טעאָריע פֿון עלאַסטיסיטעט - שעלן

שעלעס הייסן ייבערפֿלאַך־טרעגערס, וועמענס מיטל־איבערפֿלאַך איז נישט פלאַך, נאָר באַמערקלעך אויסגעבויגן. זײער סטאַטיש אויפֿפֿירונג פֿאַרשיידט זיך באַדײַטנדיק פֿון דער פֿון אַ פּלאַטע. ווען זיי האָבן אַ פּאַסיקן פֿאָרעם, איז זײער שפּאַנונג באַדײַטנדיק קלענער, זײער שטרענגקייט אין פּאַסיקער מאָס גרעסער, און די רעכענונג אין מערסטע פֿאַלן פּשוטער.

די שפּאַנונג פֿון יעדער שאָל קען מען צעטיילן אויף צוויי טיילן: מעמבראַנישע שפּאַנונג און בייגן. די מעמבראַנישע שפּאַנונגען קען מען, ענלעך ווי די שפּאַנונגען בײַ אַ פּלאַטע באַעלאַסטעט אין איר אייגענער פֿלאַך, אויסדריקן דורך די סעקציע־כּוחות אין דער טאַנדזשענציעלער פֿלאַך – דאָס זיינען למשל אין דעם דורכשניט x=const. די נאָרמאַלע כּוח _Nx=_σx*t און די שײַער־כּוח _Nxy=_τxy*t, וווּ t איז די גרעב פֿון דער שאָל. די שפּאַנונגען צוליב בייגן זיינען די זעלבע ווי בײַ פּלאַטן און קענען ווערן פֿאָרגעשטעלט מיט בויג־מאָמענטן Mx, טאָרסיע־מאָמענטן Mxy און שײַער־כּוחות Qx.

די וויכטיקע אייגנשאַפֿטן פֿון שעלן שטיצן זיך אויף דעם וואָס, לויט דער רעגעל, האָבן די שפּאַנונגען צוליב בייגן ניט די גרייס און ניט די באַדײַטונג פֿון מעמבראַנישע שפּאַנונגען, אַזוי אַז מען קען זיי אָפֿט גאָר פֿאַרלאָזן. אין אַזאַ פֿאַל זיינען אַלע שפּאַנונגען גלײַך פֿאַרטיילט איבער דער גרעב פֿון דער שאָל און ווירקן טאַנגענטיעל צו דער מיטלער אויבערפֿלאַך. די אויסרעכענונגען, וואָס באַשטייען אויף די דאָזיקע פֿאַרנעמונגען, גייען אַרײַן אין דעם ראַם פֿון דער מעמבראַנישער טעאָריע פֿון שעלן.

מעמבראַן-טעאָריע פֿון ראָטאַציע-סימעטרישע שילן אונטער ראָטאַציע-סימעטרישער לאַסט

אַלגעמיינע מוסטערן

פֿאַר די קאָאָרדינאַטן־ליניעס נעמט מען מערידיאַנען און פּאַראַלעלע קרײַזן אין דער מיטלפֿלאַך פֿון דער שאָל, אַזוי אַז די קאָאָרדינאַטן זײַנען: אַזימוט ϑ (“געאָגראַפֿישע לענג”) און דער נײַגונג φ פֿון דער טאַנגענט צון מערידיאַן קעגן דער פּלאַך פּערפּענדיקולער צום סימעטריע־אַקס (פֿיג. 1a). לויט דעם זײַנען די דורכשניט־קראַפֿטנס: נורמאַלע קראַפֿט Nφ אין דער ריכטונג פֿון דעם מערידיאַן און נורמאַלע קראַפֿט Nϑ אין דעם רינג (פֿיג. 1b). שיר־קראַפֿטן Nφϑ קומען נישט פֿאָר בײַ ראָטאַציע־סימעטרישער באַלאַסטיקונג. די באַלעסטיקונג אויף דער יוניט־פֿלאַך ווערט באַצייכנט אויף דער פֿאָלגנדער אופֿן (פֿיג. 1b): Y טאַנגענציעל צו דעם מערידיאַן, פּאָזיטיוו אין דער ריכטונג, אין וועלכער φ וואַקסט, Z נורמאַל צום שאָל, פּאָזיטיוו צום סימעטריע־אַקס.

