Magamba ni vihimili vya uso, ambavyo uso wake wa kati si tambarare bali una mwinuko unaoonekana. Tabia yao ya kistatiksi inatofautiana kwa kiasi kikubwa na ile ya bamba. Vinapokuwa na umbo linalofaa, mkazo wake huwa mdogo zaidi, ugumu wake huwa mkubwa kwa kiasi kinacholingana, na hesabu katika hali nyingi huwa rahisi zaidi.
Mkazo wa kila ganda unaweza kugawanywa katika sehemu mbili: mkazo wa utando na kupinda. Mikazo ya utando, sawasawa na mikazo ya sahani iliyopakiwa ndani ya plane yake, inaweza kuonyeshwa kwa kutumia nguvu za sehemu katika plane tangentiali – hizi ni, kwa mfano, katika sehemu x=const. nguvu ya kawaida _Nx=_σx*t na nguvu ya kukata _Nxy=_τxy*t, ambapo t ni unene wa ganda. Mikazo kutokana na kupinda ni sawa na ile ya sahani na inaweza kuwakilishwa na momenti za kupinda Mx, momenti za torsion Mxy na nguvu za kukata Qx.
Sifa muhimu za maganda zinatokana na ukweli kwamba kwa kawaida mikazo kutokana na kupinda haina ukubwa wala umuhimu wa mikazo ya utando, hivyo mara nyingi inaweza kupuuzwa kabisa. Katika hali hiyo mikazo yote husambazwa sawasawa kwa unene wa ganda na hufanya kazi tangentiali kwenye uso wa kati. Hesabu zinazotegemea mawazo haya huingia katika wigo wa nadharia ya utando ya maganda.
Nadharia ya utando ya magamba yenye usawaziko wa mzunguko chini ya mzigo wenye usawaziko wa mzunguko
Fomula za jumla
Kwa mistari ya kuratibu hupokelewa meridiani na miduara sambamba katika uso wa kati wa ganda, hivyo viwianishi ni: azimuthi ϑ (“longitudo ya kijiografia”) na mteremko φ wa tanjenti kwenye meridiani kuelekea kwenye ndege iliyo wima kwa mhimili wa ulinganifu (mch. 1a). Kwa hiyo nguvu za sehemu ni: nguvu ya kawaida Nφ katika mwelekeo wa meridiani na nguvu ya kawaida Nϑ katika pete (mch. 1b). Nguvu za kukata Nφϑ hazijitokezi katika mkazo wenye ulinganifu wa mzunguko. Mzigo kwa kila kitengo cha uso huonyeshwa kwa namna ifuatayo (mch. 1b): Y tangentiali kwa meridiani, chanya katika mwelekeo ambao φ huongezeka, Z wima kwa ganda, chanya kuelekea mhimili wa ulinganifu.
Kielelezo. 1
Mtini. 2
Na iwe radius ya mkunjo wa meridiani r1. Ni kazi ya pembe φ hivyo kwa mlinganyo _r1=r1(_φ) umbo la meridiani huamuliwa. Hii inaweza kuchukuliwa kama mlinganyo wa meridiani na huandikwa, kwa mfano.
kwa duara r1=a=const.
kwa parabolu r1=a/cos3__φ
kwa duaradufu r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
Ili kuhesabu nguvu ya kawaida N__φ katika mwelekeo wa meridiani ni lazima kuweka sharti la usawa la sehemu ya ganda iliyo juu ya duara sambamba φ (mch. 2). Matokeo R ya mizigo Y na Z inayoshambulia sehemu hii ni ya wima, kutokana na usawazisho. Ukubwa wake hupatikana kwa kuunganisha juu ya uso wa ganda kutoka φ’=0 hadi φ’=φ. Eneo la elementi ya ganda ni dF=r1d__φ’*rd__ϑ, hivyo sehemu ya wima ya mzigo ni (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. Kwa sehemu nzima ya pete ya ganda iliyo kati ya miduara φ’ na φ’+dφ’ matokeo ya mzigo wa nje ni:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
kutoka hapo kwa kuunganisha kwa φ’ kwa sehemu ya gamba iliyo juu ya duara sambamba φ’=φ hupatikana:
Eq. 1
Mzigo huu hubebwa na nguvu za kawaida katika mwelekeo wa meridiani, zinazotenda kwenye mzunguko wa duara lililoonekana; sehemu ya wima ya matokeo ya nguvu hizi ni 2__πr * N__φ sin__φ, hivyo kwa kusawazisha kutoka hapa hupatikana nguvu ya kawaida inayotafutwa
Eq. 2
Ikiwa ganda katika sehemu ya juu limekatwa kando ya duara φ=φ0 (kwa mfano, tundu la mwanga katika kuba), kikomo cha chini cha integali, bila shaka, ni φ0, si sifuri. Ikiwa kwenye ukingo wa ganda lililotokea kwa njia hii pia kuna mzigo R0, nao pia unapaswa kuongezwa kwenye jumla R (kielelezo 3).
