Нормални напрежения при прави пръти и пръти с малка кривина
Определение на срязващите сили
Нека прав прът е натоварен със сили с произволно направление, за които се приема само, че всички лежат в една равнина (равнина на силите), която минава през оста на пръта (линията, която свързва центровете на тежестта на напречните сечения).
Фиг. 1
За да се изчислят напреженията, действащи в някакво напречно сечение n – n (фиг. 1), необходимо е да се познава силата, която през това сечение се предава от една част на пръта към друга. Тя по големина и положение очевидно е равна на равнодействащата на всички сили, които въздействат върху една част от пръта. Тази равнодействаща се разлага на компоненти в координатна система, чиято x-ос съвпада с оста на пръта, а z-ос е линията, по която равнината на напречното сечение пресича равнината на силите. Компонентът по посока на оста z се нарича напречна сила Q или Qz и при проста греда се счита за положителен, ако вляво от сечението е насочен нагоре, а вдясно — надолу.
Когато прътът е извит, координатните оси x и z във всяко сечение имат друго направление и то винаги така, че x-оста е допирателна към оста на пръта. Ако равнината, в която лежи оста на пръта, не съвпада с равнината на силите, или ако оста на пръта е пространствена крива, резултантата на силите вляво от сечението има и трета компонента, напречната сила Qy. С N, Qz и Qy са определени величината и посоката на силата, която се предава през сечението, но не и нейното положение. За това е необходимо да бъдат известни и моментите ѝ спрямо координатните оси. В случай на плоско огъване е достатъчно да бъде известен огъващият момент M или My. В най-общия случай се появява още един огъващ момент Mz и момент около x-оста, Mx.
Шестте сили и моменти, определени в предходното изложение, са обхванати под общото название „сечащи сили“. Определянето им е една от основните задачи на статиката на строителните конструкции.
Между непрекъснато разпределеното натоварване p (размерност: сила на единица дължина), напречната сила Q и огъващия момент M в случай на равнинно огъване съществува проста връзка. Именно от условията за равновесие на един елемент на прът (фиг. 2) се получава
dQ + p dx = 0,
dM = Q dx;
следователно
Q = dM/dx,
p = - dQ/dx = - d2M/dx2. (1a, b)
Фиг. 2
Разпределение на нормалните напрежения
Ако прътът е натоварен само с аксиална сила, в сечението се появява само равномерно разпределено нормално напрежение σ (опънат, респ. натиснат прът). Ако освен това се появява и огъващ момент, тези напрежения трябва по някакъв начин да бъдат неравномерно разпределени, така че тяхната резултантна вече да не минава през центъра на тежестта на сечението. За да се определи това разпределение, техническата теория на огъването не изхожда от строго решение на основните уравнения, а заменя една част от тези уравнения с правдоподобна хипотеза, която в един особено прост случай е и строго изпълнена. Този специален случай е огъването на прав призматичен прът без действие на напречни сили (фиг. 3). Всички елементи на пръта, които са достатъчно отдалечени от краищата му, търпят една и съща деформация, откъдето непосредствено следва, че осевата линия на пръта преминава в кръгова дъга и че всички равнини на напречните сечения, които първоначално са били перпендикулярни на оста на пръта, при деформацията остават равни, защото всяка от тях е равнина на симетрия за съседните части на деформирания прът. Естествено се налага предположението, че напречните сечения остават приблизително равни и когато огъващият момент и напречното сечение на пръта не са постоянни, а се изменят постепенно по дължината на пръта. Това предположение, наречено Navier-ова хипотеза, лежи в основата на теорията на огъването.
Фиг. 3
Величина на нормалните напрежения
Когато прав елемент на греда се огъне, една част от неговите „влакна“, т.е. материални линии, успоредни на оста на пръта, се удължава, докато другата част се скъсява (фиг. 4). Между тези две части лежат неутралните влакна z=0, чиято дължина при огъване не се изменя. Нека радиусът на кривината на тези влакна в огънато състояние е ϱ и нека той лежи в равнината x-z. От фиг. 4 mоже се прочете
Δ dx/z = _dx/_ϱ
и оттам изчислената деформация на влакната на разстояние z от неутралната ос, която е
ε = Δ dx/dx = _z/_ϱ
поради което въз основа на Hooke-овия закон напрежението
σ _= Ez/_ϱ (2)
Фиг. 4
Това напрежение е пропорционално на разстоянието от неутралните влакна. Такъв резултат е свързан с предположението, че преди деформацията всички влакна на елемента на пръта са били с еднаква дължина, така че прътът първоначално е бил прав, или поне с толкова малка кривина, че влиянието на кривината може да се пренебрегне. Правата, по която се пресичат неутралният слой и равнината на сечението, се нарича неутрална ос. Ние я приемаме за y-ос (фиг. 5). Положението на неутралната ос в напречното сечение се получава от условието за равновесие на силите в посока на x-оста: ако нормалната сила N=0 (огъване без нормална сила), тогава и резултантата на вътрешните сили, изразена чрез нормалните напрежения в сечението, трябва да бъде равна на нула:
Интегралът от дясната страна е статичен момент на площта спрямо y-оста. За да бъде той равен на нула, тази ос трябва да бъде една от тежестните оси.
