लवचिकता सिद्धांत - शेल्स

शेल्स असे पृष्ठभागीय वहक म्हणतात, ज्यांची मधली पृष्ठभाग सपाट नसून स्पष्टपणे फुगलेली असते. त्यांचे स्थैतिक वर्तन फळीच्या वर्तनापेक्षा लक्षणीय वेगळे असते. योग्य आकार असेल तर त्यांतील ताण खूपच कमी, त्यांची कडकपणा तुलनेने अधिक, आणि गणना बहुतेक प्रकरणांत सोपी असते.

प्रत्येक कवचातील ताण दोन भागांत विभागता येतो: पडद्यीय ताण आणि वाकणे. पडद्यीय ताण, जसे पातळीमध्ये भारित प्लेटवरील ताण, स्पर्शिक पातळीतील छेदन बलांच्या साहाय्याने व्यक्त करता येतात – उदाहरणार्थ, x=const. या छेदात सामान्य बल _Nx=_σx*t आणि कर्तन बल _Nxy=_τxy*t, जिथे t ही कवचाची जाडी आहे. वाकण्यामुळे निर्माण होणारे ताण हे प्लेट्सप्रमाणेच असतात आणि त्यांना वाकण क्षण Mx, घूर्णन क्षण Mxy आणि कर्तन बल Qx यांच्या स्वरूपात दर्शविता येते.

कवचांची महत्त्वाची वैशिष्ट्ये या वास्तवावर आधारलेली आहेत की नियमाने वाकण्यामुळे निर्माण होणाऱ्या ताणांचे परिमाण किंवा महत्त्व पडद्यीय ताणांसारखे नसते, त्यामुळे ते अनेकदा पूर्णतः दुर्लक्षित करता येतात. अशा परिस्थितीत सर्व ताण कवचाच्या जाडीभर समान रीतीने वितरित असतात आणि मध्य पृष्ठभागावर स्पर्शिक दिशेने कार्य करतात. या गृहितकांवर आधारित गणना कवचांच्या पडद्यीय सिद्धांताच्या चौकटीत येतात.

वर्तुळाकार सममित लोडिंगअंतर्गत वर्तुळाकार सममित शेल्सचा मेंब्रेन सिद्धांत

सामान्य नमुने

समन्वय रेषांसाठी शेलच्या मधल्या पृष्ठभागावरील मध्यान्हरेषा आणि समांतर वर्तुळे स्वीकारली जातात, त्यामुळे समन्वय असे आहेत: अजिमुथ ϑ (“भौगोलिक रेखांश”) आणि सममिती अक्षाला लंब असलेल्या पातळीच्या संदर्भात मध्यान्हरेषेवरील स्पर्शरेषेचा कल φ (आकृ. 1अ). त्यानुसार छेदक बल असे आहेत: मध्यान्हरेषेच्या दिशेतील सामान्य बल Nφ आणि वलयातील सामान्य बल Nϑ (आकृ. 1ब). फिरती सममित ताणामध्ये कापणी बल Nφϑ उद्भवत नाहीत. प्रति एकक पृष्ठभागावरील भार पुढीलप्रमाणे दर्शविला जातो (आकृ. 1ब): Y मध्यान्हरेषेस स्पर्शीय, φ ज्या दिशेने वाढतो त्या दिशेने धन, Z शेलला लंब, सममिती अक्षाकडे धन.

क्र.1

क्र.2

समजा मेरिडियनच्या वक्रतेची त्रिज्या r1 आहे. ती φ कोनाची फलन असल्याने _r1=r1(_φ) या समीकरणाने मेरिडियनचा आकार निश्चित होतो. हे मेरिडियनच्या समीकरणाप्रमाणे मानले जाऊ शकते आणि ते, उदा., असे आहे.

वर्तुळासाठी                                       r1=a=const.