איל. 1

אַביל. 2

לאָמיר נעמען, אַז דער קרומונג־ראַדיוס פֿוןן מערידיאַן איז r1. ער איז אַ פֿונקציע פֿון דעם ווינקל φ, דערפֿאַר ווערט דורך דער גלײַכונג _r1=r1(_φ) באַשטימט די פֿאָרעם פֿוןן מערידיאַן. דאָס קען מען באַטראַכטן ווי די גלײַכונג פֿוןן מערידיאַן און זי לייענט זיך, למשל.

פֿאַר אַ קרייַז                                       r1=a=const.

פֿאַר דער פּאַראַבאָלע                                 r1=a/cos3__φ

פֿאַר אַן עליפּסע          r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2

פֿאַר אויסרעכענען די נאָרמאַלע קראַפט N__φ אין דער ריכטונג פֿון דער מערידיאַן דאַרף מען אויפֿשטעלן דעם תנאי פֿון גלײַכגעוויכט פֿאַרן טייל פֿון דער שיל, וואָס ליגט העכער דעם פּאַראַלעלן קרײַז φ (ביל. 2). דער רעזולטאַנט R פֿון די לאָסטן Y און Z, וואָס ווירקן אויף דעם טייל, איז ווערטיקאַל, צוליב סימעטריע. איר גרייס ווערט באַקומען דורך אינטעגרירן איבער דער שיל־פֿלאַך פֿון φ’=0 ביז φ’=φ. די פֿלאַך פֿון דעם שיל־עלעמענט איז dF=r1d__φ’*rd__ϑ, אַזוי אַז די ווערטיקאַלע קאָמפּאָנענט פֿון דער באַלאַסטונג איז (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. פֿאַר דעם גאַנצן רינג־טייל פֿון דער שיל, וואָס ליגט צווישן די קרײַזן φ’ און φ’+dφ’, איז דער רעזולטאַנט פֿון דער אַרויסער באַלאַסטונג:

dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,

פֿון וואַנען מען באַקומען דורך אינטעגרירן לויט φ’ פֿאַרן טייל פֿון דער שאָל וואָס ליגט איבער דעם פּאַראַלעלן קרײַז φ’=φ:

גל. 1

די דאָזיקע באַלאַסט טראָגן די נאָרמאַלע כּוחות אין דער ריכטונג פֿון דעם מערידיאַן, וועלכע ווירקן אויפֿן אַרומפֿאַנג פֿון דעם באַמערקטן קרײַז; דער ווערטיקאַלער קאָמפּאָנענט פֿון דער רעזולטאַנט פֿון די דאָזיקע כּוחות איז 2__πr * N__φ sin__φ, און דורך גלײַכשטעלן באַקומען מען פֿון דעם דעם געזוכטן נאָרמאַלן כּוח

גלײַכ. 2

אויב די שאָל אין איר אויבערשטן טייל איז אָפּגעשניטן לויטן קרײַז φ=φ0 (למשל, אַן עפֿענונג פֿאַר באַלייכטונג אין דער קופּאָל), איז דער אונטערשטער גרענעץ פֿון דעם אינטעגראַל, פֿאַרשטייט זיך, φ0, און נישט נול. אויב אויף דעם ראַנד פֿון דער שאָל, וואָס איז אַזוי געשאַפֿן געוואָרן, װירקט אויך אַ באַלאַסטונג R0, דאַרף מען אויך זי צולייגן צו דער רעזולטאַנט R (פֿיג. 3).

פֿיג. 3

כּדי צו באַשטימען די נאָרמאַלע קראַפֿט N__ϑ, דאַרף מען שטעלן אַ גלײַכגעוויכט־באַדינגונג פֿאַרן עלעמענט פֿון דער שאָל, פּערפּענדיקולער צום טאַנגענציעלן פּלאַן (פֿיג. 4). דער רעזולטאַנט פֿון דער אויסערלעכער באַלעסטונג אין דער דאָזיקער ריכטונג איז Z r1 d__φ r d__ϑ. די כּוחות N__φ*r d__ϑ, וואָס ליגן אין דער מערידיאַנישער פּלאַן, מאַכן צווישן זיך אַ קליינעם ווינקל d__φ, אַזוי אַז זייער רעזולטאַנט אין דער ריכטונג פֿון דער נאָרמאַל צו דער שאָל איז N__φ r d__ϑ*dφ. ענלעך דערצו, די כּוחות Nϑ r1 dφ, וואָס ליגן אין דעם פּלאַן פֿון דעם האָריזאָנטאַלן קרײַז און מאַכן צווישן זיך דעם ווינקל dϑ, האָבן אַ רעזולטאַנט Nϑ r1 dφ*dϑ, וואָס ליגט אויך אין דעם פּלאַן פֿון דעם האָריזאָנטאַלן קרײַז און דערפֿאַר מאַכט מיט דער נאָרמאַל צו דער שאָל דעם ווינקל 0,5_π-φ_, אַזוי אַז אין דער גלײַכגעוויכט־באַדינגונג גייט אַרײַן נאָר איר קאָמפּאָנענט Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. די גלײַכגעוויכט־באַדינגונג לויט דעם איז

