুমাত্র বাম ক্ষেত্রটিকে বহনক্ষমতার সীমায় আনতে (n-1)টি প্লাস্টিক জয়েন্টই যথেষ্ট।

ক্রম11

বাঁকনের সময় কর্তনজনিত চাপ

মৌলিক গণনা

চিত্র। 12

স্বাভাবিক চাপ σ, অর্থাৎ যেগুলো বাস্তবে বাঁকনের ফলে দেখা দেয়, বাঁকানো দণ্ডে একমাত্র চাপ নয়; এর পাশাপাশি আনুভূমিক বলের প্রভাবে শিয়ার চাপও দেখা দেয়। যেহেতু প্রযুক্তিগত বাঁকন তত্ত্বের মূল বৈশিষ্ট্য হলো শিয়ার চাপজনিত বিকৃতি উপেক্ষা করা, তাই এসব চাপ কেবল সাম্যাবস্থার শর্ত থেকেই নির্ণয় করা যায়। এটি স্থাপন করতে গিয়ে, চিত্র 12-এ যেমন দেখানো হয়েছে, বিমের উপাদান dx একটি অনুভূমিক সমতল দ্বারা দুই ভাগে কাটা হয়, এবং নিচের অংশের ওপর ক্রিয়াশীল অনুভূমিক বলগুলোর সাম্যাবস্থার শর্ত স্থাপন করা হয়। বামদিকে এগুলো হলো বাঁকনের ফলে σ চাপ দ্বারা প্রকাশিত অভ্যন্তরীণ বল, যার জন্য z’ = z থেকে z’ = h2 পর্যন্ত সমাকলন করতে হবে

ডান দিকে একই ধরনের চাপ作用 করে, তবে সংশ্লিষ্ট বেন্ডিং মোমেন্ট M + dM অনুযায়ী তা ডিফারেনশিয়াল পরিমাণে বৃদ্ধি পায়। উপাদানের উভয় পাশে বলের পার্থক্যকে অনুভূমিক ক্রস-সেকশনাল পৃষ্ঠ t dx‑এ作用 করা শিয়ারিং চাপ τ থেকে সৃষ্ট বলের সঙ্গে সাম্যাবস্থায় থাকতে হবে:

এখানে ইন্টেগ্রালটি অনুভূমিক ছেদতল দ্বারা পৃথক করা অনুচ্ছেদের ক্রস-সেকশনের অংশের স্থিতিক মুহূর্তকে তার কেন্দ্রীয় অক্ষের সাপেক্ষে প্রকাশ করে। এটি S দ্বারা চিহ্নিত হয়। সমতাবস্থার শর্ত dM/dx = Q থেকে পাওয়া যায়:

τ = QS/It.  (8)

শিয়ার চাপের যুগ্মতার নীতি অনুযায়ী এটি একই সঙ্গে উল্লম্ব শিয়ার চাপের মান, যা ক্রস-সেকশনের পৃষ্ঠে ক্রিয়া করে এবং যা S ও t-এর সঙ্গে z-এর ফাংশন।

ক্রম13

চিত্র 13.1

সমীকরণ (8) সব পাতলা-প্রাচীরযুক্ত প্রস্থচ্ছেদে নির্ভরযোগ্য তথ্য দেয়, যদি প্রস্থচ্ছেদ সমতলটি নিরপেক্ষ অক্ষের সমান্তরাল না হয়ে দেয়ালের পুরুত্বের দিকে স্থাপন করা হয়। সে অনুযায়ী I-প্রোফাইলকে রিব বরাবর অনুপ্রস্থভাবে এবং ফ্ল্যাঞ্জ বরাবর অনুপ্রস্থভাবে কাটা হয়, যার ফলে চিত্র 13.1-এ প্রদর্শিত চাপ-বিন্যাস পাওয়া যায়। বৃত্তাকার প্রস্থচ্ছেদে (চিত্র 13) শিয়ার চাপগুলো উল্লম্ব ব্যাসের প্রতি সমমিতভাবে বিন্যস্ত থাকে এবং নিরপেক্ষ রেখার বাম ও ডান পাশে সর্বাধিক মানে পৌঁছে

τ = Q / πrt.

যদি অনুচ্ছেদটি সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন স্থানে কাটা হয়, তবে শিয়ার চাপের বণ্টন পরিবর্তিত হয় না; তবে যদি এটি অনুভূমিক ব্যাসের ডান প্রান্তে কাটা হয় (চিত্র 14), তবে সেই স্থানে শিয়ার চাপ শূন্যের সমান হয়, আর একই ব্যাসের বাম প্রান্তে এর মান দ্বিগুণ হয়ে যায়।

চিত্র 14

পূর্ণ অনুচ্ছেদসমূহ

যেকোনো আকৃতির পূর্ণ অনুচ্ছেদের ক্ষেত্রে শিয়ার চাপের সমস্যা টরশন সমস্যার সঙ্গে ঘনিষ্ঠভাবে যুক্ত। এ ক্ষেত্রে মৌলিক সমীকরণ (8) আর নির্ভরযোগ্য নয়। ব্যাসার্ধ r বিশিষ্ট বৃত্তাকার অনুচ্ছেদের জন্য সমীকরণ (8) দেয়

τ = 4Q / 3__πr2

নিরপেক্ষ অক্ষ বরাবর শিয়ার চাপের গড় মান হিসেবে, এবং প্রকৃত মানটি মাত্র কয়েক শতাংশ বেশি।