परबोलासाठी                                  r1=a/cos3__φ

दीर्घवृत्तासाठी          r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2

मेरिडियनच्या दिशेतील सामान्य बल N__φ मोजण्यासाठी, समांतर वर्तुळ φ (चित्र 2) च्या वर असलेल्या शेलच्या भागासाठी समतोल अट लावली पाहिजे. या भागावर कार्य करणाऱ्या Y आणि Z भारांचा परिणामी R सममितीमुळे उभा असतो. त्याचा परिमाण शेलच्या पृष्ठभागावर φ’=0 ते φ’=φ या दरम्यान समाकलन करून मिळतो. शेलच्या घटकाचे पृष्ठफळ dF=r1d__φ’*rd__ϑ आहे, म्हणून भाराचा उभा घटक (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF असा येतो. φ’ आणि φ’+dφ’ या वर्तुळांमध्ये असलेल्या संपूर्ण वलयाकार शेल-भागासाठी बाह्य भाराचा परिणामी हा आहे:

dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,

जिथून φ’ नुसार, φ’=φ या समांतर वर्तुळाच्या वर असलेल्या कवचाच्या भागासाठी समाकलन करून मिळते:

समीकरण 1

हे भार मेरिडियनच्या दिशेतील सामान्य बल ग्रहण करतात, जे दिसणाऱ्या वर्तुळाच्या परिघावर कार्य करतात; या बलांच्या परिणामी शक्तीचा उभा घटक 2__πr * N__φ sin__φ, आहे, आणि त्याचे समतोल करून आवश्यक सामान्य बल मिळते

समी. 2

जर कवचाच्या वरच्या भागात φ=φ0 या वर्तुळानुसार कापले गेले असेल (उदा. घुमटातील प्रकाशासाठीचे उघडणे), तर समाकलनाची खालची मर्यादा, अर्थातच, φ0 असेल, शून्य नाही. जर अशा प्रकारे तयार झालेल्या कवचाच्या काठावर R0 हे भारही कार्य करत असेल, तर तेही परिणामी R मध्ये जोडले पाहिजे (आकृ. 3).

क्र.3

सामान्य बल N__ϑ निश्चित करण्यासाठी, स्पर्शी समतलाला लंब असलेल्या कवच घटकाचा समतोल अट मांडावी लागते (आकृ. 4). या दिशेतील बाह्य भाराचा परिणामी Z r1 d__φ r d__ϑ इतका आहे. मेरिडियन समतलात असलेली N__φ*r d__ϑ ही बलं एकमेकांशी d__φ इतका लहान कोन करतात, म्हणून कवचाच्या सामान्य दिशेतील त्यांचा परिणामी N__φ r d__ϑ*dφ असा होतो. त्याचप्रमाणे, आडव्या वर्तुळाच्या समतलात असलेली आणि परस्परांत dϑ कोन तयार करणारी Nϑ r1 dφ ही बलं Nϑ r1 dφ*dϑ असा परिणामी देतात, जोसुद्धा आडव्या वर्तुळाच्या समतलातच असतो आणि त्यामुळे कवचाच्या सामान्याशी 0,5_π-φ_ असा कोन करतो, म्हणून समतोल अटीत फक्त त्यांचा घटक _Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ_च येतो. म्हणून समतोल अट अशी आहे

किंवा, r r1 dϑ dφ ने भागल्यास:

एक.3

इथे r2=r/sinφ ने पडद्याच्या वक्रतेचा दुसरा मुख्य अर्धव्यास दर्शविला आहे.