אָדער, ווען מען טיילט מיט r r1 dϑ dφ:

איינער.3

דאָ איז מיט r2=r/sinφ באַצייכנט דער צווייטער הויפּט קרומונגס-ראַדיוס פון דער שעל.

איבר. 4

קײַלעכיקע קופּאָל

ווען די פֿאָרעם פֿונעם מערידיאַן איז אַנאַליטיש געגעבן דורך דער גלײַכונג r1=r1(φ) און ווען פֿאַר די לאַסטן Y(φ) און Z(φ) זײַנען געגעבן אַנאַליטישע אויסדרוקן, קען מען די שניט־קראַפֿטן אין דער שאָל שטענדיק באַשטימען דורך אינטעגרירן אין פֿאַרמאַכטער פֿאָרעם אָדער נומעריש, מיטן אַנװענדן דעם Simpson-ס כּלל. פֿאַר אַ קייַלעכדיקע קופּאָל פֿון דיאַמעטער a ווערן ווײַטער געגעבן די שניט־קראַפֿטן פֿאַר געוויסע פֿאַלן פֿון לאָודינג:

דער לעצטער מוסטער, וואָס פֿאַר φ=0 גיט אומענדלעך גרויסע שערן־קראַפֿטן, געלט נאָר אויף אַ געוויסער דיסטאַנץ פֿון דער אָנשטויס־פּונקט פֿון דער קראַפֿט. אין דער באַלדיקער אַרומיקע פֿון דעם אָרט, וווּ די קראַפֿט ווירקט, אפילו ווען זי איז פֿאַרטיילט איבער דער פֿלאַך פֿון אַ קרײַז פֿון באַגרענעצטער אָבער קליינער דיאַמעטער, ווערט די באַלאַסטונג בפֿרט איבערגעגעבן דורך בייגן.

פֿאָרמען פֿאַר שעלן אָפּענער בײַם אויבערן טייל קען מען אַרויסלײטן פֿון די פֿריִערדיקע, אויב מען צוגעבט צום עכטע לאַסט אַ פֿיקטיווע לאַסט P אין דעם שפּיץ, וועמענס גרייס ווערט אַזוי באַשטימט, אַז די גאַנץ נאָרמאַלע כּוח אין דער ריכטונג פֿון דעם מערידיאָן, וואָס ווירקט אויף דער אויבערשטער קאַנט פֿון דער שלאָל φ=φ0 איז Nφ=0, אָדער איז גלײַך מיט אַ געוויסער ווערט באַשטימט דורך די דרויסנדיקע כּוחות וואָס די שלאָל נעמט דאָ אויף.

קאָנישע שיל

פֿיג. 5

בײַ דער קאָנישער שאָל קען מען נישט נוצן דעם נייג פֿון מערידיאַן φ ווי אַ קאָאָרדינאַטע, ווײַל ער האָט אין אַלע פונקטן דעם זעלבן ווערט. אַנשטאָט אים פֿירט מען אַרײַן דעם אָפּשטאַנד s פֿון שפּיץ פֿון דער קופּאָל, געמאָסטן לענגס דער דזשענעראַטריצע (ביל. 5). דער נאָרמאַלער כּוח אין דער ריכטונג פֿונעם מערידיאַן ווערט לויט דעם באַצייכנט מיט Ns. די נויטיקע פֿאָרמען קען מען באַקומען פֿון די אויבנדערמאָנטע אונטער 1, ווען מען פֿירט אויס דעם גרענעץ־איבערגאַנג. פֿון דער גלײַכונג (2) באַקומט מען אַזוי

און פֿון דער גלײַכונג (3)

Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.