Kielelezo 3
Ili kubaini nguvu ya kawaida N__ϑ, ni lazima kuweka sharti la usawa kwa kipengele cha ganda kilicho perpendicular kwa ndege tangentiali (mch. 4). Matokeo ya jumla ya mzigo wa nje katika mwelekeo huu ni Z r1 d__φ r d__ϑ. Nguvu N__φ*r d__ϑ zilizo katika ndege ya meridiani huunda pembe ndogo d__φ kati yao, kwa hiyo matokeo yao katika mwelekeo wa normali kwa ganda ni N__φ r d__ϑ*dφ. Vivyo hivyo, nguvu Nϑ r1 dφ zilizo katika ndege ya mduara wa mlalo na zinazounda kati yao pembe dϑ zina matokeo Nϑ r1 dφ*dϑ ambayo pia yapo katika ndege ya mduara wa mlalo na hivyo na normali kwa ganda huunda pembe 0,5_π-φ_, hivyo katika sharti la usawa huingia tu kipengele chao Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ. Kwa hiyo sharti la usawa ni
au, inapogawanywa kwa r r1 dϑ dφ:
Moja.3
Hapa kwa r2=r/sinφ imeonyeshwa nusu-eneo kuu ya pili ya mkunjo wa ganda.
Kielelezo 4
Dome ya duara
Wakati umbo la meridiani limetolewa kianalitikika kwa mlinganyo r1=r1(φ) na wakati kwa mizigo Y(φ) na Z(φ) umetolewa misemo ya kianalitikika, nguvu za sehemu katika ganda zinaweza daima kubainishwa kwa kuintegrisha kwa umbo la funge au kwa njia ya nambari, kwa kutumia sheria ya Simpson-. Kwa kuba ya duara yenye kipenyo a, hapa chini zimetolewa nguvu za sehemu kwa baadhi ya hali za upakiaji:
Mfano wa mwisho, ambao kwa φ=0 hutoa nguvu za kukata zisizo na kikomo, hutumika tu katika umbali fulani kutoka kwenye nukta ya kushambulia ya nguvu. Katika eneo la karibu la mahali ambako nguvu hutenda, hata pale inapogawiwa juu ya eneo la duara lenye kipenyo kidogo lakini kikomo, mzigo hasa huhamishwa kwa kupinda.
Fomu za magamba yaliyo wazi sehemu ya juu zinaweza kutolewa kutoka kwa zile za awali, ikiwa kwenye mzigo halisi itaongezwa mzigo wa kufikirika P kwenye kilele, ambao ukubwa wake huamuliwa hivyo iwapo nguvu ya kawaida ya jumla katika mwelekeo wa meridiani inayofanya kazi kwenye ukingo wa juu wa ganda φ=φ0 ni Nφ=0, au ni sawa na thamani fulani iliyoamuliwa na nguvu za nje ambazo ganda hupokea hapa.