क्र.4

वर्तुळाकार घुमट

मध्यरेषेचा आकार r1=r1(φ) या समीकरणाने विश्लेषणात्मकरीत्या दिला असल्यास आणि Y(φ) व Z(φ) या भारांसाठी विश्लेषणात्मक व्यंजने दिली असल्यास, शेलमधील छेदक बल नेहमी बंद स्वरूपातील समाकलनाने किंवा संख्यात्मकरीत्या, Simpson-च्या नियमाचा उपयोग करून, ठरविता येतात. a व्यासाच्या वर्तुळाकार घुमटासाठी पुढीलमध्ये काही भारप्रकरणांसाठी छेदक बल दिले आहेत:

शेवटचे सूत्र, जे φ=0 साठी अनंत मोठ्या कर्तन बलांना देते, हे फक्त बलाच्या आघातबिंदूपासून एका निश्चित अंतरावरच लागू होते. बल कार्यरत असलेल्या ठिकाणाच्या तात्काळ परिसरात, जरी ते मर्यादित पण लहान व्यासाच्या वर्तुळाच्या पृष्ठभागावर वितरित केलेले असले तरी, भार प्रामुख्याने वाकण्याद्वारे प्रसारित होतो.

वरच्या भागात उघड्या असलेल्या शेलचे नमुने पूर्वीच्या नमुन्यांपासून मिळवता येतात, जर प्रत्यक्ष भारावर शिखरावर एक काल्पनिक भार P जोडला, ज्याचे परिमाण असे ठरवतात की शेलच्या वरच्या कडेला मेरिडियनच्या दिशेने कार्य करणारी एकूण सामान्य शक्ती φ=φ0 ही Nφ=0 इतकी होते, किंवा शेल येथे स्वीकारत असलेल्या बाह्य बलांनी निश्चित केलेल्या एखाद्या मूल्यास समान असते.

शंक्वाकार शेल

क्र.5

शंक्वाकार शेलमध्ये मेरिडियनचा उतार φ हा समन्वय म्हणून वापरता येत नाही, कारण सर्व बिंदूंमध्ये त्याचे मूल्य समान असते. त्याऐवजी जनित्रावरून मोजलेले शिखरापासूनचे अंतर s आणले जाते (आकृ. 5). त्यानुसार मेरिडियनच्या दिशेतील सामान्य बलास Ns असे दर्शवले जाते. सीमांत संक्रमण केल्यावर वर 1 मध्ये दिलेल्या सूत्रांमधून आवश्यक सूत्रे मिळू शकतात. समीकरण (2) मधून अशा प्रकारे

आणि समीकरणातून (3)

Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.

सर्वात महत्त्वाच्या भारस्थितींसाठी पुढील सूत्रे लागू आहेत:

मेरिडियनच्या कोणत्याही आकारासाठी आलेखीय पद्धत

चित्र. 6

जेव्हा मेरिडियन वक्र विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तीने दिलेला नसतो, तर उदाहरणार्थ, ग्राफिकरीत्या दिलेला असतो, तेव्हा वक्रतेच्या त्रिज्येचे निर्धारण खूप कठीण आणि खूपच अचूक नसते. अशा वेळी ग्राफिकल पद्धत वापरणे अधिक सोयीचे ठरते (आकृ. 6).

आवरणाला अनेक समतल φ=const. मध्ये विभागले जाते, त्या समतलांदरम्यान असलेल्या वलयाकार क्षेत्रांच्या Δ_R_ वजनांची गणना केली जाते आणि ती त्वरित 2_π_ ने भागणे उत्तम. या बलांना ΔR/2π बल-आकृतीत दाखवले जाते (आकृ. 6b). नंतर, उदाहरणार्थ, विभागणी बिंदू 7 मधून मेरिडियनवरील बिंदू 7 येथील स्पर्शिकेला समांतर अशी सरळ रेषा काढल्यास, बल-आकृतीच्या वरच्या बिंदूमधून जाणारी क्षैतिज रेषा त्यावर R1/2π sinφ7 या लांबीवर छेदेल, ज्यावरून समीकरण (2) नुसार संबंधित r ने भागल्यास मेरिडियनच्या दिशेतील संबंधित सामान्य बल मिळतो.