פֿאַר די וויכטיקסטע באַלעסטונג־פֿאַלן געלט די פֿאָלגנדיקע פֿאָרמולאַרן:

גראַפֿישער פּראָצעדור פֿאַר אַ פֿרײַער פֿאָרעם פֿונעם מערידיאַן

פיג. 6

ווען די מערידיאַן־קורווע ווערט נישט געגעבן דורך אַן אַנאַליטישן אויסדרוק, נאָר, למשל, גראַפֿיש, איז דאָס באַשטימען פֿון דער בויגנראַדיעס צו שווער און צו אומפּינקטלעך. אין אַזאַ פֿאַל איז מער פּאַסיק צו נוצן דעם גראַפֿישן אופֿן (צייכן. 6).

די שאָל ווערט צעטיילט דורך אַ גרעסערן צאָל פֿון פּליינען φ=const., מען רעכנט אויס די וואָגען Δ_R_ פֿון רינג־זאָנעס וואָס ליגן צווישן די פּליינען, און עס איז בעסטער זיי גלײַך צעטיילן דורך 2_π_. די קראפֿטען ΔR/2π ווערן אָנגעשטעלט אין דעם קראפֿט־פּלאַן (פֿיג. 6b). אויב מען ציט דערנאָך, למשל, דורך דעם צעטייל־פּונקט 7 אַ גלײַכע שורה פּאַראַלעל צו דער טאַנגענטע צו דעם מערידיאַן אין דעם פּונקט פֿון מערידיאַן 7, וועט די האָריזאָנטאַלע דורך דעם אויבערשטן פּונקט פֿון קראפֿט־פּלאַן איר שנײַדן אויף דער לענג R1/2π sinφ7, פֿון וועלכער מען באַקומט, לויט דער גלייכונג (2), דורך צעטיילן מיט דעם פּאַסיקן r, די פּאַסיקע נאָרמאַלע קראפֿט אין ריכטונג פֿון דעם מערידיאַן.

פֿאַר באַשטימען די קראַפֿטן אין די רינגען דינט די גלײַכגעוויכט־באַדינגונג פֿון האָריזאָנטאַלע קראַפֿטן אויף איין עלעמענט פֿון דער שאָל. אויב עס ווירקן נאָר ווערטיקאַלע לאַסטן, זעט אויס די באַדינגונג אַזוי (פֿיג. 4):

ווען מען פאַרבײַט דאָ dφ מיט דער ענדגילטיקער אונטערשייד Δφ, וואָס שטימט מיט דער אָנגענומענער טיילונג פֿון דער שאָל, און ווען מען שטעלט אַנשטאָט r1 dφ אַרײַן די לענג Δs פֿון דעם מערידיאַן־עלעמענט, באַקומען מען פֿון דעם

אין דער קלאַמער אויף דער רעכטער זײַט שטייט דער אָפּשניט אויף דער האָריזאָנטאַלער גלײַכער אין דעם כּוח־פּלאַן. די גאַנצע רעכטע זײַט שטעלט דעריבער פֿאָר די אָפּשניטן צווישן די טיילפּונקטן אויף דער דאָזיקער גלײַכער. כּדי מע זאָל זיי קענען גענוג פּינקטלעך אָפּלייענען, מוז דער כּוח־פּלאַן זײַן צייכענעט זאָרגפֿאַלטיק און אין אַ גענוג גרויסער סקאַלע.