Ganda la koni
Mch. 5
Kwa ganda la koni, mteremko wa meridiani φ hauwezi kutumiwa kama kiwianishi, kwa sababu una thamani ile ile katika pointi zote. Badala yake huingizwa umbali s kutoka kilele cha kuba, unaopimwa kando ya msitari wa kizazi (kielelezo 5). Kwa mujibu wa hilo, nguvu ya kawaida katika mwelekeo wa meridiani huandikwa Ns. Mifumo inayohitajika inaweza kupatikana kutoka katika zile zilizo hapo chini 1 baada ya kufanya mabadiliko ya kikomo. Kutoka katika mlinganyo (2) hupatikana kwa njia hiyo
na kutoka kwenye mlinganyo (3)
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
Kwa hali muhimu zaidi za upakiaji, hutumika fomula zifuatazo:
Mbinu ya kielelezo kwa umbo lolote la meridiani
Mtini. 6
Wakati mstari wa meridiani hautolewi kwa usemi wa kianaliti, bali, kwa mfano, kwa grafiki, kuamua radius ya mkunjo ni jambo gumu sana na lisilo sahihi sana. Katika hali hiyo ni afadhali kutumia mbinu ya grafiki (sl. 6).
Ganda hugawanywa kwa idadi kubwa ya ndege φ=const., uzito Δ_R wa maeneo ya pete yaliyo kati ya ndege hizo huhesabiwa, na ni vyema mara moja kugawanya kwa 2_π_. Nguvu hizi ΔR/2π huwekwa katika mchoro wa nguvu (mchoro 6b). Ikiwa kisha, kwa mfano, kupitia sehemu ya mgawanyo 7 utachorwa mstari sambamba na mguso wa meridiani katika hatua ya meridiani 7, mstari mlalo kupitia sehemu ya juu ya mchoro wa nguvu utaukata humo kwa urefu R1/2π sinφ7 ambapo, kwa kuzingatia mlinganyo (2), kwa kugawanya kwa r inayolingana hupatikana nguvu ya kawaida inayolingana katika mwelekeo wa meridiani.
Kwa kubainisha nguvu katika pete hutumika sharti la usawaziko wa nguvu za mlalo kwenye kipengele kimoja cha ganda. Ikiwa zinafanya kazi tu mizigo ya wima, sharti hili huwa (sl. 4):
Wakati hapa dφ inabadilishwa na tofauti ya mwisho Δφ, inayolingana na mgawanyo uliopitishwa wa ganda, na badala ya r1 dφ kuingizwa urefu Δs wa kipengele cha meridiani, kutokana na hili hupatikana
Kwenye mabano upande wa kulia kuna kiashiria cha kukata kwenye mstari wa usawa katika mpango wa nguvu. Kwa hivyo upande mzima wa kulia unawakilisha vipande kati ya sehemu za mgawanyo kwenye mstari huu. Ili tuweze kuvisoma kwa usahihi wa kutosha, mpango wa nguvu unapaswa kuchorwa kwa uangalifu na kwa kipimo kikubwa cha kutosha.
Pete zilizovutwa na zilizoshinikizwa
Kila ganda lenye ulinganifu wa mzunguko limewekewa kikomo na duara moja au mbili za mlalo (mch. 7). Kwenye kingo hizi, kimsingi linaweza kupokea tu mizigo na miitikio ya tegemeo iliyo na mwelekeo wa tanjenti kwa meridiani. Ikiwa nguvu za nje zina mwelekeo mwingine, kama vile mzigo P kutoka sehemu ya juu ya muundo au mmenyuko S wa chini ya hifadhi iliyoonyeshwa kwenye mch. 97, nguvu hizi lazima, kama inavyoonyeshwa kwenye mchoro, zigawanywe kuwa vipengele katika mwelekeo wa duara ya mlalo na tanjenti kwa meridiani. Kipengele P/sinφ0 au S/sinφu ni sawa na nguvu ya kawaida katika mwelekeo wa meridiani Nφ inayofanya kazi mahali hapo, ilhali kwa kupokea nguvu ya mlalo Pctgφ0 au Sctgφu inahitajika pete inayopokea mvutano, yaani shinikizo, na ambapo mzigo huu wa radial husababisha nguvu ya kawaida + P r0 ctgφ0, yaani -S ru ctgφu. Pete kama hizi, pamoja na kwenye kingo za ganda, lazima pia ziwekwe kwenye maeneo yote ambayo mkunjo wa meridiani una mapumziko. Zote daima husababisha usumbufu wa hali ya mkazo ya utando.