वलयांमधील बल ठरविण्यासाठी शेलच्या एका घटकावर आडव्या बलांच्या संतुलनाची अट वापरली जाते. जर केवळ उभे भार कार्यरत असतील, तर ही अट अशी असते (आकृ. 4):

जेव्हा येथे dφ ऐवजी Δφ ही अंतिम फरक रक्कम वापरली जाते, जी स्वीकारलेल्या कवचाच्या विभागणीशी सुसंगत असते, आणि r1 dφ ऐवजी मेरिडियन घटकाची लांबी Δs घेतली जाते, तेव्हा येथून मिळते

उजव्या बाजूच्या कंसात बल-आलेखातील आडव्या सरळ रेषेवरील कापलेला भाग दर्शविला आहे. त्यामुळे संपूर्ण उजवी बाजू या सरळ रेषेवरील विभागणी बिंदूंमधील अंतर दर्शविते. ते पुरेसे अचूकपणे वाचण्यासाठी बल-आलेख काळजीपूर्वक आणि पुरेशा मोठ्या प्रमाणात काढला पाहिजे.

ताणलेले आणि दाबलेले वलय

प्रत्येक फिरतीने सममित कवच एक किंवा दोन क्षैतिज वर्तुळांनी मर्यादित असते (आकृ. 7). या कडांवर ते तत्त्वतः फक्त असे भार आणि आधार अभिक्रिया स्वीकारू शकते, ज्यांची दिशा मेरिडियनवरील स्पर्शरेषेशी समांतर असते. जर बाह्य बलांची दिशा वेगळी असेल, जसे की संरचनेच्या वरच्या भागातील P भार किंवा आकृ. 97 मध्ये दाखविलेल्या साठवण टाकीच्या तळाची S अभिक्रिया, तर ही बल, आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, क्षैतिज वर्तुळ आणि मेरिडियनवरील स्पर्शरेषेच्या दिशेतील घटकांत विभागावी लागतात. घटक P/sinφ0 किंवा S/sinφu हा त्या ठिकाणी कार्य करणाऱ्या मेरिडियन दिशेतील सामान्य बल Nφ इतकाच असतो, तर क्षैतिज बल Pctgφ0 किंवा Sctgφu स्वीकारण्यासाठी ताण किंवा दाब घेणारी वलयाकार रचना आवश्यक असते, आणि ज्यात हे रेडियल भार सामान्य बल + P r0 ctgφ0, किंवा -S ru ctgφu निर्माण करतात. अशा वलयांना, कवचाच्या कडांव्यतिरिक्त, ज्या सर्व ठिकाणी मेरिडियन वक्राला वळणबिंदू असतो तेथेही बसवावे लागते. ते नेहमीच पडद्यीय ताणस्थितीत बिघाड निर्माण करतात.

क्र.7

घूर्णन-साम्य असलेल्या कवचांमध्ये वाकण्यामुळे निर्माण होणारे ताण

झिल्ली सिद्धांताची रूपे सर्व सीमाशर्ती प्रत्यक्षात पूर्ण करण्यासाठी पुरेशी एकत्रीकरण स्थिरांकांची संख्या देत नाहीत. विशेषतः अक्षसमम शेल्समध्ये, एकत्रीकरण स्थिरांकांची योग्य निवड करून शेलच्या कडेवर वर्तुळाच्या दिशेतील ताणवृद्धी εϑ = Nϑ/Et ही त्या ठिकाणी तिच्याशी घट्ट जोडलेल्या एखाद्या दुसऱ्या संरचनात्मक घटकातील संबंधित ताणवृद्धीइतकी करणे शक्य नाही. हेच त्या शेल्ससाठीही लागू आहे ज्यामध्ये एका आडव्या वर्तुळावर मेरिडियनची वक्रता, शेलची जाडी किंवा प्रति क्षेत्रफळ भार अचानक बदलतो. आणि जेव्हा शेल एखाद्या कडेवर वलयाने कडक केलेली नसते, पण त्या ठिकाणी शेलच्या लंबाच्या दिशेतील घटक असलेल्या बलांनी ती भारित असते (उदा. आकृ. 7 मधील भार P, जेव्हा वलय काढून टाकले आहे असे गृहीत धरले जाते), तेव्हा ती अशा भारांना केवळ झिल्ली बलांद्वारे पेलू शकत नाही. अशा प्रकरणांत कर्तन बल आणि वाकण्याचे क्षण (आकृ. 8) शेलमधील बलवितरणात महत्त्वाची भूमिका बजावतात, आणि स्थैतिक गणनेत ते लक्षात घ्यावे लागते.