צוגעצויגענע און צוזאַמענגעדרוקטע רינגען

יעדע ראָטאַציע־סימעטרישע שאָל איז באַגרענעצט מיט איין אָדער צוויי האָריזאָנטאַלע קרײַזן (פֿיג. 7). אויף די ראַנדן קען זי אין פּרינציפּ אָננעמען נאָר אַזעלכע מאַסן און לאַגער־רעאַקציעס, וועלכע האָבן די ריכטונג פֿון דער טאַנגענטע צום מערידיאַן. אויב די חיצוניות כּוחות האָבן אַן אַנדער ריכטונג, ווי למשל די באַעלאַסטונג P פֿון דעם אויבערשטן טייל פֿון דער קאַנסטרוקציע אָדער די רעאַקציע S פֿון דנאָ פֿון דעם רעזערוואַר געוויזן אויף פֿיג. 97, דאַרפֿן די כּוחות, ווי עס איז געוויזן אין בילד, צעטיילט ווערן אויף קאָמפּאָנענטן אין דער ריכטונג פֿון דעם האָריזאָנטאַלן קרײַז און דער טאַנגענטע צום מערידיאַן. די קאָמפּאָנענט P/sinφ0 אָדער S/sinφu איז גלײַך דער נאָרמאַלער כּוח אין דער ריכטונג פֿון דעם מערידיאַן Nφ, וואָס ווירקט דאָרט, בעת פֿאַר אָנגענומען דעם האָריזאָנטאַלן כּוח Pctgφ0 אָדער Sctgφu איז נויטיק אַ רינג וואָס נעמט אויף זיך ציהונג, ריספּעקטיוולי דרוק, און אין וועלכן די ראַדיאַלע באַעלאַסטונג ברענגט אַרויס אַ נאָרמאַלן כּוח + P r0 ctgφ0, ריספּעקטיוולי -S ru ctgφu. אַזעלכע רינגן דאַרפֿן, אויסער אויף די ראַנדן פֿון דער שאָל, אויך געשטעלט ווערן אויף אַלע יענע ערטער וווּ די מערידיאַן־קוּרוועס האָבן אַ בראָך. זיי ברענגען שטענדיק אַרויס אַ שטערונג פֿונעם מעמבראַנישן שפּאַנונג־צושטאַנד.

פֿיג. 7

שפּאַנונגען צוליב בייגונג אין דרייען־סימעטרישע שעלן

די פֿאָרמען פֿון דער מעמבראַנ־טעאָריע אַנטהאַלטן נישט גענוג אינטעגראַציע־קאָנסטאַנטן, כּדי מע זאָל קענען מקיים זײַן אַלע גרענעץ־באַדינגונגען וואָס שטימען טאַקע צום אויפֿגעשטellten פּראָבלעם. ספּעציעל בײַ ראָטאַציע־סימעטרישע שעלן איז עס נישט מעגלעך, מיט אַ פּאַסיקן אויסקלײַב פֿון אינטעגראַציע־קאָנסטאַנטן, דערגרייכן, אַז די דילאַטאַציע εϑ = Nϑ/Et אין ריכטונג פֿונעם רינג לענגס דער קאַנט פֿון דער שאָל זאָל זײַן גלײַך מיט דער קאָרעספּאָנדירנדיקער דילאַטאַציע פֿון אַן אַנדערער קאָנסטרוקטיווער טייל, וואָס איז דאָ פֿעסט פֿאַרבונדן מיט איר. דאָס זעלבע גילט אויך פֿאַר שעלן, בײַ וועלכע לענגס אַן איינעם האָריזאָנטאַלן קרײַז ענדערט זיך די קרומעכקייט פֿון דעם מערידיאַן, די גרעב פֿון דער שאָל אָדער די באַלעסטיקונג פּער אַפּאַראַטן־פֿלאַך פּלוצלינג. אַפֿילו ווען אַ שאָל איז לענגס אַ געוויסער קאַנט נישט פֿאַרשטאַרקט מיט אַ רינג, אָבער איז אויף דעם אָרט באַלאסטעט מיט קראַפֿטן וואָס האָבן אַ קאָמפּאָנענט אין דער ריכטונג פֿון דער נאָרמאַל אויף דער שאָל (למשל די באַלעסטיקונג P אויף ביל. 7 ווען מען פֿאַרשטעלט זיך, אַז דער רינג איז אַוועקגענומען), קען זי אַזעלכע לאָסטן נישט אויפֿנעמען נאָר דורך מעמבראַנ־קראַפֿט. אין אַזעלכע פֿאַלן שפּילט די שערן־קראַפֿט און די בייג־מאָמענטן (ביל. 8) אַ וויכטיקע ראָלע בײַם פֿאַרטיילן די קראַפֿטן אין דער שאָל, וואָס מען מוז אין סטאַטישער רעכענונג באַטראַכטן.

פֿיג. 8

אַ פּינטלעכער רעכענונג פֿון אַ שאָל אויף בייגונג, אויסער אין דעם פּשוטסטן ספּעציעלן פֿאַל פֿון אַ צילינדרישער שאָל, איז אַ זייער שווערע אויפֿגאַבע. פֿאַר שאָלן מיט דינע ווענט קען מען אויסבויען אַ פּשוטע און זייער נוצלעכע דערנענטערטער טעאָריע, וואָס באַזירט זיך אויף אַ באַקאַנטן פאַקט פֿון דער שטרענגער טעאָריע, אַז די שפּאַנונגען צוליב בייגונג ווערן באַגרענעצט אויף אַ רעלאַטיוו שמאַלע זאָנע בײַם ראַנד און פֿאַלן שנעל אָפּ ווען דער ווײַטקייט פֿון ראַנד וואַקסט. דאָס ערלויבט צו איגנאָרירן אַ גרויס צאָל טערמינען אין דער פּינקטלעכער דיפערענציעל־גלייכונג, און זי נעמט דערנאָך אַן אופֿגעפּשוטטע פֿאָרעם.