Моментът M, който предизвиква деформация, има спрямо осите y и z в равнината на сечението (фиг. 5) съставните компоненти:
Ур. (3)
като Iy, Iyz са екваториалният и центробежният инерционен момент на сечението спрямо означените оси.
Най-важен е специалният случай, когато Mz=0. Този случай настъпва, когато Iyz=0, т.е. когато y и z са главните оси на инерция на сечението. Това означава, че приетата тук равнина на огъване, заедно с x-z-равнината, съвпада с равнината, в която действа огъващият момент M=My, т.е. с равнината на силите.
Фиг. 5
Ако от уравненията (2) и (3) се елиминира _E/_ϱ, получава се изразът за определяне на напрежението при равномерно огъване (Iy=I):
σ = M/I * z (4)
за крайните точки 1 и 2 особено е:
σ1 = M/I * h1 = M/W1, σ2 = - M/I * h2 = - M/W2. (5)
Величините W1,2 = I/h1,2 (размерност: дължина на трета) се наричат устойчиви моменти. Ако хоризонталната тежищна ос е едновременно и ос на симетрия на сечението, тогава W1 = W2, па по абсолютна стойност крайни напрежения са равни.
Еластична линия
Фиг. 6
Значението на изложените по-горе зависимости е свързано със закона на Хук. Това изисква σ << E, следователно според (2) h << ϱ. Огъването обаче може да бъде такова, че ϱ да е от същия порядък като дължината на пръта l. При огънати пръти, които се разглеждат в строителството, този случай не настъпва; винаги ϱ е значително по-голямо от l и следователно прогибът w << l (фиг. 6). Тогава приблизително е валидно:
1/ ϱ = - d2w/dx2 = -w’’
и въз основа на (3):
w’’ = - M/EI.
Това уравнение и условието за равновесие (1b) образуват система от диференциални уравнения на огънат прът. Чрез елиминиране те могат да се сведат до едно уравнение от четвърти ред:
wIV = + p/EI
или, в случай че моментът на инерция е променлив:
(EIw’’)’’ = +p.
От тях чрез интегриране може да се намери формата на еластичната линия, когато е дадено натоварване p=p(x) и когато за всеки случай на прът са известни две гранични условия. От тях поне две трябва да се отнасят до деформацията. За подробности вж. статията Статика на строителните конструкции.
Ядро на сечението
Ако неутралната ос пресича напречното сечение, тя го разделя на зона на опън и зона на натиск. При материали с малка якост на опън възниква въпросът къде трябва да се прилага силата на натиск, ако в напречното сечение не бива никъде да се появи опън. Положението на точката на приложение на силата тогава е ограничено до област, наречена ядро на сечението. Границата на ядрото е очевидно геометрично място на точки, чиито неутрални оси са допирателни към напречното сечение по контура. С това е дадена и неговата конструкция.
Разстоянието на границата на ядрото от центъра на тежестта, измерено във всяка посока, ще означим с k и с индекс, съответстващ на тази посока. За главните оси на инерция по уравнението
σ = N/F + Mz/Iz y + My/Iy z (6)
Следните са изразите:
ky = i2z / ey, kz = i2y / ez. (7)
За кръгло напречно сечение с радиус r разстоянието до ядрото е k = r/4, а за кръгов пръстен (радиуси: външен R, вътрешен r) k = (R2 + r2) / 4R.
За правоъгълник (сл. 7) е ky = 1/6 b, kz = 1/6 h. Следователно при натоварване на правоъгълно сечение в една от равнините на симетрия (но само тогава) е достатъчно резултантната да преминава в средната третина на височината или ширината на напречното сечение, за да имат напреженията в сечението един и същ знак.
Фиг. 7
Огъване в пластичната област
Когато в крайните влакна на огънат прът е достигната границата на провлачване, неговата носимоспособност все още не е изчерпана, защото докато външните влакна се пластично деформират при постоянно напрежение, в частите, разположени по-близо до неутралната ос, където границата на провлачване още не е достигната, напрежението нараства, а с това нараства и огъващият момент, който сечението може да поеме.