क्र. 8

वाकण्यावरून शेलचे अचूक गणित, सर्वात सोप्या सिलिंडराकार शेलच्या विशेष प्रकरणाव्यतिरिक्त, अतिशय कठीण काम आहे. पातळ भिंतींच्या शेलसाठी एक साधी आणि अत्यंत उपयुक्त अनुमानाधारित सिद्धांत उभारता येतो, जो काटेकोर सिद्धांतातील या ज्ञात तथ्यावर आधारलेला आहे की वाकण्यामुळे निर्माण होणारे ताण कडेजवळील तुलनेने अरुंद विभागात मर्यादित राहतात आणि कडापासून अंतर वाढताच झपाट्याने कमी होतात. यामुळे अचूक अवकल समीकरणातील मोठ्या संख्येने पदे दुर्लक्षित करता येतात, आणि त्यामुळे त्याचा साधा रूप मिळतो.

जर फक्त रसाचा असलेल्या κ या सीमारेषेतील एक मूल्य सरासरी मूल्यासह बदलले, आणि हे जवळजवळ नेहमीच शक्य असते, तर समीकरणाचे उत्तर असे आहे

समीकरणे 4 आणि 5

जिथे a1, b1, a2, b2 या समाकलन स्थिरांक आहेत. समाधान फक्त कडा φ=φ0 च्या आसपासच रोचक असल्यामुळे, या कडपासूनचा कोनीय अंतर ω=φ0-φ किंवा ω=φ-φ0 हे एक समन्वय म्हणून घेणे योग्य ठरते, आणि वरील समाधानाच्या रूपांतरातून दुसरे नमूद केलेले व्यंजक मिळते. येथे फक्त दोन समाकलन स्थिरांक A, B किंवा C, ψ दिसून येतात, कारण समाधानाचा दुसरा भाग, ज्यात eκω हा घटक आहे, आणि म्हणून ω वाढल्यावर जो कमी होत नाही, तो विचारातून वगळता येतो.

समीकरण 5 च्या आधारे छेद बल आणि मेरिडियन स्पर्शरेषेचे κ फिरणे यांसाठी पुढील मूल्ये मिळतात:

वर्तुळाकार सिलिंडर आकाराच्या साठवण टाक्यांमधील वाकण्यामुळे निर्माण होणारे ताण

समजा h उंचीचा एक बेलनाकार जलाशय पाण्याने भरलेला आहे (आकृ. 9), तर x उंचीवर जलाशयातील पाण्याचा दाब p=γ(h-x) असा असेल. या उंचीवर दोन क्षैतिज छेदांच्या dx अंतरावरून जलाशयातून एक वलय कापले आणि ते एका व्यासावरून दोन भागांत विभागले, तर त्यापैकी एका भागाच्या समतोल अटीतून वलयातील झिल्ली बल Nφ=pa मिळतो. जर या ठिकाणी जलाशयाची जाडी t असेल, तर वलयातील विकृती εφ=Nφ/Et असून त्यानुसार जलाशयाच्या अर्धव्यासातील वाढ (वाकणे) आहे

खालच्या कडेवर x=0 असल्याने

क्र.9

दोन्हीही सामान्यतः सीमाशर्तींशी सुसंगत नसतात, कारण जलाशयाच्या तळाशी असलेल्या जोडणीमुळे भिंतीची विकृती रोखली जाते. त्याच वेळी तळ आणि सिलिंडरच्या भिंतीच्या संधिस्थळी अनुप्रस्थ बल Qx0 आणि क्षण Mx0 (आकृ. 11) निर्माण होतात; त्यांचे परिमाण असे ठरवावे की ते नुकतेच गणलेले पडद्यावरील मेंब्रेन बलांसह मिळून पडद्याच्या कडेला अशी विकृती निर्माण करतील जी तळाने अनुमत केली आहे.