אויב מען פֿאַרבײַט אינעם גרענעץ־זאָנע, וואָס איז איינציק אינטערעסאַנט κ, דעם דורכשניטלעכן ווערט, און דאָס איז כּמעט אַלץ מעגלעך, איז די לייזונג פֿון דער גלייכונג

Jedn. 4 און 5

וווּ a1, b1, a2, b2 זענען די אינטעגראַציע־קאָנסטאַנטן. ווײַל די לייזונג איז אינטערעסאַנט נאָר לעבן דעם ראַנד φ=φ0, איז באַקוועם די ווינקלדיקע דיסטאַנץ ω=φ0-φ אָדער ω=φ-φ0 פֿון דעם ראַנד אַרײַנצופֿירן ווי קאָאָרדינאַטע, און דורך פֿאַרוואַנדלונג פֿון דער אויבנדערמאָנטער לייזונג באַקומען זיך דער צווייטער אָנגעגעבענער אויסדרוק. דאָ קומען פֿאָר נאָר צוויי אינטעגראַציע־קאָנסטאַנטן A, B אָדער C, ψ, ווײַל דער צווייטער טייל פֿון דער לייזונג, וואָס אַנטהאַלט דעם פֿאַקטאָר eκω, און דערפֿאַר בײַם וואַקסן פֿון ω נידערט זיך נישט, קען מען אויסשליסן פֿון באַטראַכטונג.

באַזירט אויף דער גלײַכונג 5 באַקומען מען די פֿאָלגנדיקע ווערטן פֿאַר די שניט־כּוחות און די דרייונג κ פֿון דער טאַנגענט פֿון דער מערידיאַן:

שפּאַנונגען צוליב בייגן אין רעזערווואַרן פֿונעם טיפּ קרײַז־צילינדער

פֿאַרשטעלן מיר אונדז אַ צילינדרישן רעזערוואַר מיט דער הייך h, אָנגעפֿילט מיט וואַסער (פֿיג. 9), דאַן איז בײַ דער הייך x העכער דעם דנאָ־ניװאָ אין ביידע רעזערוואַרן דער וואַסערדרוק p=γ(h-x). אויב מען שנײַדט פֿון דעם רעזערוואַר אויף דער דאָזיקער הייך מיט צוויי האָריזאָנטאַלע שניטן אין אַ אָפּשטאַנד dx. אַ רינג און טיילט אים לענגאויס איין דיאַמעטער אין צוויי טיילן, גיט די גלײַכגעוויכט־באַדינגונג פֿון איינעם פֿון זיי די מעמבראַנע־קראַפֿט אין דעם רינג Nφ=pa. אויב די גרעב פֿון דעם רעזערוואַר אין דעם אָרט איז t, איז די דילאַטאַציע אין דעם רינג εφ=Nφ/Et און דערפֿאַר איז די פֿאַרגרעסערונג פֿון דער רעזערוואַר־ראַדיעוס (אָפּבויג)

אויף דער אונטערער ראַנד x=0 איז דערפֿאַר

פֿיג. 9

קיין איינס פֿון ביידע איז לויט דער רעגעל נישט אין הסכמה מיט די גרענעץ־באַדינגונגען, ווײַל די דעפֿאָרמאַציע פֿון דער וואַנט איז פֿאַרהינטערט צוליב דער פֿאַרבינדונג מיטן דנאָ פֿונעם רעזערוואַר. דערבײַ דערשײַנען זיך בײַם פֿאַרבינדונג צווישן דעם דנאָ און דער צילינדער־וואַנט טראַנסווערסאַלע כּוחות Qx0 און מאָמענטן Mx0 (פֿיג. 11), וועמענס גרייס דאַרף מען אַזוי באַשטימען, אַז זיי צוזאַמען מיט די פּונקט אויסגערעכנטע מעמבראַן־כּוחות אין דער שאָל זאָלן אַרויסרופֿן די דאָזיקע דעפֿאָרמאַציע בײַם ראַנד פֿון דער שאָל, וואָס דער דנאָ דערלויבט.

