Héjaknak nevezzük azokat a felületi tartókat, amelyek középső felülete nem sík, hanem észrevehetően domború. Statikai viselkedésük jelentősen eltér a lemezekétől. Kedvező alak esetén igénybevételük lényegesen kisebb, merevségük ennek megfelelően nagyobb, a számítás pedig a legtöbb esetben egyszerűbb.
Minden héj feszültsége két részre bontható: membránfeszültségre és hajlításra. A membránfeszültségek a síkjában terhelt lemez feszültségeihez hasonlóan a tangenciális síkban fellépő metszőerők segítségével fejezhetők ki – például az x=const. metszetben a normálerő _Nx=_σx*t és a nyíróerő _Nxy=_τxy*t, ahol t a héj vastagsága. A hajlításból származó feszültségek ugyanazok, mint a lemezeknél, és hajlítónyomatékokkal Mx, torziós nyomatékokkal Mxy és nyíróerőkkel Qx írhatók le.
A héjak lényeges tulajdonságai azon a tényen alapulnak, hogy a hajlításból származó feszültségek rendszerint sem nagyságukban, sem jelentőségükben nem érik el a membránfeszültségeket, így gyakran teljesen elhanyagolhatók. Ebben az esetben minden feszültség egyenletesen oszlik meg a héj vastagsága mentén, és érintőlegesen hat a középfelületre. Azokra a számításokra, amelyek ezeken a feltevéseken alapulnak, a héjak membránelmélete vonatkozik.
A forgásszimmetrikus héjak membránelmélete forgásszimmetrikus terhelés alatt
Általános képletek
Koordináta-vonalként a héj középfelületén a meridiánokat és a párhuzamos köröket vesszük fel, így a koordináták: azimut ϑ („földrajzi hosszúság”) és a meridiánhoz húzott érintő φ hajlásszöge a szimmetriatengelyre merőleges síkhoz képest (l. 1a). Ennek megfelelően a metszeti erők: a meridián irányú normálerő Nφ és a gyűrűirányú normálerő Nϑ (l. 1b). A nyíróerők Nφϑ tengelyszimmetrikus feszültség esetén nem jelennek meg. A felületegységre jutó terhelést a következőképpen jelöljük (l. 1b): Y a meridiánhoz tangenciálisan, pozitív abban az irányban, amerre φ növekszik, Z a héjra merőlegesen, pozitív a szimmetriatengely felé.
Ábra 1
ábra. 2
Legyen a meridiángörbe görbületi sugara r1. Ez a φ szög függvénye, így az _r1=r1(_φ) egyenlet határozza meg a meridián alakját. Ez tekinthető a meridián egyenletének, és például így hangzik.
körre r1=a=const.
a parabolára r1=a/cos3__φ
az ellipszisre r1=a2b2(a2sin2__φ+b2cos2__φ)-3/2
A meridián irányú normálerő, N__φ kiszámításához fel kell írni annak a héjrésznek az egyensúlyi feltételét, amely a φ párhuzamos kör felett helyezkedik el (l. 2). Az ezen részre ható Y és Z terhek eredője a szimmetria miatt függőleges. Az értéke a héj felületén történő integrálással határozható meg, φ’=0-től φ’=φ-ig. A héjelem felülete dF=r1d__φ’*rd__ϑ, ezért a terhelés függőleges komponense (Ysin__φ’+Zcos__φ’)dF. A teljes gyűrű alakú héjrészre, amely a φ’ és φ’+dφ’ körök között helyezkedik el, a külső terhelés eredője a következő:
dR=2__πr (Ysin__φ’+Zcos__φ’) r1d__φ’,
ahonnan a φ’ szerinti integrálással a φ’=φ párhuzamos kör fölött fekvő héjrészt kapjuk:
- egyenlet
Ezt a terhelést a meridián irányú normálerők veszik fel, amelyek a megfigyelt kör kerülete mentén hatnak; ezek erőinek eredőjének függőleges összetevője 2__πr * N__φ sin__φ, így az egyenlővé tételből adódik a keresett normálerő
Egy. 2
Ha a héj a felső részen a φ=φ0 kör mentén van elvágva (pl. világítónyílás egy kupolában), akkor az integrál alsó határa értelemszerűen φ0, nem pedig nulla. Ha az így keletkezett héj szélén a R0 terhelés is hat, azt is hozzá kell adni az eredő R-hez (l. 3).