आकृ. 10, 11, 12, अनुक्रमे

आकृ. 11 मध्ये dx*a dφ हा कवच घटक त्यावर कार्य करणाऱ्या बलांसह दाखविला आहे. कवचाच्या सामान्य दिशेतील बलांच्या समतोलाची अट देते

dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,

जिथून dx dφ: ने भागल्यास:

a Q’x + Nφ = p a.

गोलकावर आडव्या स्पर्शरेषेबाबतचा क्षण शून्य आहे या अटीतून मिळते:

dM/dx = M’x = Qx

या दोन समीकरणांमधून आडवा बल Qx वगळल्यास पुढील मिळते

a M’’x + Nφ = p a.

सम. 6

या समीकरणात या अज्ञात छेदन बलांना वाकण w च्या साहाय्याने व्यक्त करता येते. Nφ साठी आधीच Nφ=Etw/a, असे आढळले आहे, आणि क्षण मेरिडियनच्या वक्रतेस w’’ प्रमाणात आहे, म्हणजेच Mx=Kw’’, ज्यामध्ये प्लेट्सप्रमाणेच K=Et3/12(1-μ2) ही कवचाची कडकता आहे, जी x नुसार बदलू शकते. जर मध्यम बलांसाठीची ही रूपे समीकरणात (6) घातली, तर टाकी सिद्धांताचे अवकल समीकरण मिळते:

भिंतीची जाडी अपरिवर्तनीय असलेल्या जलाशयासाठी उत्तर असे आहे:

एक.7

जिथे λ4=3(1-μ2)/a2t2. जर λh मोठा असेल (उदा. 3 पेक्षा मोठा), तर हायपरबोलिक कार्यांच्या ऐवजी घातांकीय कार्ये वापरणे अधिक सोयीचे ठरते, आणि म्हणून:

एक.8

तेव्हा खालच्या सीमाशर्तींमधून A1, B1 हे स्थिरांक एकमेकांपासून स्वतंत्रपणे निश्चित करता येतात, आणि वरच्या कडच्या सीमाशर्तींमधून A2, B2 हे स्थिरांक निश्चित करता येतात; अशा वेळी सर्वसाधारणपणे A2=B2=0 असे मिळते. समीकरण (8) आणि (7) यांच्या आधारे कर्तन बल मिळतात, जेव्हा गणना उलट दिशेने केली जाते आणि सर्वत्र समीकरण (8) आणि (7) लागू केले जाते; म्हणून उदा. A2=B2=0 साठी:

जेव्हा जलाशयाच्या भिंती प्लेटमध्ये कडकपणे अडकवलेल्या असतात, आणि जलाशयाचा तळ पुरेसा जाड असल्यामुळे तो कडक मानता येतो, तेव्हा A1, B1 या स्थिरांकांचे निर्धारण x=0, w=0 आणि w’=0 या अटींवरून करावे लागते, आणि त्यामुळे मिळते:

जर टाकीचा तळ लवचिक प्लेट किंवा शेल असेल, तर तळ आणि सिलिंडरच्या भिंतीदरम्यानच्या कडीय वर्तुळावरचे अनुप्रस्थ बल Qx आणि क्षण Mx हे स्थिर-अनिश्चित प्रणालींच्या सिद्धांताच्या पद्धतींनी ठरवावेत, या अटीवर की Mx आणि w’ हे दोन्ही भागांसाठी समान मूल्याचे असतील.