Mch. 7
Mivutano kutokana na kupinda katika maganda yenye usawa wa mzunguko
Mifumo ya nadharia ya utando haina idadi ya kutosha ya visaidizi vya kuunganisha ili masharti yote ya mipaka yanayolingana kweli na kazi iliyowekwa yaweze kutimizwa. Hasa kwa maganda yenye ulinganifu wa mzunguko, haiwezekani kwa kuchagua kwa namna ifaayo visaidizi vya kuunganisha kupata kwamba mkengeuko εϑ = Nϑ/Et katika mwelekeo wa pete kando ya ukingo wa ganda uwe sawa na mkengeuko unaolingana wa sehemu nyingine ya kimuundo iliyoambatanishwa nayo kwa uthabiti mahali hapo. Hali hii pia inatumika kwa maganda ambayo, kando ya duara moja la mlalo, mpindano wa meridiani, unene wa ganda au mzigo kwa kila kitengo cha eneo hubadilika kwa hatua. Na hata ganda lisipoimarishwa kwa pete kando ya ukingo fulani, lakini mahali hapa likiwa limepakiwa na nguvu zenye kiungo katika mwelekeo wa wima wa uso wa ganda (kwa mfano mzigo P kwenye kielelezo 7 pale pete inapofikiriwa kuwa imeondolewa), haliwezi kupokea mizigo ya aina hii kupitia nguvu za utando pekee. Katika hali kama hizi nguvu ya kukata na nyakati za kuinama (kielelezo 8) huchukua nafasi muhimu katika usambazaji wa nguvu kwenye ganda, jambo ambalo lazima lizingatiwe katika hesabu tuli.
Kielelezo 8
Hesabu sahihi ya gamba kwa kupinda, isipokuwa katika hali maalum rahisi zaidi ya gamba la silinda, ni kazi ngumu sana. Kwa magamba yenye kuta nyembamba, inaweza kuundwa nadharia rahisi na yenye manufaa sana ya makadirio inayotegemea ukweli unaojulikana kutoka nadharia kali, kwamba mikazo kutokana na kupinda hujifunga kwenye eneo nyembamba kiasi kando ya ukingo na hupungua haraka kadiri umbali kutoka ukingoni unavyoongezeka. Hii huwezesha idadi kubwa ya viambajengo katika mlinganyo sahihi wa utofautishaji kupuuzwa, hivyo unapata umbo lililorahisishwa.
Iwapo ndani ya eneo la mpaka ambalo pekee ndilo linalovutia κ litabadilishwa na thamani ya wastani, na hili karibu kila mara linawezekana, suluhisho la mlinganyo ni
Mling. 4 na 5
ambapo a1, b1, a2, b2 ni viwango vya ujumuishaji. Kwa kuwa suluhisho ni la kuvutia tu karibu na ukingo φ=φ0, ni vyema umbali wa pembe ω=φ0-φ au ω=φ-φ0 kutoka kwenye ukingo huu uletwe kama koordinati, kisha kwa kubadilisha suluhisho hapo juu hupatikana usemi wa pili uliotajwa. Hapa hujitokeza viwango viwili tu vya ujumuishaji A, B au C, ψ, kwa sababu sehemu ya pili ya suluhisho inayobeba kipengele eκω, na kwa hiyo haipungui kadiri ω inavyoongezeka, inaweza kutengwa katika uchambuzi.