Ábra 3
A N__ϑ normálerő meghatározásához a héjelem egyensúlyi feltételét a tangenciális síkra merőlegesen kell felírni (ábr. 4). Az ebbe az irányba ható külső terhelés eredője Z r1 d__φ r d__ϑ. Az N__φ*r d__ϑ erők, amelyek a meridián síkban fekszenek, egymással kis d__φ szöget zárnak be, ezért eredőjük a héjra merőleges irányban N__φ r d__ϑ*dφ. Hasonlóképpen a vízszintes kör síkjában fekvő és egymással dϑ szöget bezáró Nϑ r1 dφ erők eredője Nϑ r1 dφ*dϑ, amely szintén a vízszintes kör síkjában fekszik, ezért a héj normálisával 0,5_π-φ_ szöget zár be, így az egyensúlyi feltételbe csak ennek Nϑ r1 dφ dϑ*sinφ komponense lép be. Az egyensúlyi feltétel tehát így hangzik
vagy, ha r r1 dϑ dφ szerint osztjuk:
Egy.3
Itt a r2=r/sinφ jelölés a héj görbületének második fő sugara.
Ábra 4
Körkupola
Amikor a meridián alakja analitikusan adott az r1=r1(φ) egyenlettel, és a terhekre Y(φ) és Z(φ) analitikus kifejezések adottak, a héjban ébredő keresztmetszeti erők mindig meghatározhatók zárt alakban történő integrálással vagy numerikusan, Simpson-szabályt alkalmazva. Az a átmérőjű körkupolára a következőkben néhány terhelési eset keresztmetszeti erői szerepelnek:
Az utolsó képlet, amely φ=0 esetén végtelen nagy nyíróerőket ad, csak bizonyos távolságra érvényes az erő támadáspontjától. Az erő hatáshelyének közvetlen környezetében, még akkor is, ha azt végső, de kisméretű átmérőjű kör felületén oszlatják el, a terhelés túlnyomórészt hajlítással adódik át.
A felül nyitott héjak alakjai az előzőekből vezethetők le, ha a tényleges terheléshez a csúcsban egy fiktív P terhet adunk hozzá, amelynek nagyságát úgy határozzuk meg, hogy a héj felső élén ható, a meridián irányú összes normálerő φ=φ0 értéke Nφ=0, vagy pedig egy olyan értékkel egyenlő, amelyet az itt fellépő külső erők határoznak meg.
Kúpos héj
Ábra 5
Kúpos héj esetén a meridián hajlásszöge φ nem használható koordinátaként, mert minden pontban ugyanaz az értéke. Helyette a csúcsból az alkotó mentén mért s távolságot vezetjük be (ábr. 5). A meridián irányú normálerőt ennek megfelelően Ns-sel jelöljük. A szükséges alakzatok az említett 1 alapján kaphatók meg, ha határátmenetet végzünk. A (2) egyenletből így adódik
és az (3) egyenletből
Nϑ = -r2 Z = -Z s ctga.
A legfontosabb terhelési esetekre a következő képletek érvényesek:
Grafikus eljárás tetszőleges meridiánalakhoz
ábra. 6
Ha a meridiángörbe nem analitikus kifejezéssel adott, hanem például grafikus formában, akkor a görbületi sugár meghatározása túlságosan nehéz és túlságosan pontatlan. Ilyenkor célszerűbb a grafikus eljárást alkalmazni (6 ábr.).
A héjat több, φ=const. síkkal osztjuk fel, kiszámítjuk a síkok között fekvő gyűrűs zónák Δ_R súlyait, és ezeket lehetőleg rögtön elosztjuk 2_π_-vel. Ezeket az ΔR/2π erőket az erőábrán kell felvenni (l. 6b). Ha ezután például a felosztási ponton, 7, a meridián 7 pontbeli érintőjével párhuzamos egyenest húzunk, az erőábra felső pontján átmenő vízszintes ezen az egyenesen a R1/2π sinφ7 szakaszt metszi ki, amelyből az egyenlet (2) alapján, a megfelelő r-rel osztva, megkapjuk a meridián irányában ható megfelelő normálerőt.