פֿיג. 10, 11, 12, רעספּעקטיוו

אויף איל. 11 ווערט געוויזן אַן עלעמענט פֿון דער שיל dx*a dφ מיט די כּוחות וואָס ווירקן אויף אים. דער תנאי פֿון קראַפֿט־גלײַכוועג אין דער ריכטונג פֿון דער נאָרמאַל צו דער שיל גיט

dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,

פֿון דאָרט דורך דיײַלן מיט dx dφ:

a Q’x + Nφ = p a.

פֿון דער באַדינגונג, אַז דער מאָמענט אַרום דער האָריזאָנטאַלער טאַנגענט צום צילינדער איז נול, באַקומט מען:

dM/dx = M’x = Qx

דורך עלימינירן די טראַנסווערסאַלע קראַפֿט Qx פֿון די דאָזיקע צוויי גלײַכונגען פֿאָלגט

a M’’x + Nφ = p a.

אופֿ. 6

אין דער דאָזיקער גלייכונג קענען די דאָזיקע אומבאַקאַנטע שניט-כּחות אויסגעדריקט ווערן דורך דעם דורכשניט w. פֿאַר Nφ איז שוין געפֿונען געוואָרן Nφ=Etw/a, און דער מאָמענט איז פּראָפּאָרציאָנאַל צו דער קריוּמונג פֿון דעם מערידיאַן w’’, ד.ה. Mx=Kw’’, ווּ, ווי בײַ פּלאַטן, K=Et3/12(1-μ2) איז די שאָל-שטייפּקייט, וואָס קען זײַן פֿאַרענדערלעך מיט x. אויב מען שטעלט די דאָזיקע אויסדרוקן פֿאַר די דורכשניט-כּחות אַרײַן אין דער גלייכונג (6), קריגט מען די דיפערענציאַלגלייכונג פֿון דער רעזערווואַר-טעאָריע:

פֿאַר אַ רעזערוואַר מיט אײַנשטענדיקער וואַנט־גרעב לייענט זיך די לייזונג אַזוי:

איינער.7

וווּ λ4=3(1-μ2)/a2t2. אויב λh איז גרויס (למשל, גרעסער פֿון 3), איז באַקוועמער אַנשטאָט היפּערבאָלישע פֿונקציעס אַרײַנצופֿירן עקספּאָנענציעלע, און דאַן איז:

איינער.8

דעמאָלט קען מען אומאָפּהענגיק איינע פֿון די אַנדערע באַשטימען די קאָנסטאַנטן A1, B1 פֿון די גרענעץ־באַדינגונגען אויף דער אונטערשטער, און די קאָנסטאַנטן A2, B2 פֿון די גרענעץ־באַדינגונגען אויף דער אויבערשטער קאַנט, ווײַזט זיך בדרך־כלל אויס A2=B2=0. אויפֿן יסוד פֿון דער גלײַכונג (8) און (7) באַקומט מען די שאַר־קראַפֿטן, ווען מען פֿירט די רעכענונג אויס אין פֿאַרקערטער ריכטונג און מען ינטראַדוצירט איבעראַל די גלײַכונג (8) און (7); אַזוי איז למשל פֿאַר A2=B2=0:

ווען די ווענט פֿון דעם רעזערוואַר זײַנען שטרענג איינגעקלעמט אין דער פּלאַטע, אויף דעם דנאָ פֿון דעם רעזערוואַר, וואָס איז גענוג דיק כּדי מען זאָל קענען אים באַטראַכטן ווי שטרענג, דאַרף מען די קאָנסטאַנטן A1, B1 באַשטימען פֿון די באַדינגונגען אַז x=0, w=0 און w’=0 און מען באַקומט:

אויב דער דנאָ פֿון רעזערוואַר איז אַן עלאַסטישע פּלאַטע אָדער שאָל, דאַרף מען די טראַנסווערסאַלע קראַפֿטן Qx און די מאָמענטן Mx לענגס דעם ראַנד־קרײַז צווישן דעם דנאָ און דער וואַנט פֿון צילינדער באַשטימען מיט מעטאָדן פֿון דער טעאָריע פֿון סטאַטיש אומבאַשטימטע סיסטעמען, אויפֿן יסוד פֿון דעם פֿאָדערונג, אַז Mx און w’ פֿאַר ביידע טיילן זאָלן האָבן די זעלבע ווערט.