Ако е известен точният ход на диаграмата на напреженията и деформациите, процесът за двустранно симетрични сечения (височина h) може лесно да се проследи изчислително по този начин, че при допускането, че сеченията остават равни, от диаграмата на напреженията и деформациите се определи разпределението на напреженията σ вследствие на огъване, което съответства на някаква възприета дилатация на крайните влакна ε__r и оттам чрез интегриране се определи огъващият момент. Ако това се проведе за различни ε__r и от друга страна се изчисли съответната кривина на линията на провисване w’’ = 2 ε__r / h, получава се редица точки, през които може да се прекара линия, която дава връзката между огъващия момент и кривината M = M(w’’); тази връзка вече не е линейна, а когато е известна, е възможно чрез графично интегриране да се определи линията на провисване, съответстваща на дадено разпределение на моментите. Ако сечението е несиметрично, изчислението става по-сложно, дотолкова, че за всяко ε__r трябва още да се определи и положението на неутралната ос.
Сл. 8
Изчислението до известна степен се опростява, ако освен симетрията на сечението се приеме и опростена връзка между напреженията и деформациите според фиг. 8. Тогава напреженията при огъване след превишаване на границата на провлачване имат разпределението, показано на фиг. 9, и моментът на огъване е:
така че кривината на линията на провисване се получава, когато уравнение (2) се приложи към част от сечението, чиито напрежения в еластичната област са w’’ = σf / Ez’. Ако е известна формата на сечението за всяко прието z’, интегралите могат да се изчислят. Например, за най-простия случай на правоъгълно напречно сечение с ширина b и височина h е
Ако тук z’ се изрази чрез w’’, се получава
При I-профилите и подобните на тях ходът на кривата M-w’’ в пластичната област е още по-полегат и моментът, при който настъпва текучество, тогава е практически равен на най-големия огъващ момент, който сечението изобщо може да понесе. Поради това значението на пластичното огъване в строителството не се състои в увеличаване на огъващия момент, който сечението може да носи, а в това, че голямата локална деформация, която настъпва на границата на текучество, може да доведе до благоприятна промяна в разпределението на силите при статически неопределими системи.
Фиг. 9
Това може да се обясни с примера на непрекъсната греда върху две полета. Нека гредата (фиг. 10) има полета с еднаква дължина, постоянен напречен сечeние и нека е натоварена с равномерно разпределен товар. Тогава преди достигане на границата на провлачване моментът над опората MB = _pl_2/8. Ако натоварването p се увеличи дотолкова, че моментът в опорния сечeние достигне стойността Mf, при която настъпва провлачване, при по-нататъшно увеличаване на натоварването на това място ще се увеличава и кривината без осезаем прираст на момента. Образува се т.нар. пластичен шарнир, т.е. гредата при допълнително натоварване се държи така, сякаш над междинната опора има шарнир. Натоварването може да се увеличава по-нататък, докато и на мястото на най-големия момент в полето не започне провлачване. По-нататъшно увеличаване на огъващия момент вече не е възможно и носимоспособността на гредата е изчерпана. Товарът, при който настъпва това състояние, се нарича гранично натоварване.
Фиг. 10
По принцип може да се очаква, че в една n пъти статически неопределима система ще трябва да се появят (n+1) пластични шарнира, преди системата да стане подвижна и по този начин да достигне своята граница на носимоспособност. Това правило обаче има изключения и в двете посоки. Както показва приведенкият пример, на границата на носимоспособност могат едновременно да се появят два нови пластични шарнира (в двете полета), така че досега още неподвижната система изведнъж преминава в система с две степени на свобода. От друга страна е възможно и с по-малко от (n+1) пластични шарнира носимоспособността да бъде локално изчерпана, напр. когато при непрекъсната греда отстъпи само едно поле. Фиг. 11 показва как това може да се случи при една статически двукратно неопределима система с n=2 пластични шарнира. Ако отдясно на гредата се добави още и четвърто поле, гредата става статически трикратно неопределима, така че са достатъчни (n-1) пластични шарнира, за да бъде само лявото поле доведено до границата на носимоспособност.
Фиг. 11
Плъзгащи напрежения при огъване
Елементарно изчисление
Фиг. 12
Нормалните напрежения σ, т.е. напреженията, които всъщност възникват вследствие на огъване, не са единствените напрежения в огънатия прът, а наред с тях се появяват и срязващи напрежения вследствие на действието на напречната сила. Предвид това, че основната характеристика на техническата теория на огъването е в това, че деформациите вследствие на срязващите напрежения се пренебрегват, те могат да се определят само от условията на равновесие. За да се постави това, елементът на гредата dx се разрязва, както е показано на сл. 12, с хоризонтална равнина на две части, и се поставя условието за равновесие на хоризонталните сили, действащи върху долната част. От лявата страна това са вътрешните сили, изразени чрез напреженията σ вследствие на огъване, за които трябва да се интегрира от z’ = z до z’ = h2
От дясната страна действат същите напрежения, но увеличени с диференциала съобразно съответния огъващ момент M + dM. Разликата между силите от двете страни на елемента трябва да бъде в равновесие със силата, породена от срязващите напрежения τ, които действат в хоризонталната сечаща повърхнина t dx:
Тук интегралът представлява статичния момент на част от напречното сечение, отделена с хоризонтална напречна равнина, спрямо тежестната ос на сечението. Той се означава с S. От dM/dx = Q по условието за равновесие се получава:
τ = QS/It. (8)
Това е, съгласно положението за съпоставеност на срязващите напрежения, едновременно и големината на вертикалното срязващо напрежение, което действа в повърхнината на напречното сечение и което, заедно със S и t, е функция на z.