A gyűrűkben ható erők meghatározására a héj egy elemén fellépő vízszintes erők egyensúlyi feltétele szolgál. Ha csak függőleges terhek hatnak, ez a feltétel a következő (á. 4):
Ha itt a dφ helyébe a Δφ véges különbséget helyettesítjük, amely a választott héjfelosztásnak felel meg, és az r1 dφ helyett a meridián elem Δs hosszát vesszük, akkor innen adódik
A jobb oldali zárójelben egy vízszintes egyenes metszete található az erőábrán. A teljes jobb oldal tehát az ezen az egyenesen lévő osztópontok közötti szakaszokat ábrázolja. Ahhoz, hogy ezeket kellő pontossággal le tudjuk olvasni, az erőábrát gondosan és kellően nagy méretarányban kell megrajzolni.
Húzott és nyomott gyűrűk
Minden forgásszimmetrikus héjat egy vagy két vízszintes kör határol (7 ábra). Ezeken az éleken elvileg csak olyan terheket és támaszerőket vehet fel, amelyeknek iránya egybeesik a meridián érintőjével. Ha a külső erők más irányúak, mint például a szerkezet felső részéből származó P terhelés vagy a 97 ábrán látható tartály aljának S reakciója, ezeket az erőket, amint az ábrán látható, fel kell bontani a vízszintes kör és a meridián érintőjének irányába eső komponensekre. A P/sinφ0 vagy S/sinφu komponens egyenlő az adott helyen ható meridiánirányú normálerővel Nφ, míg a vízszintes erő Pctgφ0 vagy Sctgφu felvételéhez olyan gyűrű szükséges, amely húzást, illetve nyomást vesz fel, és amelyben ez a радиális terhelés + P r0 ctgφ0, illetve -S ru ctgφu normálerőt idéz elő. Az ilyen gyűrűket, a héj élein kívül, minden olyan helyen is el kell helyezni, ahol a meridián görbéje megtörik. Mindig zavarják a membránfeszültségi állapotot.
Áb. 7
Hajlításból eredő feszültségek forgásszimmetrikus héjakban
A membránelmélet alakzatai nem tartalmaznak elegendő számú integrálási állandót ahhoz, hogy minden olyan határfeltétel teljesíthető legyen, amely ténylegesen megfelel a kitűzött feladatnak. Különösen a forgásszimmetrikus héjak esetében nem lehet az integrálási állandók megfelelő megválasztásával elérni, hogy az εϑ = Nϑ/Et tágulás a héj élén a gyűrűirányban megegyezzen egy másik szerkezeti rész megfelelő tágulásával, amely ott vele mereven össze van kapcsolva. Ugyanez vonatkozik azokra a héjakra is, amelyeknél egy vízszintes kör mentén ugrásszerűen változik a meridián görbülete, a héj vastagsága vagy az egységnyi felületre jutó terhelés. Akkor is, ha a héj valamely éle mentén nincs gyűrűvel merevítve, de ezen a helyen olyan erők terhelik, amelyeknek van a héj normálisára eső komponense (pl. a P terhelés az 7 ábrán, ha úgy képzeljük, hogy a gyűrűt eltávolították), ezt a terhelést nem tudja kizárólag membránerőkön keresztül felvenni. Ilyen esetekben a nyíróerő és a hajlítónyomatékok (8 ábr.) fontos szerepet játszanak a héjon belüli erőeloszlásban, amit a statikai számítás során figyelembe kell venni.
Ábr. 8
A héj hajlításra való pontos számítása, a legegyszerűbb speciális esetet, a hengerhéjat kivéve, rendkívül nehéz feladat. Vékony falú héjakhoz felállítható egy egyszerű és igen használható közelítő elmélet, amely arra a szigorú elméletből ismert tényre épül, hogy a hajlításból eredő feszültségek viszonylag szűk, a szél melletti zónára korlátozódnak, és a széltől való távolság növekedésével gyorsan csökkennek. Ez lehetővé teszi, hogy a pontos differenciálegyenletben szereplő tagok nagy számát elhanyagoljuk, így az egyszerűsített alakot kap.
Ha az érdekesnek egyedül tekintett κ peremzónán belül középértékkel helyettesítjük, és ez csaknem mindig lehetséges, az egyenlet megoldása
Egyn. 4 és 5
ahol a1, b1, a2, b2 integrációs állandók. Mivel a megoldás csak az φ=φ0 perem közelében érdekes, célszerű az e peremtől mért szögeltérést ω=φ0-φ vagy ω=φ-φ0 koordinátaként bevezetni, és így a fenti megoldás átalakításával megkapjuk a második említett kifejezést. Itt csak két integrációs állandó, A, B vagy C, ψ jelenik meg, mivel a megoldásnak az eκω tényezőt tartalmazó második része, és ennélfogva ω növekedésével nem csökkenő része, elhagyható a vizsgálatból.