শিয়ার কেন্দ্র

যদি U-সেকশনের জন্য উপরে বর্ণিত পদ্ধতিতে শিয়ার চাপ গণনা করা হয়, তবে চিত্র 15-এ প্রদর্শিত চাপবণ্টন পাওয়া যায়। সংশ্লিষ্ট অভ্যন্তরীণ বলের ফল হলো ত্রান্সভার্সাল বল Q। চিত্র থেকে এর অবস্থান সেকশনের তুলনায় দেখা যায়, অর্থাৎ এটি না সেকশনের ভারকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়, না রিবের সমতলে অবস্থিত। যদি বাহ্যিক বলের ভিত্তিতে গণনা করা ত্রান্সভার্সাল বলের অবস্থান চিত্র 15-এ প্রদর্শিত অবস্থানের সঙ্গে না মেলে, তবে বিমটি শুধু বক্রণে নয়, টর্শনেও লোডিত হয়।

যদি একই আনুভূমিক ছেদের জন্য এমন একটি ফলজ বল নির্ধারণ করা হয়, যা কোনো আনুভূমিক লোডের জন্য শিয়ারিং চাপের সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ, তবে আনুভূমিক ট্রান্সভার্সাল বলের আক্রমণ-রেখা পাওয়া যায়। এই দুই আক্রমণ-রেখার ছেদবিন্দুতে প্রদত্ত আনুভূমিক ছেদের বৈশিষ্ট্যসূচক বিন্দুটি থাকে, যাকে শিয়ার সেন্টার M. বলা হয়। বহনকারীতে টরশনের কারণে কোনো চাপ দেখা দেয় না, যখন সব আনুভূমিক ছেদের শিয়ার সেন্টার একই সরলরেখায় অবস্থান করে এবং দণ্ডের অক্ষের লম্ব সব লোড ওই সরলরেখার মধ্য দিয়ে যায়। অন্যথায়, প্রতিটি লোডের ঐ সরলরেখার সাপেক্ষ মোমেন্ট, যা শিয়ার সেন্টারগুলিকে সংযুক্ত করে, টরশনাল শিয়ারিং নির্দেশ করে।

ক্রম15

অনুপ্রস্থ বলের বাঁকের ওপর প্রভাব

কারিগরি বেন্ডিং তত্ত্বটি কাঁচি-চাপজনিত বিকৃতি উপেক্ষার ওপর ভিত্তি করে। অতএব এটি বাস্তবে সরু দণ্ডের ক্ষেত্রে প্রয়োগযোগ্য, যেখানে এই উপেক্ষা যুক্তিসংগত এবং যেখানে ট্রান্সভার্সাল বলের বেন্ডিংয়ের ওপর উল্লেখযোগ্য প্রভাব নেই।

তবে অভিজ্ঞতা দেখিয়েছে যে প্রযুক্তিগত বক্রণ তত্ত্বটি কিছু সফলতার সঙ্গে ছোট, উঁচু বহনকারীর ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা যেতে পারে, যাদের জন্য বাস্তবে এটি আদৌ উদ্দিষ্ট নয়। তখন শিয়ারিং চাপের ফলে সৃষ্ট বিকৃতির প্রভাব, যা এই তত্ত্বে উপেক্ষিত, অন্তত আনুমানিকভাবে পরে বিবেচনায় নেওয়ার প্রয়োজন দেখা দেয়।

সমানভাবে, ট্রান্সভার্সাল বলের ফলে সৃষ্ট শিয়ারিং চাপ τ এবং সংশ্লিষ্ট স্লিপ γ_’ =_ τ_/G_ ও ছেদের মধ্যে অসমভাবে বণ্টিত থাকে। তাই তাদের গড় মান γ প্রবর্তন করা হয়, যা এভাবে নির্ধারিত হয় যে এই গড় বিকৃতির মানে ট্রান্সভার্সাল বলটি বিমের উপাদান dx এর উপর এমন এক বিকৃতি-কার্য সম্পাদন করে, যা বিমের উক্ত উপাদান গঠনকারী পৃথক আয়তন উপাদানগুলিতে শিয়ারিং চাপের কার্যগুলির সমাকলন করে প্রাপ্ত কার্যটির সমান হয়:

যেখান থেকে এটি

ছেদের জুড়ে শিয়ার চাপের বণ্টন জানা থাকলে ইন্টিগ্রালটি গণনা করা যায়। যেহেতু সব শিয়ার চাপ Q/F এর সাথে সমানুপাতিক, তাই এর মান Q2/F2 * F এর সাথে সমানুপাতিক, ফলে সেটিকে κ__Q2/F ধরে নিলে পাওয়া যায়

γ = κ__Q / GF.

ধ্রুবক κ-কে শিয়ার চাপের বণ্টন সহগ বলা হয়। আয়তাকার অনুচ্ছেদের জন্য κ=1,2।

চিত্র। 16

যখন সহগ κ, এবং সেই সঙ্গে গড় স্লাইডিং γ জানা থাকে, তখন ট্রান্সভার্সাল বলের প্রভাবে সৃষ্ট অতিরিক্ত বক্রতা wQ গণনা করা যায়, যা w বক্রতার সঙ্গে যোগ করতে হবে: কারণ চিত্র 16 অনুযায়ী এটি

কারণ Q = dM/dx:

যার ফলে সমাকলন ধ্রুবকটি একটি সীমানা শর্ত থেকে নির্ণীত হয়।