Kwa msingi wa mlinganyo 5 hupatikana thamani zifuatazo kwa nguvu za sehemu na mgeuko κ wa tangenti ya meridiani:
Dhiki kutokana na kupinda katika matangi ya umbo la silinda ya duara
Tuchukulie kuwa hifadhi ya silinda yenye urefu h imejazwa maji (mch. 9), basi katika urefu x juu ya sehemu ya chini ya hifadhi, shinikizo la maji ni p=γ(h-x). Ikiwa katika urefu huu kutoka kwa sehemu mbili za mlalo zilizo umbali wa dx. itakatwa pete kutoka kwenye hifadhi na hii igawanywe kwa sehemu mbili kwa njia ya kipenyo kimoja, sharti la usawa la mojawapo linatoa nguvu ya membrani katika pete Nφ=pa. Ikiwa unene wa hifadhi katika mahali hapa ni t, mabadiliko ya urefu katika pete ni εφ=Nφ/Et na kwa hiyo ongezeko la radius ya hifadhi (kupinda) ni
Kwenye ukingo wa chini x=0 hivyo ni
Mch. 9
Wala moja wala nyingine kwa kawaida haviendani na masharti ya mpaka, kwa sababu ulemavu wa ukuta huzuiwa kutokana na muunganisho wake na chini ya tanki. Katika muunganisho kati ya chini na ukuta wa silinda hujitokeza nguvu za kuvuka Qx0 na moments Mx0 (kielelezo 11), ambazo ukubwa wake unapaswa kuamuliwa kwa namna ambayo pamoja na nguvu za membrane zilizokokotolewa hivi punde kwenye gamba husababisha ulemavu huu kwenye ukingo wa gamba unaoruhusiwa na chini.
Mch. 10, 11, 12, mtawalia
Kwenye kielelezo 11 umeonyeshwa kipengele cha ganda dx*a dφ pamoja na nguvu zinazolitenda. Sharti la uwiano wa nguvu katika mwelekeo wa wima kwenye ganda hutoa
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
kutoka hapo kwa kugawanya kwa dx dφ:
a Q’x + Nφ = p a.
Kutokana na sharti kwamba momenti kuzunguka tanjenti ya mlalo kwenye silinda ni sifuri hupatikana:
dM/dx = M’x = Qx
Kwa kuondoa nguvu ya transverse Qx kutoka katika milinganyo hii miwili hupatikana
a M’’x + Nφ = p a.
Mling. 6
Katika mlinganyo huu, nguvu hizi zisizojulikana za sehemu ya msalaba zinaweza kuonyeshwa kwa kutumia mkengeuko w. Kwa Nφ tayari imepatikana Nφ=Etw/a, na momenti ni sawia na mkunjo wa meridiani w’’, yaani Mx=Kw’’, ambapo, kama ilivyo kwa vibao, K=Et3/12(1-μ2) ni ugumu wa ganda, ambao unaweza kubadilika kwa x. Iwapo usemi huu wa nguvu za wastani utaingizwa katika mlinganyo (6), hupatikana mlinganyo tofauti wa nadharia ya tanki:
Kwa tangi ambalo unene wa ukuta wake ni usiobadilika, suluhisho ni:
Moja.7
ambapo λ4=3(1-μ2)/a2t2. Ikiwa λh ni kubwa (tuseme, zaidi ya 3), ni rahisi zaidi badala ya kazi za hyperbolic kuanzisha za eksponenti, basi ni:
Moja.8
Basi vijumlishi A1, B1 vinaweza kubainishwa kwa kujitegemea, kutoka katika masharti ya mipaka kwenye ukingo wa chini, na vijumlishi A2, B2 kutoka katika masharti ya mipaka kwenye ukingo wa juu, ambapo kwa kawaida hupatikana A2=B2=0. Kwa msingi wa mlinganyo (8) na (7) hupatikana nguvu za kukata, wakati hesabu inapofanywa kwa mwelekeo wa nyuma na kila mahali mlinganyo (8) na (7) unaingizwa; hivyo, kwa mfano, kwa A2=B2=0:
Wakati kuta za tangi zimefungwa kwa uthabiti katika bamba, chini ya tangi ambayo ni nene vya kutosha kuweza kuchukuliwa kuwa thabiti, viunganishi A1, B1 vinapaswa kubainishwa kutokana na hali kwamba x=0, w=0 na w’=0 ndipo hupatikana:
Ikiwa chini ya tanki ni bamba au ganda linalonyumbulika, nguvu za msalaba Qx na nyakati Mx kando ya mduara wa pembeni kati ya chini na ukuta wa silinda zinapaswa kubainishwa kwa mbinu za nadharia ya mifumo isiyoamuliwa kitaswira kwa msingi wa sharti kwamba Mx na w’ kwa sehemu zote mbili zina thamani sawa.