Az 5 egyenlet alapján a következő értékek adódnak a metszőerőkre és a meridián érintő κ elfordulására:
Hajlításból származó feszültségek kör keresztmetszetű tartályokban
Tegyük fel, hogy egy h magasságú hengeres tartály vízzel van feltöltve (ábr. 9), ekkor x magasságban a két tartály fölött a víznyomás p=γ(h-x). Ha ezen a magasságon két, dx távolságra levő vízszintes metszettel a tartályból egy gyűrűt vágunk ki, és ezt egy átmérő mentén két részre osztjuk, az egyik rész egyensúlyi feltétele a gyűrűben Nφ=pa membránerőt adja. Ha a tartály falvastagsága ezen a helyen t, akkor a gyűrűben a nyúlás εφ=Nφ/Et, és ennek megfelelően a tartály sugárnövekedése (lehajlása)
Az alsó élen x=0 ennek megfelelően
Ábr. 9
Egyik sem egyezik meg szabályszerűen a peremfeltételekkel, mert a fal deformációját a tartály fenekéhez való kapcsolódás akadályozza. Ennek során a hengerfenék és a fal csatlakozásánál a Qx0 keresztirányú erők és az Mx0 nyomatékok jelennek meg (á. 11), amelyek nagyságát úgy kell meghatározni, hogy a héjban éppen kiszámított membránerőkkel együtt a héj peremén azt a deformációt okozzák, amelyet az alj megenged.
Sl. 10, 11, 12, sorrendben
Az ábra 11 a dx*a dφ héjelemre ható erőkkel együtt mutatja azt. A héjra merőleges irányú erőegyensúly feltétele ezt adja
dQx a dφ + Nφ dx dφ = p a dφ dx,
ahonnan dx dφ szerinti osztással:
a Q’x + Nφ = p a.
A feltételből, hogy a hengerhez húzott vízszintes érintő körüli nyomaték nulla, a következő adódik:
dM/dx = M’x = Qx
A Qx keresztirányú erő kiküszöbölésével e két egyenletből következik
a M’’x + Nφ = p a.
Egys. 6
Ebben az egyenletben ezek az ismeretlen metszeti erők a lehajlás w segítségével fejezhetők ki. Az Nφ-re már megállapítottuk, hogy Nφ=Etw/a, a nyomaték pedig arányos a meridián görbületével w’’, azaz Mx=Kw’’, miközben a lemezekhez hasonlóan K=Et3/12(1-μ2) a héj merevsége, amely x-szel változhat. Ha ezek az átlagos erőkre vonatkozó kifejezések bekerülnek az egyenletbe (6), megkapjuk a tartályelmélet differenciálegyenletét:
Olyan tartály esetén, რომლის falvastagsága állandó, a megoldás a következő:
Egy.7
ahol λ4=3(1-μ2)/a2t2. Ha λh nagy (mondjuk, nagyobb mint 3), célszerűbb a hiperbolikus függvények helyett exponenciálisakat bevezetni, így:
Egy.8
Ekkor egymástól függetlenül meghatározhatók az A1, B1 állandók az alsó él határfeltételeiből, valamint a A2, B2 állandók a felső él határfeltételeiből, miközben rendszerint A2=B2=0 adódik. A (8) és (7) egyenletek alapján a metszőerők úgy adódnak, ha a számítást fordított irányban végezzük, és mindenütt a (8) és (7) egyenleteket vezetjük be; így például A2=B2=0 esetén:
Amikor a tartály falai mereven be vannak fogva a lemezbe, a tartály alján, amely kellően vastag ahhoz, hogy merevnek tekinthessük, a A1, B1 állandókat abból a feltételből kell meghatározni, hogy x=0, w=0 és w’=0, így adódik:
Ha a tartály feneke rugalmas lemez vagy héj, a Qx keresztirányú erőket és az Mx nyomatékokat a fenék és a henger fala közötti peremkör mentén a statikailag határozatlan rendszerek elméletének módszereivel kell meghatározni, annak a követelménynek alapján, hogy Mx és w’ mindkét részre ugyanakkora értékű legyen.