Фиг. 13
Фиг. 13.1
Уравнението (8) дава надеждни данни при всички тънкостенни сечения, ако сечащата равнина не се постави успоредно на неутралната ос, а в посока на дебелината на стената. Следователно I-профилът се сече напречно през стенката и напречно през фланеца, с което се получава разпределението на напреженията, показано на фиг. 13.1. При пръстеновидното сечение (фиг. 13) срязващите напрежения са разпределени симетрично спрямо вертикалния диаметър и вляво и вдясно от неутралната линия достигат максимум
τ = Q / πrt.
Ако сечението е разрязано в най-високото или най-ниското място, разпределението на срязващите напрежения не се изменя; обаче ако е разрязано в десния край на хоризонталния диаметър (сл. 14), срязващото напрежение в това място е равно на нула, докато стойността му се удвоява в левия край на същия диаметър.
Фиг. 14
Пълни сечения
При плътни сечения с произволна форма проблемът за срязващите напрежения е тясно свързан с проблема за усукването. Елементарното уравнение (8) в този случай вече не е надеждно. За кръгло сечение с радиус r уравнение (8) дава
τ = 4Q / 3__πr2
като средна стойност на срязващото напрежение по неутралната ос, а точната стойност е само с няколко процента по-голяма.
Център на срязване
Ако за U-сечението се изчислят срязващите напрежения по начина, описан по-горе, се получава разпределението на напреженията, показано на фиг. 15. Резултантата на съответните вътрешни сили е напречната сила Q. От фигурата може да се види нейното положение спрямо сечението, т.е. че тя нито минава през тежестта на сечението, нито лежи в равнината на реброто. Ако напречната сила, изчислена въз основа на външните сили, няма положението, показано на фиг. 15, носачът не е натоварен само на огъване, а и на усукване.
Ако за едно и също напречно сечение се определи резултантата, която съответства на срязващите напрежения за някакво хоризонтално натоварване, се получава линия на действие на хоризонталната напречна сила. В пресечната точка на тези две линии на действие се намира характерната точка за даденото напречно сечение, която се нарича център на срязване M. В носача не се появяват напрежения вследствие на усукване, когато центровете на срязване на всички напречни сечения лежат на една права, а всички товари, перпендикулярни на оста на пръта, минават през тази права. В противен случай моментът на всеки товар спрямо правата, която свързва центровете на срязване, представлява торзионно срязване.
Фиг. 15
Влияние на напречната сила върху огъването
Техническата теория на огъването се основава на пренебрегването на деформациите, дължащи се на срязващите напрежения. Следователно тя наистина може да се прилага за тънки пръти, при които това пренебрегване е оправдано и където напречната сила няма осезаемо влияние върху огъването.
Опитът обаче показа, че техническата теория на огъването може с известно успех да се приложи и към къси, високи носачи, за които тя всъщност изобщо не е предназначена. Тогава възниква необходимост влиянието на деформацията вследствие на срязващите напрежения, което в тази теория е пренебрегнато, да се вземе, поне приблизително, впоследствие предвид.
Също както и срязващите напрежения τ вследствие на напречните сили и съответните приплъзвания γ_’ =_ τ_/G_ са разпределени неравномерно по сечението. Поради това се въвежда тяхната средна стойност γ, която се определя така, че напречната сила при тази средна стойност на деформацията да извършва върху елемента на гредата dx деформационна работа, равна на тази, която би се получила чрез интегриране на работите на срязващите напрежения върху отделните обемни елементи, съставящи разглеждания елемент на гредата:
откъдето е
Интегралът може да се изчисли, когато е известно разпределението на срязващите напрежения по сечението. Понеже всички срязващи напрежения са пропорционални на Q/F, то неговата стойност е пропорционална на Q2/F2 * F, а като се приеме, че тя е κ__Q2/F, се получава
γ = κ__Q / GF.
Константата κ се нарича коефициент на разпределение на срязващите напрежения. За правоъгълни сечения κ=1,2.
Фиг. 16
Когато коефициентът κ е известен, а с това и средното плъзгане γ, може да се изчисли допълнителното провисване wQ, породено от действието на напречните сили, което трябва да се прибави към провисванията w: защото според фиг. 16 е
поради което Q = dM/dx:
при което интеграционната константа се получава от едно гранично условие.